随机信号分析基础第五章习题王永德-答案.
随机信号分析课后习题答案
1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。
随机信号与系统第五章习题部分答案
第五章 习题5-1 设某信号为1000||()t x t e -=（1）试求x (t )的傅里叶变换X (j ω)，并绘制X (j ω)曲线；（2）假设分别以采样频率为f s =5000Hz 和f s =1000Hz 对该信号进行采样，得到一组采样序列x k ，说明采样频率对序列x k 频率特性X (e j Ω)的影响。
解：（1）1000||622000()()10j t t j t X j x t e dt e e dt ωωωω∞∞----∞-∞===+⎰⎰. X (j ω)的曲线如下图所示：（2）设采样周期为T ，则采样输出为()()()()k k k x x t t kT x kT t kT δδ∞∞=-∞=-∞=-=-∑∑.由时域相乘等于频域卷积，有1122()()*[()]()*[()]22j k k X e X j t kT X j kT Tππδδππ∞∞Ω=-∞=-∞=Ω-=ΩΩ-∑∑F 121212()()()2k k X j k d X j jk T T T T Tπππωδωωπ∞∞∞-∞=-∞=-∞=⋅=Ω--=Ω-∑∑⎰. 即序列x k 频率特性X (e j Ω)是原信号频谱X (j ω)以2Tπ为周期进行延拓而成的，而采样频率1122s f T Tππ==⋅，所以采样频率越高，序列x k 频率特性的各周期越分散，越不容易发生频谱混叠。
5-2 假设平稳随机过程x (t )和y (t )满足下列离散差分方程11;k k k k k k k x ax e y ay x v ---=-=+式中，|a|<1；e k ，v k ～N (0，σ 2)分布，且二者互不相关。
试求随机序列y k 的功率谱。
解：对1k k k x ax e --=进行离散时间傅里叶变换（DTFT ），且记DTFT(x k )=X (e j Ω)，DTFT(e k )=E (e j Ω)，则有j j j ()(1)()X e ae E e ΩΩΩ--=式中，Ω=ωT s ，称为数字频率（rad ），ω为实际频率（rad/s ），T s 为采样周期（s ）。
第5章习题参考答案.doc
第5章习题参考答案1．请在括号内填入适当答案。
在CPU中：(1)保存当前正在执行的指令的寄存器是（IR ）；(2)保存当前正在执行的指令地址的寄存器是（AR ）(3)算术逻辑运算结果通常放在（DR ）和（通用寄存器）。
2．参见图5.15的数据通路。
画出存数指令“STO Rl，(R2)”的指令周期流程图，其含义是将寄存器Rl的内容传送至(R2)为地址的主存单元中。
标出各微操作信号序列。
解：STO R1, (R2)的指令流程图及为操作信号序列如下：STO R1, (R2)R/W=RDR O, G, IR iR2O, G, AR iR1O, G, DR iR/W=W3．参见图5.15的数据通路，画出取数指令“LAD (R3)，R0”的指令周期流程图，其含义是将(R3)为地址主存单元的内容取至寄存器R2中，标出各微操作控制信号序列。
解：LAD R3, (R0)的指令流程图及为操作信号序列如下：PC O , G, AR i R/W=R DR O , G, IR iR 3O , G, AR i DR O , G, R 0iR/W=R LAD (R3), R04．假设主脉冲源频率为10MHz ，要求产生5个等间隔的节拍脉冲，试画出时序产生器的逻辑图。
解：5．如果在一个CPU 周期中要产生3个节拍脉冲；T l ＝200ns ，T 2=400ns ，T 3=200ns ，试画出时序产生器逻辑图。
解：取节拍脉冲T l 、T 2、T 3的宽度为时钟周期或者是时钟周期的倍数即可。
所以取时钟源提供的时钟周期为200ns ，即，其频率为5MHz.；由于要输出3个节拍脉冲信号，而T 3的宽度为2个时钟周期，也就是一个节拍电位的时间是4个时钟周期，所以除了C 4外，还需要3个触发器——C l 、C 2、C 3；并令211C C T *=；321C C T *=；313C C T =，由此可画出逻辑电路图如下：6．假设某机器有80条指令，平均每条指令由4条微指令组成，其中有一条取指微指令是所有指令公用的。
随机信号分析基础第五章习题王永德答案
GZ (? ) ? F [RW (k)]
2
?? RZ (k)e? j? k k? 2
? 2 ? 4 (e? j? ? e j? ) ? 1 (e? j2? ? e j2? )
3
3
? 2 (3 ? 4cos ? ? cos 2? )
3
（3）解：
Yn
?
?
1 2
Yn ? 1
?
Xn
这是一个一阶AR过程，输出的自相关函数可
滑动平均 (MA)模型
q
? Yn ? bm Xn? m m? 0
自回归滑动平均 (ARMA)模型
p
q
? ? Yn ? alYn? l ? bm Xn? m
l?1
m? 0
5.30 （1）解：
Wn ? Xn ? Xn?1
显然这是一个一阶MA过程，该过程输出的自 相关函数满足下列方程
? RW (k)
?
? ? ?
H (z) ?
j?0 p
? ai z?i
i?0
不失一般性令 a0=1，则其差分方程为：
p
q
y(n) ? ? ai y(n ? i) ? ? bj x(n ? j)
i?1
j?0
差分方程为：Y(n) ? 0.8Y(n ? 1) ? X(n)
?
4 (? 9
1)k 2
5.31 解：要求差分方程
由题可知 GY (? ) ? G X (? ) H (? ) 2
得到：
H (? ) 2 ?
1
1.64 ? 1.6cos ?? NhomakorabeaH
(Z)
2
?
1.64
?
1 0.8 Z
?
随机信号分析习题答案(部分)
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f xd x k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
随机信号习题及答案
3.
⎧0 ⎪ 已知随机变量 X 的分布函数为： FX ( x) = ⎨kx 2 ⎪1 ⎩
x<0 0 ≤ x < 1 ，求：①系数 k；②X 落在区间 x >1
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 其它
（0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
4.
⎧e − ( x + y ) 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为： f ( x, y ) = ⎨ ⎩0
求：①
分布函数 FXY ( x, y ) ；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。
y x+y=1
0
x
5. （续上题）求③边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y ) ；④求边缘概率 f X ( x) 和 fY ( y ) 。 6. （ 续 上 题 ） ⑤ 求 条 件 分 布 函 数 FX ( x y ) 和 FY ( y x) ； ⑥ 求 条 件 概 率 密 度 f X ( x
103
9 若两个随机过程 X (t ) = A(t )cos t 和 Y (t ) = B(t )sin t 都是非平稳过程，其中 A(t ) 和 B (t ) 为相互独立，且 各自平稳的随机过程，它们的均值为 0 ，自相关函数 R A (τ ) = RB (τ ) = R (τ ) 。试证这两个过程之和
和 Y 的相关性及独立性。
11. 已知随机变量 X 的均值 m X = 3 ，方差 σ 2 X = 2 ，且另一随机变量 Y = −6 X + 22 。讨论 X 和 Y 的相关性和正交性。 12. 设随机变量 Y 和 X 之间为线性关系 Y = aX + b ，a、b 为常数，且 a ≠ 0 。已知随机变量 X 为正态分布，即：
随机信号分析(第3版)第五章习题及答案
5.1 求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。
RRC1C 2C 1C 2C 1R 2R题图5.1解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数 1/1()1/1j C H j R j C j RCωωωω==++ 第二个图中系统地传输函数 ()21112211/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+==++++ 第三个图中系统地传输函数()2222212111221212121122/1/()//1/1/R j C R j C R j R R C H j R j C R j C R R j R R C C R j C R j C ωωωωωωωωω++==++++++5.2若平稳随机信号)(t X 的自相关函数||2)(ττ-+=BeA R X ，其中，A 和B 都是正常数。
又若某系统冲击响应为()()wth t u t te -=。
当)(t X 输入时，求该系统输出的均值。
解： 因为[]()22X EX R A =∞=所以[]E X A A =±=±。
()()()()()20wt A E Y t E h X t d E X t h d A te dt wξξξξξ∞∞∞--∞-∞±⎡⎤=-==±=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 5.35.4 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。
求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。
解：首先我们求系统的频率响应()H j ω。
根据电路分析、信号与系统的知识，/1/11()()()1/1t RCj C H j h t e u t R j C j RCRCωωωω-==↔=++ 然后，计算)(t X 的均值与自相关函数，[]()1/2X m E X t ==[]{}(){}{}0000(,)cos cos X R t t EXt X t τωωτ+=++Φ+++Φ=⎡⎤⎣⎦()01/31/2cos ωτ+可见)(t X 是广义平稳的。
(完整word版)随机信号分析习题.(DOC)
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:（1）边沿密度)(x f X ,)(y f Y（2)条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。
(1）求Y 的可能取值 （2）确定Y 的分布. （3）求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1)X 与Y 不相关时的所有A 值。
（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量（X ，Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ,Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ，2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。
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5.8 解：由题可知，要求系统输出过程的均 值：
5.2.1.2（1）系统输出的均值
设X(t)是有界的平稳过程，其均值为mX，则
E[Y
(t)]
E
h( )X
(t
)d
h( )E[X (t )]d
mX
h( )d
(5.2.3)
显然，mY
E[Y (t)] mX
h( )d 是与时间无关的常数。
首先计算系统输入过程均值
已知有关系式： RX ( ) a2 be
lim
RX
(
)
mX2
a2
mX
a
E[Y (t)] mX
式中H(ω)是系统的传输函数，其模（绝对值）的平 方∣H(ω)∣2称之为系统的功率传输函数。
5.11 解：先求出输入电压的自相关函数
RX ( ) E[ X (t) X (t )]
E[(X0 cos(2t ))( X0 cos(2 (t ) )]
1 3
h( )d
a e d 0
a
mY
(t)
5.11 要求的是输出的自相关函数
系统所示的传函为：
h(t) (t)
1
t
e RC , H ()
j RC
RC
1 j RC
为求得输出的自相关函数，分别从时域和频 域可得两种方法。
RY ( ) RX ( ) h( ) * h( ) GY ( ) H ( ) 2 GX ( )
1 2
cos
2
记忆cos0的傅里叶逆变换结果{
(-0
)+
(+0
)}
RX ( ) FT GX ( )
所以输入的功率谱密度：
GX
பைடு நூலகம்
()
2
3
()
2
[
(
2
)
(
2
)]
(t)
1
cos 0t
sin(t / 2)
GY ( )d
1
2
sin2 T
2 N0
2 d 2
NT 0
4
5.18 解：要求互功率谱密度
5.2.2.2． 系统输入与输出之间的互谱密度
GXY () GX ()H ()
GYX () GX ()H ()
若输入随机信号为白噪声过程，其Gx(ω)=N0/2，则有
2
)]
RY
(
)
F
[GY
( )]
2 2R2C2 1 4 2R2C2
cos
2
5.16 解：要求传输函数和输出Z(t)的均方 值，由系统图可知：
Z t [X (t) X (t T)]*U(t)
X (t)*[ (t) (t T )]*U (t)
X (t)*[U (t) U (t T )]
5.11 从频域角度
5.2.2.1．系统输出的功率谱密度
若输入随机过程X(t)为平稳过程，则输出的自相关 函数为：
RY ( ) RX ( )*h( )*h( )
利用傅立叶变换，可得输出的功率谱密度
GY () H ()H ()GX () H () 2 GX ()
5.26 解：要求系统稳定
5.1.3 系统的稳定性与物理可实现的问题
对于物理可实现系统，当t<0时，有h(t)=0，所以有：
5.11 从时域角度
5.2.1.2（2）系统输出的自相关函数
RY (t,t ) RX ( 1 2 )h(1 )h( 2 )d1d 2 RY ( )
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
若随机输入过程X(t)是宽平稳的，那么线性时不变 系统的输出过程Y(t)也是宽平稳的随机过程。实际上， 对于严平稳随机过程结论同样也成立。若输入是各态 经历过程，输出也将是各态经历过程。
2 t / 2
ea
ea cos 0
1 , 1
0, else
1
2 ( )
( 0 ) ( 0 ) rect( )
2a
a2 2
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
sin2 ( )
GXY ( )
N0 2
H ()
GYX
( )
N0 2
H ()
因此当系统性能未知时：若能设法得到互谱密度，就可 由式(5.2.42)确定线性系统的的传输函数。
已知微分器传递函数为
H() j
所以： GXY () GX ()H () jGX ()
GY () H () 2 GX () 2GX ()
()
5.26 解：由题可知，所求的系统为一白化滤 波器，有：
把已知的有色噪声通过某系统后变为白噪声，这 个系统称为白化滤波器。
GY () H () 2 GX () 1
H ( ) 2
2 2
8 3
( (
8 j)( 3 j)(
8 j) 3 j)
所以传函为：
h(t) U (t) U (t T )
H ( )
F[h(t )]
T
sin(T
/
2)
exp(
jT
)
T / 2
2
（2）解：
GY ( )
H ( ) 2 GX ( )
N0 2
T
2
sin2 (T / 2) (T / 2)2
E[Z 2(t)] 1
2
5.23 解：要求自相关函数和功率谱密度
由图可知： Z(t) X (t)Y (t)
RZ ( ) E[Z(t)Z(t )] E[X (t)Y(t)X (t )Y(t )] RX ( )RY ( )
由维纳辛钦定理可得：
GZ
( )
F[RZ
(
)]
1
2
GX
( ) * GY
2
(
)2
2
从计算复杂度考虑，我们从频域的角度来计 算输出的自相关函数
GY () H () 2 GX ()
1
2R2C2 2 R2C
2
[
2
3
(
)
2
(
2
)
2
(
2
)]
1 2
4 2R2C2 1 4 2R2C2
[
(
2
)
(