2020-2021学年上海市嘉定区第一中学高二上学期第一阶段考试数学试题(解析版)

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2020-2021学年上海市嘉定区高二(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年上海市嘉定区高二（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．（4分）直线x+y+1＝0的一个方向向量是．2．（4分）经过点（﹣1，﹣1）且与直线x+3y+4＝0垂直的直线的点法向式方程为．3．（4分）直线l1：2x+（m+1）y+4＝0与直线l2：mx+3y﹣2＝0平行，则m的值为．4．（4分）设向量＝（1，﹣2），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为．5．（4分）已知，则与方向相同的单位向量＝．6．（4分）直线l的一个方向向量＝（1，2），则l与直线x﹣y＝0的夹角大小为．（用反三角函数表示）7．已知||＝1，||＝2，向量与的夹角为60°，则|+|＝．8．已知点（3，1），（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，则a的取值范围是．9．已知无穷等比数列{a n}的各项和为4，则首项a1的取值范围是．10．如图，已知，与的夹角为60°，与的夹角为30°，，用，表示，则＝．11．定义是向量和的“向量积”，它的长度，其中θ为向量和的夹角，若，，则＝．12．设函数，点A0表示坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），若向量＝++…+，θn是与的夹角，（其中），设S n＝tanθ1+tanθ2+…+tanθn，则＝．二、选择题（共4小题）.13．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则的值为（）A．20B．﹣20C．D．14．数列通项a n＝（1﹣2x）n，若存在，则x的取值范围是（）A．B．C．[0，1]D．[0，1）15．直线l过点A（4，1），B（3，a2）（a∈R）两点，则直线l的倾斜角的取值范围为（）A．B．C．D．16．已知，，是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（）①；②；③；④．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题满分0分）本答题共有5题，解答下列各题必须在答题相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．已知三角形的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（1）求BC边上的高所在直线的方程．（2）求BC边上中线所在直线的方程．18．已知向量，，当k为何值时，（1）；（2）；（3）与的夹角为钝角．19．已知向量满足，其中k＞0，（1）试用k表示，并求出的最大值及此时的夹角为θ的值；（2）当取得最大值时，求实数λ，使的值最小，并对这一结果作出几何解释．20．过点P（4，1）作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；（Ⅱ）当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程．21．如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k＝1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且，当P变化时，求|OT|的取值范围．参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）直线x+y+1＝0的一个方向向量是（1，﹣1）．【分析】由题意利用直线的方向向量的定义，求得结果．解：直线x+y+1＝0的一个法向量为（1，1），故它的一个方向向量是（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．2．（4分）经过点（﹣1，﹣1）且与直线x+3y+4＝0垂直的直线的点法向式方程为3（x+1）﹣（y+1）＝0．【分析】先求出要求直线的一个法向量，可得它的方程．解：由于直线x+3y+4＝0 一个法向量为（1，3），故它的一个方向向量为（3，﹣1），故经过点（﹣1，﹣1）且与直线x+3y+4＝0垂直的直线的一个法向量为（3，﹣1），故要求直线的点法向式方程为3（x+1）﹣1×（y+1）＝0，故答案为：3（x+1）﹣（y+1）＝0．3．（4分）直线l1：2x+（m+1）y+4＝0与直线l2：mx+3y﹣2＝0平行，则m的值为﹣3或2．【分析】根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值．解：∵直直线l1：2x+（m+1）y+4＝0与直线l2：mx+3y﹣2＝0平行，∴，解得m＝2或﹣3，故答案为﹣3或24．（4分）设向量＝（1，﹣2），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为﹣1．【分析】根据投影的定义，应用公式向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞＝求解．解：向量＝（1，﹣2），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．5．（4分）已知，则与方向相同的单位向量＝（﹣，）．【分析】求出向量的模，然后求解单位向量．解：，∴||＝＝2，∴与方向相同的单位向量的坐标为：（﹣，）故答案为：（﹣，）．6．（4分）直线l的一个方向向量＝（1，2），则l与直线x﹣y＝0的夹角大小为arctan．（用反三角函数表示）【分析】直线l的一个方向向量＝（1，2），可得斜率k＝2，倾斜角为θ，tanθ＝2．直线x﹣y＝0的斜率为1，倾斜角为．可得l与直线x﹣y＝0的夹角α满足：tanα＝tan （θ﹣），即可得出．解：直线l的一个方向向量＝（1，2），可得斜率k＝2，倾斜角为θ，则tanθ＝2．直线x﹣y＝0的斜率为1，倾斜角为．则l与直线x﹣y＝0的夹角α满足：tanα＝tan（θ﹣）＝＝＝．∴l与直线x﹣y＝0的夹角大小为arctan．故答案为：arctan．7．已知||＝1，||＝2，向量与的夹角为60°，则|+|＝．【分析】由题意可得＝1，再根据|+|＝，计算求得结果．解：由题意可得＝||•||•cos60°＝1×2×＝1，∴|+|＝＝＝＝，故答案为：．8．已知点（3，1），（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，则a的取值范围是﹣7＜m ＜24．【分析】点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，那么把这两个点代入3x﹣2y+a，它们的符号相反，乘积小于0，求出a的值．解：因为点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，所以，（3×3﹣2×1+a）[3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0，即：（a+7）（a﹣24）＜0，解得﹣7＜a＜24故答案为：﹣7＜a＜24．9．已知无穷等比数列{a n}的各项和为4，则首项a1的取值范围是（0，4）∪（4，8）．【分析】由无穷等比数列{a n}的各项和为4得，，|q|＜1且q≠0，从而可得a1的范围．解：由题意可得，，|q|＜1且q≠0a1＝4（1﹣q）∴0＜a1＜8且a1≠4故答案为：（0，4）∪（4，8）10．如图，已知，与的夹角为60°，与的夹角为30°，，用，表示，则＝2+2．【分析】由图可知，OC在角∠AOB的内部，利用向量的加法法则即可得出答案．解：由图可知，过点C作直线OB的平行线，交OA所在的直线于点D，则，在三角形△OCD中，|OC|＝2，∠COD＝∠OCD＝30°，∴|OD|＝|DC|＝2，∴，故答案为：，11．定义是向量和的“向量积”，它的长度，其中θ为向量和的夹角，若，，则＝2．【分析】先利用向量的减法运算求出的坐标，然后代入公式计算即可．解：因为，，所以故＝（1，），，，．所以cos＜＞＝＝，故θ＝．结合公式，所以＝2×2•sin60°＝．故答案为：．12．设函数，点A0表示坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），若向量＝++…+，θn是与的夹角，（其中），设S n＝tanθ1+tanθ2+…+tanθn，则＝1．【分析】设函数，点A0表示坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），则能推导出S n＝，由此能导出．解：设函数，点A0表示坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），若向量＝，θn是与的夹角，（其中），设S n＝tanθ1+tanθ2+…+tanθn＝，则＝1．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则的值为（）A．20B．﹣20C．D．【分析】运用向量的数量积的定义，注意向量的夹角必须起点相同，计算即可得到．解：•＝||•||•cos（180°﹣60°）＝﹣ab cos60°＝﹣5×8×＝﹣20．故选：B．14．数列通项a n＝（1﹣2x）n，若存在，则x的取值范围是（）A．B．C．[0，1]D．[0，1）【分析】由数列的通项及极限的性质知，此数列的底数一定[0，1）上的数，由此关系建立不等式求出x的取值范围解：由题意数列通项a n＝（1﹣2x）n（x∈R），若存在∴﹣1＜1﹣2x≤1解得0≤x＜1x的取值范围是[0，1）故选：D．15．直线l过点A（4，1），B（3，a2）（a∈R）两点，则直线l的倾斜角的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，0≤θ≤π，根据斜率的计算公式，可得AB的斜率为K ＝＝1﹣a2，进而可得K的范围，由倾斜角与斜率的关系，可得tanθ≤1，进而由正切函数的图象分析可得答案．解：设直线AB的倾斜角为θ，0≤θ≤π，根据斜率的计算公式，可得AB的斜率为K＝＝1﹣a2，易得k≤1，由倾斜角与斜率的关系，可得tanθ≤1，由正切函数的图象，可得θ的范围是[0，]∪（，π），故选：D．16．已知，，是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（）①；②；③；④．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用向量数量积的性质及垂直平行的性质逐个判断．解：对于①：举反例，＝（1，0），＝（0，1），，但是，即⇒是错误的，故①不成立；对于②：举反例，＝（0，1），＝（1，0），＝（2，3），＝＝1，但是＝3，＝2，即⇒＝是错误的，故②不成立；对于③：＝⇔＝⇔＝0⇔，故③成立；对于④：＝⇔＝⇔|cosθ|＝0⇔θ＝0或θ＝π⇔，故④正确．综上所述成立的个数是2个，故选：B．三、解答题（本大题满分0分）本答题共有5题，解答下列各题必须在答题相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．已知三角形的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（1）求BC边上的高所在直线的方程．（2）求BC边上中线所在直线的方程．【分析】（1）求出BC的斜率，可得BC边上的高的斜率，利用点斜式，可求BC边上的高所在直线的方程；（2）求出AB中点坐标，利用点斜式，可求与BC边平行的三角形中位线所在直线的方程．解：（1）∵B（6，7）、C（0，3），∴BC的斜率是＝∴BC边上的高的斜率为﹣∴BC边上的高所在直线的方程为y＝﹣（x﹣4），即3x+2y﹣12＝0；（2）AB中点坐标为（5，），BC的斜率是＝∴与BC边平行的三角形中位线所在直线的方程为y﹣＝（x﹣5），即4x﹣6y+1＝0．18．已知向量，，当k为何值时，（1）；（2）；（3）与的夹角为钝角．【分析】（1）利用两向量共线的充要条件列出方程求出k（2）利用向量垂直的充要条件数量积为0列出方程求出k值（3）利用熄了灯数量积表示向量的夹角值向量的夹角为钝角等价于数量积为负且不反向．解：（1）⇔6k＝﹣6解得k＝﹣1；（2）⇔⇔﹣18+2k＝0解得k＝9；（3）所成角θ是钝角⇔解得k＜9，k≠﹣119．已知向量满足，其中k＞0，（1）试用k表示，并求出的最大值及此时的夹角为θ的值；（2）当取得最大值时，求实数λ，使的值最小，并对这一结果作出几何解释．【分析】（1）由已知可得＝﹣（），利用基本不等式可得＝，故≤﹣，此时，＝﹣＝1×1cosθ，θ＝120°．（2）当取得最大值时，＝﹣＝，故当λ＝时，的最小值等于，这一结果的几何解释：平行四边形OABC中，OA＝1，∠AOC＝120°，当且仅当OC＝时，对角线OB最短为．解：（1）∵||＝||＝1，，∴﹣2k+＝3k2+6k+3 ，∴1﹣2k+k2＝3k2+6k+3，∴＝﹣（）．∵＝，∴≤﹣，当且仅当，即k＝1时，取等号．此时，＝﹣＝1×1cosθ，∴θ＝120°．（2）当取得最大值时，＝﹣，＝＝＝，故当λ＝时，的最小值等于＝，这一结果的几何解释：平行四边形OABC中，OA＝1，∠AOC＝120°，当且仅当OC＝时，对角线OB最短为．20．过点P（4，1）作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；（Ⅱ）当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程．【分析】直线l的方程为，因为直线l过点P（4，1），从而有对于（Ⅰ），由基本不等式的性质可得，即ab≥16，进而结合三角形面积公式计算可得答案；对于（Ⅱ），|OA|+|OB|＝a+b＝（a+b）（+），结合基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，设直线l的方程为，因为直线l过点P（4，1），从而有（Ⅰ）因为，由基本不等式可得，即ab≥16，当且仅当，即a＝8，b＝2等号成立，此时△AOB的面积刚好取得最小值，此时直线l的方程为，即x+4y﹣8＝0（Ⅱ）因为当且仅当，即a＝6，b＝3等号成立．此时直线l的方程为，即x+2y﹣6＝0．21．如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k＝1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且，当P变化时，求|OT|的取值范围．【分析】（1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值；（2）直线OA的方程为kx﹣y＝0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用△OMP的面积为，求k的值；（3）设直线OA的倾斜角为α，求出|OM|，|ON|，利用S△MON＝，可得P变化时，动点T轨迹方程，求出|OT|，即可求|OT|的取值范围．解：（1）∵，∴|OP|＝，∵OA的方程为y＝x，即x﹣y＝0，点P到直线的距离为＝，∴|OM|＝＝；（2）直线OA的方程为kx﹣y＝0，P（2，1）到直线的距离为d＝，∴|OM|＝，∴△OMP的面积为××＝，∴；（3）设M（x1，kx1），N（x2，﹣kx2），T（x，y），x1＞0，x2＞0，k＞0，设直线OA的倾斜角为α，则，根据题意得，代入化简得动点T轨迹方程为．∴，当且仅当时，|OT|取得最小值．∴|OT|的取值范围是．。

2020-2021学年上海市嘉定区第一中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市嘉定区第一中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．下列命题正确的是（） A ．00a b a ⋅=⇔=或0b = B ．()()a b c b c a ⋅=⋅ C ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅ D ．a c a b b c =⇔⋅=⋅【答案】C【分析】由向量的数量积运算，逐一判断即可得出结果. 【详解】A.当a b ⊥时，可得=0a b ，故A 不正确；B. ()a b c 是与c 方向相同的向量，()b c a 是与a 方向相同的向量，故B 不正确；C. ()a b c a b a c +=+向量数量积的分配律，故C 正确；D. =cos ,a b a b a b ，当a 与b 的夹角、b 与c 的夹角不同时不成立，故D 不正确. 故选：C2．已知e ，f 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n e a n ⋅=，21n f a n ⋅=+，n b 是向量f 与n a 夹角的正切值，则数列{}n b 是． A ．单调递增数列且1lim 2n n b →∞=B ．单调递减数列且1lim 2n n b →∞=C ．单调递增数列且lim 2n n b →∞= D ．单调递减数列且lim 2n n b →∞= 【答案】A【分析】设()1,0f =，()0,1e =，(),n n n a x y =，设向量f 与n a 夹角为n θ,则可求n x ，n y ，则可得到tan 21n n n n y n b x n θ===+，从而得到答案. 【详解】设()1,0f =，()0,1e =，(),n n n OP a x y ==，设向量f 与n a 夹角为n θ. 则tan n n b θ=，(),n n P x y 由n e a n ⋅=，可得n y n =，由21n f a n ⋅=+，可得21n x n =+所以tan 21n n nn y n b x n θ===+ 所以()()()+111021*******n n n n b b n n n n +-=-=>+++++所以数列{}n b 是单调递增数列，又1lim lim 122n n n n b n →∞→∞=+=.故选：A【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和运算和数列极限，关键是根据直条件将所求问题坐标化，属于中档题.3．已知椭圆22:1(0)2x y E m m m+=>的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则椭圆E 的方程为（）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y +=【答案】A【分析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(),0F c 代入椭圆方程得221122221212x y mmx y mm⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减整理得到1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，再根据AB 的中点坐标为（1，-1），有122x x +=，122y y +=-代入上式，利用概率公式求解.【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(),0F c所以221122221212x y mmx y m m⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减得2222221202x x y y m m --+=，∴1212121202x x yy y y m x x m +-++⋅=-，即1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，又∵122x x +=，122y y +=-，所以121210111AB y y k x x c c ---===---，即1112c =-，解得3c =，又22c m m =-， ∴9m =．即椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：A ．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及点差法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①a 1+c 1=a 2+c 2；②a 1-c 1=a 2-c 2；③c 1a 2＞a 1c 1；④31c c ＜22c a ．其中正确式子的序号是A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【详解】由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选B ．二、填空题5．等差数列{}n a 中，25a =，633a =，则35a a +=________ 【答案】38【分析】直接根据等差数列的性质求解即可.【详解】因为等差数列{}n a 中，25a =，633a =，所以352638a a a a +=+=，故答案为：38.6．若双曲线的一个顶点坐标为()3,0,焦距为10,则它的标准方程为________.【答案】221916x y -=【分析】根据顶点坐标求得a ,根据焦距求得c ,进而根据2b =22c a -求得b ,进而求得双曲线的标准方程.【详解】依题意可知a =3,c =5∴ 4b ==根据顶点坐标可知焦点在x 轴,∴ 双曲线的方程为221916x y -=.故答案为：221916x y -=【点睛】本题考查了由,,a b c 求双曲线的标准方程，需熟记222c a b =+，属于基础题. 7．若a 与b 的夹角为6π，2a =，3b =，则a b -=________.【答案】1【分析】利用平面向量数量积的运算性质求得2a b -，进而可求得a b -的值.【详解】由平面向量数量积的定义可得cos233a b a b π⋅=⋅==， ()22222222331a b a ba ab b -=-=-⋅+=-⨯+=，因此，1a b -=.故答案为：1.8．已知(1,2)A ，()2,3B 以及点(2,5)C -，则ABC 的面积为______．【答案】3【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可.【详解】22(21)(32)AB=-+-=,||BC ===||AC ===222||||AC AB BC ∴+=,1=2S ∴⨯，故答案为：39．若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =________【答案】2-【分析】根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果. 【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，所以24024m m m m ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得：2m =-.故答案为：2-【点睛】本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.10．(1,0)M ，(1,0)N -，直线2x y b +=与线段MN 相交，则实数b 的取值范围是______．【答案】[]22-,【分析】分别求出当直线2x y b +=过点M 和点N 时b 的值，从而得出b 的范围. 【详解】当直线2x y b +=过点(1,0)M 时，2b =；当直线2x y b +=过点(1,0)N -时，2b =-；如图所示，若直线2x y b +=与线段MN 相交时，只需2x y b +=的截距在过点N 和点M 的两条直线的截距之间即可，故实数b 的取值范围为：[]22-,.故答案为：[]22-,. 11．在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为____________. 【答案】3【分析】由正弦定理可得2BC AB AC +=，结合椭圆的定义可得点B 的轨迹方程，即可得解.【详解】因为sin sin 2sin A C B +=，4AC =，所以28BC AB AC AC +==>，所以点B 的轨迹是以A 、C 为左右焦点，长轴长28a =的椭圆（不在x 轴上），该椭圆焦距24c =，所以22212b a c =-=，所以点B 的轨迹方程为()22101612x y y +=≠，当0x =时，23y =±，所以ABC 面积的最大值max 1423432S =⨯⨯=故答案为：43【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理转化条件为2BC AB AC +=，再结合椭圆的定义即可得解.12．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于________. 【答案】43．【详解】试题分析：显然两切线1l ，2l 斜率都存在．设圆222x y +=过()1,3的切线方程为()31y k x -=-，则圆心()0,0到直线30kx y k -+-=的距离等于半径，=127, 1.k k =-=由夹角公式得1l 与2l 的夹角的正切值：12124tan 13k k k k θ-==+．【解析】1.直线与圆的位置关系（相切）；2.两直线的夹角公式．13．已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(0,)A m ，()(0,)0B m m ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 取值范围是______．【答案】[4,6]【分析】先求出圆C 的圆心C （3,4），半径r =1，分析出点P 在以AB 为直径的圆上，此圆的半径为12AB m =，要使圆C 上存在点P ，只需两圆有公共点，只需151m m -≤≤+，即可求出m.【详解】圆22:(3)(4)1C x y -+-=的圆心C （3,4），半径r =1. ∵圆心C 到原点O 的距离为5，∴圆C 上的点到原点O 的距离的最大值为6，最小值为4，再由90APB ∠=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，此圆的半径为12AB m =，当两圆外切时，15m +=，解得m =4；当两圆内切时，15m -=，解得m =6；要使圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，只需两圆有公共点，所以46m ≤≤. 故m 取值范围是[4,6]. 故答案为：[4,6]【点睛】圆C 1和圆C 2 的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，圆与圆的位置关系由5种：（1）相离d R r ⇔>+；（2）相外切d R r ⇔=+；（3）相交||R r d R r ⇔-<<+；（4）相内切||d R r ⇔=-；（5）相内含||d R r ⇔<-.14．P 为椭圆2211615x y +=上任意点，EF 为圆()22:14N x y -+=的任意一条直径，则PE PF ⋅最大值为______．【答案】21【分析】设点(),P x y ，则22151516y x =-且44x -≤≤，计算得出()2116416P x E PF =-⋅-，利用二次函数的基本性质可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】圆()22:14N x y -+=的圆心为()1,0N ，半径长为2，设点(),P x y ，则22151516y x =-且44x -≤≤， PE PN NE =+，PF PN NF PN NE =+=-，所以，()()()222214P PN NE PN NE P PN NE x y E F =+⋅-=-=--⋅+()2222151121154212164161616x x x x x x =-++--=-+=--，所以，当4x =-时，PE PF ⋅取得最大值，即()()2max 148122116PE PF =⨯-+=⋅+. 故答案为：21.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．15．已知实数x ，y 满足()2269x y +-=的取值范围是______.【答案】[]1,2【分析】设(),P x y 为圆()2269x y +-=上任意一点，构造直线0x +=，分别求得点P 到直线的距离PM ，P 到原点的距离PO ，将问题转化为==∠22sin PMPOM PO求解.【详解】如图所示：设(),P x y 为圆()2269x y +-=上任意一点，点P 到直线30x +=的距离为3x yPM +=，点P 到原点的距离为22PO x y =+223x y x y ++==∠22sin PMPOM PO，当圆()2269x y+-=与直线y kx =相切时，=+2631k，解得3k =所以POM ∠最小值为30，最大值为90，所以≤∠≤1sin 12POM ，即≤∠≤12sin 2POM ， 223x y x y++的取值范围是[]1,2，故答案为：[]1,2【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，距离公式的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.16．设*k ∈N ，已知平面向量1212,,,,,k a a b b b ，两两不同，121a a -=，且对任意的1i =，2以及1,2,,j k =，都有|{1,2,3}i j a b -∈∣，则k 的最大值为_______．【答案】10【分析】设1(0,0)a =，2(0,1)a =，(,)j b x y =，根据题意列方程，根据圆圆交点，利用数形结合求出k 的最大值．【详解】解：设1(0,0)a =，2(0,1)a =，(,)j b x y =，对任意的1i =，2及1j =，2，⋯，k ，||{1i j a b -∈，2，3}，所以221x y +=或222x y +=或223x y +=，22(1)1x y +-=或22(1)2x y +-=或22(1)3x y +-=，画出方程表示的6个圆，如图所示：所以k 的最大值为这6个圆的交点个数总和，共有10个．故答案为：10．【点睛】本题考查了向量的性质与应用问题，也考查了圆的方程与转化思想，解答的关键是数形结合转化求解．三、解答题17．已知向量(1,2)a =，(),1b x =．（1）2u a b =+，2v a b =-，且//u v ，求x ；（2）若a ，b 的夹角为锐角，求实数x 的取值范围．【答案】（1）12；（2）112,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）利用向量的加法法则计算出u 和v ，然后运用向量间的平行关系求解出x ；（2）若a ，b 的夹角为锐角时，则0a b ⋅>，且,a b 不共线，利用向量的数量积坐标运算法则求解即可；【详解】解：（1）()()()21,22,121,4u a b x x =+=+=+，()()()22,4,12,3v a b x x =-=-=-；当//u v 时，()()32142x x +=-，解得：12x =. （2）若a ，b 的夹角为锐角，则20a b x ⋅=+>，得2x >-，又,a b 不共线，所以12x ≠，所以x 的取值范围是112,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：112,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】易错点点睛：两个向量夹角为锐角时，不仅注意数量积大于零，还要去掉共线时的值.方法点睛：设向量11,ax y ，22,bx y ，则当//a b 时，1221x y x y =，当1212a b x x y y ⋅=+.18．,m n 为已知实数，直线1l 的方程为(1)+280m x my m --=，直线2l 的方程为(21)+440n x ny n --=.（1）讨论直线1l 与2l 的位置关系；（2）当直线1l 与2l 平行时，求这两条平行线的距离的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）3.【分析】（1）转化条件为方程组解的个数，按照系数行列式0D ≠、0D =分类，即可得解；（2）求出直线所过定点即可得解.【详解】（1）由题意，列方程组(1)28(21)44m x my mn x ny n-+=⎧⎨-+=⎩，因为12444+22(2)214m m D mn n mn m m n n n-==--=--，①当0D ≠即2m n ≠时，12,l l 相交； ②当0D =即2m n =时，(21)416(21)44n x ny nn x ny n-+=⎧⎨-+=⎩，（i ）当20m n ==时，12,l l 重合；（ii ）20m n =≠时，12l l //；（2）当12l l //时，20m n =≠，此时1:(21)4160l n x ny n -+-=恒过点()0,4A ，2:(21)440l n x ny n -+-=恒过点()0,1B ，所以当12,l l 与线段AB 垂直时，12,l l 这两条平行线的距离最大，最大值为3AB =. 19．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸.（1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；（2）求经过F ，且与直线FO 夹角为4π的直线被椭圆截得的弦长. 【答案】（1）22143x y +=；（2）247. 【分析】（1）建立直角坐标系后，由椭圆的定义即可得解；（2）联立方程组，由韦达定理结合弦长公式即可得解.【详解】（1）如图，以FO 所在的直线为x 轴，FO 的中点M 为原点建立平面直角坐标系，设(),P x y 为椭圆上一点，由题意可知+==4PF PO AO 且=2FO ，所以P 点轨迹以F ，O 为左右焦点，长轴长24a =的椭圆，因为22,24c a ==，所以1,2c a ==，2223b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）如图，不妨令过()1,0F -的直线交椭圆于C ，D 且倾斜角45︒，所以直线:1CD y x =+，设()()1122,,,C x y D x y ，联立2234121x y y x ⎧+=⎨=+⎩，消元得27880x x +-=，0∆>，所以121288,77x x x x +=-=-，所以247CD ===. 20．已知数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，记n S 为其前n 项和（1）若2a ，3a ，6a 依次成等比数列，求其公比q ；（2）若11a =，()*,n n S OP n n n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，求证：点n P 都在同一条直线上；（3）若11a =，12d =，()*2,n n n a S OQ n n n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，是否存在一个半径最小的圆，使得对任意*n ∈N ，点n Q 都在这个圆内或圆周上，如果存在，写出这个圆的方程；如果不存在，说明理由．【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）存在，222x y +=. 【分析】（1）根据2a ，3a ，6a 依次成等比数列解方程即可求出q ；（2）利用向量的运算可知量m n P P 与(2,)b d =共线即可求证；（3）计算2n OQ ，根据二次函数可得22n OQ ≤，可知存在半径最小的圆222x y +=满足题意.【详解】（1）因为2a ，3a ，6a 依次成等比数列，所以2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++，因为0d ≠，所以12d a =-，所以323a q a ==．（2）因为,,,n m n m m n n m S S S S P P OP OP n m n m n m n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而11(1)(1)222n m S S n d m d n ma a d n m ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 ,(2,)222m n n m n m n m P P n m d d b ---⎛⎫=-=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，所以向量m n P P 与(2,)b d =共线，所以点n P 都在同一条直线上．（3）因为11a =，12d =所以1111(1)222n a n n =+-⋅=+，2344n n S n =+所以()222222242411(1)3216n n nn n n a S OQ n n n n ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=+=+24324251413113141317151616161313n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1n ≥，所以101n<≤，所以2131712161313n ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1n =时取等号，所以22nOQ ≤，即2n OQ ≤，所以存在半径最小的圆222x y +=满足题意．【点睛】关键点点睛：利用向量的运算结合数列的性质及运算，证明点n P 都在同一条直线上，根据向量的模的运算确定是否存在符合条件的圆，属于较难题目.21．已知椭圆Γ：2222x y 1(a b 0)a b+=>>的长轴长为22，右顶点到左焦点的距离为21+，直线l ：y kx m =+与椭圆Γ交于A ，B 两点．()1求椭圆Γ的方程；()2若A 为椭圆的上项点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，连接OM 并延长交椭圆Γ于N ，6ON OM =，求k 的值． ()3若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=，当45λ56≤≤时，求OAB 的面积S的范围．【答案】（1）22x y 12+=；（2）12±；（3）5⎣⎦. 【分析】()1先根据已知条件可求出a 、c 的值，结合a 、b 、c 的值可得出b 的值，进而可求出椭圆Γ的标准方程；()2先得出直线l 的方程为y kx 1=+，将直线l 的方程代入椭圆方程可求出点B 的坐标，利用中点坐标公式可得出点M 的坐标，根据已知条件可得出点N 的坐标，再将点N 的坐标代入椭圆的方程，即可求出k 的值；()3利用原点O 到直线l 的距离可得出22m k 1=+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将韦达定理代入λ，结合λ的取值范围可得出2k 的取值范围，并求出线段AB 的长度的表达式，可求出AB 的取值范围，再利用三角形的面积公式可求出S 的取值范围．【详解】()1由题意可知，2a =a =因为右顶点到左焦点的距离为a c 1+=，所以，c 1=，则b 1==，因此，椭圆Γ的方程为22x y 12+=；()2当点A 为椭圆的上顶点时，点A 的坐标为()0,1，则m 1=，直线l 的方程为y kx 1=+，将直线l 的方程代入椭圆的方程并化简得()222k 1x 4kx 0++=，解得1x 01y 1=⎧=⎨⎩，22224k x 2k 112k 2k 1y ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以点B 的坐标为2224k 12k ,2k 112k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，由于点M 为线段AB 的中点，则点M 的坐标为222k 1,2k 12k 1⎛⎫-⎪++⎝⎭，由于6ON OM =，所以，点N的坐标为22k 1⎛ +⎝⎭，将点N的坐标代入椭圆的方程得()222(2k 1[]1222k 1++=+，化简得()23122k 1=+，解得1k 2=±；()3由于点O 到直线l 的距离为11=，所以，22m k 1=+．设点()11A x ,y 、()22B x ,y ，将直线l 的方程代入椭圆方程并化简得()2222k1x 4kmx 2m 20+++-=，由韦达定理可得1224km x x 2k 1+=-+，21222m 2x x 2k 1-=+， ()()12121212OA OB λx x y y x x kx m kx m ⋅==+=+++()()()()2222222121222k 12m 24k mk 1x x km x x mm 2k 12k 1+-=++++=-+++()222222223k 12k 23m 2k 2k 12k 12k 12k 1+----+===+++，由于45λ56≤≤，即224k 1552k 16+≤≤+，解得211k 43≤≤，线段AB的长为12AB x x =-=====⎣⎦，所以，11S AB 1AB 22=⋅=∈⎣⎦．．因此，OAB的面积S的取值范围是5⎣⎦【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆中的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题．。

上海市嘉定区第一中学2020-2021学年高二上学期第一阶段考试数学试题(教师版)

高二数学试卷一､填空题1. 2213lim n n n→∞+=______ ．【答案】3 【解析】【分析】根据极限的运算法则，即可求解.【详解】由22221311lim lim 3lim 33n n n n n n n →∞→∞→∞+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭. 故答案为：3.2. 已知()1,a k =，()2,3b =，若a 与b 平行，则k =________. 【答案】32【解析】【分析】直接利用向量平行公式计算得到答案.【详解】()1,a k =，()2,3b =，a 与b 平行，则3322k k =∴= 故答案为：32【点睛】本题考查了向量的平行，属于简单题.3. 方程组2130x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为______．【答案】211310⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】【分析】利用增广矩阵的定义即可求解.【详解】方程组的增广矩阵为其系数以及常数项构成的矩阵，故方程组2130x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为211310⎛⎫⎪-⎝⎭，故答案为：211310⎛⎫⎪-⎝⎭4. 在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S =______．【答案】88. 【解析】【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】因为{}n a 是等差数列，所以()()111481*********88222a a a a S ++⨯====，故答案为：88. 5. 若1324A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1233B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则2A B -=______．【答案】34111⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由矩阵的性质进行计算即可.【详解】13263424412122233381311A B ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎪--⎝⎭⎝⎭⎭故答案为：34111⎛⎫⎪⎝⎭6. 已知()111111234212f n n n=++++++-，则()()1f n f n +-=______．【答案】112122n n +++ 【解析】【分析】由题意得出()1f n +，再由()()1f n f n +-得出答案.【详解】()1111111112342122122f n n n n n +=++++++++-++ ()()1121122n n n n f f +=+∴++- 故答案为：112122n n +++ 7. 已知ABC 是边长为1的等边三角形，P 为边BC 上一点，满足2PC BP =，则BA AP ⋅=______．【答案】56- 【解析】【分析】利用平面向量的线性运算以及数量积的定义即可求解.【详解】因为2PC BP =，所以13BP BC =， ()2213BA AP BA BP BA BA BP BA BA BC BA ⋅=⋅-=⋅-=⋅-221115cos601113326BA BC BA =⨯-=⨯⨯⨯-=-，故答案为：56-8. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且24n S n =+，n *∈N ，则n a =______．【答案】5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩，n *∈N【解析】【分析】根据数列的前n 项和，由11,2n n n S S n a S --≥⎧=⎨⎩，即可求出结果.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n =+，n *∈N ，当2n ≥时，()22141421n n n a S S n n n -=-=+---=-；又211145a S ==+=不满足上式，所以5,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，n *∈N .故答案为：5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩，n *∈N9. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q =___________．【解析】【分析】无穷等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，不合题意；要使()34lim n n a a a →∞+++存在，必须(1,0)(0,1)q ∈-⋃，求出极限，解方程即可．【详解】由题：无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，341(2)n a a a n a +++=-，不满足()134lim n n a a a a →∞=+++；所以1q ≠，2334(1)1n n a a a a q q-+++=--，极限()34lim n n a a a →∞+++存在，即(1,0)(0,1)q ∈-⋃，()23334(1)lim lim 11n n n n a q a a a a q q -→∞→∞⎛⎫-+++== ⎪--⎝⎭，即2111a q a q=-，化简得：210q q +-=，解得：12q -=，(1,0)(0,1)q ∈-⋃所以12q -=．【点睛】此题考查等比数列之和极限的应用，根据对数列极限讨论，求出基本量的关系． 10. 已知点()11,1P ，()27,4P ，点P 分向量12PP 的比是12，则向量1PP 在向量()1,1a =-方向上的投影为______．【答案】2【解析】【分析】根据点P 分向量12PP 的比是12，11213PP PP =，求出向量1PP的坐标，利用投影的计算公式即可求解. 【详解】因为点P 分向量12PP 的比是12，即()()112116,32,133PP PP ===，因为()1,1a =-()121111PP a ⋅=⨯-+⨯=-，所以向量1PP 在向量()1,1a =-方向上的投影为122PP a a ⋅==，11. 在ABC ∆中,,120CB a CA b ACB ==∠=，，若点D 为ABC ∆所在平面内一点,且满足条件:①()()1CD CB CA R λλλ=+-∈；②()CD bCB aCA +，则CD =________(用a b 、表示).【答案】aba b+ 【解析】【分析】由①②可知,CD 为ACB ∠的角平分线，利用,,ABC BCD ACD ∆∆∆的面积关系，即可求出CD . 【详解】()()1CD CB CA R λλλ=+-∈，(),CD CA CB CA AD AB λλ∴-=-∴=,AD AB ∴共线，且有一公共点，,,A B D ∴三点共线，即D 在AB 边上.由()CB CA bCB aCA ab a b+=+=()||||CB CA ab CB CA +||||CB CACB CA +向量在ACB ∠的角平分线上， ()CD bCB aCA +∥，所以CD 为ACB ∠的角平分线.060ACD BCD ∴∠=∠=00,11sin120||sin 60(),22ABC ACD BCD S S S a b CD a b ∆∆∆=+∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+ abCD a b ∴=+. 故答案为:aba b+ 【点睛】本题考查平面向量的几何意义,考查模长,三角形的面积,常用向量所表示的几何意义熟练掌握是解题的关键,属于中档题.12. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意的n *∈N ，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”，则以下{}n a 为“T 数列”的是______． ①{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <； ②若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <； ③若()212n nn a n n +=+；④若11a =，()210nn n a a ++-=．【答案】②③ 【解析】【分析】对于①②③④中的数列，分别求前n 项和n S ，判断是否存在实数A ，使得对任意的n *∈N ，都有n S A <，即可判断该数列是否为“T 数列”，即可得正确答案.【详解】对于①：{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，由等差数列的前n 项和公式可得：()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，当n 无限大时，n S 也无限大，所以数列{}n a 不是 “T 数列”，故①不正确；对于②：若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <；所以()11111112111111n n n n a q a a q a a q a S qq q q q q-==-<+<------，满足“T 数列”的定义，故②正确；对于③：()()121112212n n n n n a n n n n ++==-+⋅+⋅，所以()()122311111111111122222322122122n n n n S n n n ++=-+-++-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅所以数列()212n nn a n n +=+是“T 数列”，故③正确；对于④：在数列{}n a 中，11a =，()210nn n a a ++-=，当n 是奇数时，20n n a a +-=，数列{}n a 中的奇数项构成常数列，且各项都是1，当n 是偶数时，20nna a ，即任意两个连续偶数和为0，当n →+∞时，n S →+∞，所以{}n a 不是“T 数列”，综上所述为“T 数列”的是：②③，故答案为：②③【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.二､选择题13. 已知a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭为单位矩阵，则向量()m a b =,的模为（）． A. 0 B. 1 C. 2 D.【答案】B 【解析】【分析】根据n 阶单位矩阵的定义，可知1,0a d b c ====，即()1,0m =，即可求得结果【详解】根据单位矩阵的定义，主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n 阶矩阵称为n 阶单位矩阵，可知1,0a d b c ====，则()(),1,0m a b == 所以()1,01m == 故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查单位矩阵及求向量的模，解题的关键是熟悉单位矩阵的定义，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.14. 已知a ，b 为两个非零向量，命题甲：a b a b -=+，命题乙：向量a 和b 共线，则甲是乙的（）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】【分析】若()22cos ,//1a b a b a a ba b ba b-=+⇒-=+⇒=-⇒，即甲可以推出乙，故充分性成立；但,a b 同向共线时，a b a b -<+；,a b 反向共线时，a b a b -=+，即乙推不出甲，故必要性不成立. 【详解】若a b a b-=+，则()22a b a b-=+，整理得2222+c 2,2os a a b a b a b a b b +-=+，即c 22os ,a b a b a b -=，即cos ,1=-a b ，则//a b ，即甲可以推出乙，故充分性成立；若//a b ，当,a b 同向时，a b a b -<+；当,a b 反向时，a b a b -=+，即乙推不出甲，故必要性不成立，所以甲是乙的充分不必要条件；故选：A【点睛】关键点睛：本题考查充分必要性条件的判断，向量数量积与向量共线，向量模长的运算，解题的关键是熟悉向量积公式cos ,a b a b a b ⋅=，及向量模长公式2a a =的运用，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.15. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的1010倍，若视力4.2的视标边长为a ，则视力5.1的视标边长为（）A. 91010a - B. 4510a -C. 4510aD. 91010a【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -由题意可得：10110111100nn n n a a a a ---=⇔= 则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列即101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭则视力5.1的视标边长为91010a - 故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.16. 在ABC 中，H 是边AB 上一定点，满足4AB HB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB PC HB HC ⋅≥⋅，则（）． A. 90ABC ∠= B. 90BAC ∠=C. AB AC =D. AC BC =【答案】D 【解析】【分析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设4AB =，(),C a b ，(),0Px ，由题意写出HB ，HC ，PB ，PC 的坐标，由PB PC HB HC ⋅≥⋅结合向量的数量的坐标表示可得关于x 的一元二次不等式，结合二次不等式的性质即可求出a 得值，进而可得正确答案.详解】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设4AB =，(),C a b ，(),0Px ，则1BH =，()2,0A -，()2,0B ，()1,0H ，所以()1,0HB =，()2,0PB x =-，(),PC a x b =-，()1,HC a b =-，()()2PB PC x a x ⋅=--，1HB HC a ⋅=-，因为PB PC HB HC ⋅≥⋅对于边AB 上任一点P 都成立，所以()()21x a x a --≥-在[]22-,上恒成立，即()2210x a x a -+++≥在[]22-,上恒成立即()()[]110,2,2x x a x ---≥∀∈- 若12x <≤，则10x a --≥恒成立，故1a x ≤-恒成立，故0a ≤，若21x ，则10x a --≤恒成立，故1a x ≥-恒成立，故0a ≥，故0a =即点C 在AB 的垂直平分线上，所以AC BC =，故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键想到建立直角坐标系将PB PC HB HC ⋅≥⋅转化为坐标，设，设4AB =，(),C a b ，(),0P x ，写出各点坐标即可写出HB ，HC ，PB ，PC 的坐标，可得()()21x a x a --≥-恒成立，利用二次函数的性质求出0a =，可得点C 在AB 的垂直平分线上即AC BC =三､解答题：解答时必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. 已知()2,1A ，()3,2B =，()1,4D =-．（1）若四边形ABCD 是矩形，试确定点C 的坐标；（2）已知O 为坐标原点，在（1）的情况下，求OA OB OC OD ⋅-⋅．【答案】（1）()0,5；（2）12-. 【解析】【分析】（1）设(),C x y ，利用四边形ABCD 是矩形，可得AD BC =，转化为坐标相等即可求解；（2）利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】（1）设(),C x y ，因为四边形ABCD 是矩形，所以AD BC =，()3,3AD =-，()3,2BC x y =--,所以3323x y -=-⎧⎨-=⎩，解得05x y =⎧⎨=⎩ ，所以点C 的坐标()0,5，（2）因为()2,1OA =，()3,2OB =，()0,5OC =，()1,4OD =-，所以()231204512OA OB OC OD ⋅-⋅=⨯+⨯-+⨯=-，所以12OA OB OC OD ⋅-⋅=-.18. 已知向量x 、y 满足：1x =，2y =，且(2)?(2)5x y x y --=．（1）求x 与y 的夹角θ；（2）若()x my y -⊥，求实数m 的值．【答案】(1) 3πθ= (2) 14m =【解析】【分析】（1）由(2)(2)5x y x y -⋅-=展开，可解出1x y ⋅=，根据向量夹角公式1cos 2x yx yθ==⋅，即可求出夹角θ的大小；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出m 的值．【详解】（1）∵(2)(2)5x y x y --=∴2225251x x y y x y -⋅+=⇒⋅= ∵1cos 2x y x yθ⋅==⋅ ∴3πθ=．（2）∵()x m y y -⊥∴()0x m y y -⋅=，即20x y m y ⋅-= ∴11404m m -=⇒=．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于基础题．19. 根据预测，疫情期间，某医院第()N n n *∈天口罩供应量和消耗量分别为n a 和n b （单位：个），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 天末的口罩保有量是前n 天的累计供应量与消耗量的差．（1）求该医院第4天末的口罩保有量；（2）已知该医院口罩仓库在第n 天末的口罩容纳量()24468800n S n =--+（单位：个）．设在某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？【答案】（1）935；（2）第42天末，口罩保有量达到最大超过了. 【解析】【分析】（1）分别将1,2,3,4n =代入n a 和n b 算出前4个天的口罩供应量和消耗量，差值即为保有量；（2）当供应量大于消耗量时，口罩保有量增加，根据n a 和n b 列出不等式，求出n 的最大值，计算出最大保有量和最大容纳量比较即可得出结论.【详解】（1）第4天末的口罩保有量是前4天口罩供应量和消耗量之差，将1,2,3,4n =代入n a 和n b 得第4天末的口罩保有量为：()()()()1234123420954204306789935a a a a b b b b +++-+++=+++-+++=，所以该医院第4天末的口罩保有量为935；（2）当n n a b >时，保有量始终增加.即104705n n -+≥+，n 为正整数，解得42n ≤，即第42天末的时候，保有量达到最大，此时()()1234212342a a a a b b b b ++++-++++()()420503864742965878222+⨯+⨯=+-=，而容纳量为()2424424688008736S =--+=，而87828736>，所以保有量超过了容纳量.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是读懂题意当供应量大于消耗量时，口罩保有量增加，前4个天的口罩供应量和消耗量差值即为保有量；第二问当n n a b >时，保有量始终增加，由104705n n -+≥+，n 为正整数，解得42n ≤，即第42天末的时候，保有量达到最大，计算出前42天保有量和第42天末的口罩容纳量比较即可.20. 在直角坐标平面xOy 上的一列点()111,A a ，()222,A a ，…，(),nnA n a ，…，简记为{}nA ．若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1n n b b +>，1n =，2，…，其()0,1j =，则称{}n A 为“M 点列”．（1）判断()11,1A ，()22,1A ，()33,1A ，…，(),1n A n ，是否为“M 点列”，并说明理由；（2）判断()11,1A ，212,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，313,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，1,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭…是否为“M 点列”，请说明理由，并求出此时列{}n b 的前n 项和n T ．（3）若n A 为“M 点列”，且点2A 在1A 的右上方，任取其中连续三点k A ，k 1A +，2k A +，判断12k k k A A A ++的形状（锐角三角形､直角三角形､钝角三角形），并予以证明．【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析；1n nT n =-+；（3）钝角三角形，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据“M 点列”的定义，结合题中条件，即可得出结果；（2）根据题中条件，得出()11n n n b -+=，结合“M 点列”的定义，即可判断出结果；再利用裂项相消法，即可求出数列的和；（3）先由题意，得到1k k A A +与12k k A A ++的坐标，表示出向量数量积，利用“M 点列”的性质，判断1120k k k k A A A A +++⋅<，即可判断三角形的形状.【详解】（1）根据题意得1n a =，()11,0n n A A +=，∴110010n n n b A A j +=⋅=⨯+⨯=不满足1n n b b +>，故{}n A 不是“M 点列”．（2）根据题意得1n a n =，1111,1n n A A n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴()111111n n n b A A j n n n n +-=⋅=-=++，显然有1n n b b +>， ∴{}n A 是M 点列．则12311111111 (1123243)111n n nT b b b b n n n n =++++=-+-+-++-=-=-+++．（3）因为n A 为“M 点列”，所以(),k k A k a ，()111,k k A k a +++，()222,k k A k a +++ 所以()111,k k k k A A a a ++=--，()12211,k k k k A A a a ++++=-，则()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--， ∵点2A 在点1A 的右上方，∴1210b a a =->， ∵{}n A 为M 点列，∴10n b b ≥>，∴()()21110k k k k k k a a a a b b ++++--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<，即11212112cos 0k k k k k k k k k k k A A A A A A A A A A A ++++++++⋅∠=<，又12k k k A A A ++∠为12k k k A A A ++的内角，∴12k k k A A A ++∠为钝角，∴12k k k A A A ++为钝角三角形．【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于对“M 点列”的理解，要判断一个点列为“M 点列”，必须满足1n n n b A A j +=⋅为增数列；求解“M 点列”中构成的三角形形状时，则需要结合“M 点列”的性质，结合向量数量积求解即可.21. 已知数列{}n a 中，已知11a =，2a a =，()12n n n a k a a ++=+对任意n *∈N 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若1a =，12k =-，求n S ；（3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项m a ，1m a +，2m a 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12k =；（2）()2,21,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ；（3）存在，25k =-．【解析】【分析】（1）由{}n a 是等差数列，可得121n n n n a a a a +++-=-得到121()2n n n a a a ++=+，即可求解；（2）由12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，进而得到321n n n n a a a a ++++=+，分n 是偶数和n 是奇数，分类讨论，即可求解；（3）由{}n a 是等比数列，得到1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=，分1m a ，m a 和2m a 分别为等差中项，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由题意，数列{}n a 是等差数列，则对任意n *∈N ，可得121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，即121()2n n n a a a ++=+，故12k =．（2）由12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--，()211n n n n a a a a ++++=-+，故()32211n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+．当n 是偶数时，()12341122n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=；当n 是奇数时，()23212a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++()()()123451n n a a a a a a a -=+++++++，()11222n n -=+⨯-=- 综上可得，()2,21,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ．（3）若{}n a 是等比数列，则公比21a q a a ==，由题意1a ≠，故1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=．①若1m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，221a a =+，解得1a =（舍去）； ②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，22a a =+，因为1a ≠，解得2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++．③若2m a 为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m a a a +-=+，221a a =+，因为1a ≠，解得12a =-，2215a k a ==-+，综上，存在实数k 满足题意，25k =-．【点睛】解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.3、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，进行求解.。

2020-2021学年上海市嘉定区高三年级一模考试数学试卷

2020-2021学年上海市嘉定区高三年级一模考试数学试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}4,2,0=A ，()∞+=，0B ，则=B A ____________．【答案】{}4,2【解析】=B A {}4,22．抛物线x y 42=的焦点坐标为____________．【答案】()0,1【解析】24,2p p ==焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭3．不等式014≤xx 的解为____________．【答案】22≤≤-x 【解析】由014≤xx 可得240x -≤，所以22≤≤-x4．已知复数z 满足()2i 1=⋅+z （i 为虚数单位），则=z ___________．【答案】2【解析】由()2i 1=⋅+z 可得()21i z =+ 5．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点)4,3(P ，则=+)2πtan(α____________．【答案】43-【解析】由题可得4tan 3α=，πtan()-cot 2αα+= 6．设函数)12)(1>-=+a ax f x （的反函数为)(1x fy -=，若()121f -=，则=)2(f ____________．【答案】6【解析】由()121f -=可得()12f =，所以2a =，所以3(2)2-2=6f =7．设各项均为正数的无穷等比数列{}n a 满足：121321=+=a a a ，，则数列{}n a 2的各项的和为____________．【答案】32【解析】由121321=+=a a a ，可得11()2n n a -=，则数列{}n a 2的首项为12，公比为14，由等比数列所有项和公式22lim 1314n n a S →∞==-可得答案为328．在ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==，，，将ABC △绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为____________．【答案】15π【解析】将ABC △绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ是高为4，底面半径为3，母线长为5的圆锥，所以由公式S rl π=侧可得侧面积为15π 9．在ABC △中，2,1==AC AB ，3261+=，则=⋅BC AE ____________．【答案】21【解析】=⋅()12116336AC CE BC AC CB CA BC AC BC BC ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 222211111()()(21)36662AC BC AC AB AC AB ⎛⎫--=-=-= ⎪⎝⎭10．甲和乙等五名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_______种不同的参加方法（结果用数值表示）．【答案】216【解析】由题意可知，一共有2454240C A =种不同的分配方案，甲，乙在同一岗位有4424A =种不同的分配方案，所以甲和乙不在同一岗位服务有216种11．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，首项01>a ，公差0<d ，若对任意的*N ∈n ，总存在*N ∈k ，使n k S k S )12(12-=-，则n k 3-的最小值为_____________．【答案】8-【解析】由题意可得，()()()12121212k n k a a k S --+=-，所以k n a S =，令2n =得，12a k d-=，因为首项10a >，公差0d <，则2k <，又因为()()1212n n k --=+，所以4n =或5时，n k 3-最小为8-12．已知函数x a x x x f 3||)(+-=．若存在]4,3[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a tf x f =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是____________．【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1 【解析】由题意可得，()()()223,3,x a x x af x x a x x a⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，且关于()3f x at =有三个不相等的实数根，（1）当-33a ≤≤时，33-22a a a -+≤≤且33022a a -+-≤≤，此时不存在；（2）当3<a 4≤时，33022a a a -+<-<<，因为()f x 在()3-,2a a +⎛⎫∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，上是单调递增函数，在3,2a a +⎛⎫⎪⎝⎭是单调递增函数，所以当且仅当()23324a a at +<<时，()3f x at =有三个不相等的实数根，可得t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛4849,1 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知0≠x ，*N ∈n ，则“2=n ”是“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】“2=n ”可以得到“n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项”，但“nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中存在常数项” 不一定“2=n ”14．已知R ∈b a 、，且b a >，则下列不等式恒成立的是（）．A ．ba 11< B ．b a ln ln > C ．22b a > D ．b a 22> 【答案】D【解析】y=2x在R 上是单调递增函数，所以R ∈b a 、，且b a >，不等式恒成立的是b a 22>15．过双曲线12222=-by a x C ：（0,0>>b a ）的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、以2为半径的圆经过O A 、两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为（）．A ．1322=-y x B ．1322=-y x C ．12222=-y x D ．16222=-y x 【答案】B【解析】因为右顶点为(),a o ，右焦点为(),0F c ，(),A a b ，所以2AF OF c ===，解得1,3a b ==，所以双曲线C 的方程为：1322=-y x 16．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是该正方体棱上一点．若满足m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4，则m 的取值范围是（）．A ．]4,22[B ．]322,4[+C ．]24,4[D ．]24322[，+ 【答案】B【解析】先计算正方体的8个顶点到B ，1C 两点的距离，当P 分别在棱1111,,,BB BC CC B C 上运动时，m 的取值范围是22,4⎡⎤⎣⎦；当P 分别在棱11C D AB ，上运动时，m 的取值范围是222+23⎡⎤⎣⎦，；当P 分别在棱11,A B CD 上运动时，m 的取值范围是442⎡⎤⎣⎦，；当P 分别在棱1111,,,A D DD AD AA 上运动时，m 的取值范围是2+2342⎡⎤⎣⎦，，所以满足m PC PB =+1||（0>m ）的点P 的个数为4，m 的取值范围是]322,4[+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为2，41=D A ．（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线D A 1与AC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】()18S =+全V = ；()2arccos 4【解析】（1）由题意得 322211=-=AD D A AA则该正四棱柱的表面积为 31684322222+=⋅⋅+⋅=全S ，体积为 383222=⋅=V ．（2）联结111,DC C A ，则AC ∥11C A ，所以直线D A 1与11C A 所成的角就是异面直线D A 1与AC 所成的角．在11DC A △中，22,321111===C A DC D A ,由余弦定理得1112121121112cos C A D A DC C A D A C DA ⨯⨯-+=∠ 4222424)22(4222=⨯⨯-+=，则得42arccos 11=∠C DA ，所以，异面直线D A 1与AC 所成的角的大小42arccos． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域；（2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．【答案】（1）2=ω，[]2,1-；（2）4=a ．【解析】（1）因为函数)(cos )(x x f ω=的最小正周期为π，由 π||π2==ωT，2||=ω，又因为0>ω，所以2=ω．此时x x f 2cos )(=，则得 x x x g 2cos 4π2cos 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=，即 x x x g 2cos 2sin 3)(-=，即)6π2sin(2)(-=x x g ．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65π,6π6π2x ，[]2,1)6π2sin(2-∈-x ，所以所求函数的值域为[]2,1-．（2）由题意得 212cos -=A ．因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2π,0A ，则得 ()π,02∈A ，所以 32π2=A ，解得 3π=A ．因为ABC △的面积为33，则得 33sin 21=A bc ，即 333πsin 21=bc ，即 12=bc ．又因为 2=-c b ，由余弦定理，得 bc c b A bc c b a -+=-+=2222cos 2bc c b +-=2)(41222=+=，所以 4=a ．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=12020,14060,20050x x kx v ，（R ∈k ）．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足v x y ⋅=，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．【答案】（1）800≤<x ；（2）3250辆/小时，87辆/千米【解析】（1）由题意知当120=x （辆/千米）时，0=v （千米/小时），代入 x kv --=14060 得 120140600--=k ，解得 1200=k ，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x x v ，当200≤<x 时，4050≥=v ，符合题意；当12020≤<x 时，令 40140120060≥--x，解得 80≤x ，所以 8020≤<x ．综上，800≤<x ．答：若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是800≤<x ．（2）由题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=.12020,140120060,20050x x xx x x y ，当200≤<x 时，x y 50=为增函数，所以10005020=⨯≤y ，等号当且仅当20=x 成立；当12020≤<x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x x x x x y 1402060140120060⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=x x x 1402800)140(2060 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x 14028002060()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x 140280014016060 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯--≤x x 1402800140216060()74016060-=3250≈，即 3250≤y ，等号当且仅当xx -=-1402800140，即]120,20(87720140∈≈-=x 成立．综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的长轴长为6，且经过点）3,23(Q ．A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若02=+OC OB ，求线段AP 的长；（3）试问：四边形ABDC 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）14922=+y x ；（2）810；（3）是，6 【解析】（1）解：由题意得 62=a ，解得 3=a 分把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程 12222=+b y a x ，得134922=+b a ，由于 3=a ，解得 2=b ．所以所求的椭圆的标准方程为 14922=+y x ．（2）解：因为02 =+OC OB ，则得 )1,0(21=-=OB OC ，即)1,0(C ，又因为 )0,3(-A ，所以直线AP 的方程为 )3(31+=x y ．由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=149)3(3122y x x y 解得 ⎩⎨⎧=-=03y x （舍去）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==15241527y x ，即得），（15241527P ．所以 ()151024152431527||22=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=AP =810，即线段AP 的长为810．（3）【解法一】由题意知，直线PB 的斜率存在，可设直线2-=kx y PB ：（32>k ）．令0=y ，得)0,2kD （．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=149,222y x kx y 得 036)94(22=-+kx x k ，解得 0=x （舍去）或29436k k x +=，所以 2294818kk y +-=，即)94818,9436222k k k k P +-+（．于是直线AP 的方程为)3(3413694818222+⨯+++-=x k k k k y ，即 )3()233)23(2++-=x k k y （．令0=x ,得23)23(2+-=k k y ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-23)23(2,0k k C ．所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=223)23(23221k k k 623122321=+⋅+⋅=k kk k ，即四边形ABDC 的面积为定值．【解法二】由题意知，设),(00y x P （20,3000<<<<y x ），则直线PB 的方程为 )0(2200-+=+x x y y ，即2200-⋅+=x x y y ．令0=y ，得)0,2200+y x D （．又直线PA 的方程为)3(300++=x x y y ，令0=x ,得3300+=x y y ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+33,000x y C ．所以四边形ABDC 的面积等于||||21BC AD ⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=233322210000x y y x )2()3)632(2100200+⋅+++⋅=y x y x （ )2()3363624129421000000202+⋅++++++⋅=y x y x y x y x （（*）因为点P 在椭圆Γ上，则得 1492020=+y x ，所以 20204369x y -=，代入（*）得 6)2()3)2()36)2()336362412942100000000002020=+⋅++⋅+=+⋅++++++⋅y x y x y x y x y x y x （（（，即四边形ABDC 的面积为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若项数为k 的有穷数列{}n a 满足：k a a a a <⋅⋅⋅<<<≤3210()3,*≥∈k k N ，且对任意的()1i j i j k ≤≤≤、，j i a a +与i j a a -至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）判断数列8,4,2,1是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，求证：)(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-；（3）若项数为()*,3k k k ∈≥N 的数列{}n a 具有性质P ，写出一个当4=k 时，{}n a 不是等差数列的例子，并证明当4>k 时，数列{}n a 是等差数列.【答案】（1）不具有；（2）见解析；（3）5,4,1,0（答案不惟一），证明见解析【解析】（1）数列8,4,2,1不具有性质P ．因为84210<<<≤，但是514=+、314=-，它们均不是数列8,4,2,1中的项，所以数列8,4,2,1不具有性质P ．（2）证明：因为M a a k k ∉+，所以M a a k k ∈-，即 M ∈0，所以01=a ．设k i ≤≤2，因为M a a i k ∉+，所以M a a i k ∈-．则得12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--．因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=，将上面的式子相加得k k k k k k a a a a a a a a a a ka +⋅⋅⋅+++=++⋅⋅⋅+++----13211221)(，所以 )(2121k k k a a a a ka ++⋅⋅⋅++=-．（3）数列5,4,1,0具有性质P ，但该数列不是等差数列．（答案不惟一）下面证明当4>k ，即5≥k 时，数列{}n a 是等差数列．由（2）得 01=a ．①设2i k ≤≤，由（2）知 12210a a a a a a a a a a k k k k k k k k -<-<⋅⋅⋅<-<-<-=--．因为12310k k a a a a a -≤<<<⋅⋅⋅<<，所以1k k a a a -=，12k k a a a --=，23k k a a a --=，…….，21k k a a a --=，1k k a a a -=，因此 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-． (*)②设23-≤≤k i ，则112k i k k a a a a a --+>+=，所以1k i a a M -+∉，得1k i a a M --∈．由111213320k k k k k k k a a a a a a a a a ------=-<-<⋅⋅⋅<-<-=及123320k k a a a a a --≤<<<⋅⋅⋅<<，可得 111k k a a a ---=，122k k a a a ---=，133k k a a a ---=，…….，133k k a a a ---=．所以 )31(1-≤≤=---k i a a a i i k k ．因为5k ≥，由上知，111k k a a a ---=，且 122k k a a a ---=，所以111k k a a a ---=，且122k k a a a ---=，所以)11(1-≤≤=---k i a a a i i k k ． (**)由(*)知 ()111k k i i a a a i k -+-=≤≤-，两式相减得()1111k k i i a a a a i k -+-=-≤≤-，所以当4>k 时，123,,,,k a a a a ⋅⋅⋅是等差数列．。

上海市嘉定区2020-2021学年高二上学期期中数学试题(学生版)

2020学年第一学期期中考试高二数学试卷（满分150分，答题时间120分钟）学生注意：可使用规定的计算器答题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 直线10x y ++=的一个方向向量是_________.2. 经过点()1,1--且与直线340x y ++=垂直的直线的点法向式方程为_________.3. 已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m =______.4. 已知向量(1,2)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 的方向上的投影为________5. 已知()3,1a =-，则与a 方向相同的单位向量0a =________.6.直线l 的一个方向向量()12d ，=，则l 与0x y -=的夹角大小为__________.（用反三角函数表示） 7. 设1a =，2b =，若向量a 和向量b 的夹角为60︒，a b +=________.8. 已知点()3,1，()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是________.9. 已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．10. 已知1OA OB ==，OA 与OB 的夹角为60︒，OC 与OA 的夹角为30，23OC =OA ，OB 表示OC ，则OC =________.11. 定义*a b →→是向量a →和b →的“向量积”，它的长度*sin a b a b θ→→→→=⋅⋅，其中θ为向量a →和b →的夹角，若()2,0u →=，(1,u v →→-=，则*u v →→=________.12. 设函数1()1f x x=+，点0A 表示坐标原点，()(),n A n f n ()*n N ∈，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++，n θ是n a 与i 的夹角，（其中()1,0i =）设12tan tan tan n n S θθθ=+++，则lim n n S →∞=________________. 二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13. 在ABC 中，5BC =，8AC =，60C ∠=°，则BC CA ⋅的值等于（）A. 20B. 20-C.D. -14. 数列的通项(12)n n a x =-，若lim n n a →∞存在，则x 的取值范围是（） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. []0,1 D. [)0,115. 若直线l 过点()4,1A ，()()23,B aa R ∈，则直线的倾斜角取值范围是（） A. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,,422ππππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ C. 30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭16. 已知,,a b c 是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（）.①22a b a b =⇔=；②||||||||a b a c b c =⇔⋅=⋅；③a b a b a b ⊥⇔+=-；④||||||//a b a b a b ⋅=⋅⇔.A. 1B. 2C. 3D. 4 三、解答题（本大题满分76分）本答题共有5题，解答下列各题必须在答题相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求BC 边上的高所在直线的方程．18. 已知向量()6,2a =，()3,b k =-，当k 为何值时，（1）//a b ；（2）a b ⊥；（3）a 与b 夹角为钝角. 19. 已知向量a ，b 满足1a b ==，且()30a kb ka b k -=+>.（1）试用k 表示a b ⋅，并求出a b ⋅的最大值及此时a 与b 的夹角θ的值. （2）当a ，b 取得最大值时，求实数λ，使a b λ+的值最小，并对这一结果做出几何解释. 20. 过点()P 4,1作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l 的方程. 21. 如图，射线OA ，OB 所在直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N .（1）若1k =，31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP 的面积是65，求k 的值；（3）已知k 为常数，M ，N 的中点为T ，且1MON S k=△，当P 变化时，求OT 的取值范围.。

2021年高二上学期第一次段考数学试题含答案

2021年高二上学期第一次段考数学试题含答案一、选择题（每小题5分共50分）1.若为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是( )A. B. C. D.2．在△ABC中，若，则AC=（）A. B.C. D.3. 与，两数的等比中项是( )A. B. C. D.4.在△ABC中，，则（）A. B.C. D.5.在△ABC中，，则等于（）A．B．C．D．6.在△ABC中, ,则三角形的面积为（）A. B.C. D.7.记等差数列的前n项和为，若则该数列的公差为（）A .7 B. 6 C.3 D. 28.已知一等比数列的前三项依次为，那么是此数列的第（）项A．B．C．D．9.两个等差数列则= ( )A. B.7 C. D.10.在等差数列中，是方程的两个根，则是( )A. 15B. -15C. 50D.二、填空题（每小题5分，共20分）11．在△ABC 中，若_________。

12．等比数列中, 则的公比的值为_____________。

13．等比数列的各项均为正数，且，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ______ 。

14．________。

xx ～xx 学年上学期第一次段考高二数学答卷二、填空题（每小题5分，共20分）11．_________ 。

12．_____________。

13．______ 。

14．_____ ___。

三、解答题（共6小题）15.三个数成等差数列，这三个数的和为，三数之积为，求这三个数。

（本题12分）16.在△ABC中，，解这个三角形。

（本题12分）17．海中小岛A周围20海里内有暗礁，船沿正南方向航行，在B处测得小岛A 在船的南偏东30°；航行30海里到达C，在C处测得小岛A在船的南偏东60°.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？（本题14分）18．已知｛｝为等差数列，且（1）求｛｝的通项公式；（2）若等比数列｛｝满足，，求｛｝的前n项和公式。

上海市嘉定区2020-2021学年高二上学期期中数学试题(教师版)

2020学年第一学期期中考试高二数学试卷（满分150分，答题时间120分钟）学生注意：可使用规定的计算器答题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 直线10x y ++=的一个方向向量是_________.【答案】()1,1-（与该向量共线的非零向量均可）.【解析】【分析】先求得该直线的一个法向量，进而可得该直线的一个方向向量.【详解】因为直线10x y ++=的一个法向量为()1,1，所以该直线的一个方向向量是()1,1-.故答案为：()1,1-（与该向量共线的非零向量均可）.2. 经过点()1,1--且与直线340x y ++=垂直的直线的点法向式方程为_________.【答案】()()3110x y +-+=【解析】【分析】先求出要求直线的一个法向量，即可得出方程.【详解】由于直线340x y ++=的一个法向量为()1,3，故它的一个方向向量为()3,1-，则经过点()1,1--且与直线340x y ++=垂直的直线的一个法向量为()3,1-，故要求直线的点法向式方程为()()31110x y +-⨯+=，即()()3110x y +-+=.故答案为：()()3110x y +-+=.3. 已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m =______.【答案】2或-3.【解析】若m ＝－1，则l 1的斜率不存在，l 2的斜率为13，此时l 1与l 2不平行；若m ≠－1，则l 1的斜率为k 1＝－21m +，l 2的斜率为k 2＝－3m .因为l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，即－21m +＝－3m ，解得m ＝2或－3.经检验均符合题意． 4. 已知向量(1,2)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 的方向上的投影为________【答案】-1【解析】∵向量()1,2a =-，()3,4b =， ∴5a =，5b =，385a b =-=-∴向量a 在向量b 的方向上的投影为515a b b-==- 故答案为-15. 已知()3,1a =-，则与a 方向相同的单位向量0a =________.【答案】21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由单位向量的概念及向量同向的性质运算即可得解. 【详解】因为()3,1a =-，所以312a =+=，所以与a 方向相同的单位向量0312a aa ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭=.故答案为：221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.6.直线l 的一个方向向量()12d ，=，则l 与0x y -=的夹角大小为__________.（用反三角函数表示）【答案】arccos10【解析】【分析】求出0x y -=的方向向量，直接利用夹角公式求解即可.【详解】0x y -=的方向向量为()()1,1,1,2d =，∴夹角θ满足cos10θ==，∴夹角为cos 10arc ，故答案为cos 10arc . 【点睛】平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a ba b θ= （此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.7. 设1a =，2b =，若向量a 和向量b 的夹角为60︒，a b +=________.【解析】【分析】先求出2a b +的值，即可得出结果. 【详解】22221212cos 6047a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=， 7a b ∴+=.8. 已知点()3,1，()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是________.【答案】724a -<<【解析】【分析】由点与直线的位置关系可得()()332143260a a ⨯-⨯+-⨯-⨯+<，运算即可得解.【详解】因为点()3,1，()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，所以()()332143260a a ⨯-⨯+-⨯-⨯+<，解得724a -<<.故答案为：724a -<<.9. 已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．【答案】(0,4)(4,8)⋃【解析】【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】由题意可得,14,||11a q q=<- ，且0q ≠14(1)a q =-108a ∴<<且14a ≠故答案为(0,4)(4,8)⋃【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.10. 已知1OA OB ==，OA 与OB 的夹角为60︒，OC 与OA 的夹角为30，23OC =OA ，OB 表示OC ，则OC =________.【答案】22OA OB +或42OA OB -，【解析】【分析】设OC mOA nOB =+，则2OA OC mOA nOB OA ⋅=+⋅，222222OC m OA n OB mnOA OB =++⋅ ，则由题意可得cos 60m n ︒=+︒，22122cos60m n mn =++︒，从而可求出,m n 的值，进而可得答案【详解】设OC mOA nOB =+，则2OA OC mOA nOB OA ⋅=+⋅，222222OC m OA n OB mnOA OB =++⋅ 因为1OA OB ==，OA 与OB 的夹角为60︒，OC 与OA 的夹角为30，23OC =所以cos 60m n ︒=+︒，22122cos60m n mn =++︒， 223,122n m m n mn =+=++，解得22m n =⎧⎨=⎩或42m n =⎧⎨=-⎩，所以22OC OA OB =+或42OC OA OB =-，故答案为：22OA OB +或42OA OB -，11. 定义*a b →→是向量a →和b →的“向量积”，它的长度*sin a b a b θ→→→→=⋅⋅，其中θ为向量a →和b →的夹角，若()2,0u →=，(1,u v →→-=，则*u v →→=________.【答案】【解析】【分析】先根据向量坐标运算得(v →=，再根据向量夹角公式得向量u →与v →的夹角θ的余弦值为1cos 2θ=，进而得sin 2θ=，最后再根据定义求解即可.【详解】解：因为()2,0u →=，(1,u v →→-=，所以(v →=设向量u →与v →的夹角为θ，则1cos =2u v u v θ→→→→⋅=，所以sin 2θ=，所以*sin 222u v u v θ→→→→=⋅⋅=⨯⨯=故答案为：【点睛】本题解题的关键在于先根据题意得(v →=，再根据向量夹角公式得u →与v →的夹角正弦值，进而根据定义计算.其中正确理解新的定义是解题的重中之重！12. 设函数1()1f x x=+，点0A 表示坐标原点，()(),n A n f n ()*n N ∈，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++，n θ是n a 与i 的夹角，（其中()1,0i =）设12tan tan tan n n S θθθ=+++，则lim n n S →∞=________________. 【答案】1【解析】【分析】根据向量加法的多边形法则可以求出0n n a A A =，即可求出n a 的坐标，再根据向量夹角的定义和三角函数的定义求出()11n 111ta n n n n n θ==-++，然后根据裂项相消法求出n S ，最后依据数列极限的计算公式即可求出．【详解】依题可得，0n n a A A =，因为()11f n n =+，所以n a 的坐标为1,1n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，即()11n 111ta n n n n n θ==-++，故121111111tan tan t 11an 2231n n n n n S θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭+⎭⎭+⎝⎝=+， lim lim 1111n n n S n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭．故答案为：1．【点睛】本题主要考查向量加法的多边形法则，向量夹角的定义和三角函数的定义应用，数列极限的运算，以及裂项相消法的应用，意在考查学生综合运用所学知识的能力，属于中档题．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13. 在ABC 中，5BC =，8AC =，60C ∠=°，则BC CA ⋅的值等于（）A. 20B. 20-C.D. -【答案】B【解析】由题意得BC 与CA 的夹角为120︒，由数量积公式直接计算即可得到答案.【详解】ABC 中，5BC =，8AC =，60C ∠=°，BC 与CA 的夹角为120︒，则1=cos12058202BC CA BC CA ⎛⎫⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B【点睛】本题考查两个向量数量积的计算，属于简单题.14. 数列的通项(12)n n a x =-，若lim n n a →∞存在，则x 的取值范围是（） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. []0,1 D. [)0,1【答案】D【解析】【分析】由数列存在极限可转化条件为121x -<，结合当0x =时的情况即可得解. 【详解】因为数列的通项(12)n n a x =-，且lim n n a →∞存在，所以121x -<，解得01x <<；又当0x =时，lim lim11n n n n a →∞→∞==，符合题意；所以[)0,1x ∈.故选：D.15. 若直线l 过点()4,1A ，()()23,B aa R ∈，则直线的倾斜角取值范围是（） A. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,,422ππππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ C. 30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【答案】D【解析】【分析】设直线的倾斜角为θ，则221tan 134a a θ-==--，由211a -≤，可得tan 1θ≤，从而可求出直线的倾斜角【详解】解：设直线的倾斜角为θ，则221tan 134a a θ-==--，因为a R ∈，所以211a -≤，即tan 1θ≤，因[0,)θπ∈，所以04πθ≤≤或2πθπ<<，所以直线的倾斜角取值范围是0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故选：D 16. 已知,,a b c 是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（）.①22a b a b =⇔=；②||||||||a b a c b c =⇔⋅=⋅； ③a b a b a b ⊥⇔+=-；④||||||//a b a b a b ⋅=⋅⇔.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据向量数量积公式cos a b a b θ⋅=⋅和向量加减法的几何意义即可判断.【详解】解：①a b =可以推出22a b =，但22a b =只能推出||||,,a b a b =的方向不一定相同，所以①中等价推出关系不成立. ②设,a c 的夹角为1,,b c θ的夹角为2θ，12cos cos a c b c a c b c θθ⋅=⋅⇔⋅⋅=⋅⋅，当||||a b =，12θθ≠时，则||||a c b c ⋅≠⋅；反之，由||||a c b c ⋅=⋅也推不出||||a b =.所以②中等价推出关系不成立.③当a b ⊥时，将向量,a b 的起点确定在同一点，则以向量,a b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形为矩形，于是它的两条对角线长相等，即||||a b a b +=-.反之，若||||a b a b +=-，则以,a b 为邻边的四边形为矩形，即a b ⊥.所以③中等价推出关系成立.④设,a b 的夹角为θ，||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅，则|||||||cos |10a b a b θθ⋅=⋅⇔=⇔=或//a b π⇔. 所以④中等价推出关系成立.故选：B .【点睛】本题考查向量数量积应用，属于基础题.三、解答题（本大题满分76分）本答题共有5题，解答下列各题必须在答题相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求BC 边上的高所在直线的方程．【答案】（1）5200x y --=；（2）32120x y --=．【解析】【分析】（1）先求出BC 的中点坐标，再利用两点式求出直线的方程；（2）先求出B C 边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程.【详解】（1）设线段BC 的中点为D ．因为(6,7)B -，(0,3)C -，所以BC 的中点(3,5)D -，所以BC 边上的中线所在直线的方程为045034y x --=---，即5200x y --=．（2）因为(6,7)B -，(0,3)C -，所以BC 边所在直线的斜率23BC k =-，所以BC 边上的高所在直线的斜率为23，所以BC 边上的高所在直线的方程为3(4)2y x =⋅-，即32120x y --=．【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.18. 已知向量()6,2a =，()3,b k =-，当k 为何值时，（1）//a b ；（2）a b ⊥；（3）a 与b 的夹角为钝角.【答案】（1）1-；（2）9；（3）9k <且1k ≠-.【解析】【分析】（1）可得()6230k -⨯-=；（2）由0a b ⋅=可求出；（3）由0a b ⋅<，且,a b 不共线，即可求出,.【详解】（1）//a b ，()6230k ∴-⨯-=，解得1k =-；（2）a b ⊥，()6320a b k ∴⋅=⨯-+=，解得9k =；（3）a 与b 的夹角为钝角，0a b ⋅<,且,a b 不共线，()63201a b k k ⎧⋅=⨯-+<∴⎨≠-⎩，解得9k <且1k ≠-.19. 已知向量a ，b 满足1a b ==，且()30a kb ka b k -=+>.（1）试用k 表示a b ⋅，并求出a b ⋅的最大值及此时a 与b 的夹角θ的值.（2）当a ，b 取得最大值时，求实数λ，使a b λ+的值最小，并对这一结果做出几何解释.【答案】（1）214k a b k+⋅=-，最大值为12-，120θ=；（2）12λ=，几何解释见解析. 【解析】【分析】（1）由()30a kb ka b k -=+>，得到22()[3()]a kb ka b -=+，整理得214k a b k +⋅=-，再结合基本不等式和向量的夹角公式，即可求解.（2）由（2）知a b ⋅的最大值为12-，化简2()(a b a b λλλ+=+=-求得a b λ+取得最小值，再根据向量的线性运算，即可求得几何解释. 【详解】（1）由题意，向量a ，b 满足1a b ==，且()30a kb ka b k -=+>，可得22()[3()]a kb ka b -=+，整理得22222223(2)a ka b k b k a ka b b -⋅+=+⋅+，即2212363ka b k k ka b -⋅+=+⋅+，可得214k a b k +⋅=-，又由211111()4442k a b k k k +⋅=-=-⋅+≤-⨯=-，当且仅当1k k ，即1k =时等号成立，所以a b ⋅的最大值为12-，又由1cos ,[0,180]2a b a bθθ⋅==-∈⋅，所以120θ=. （2）由（2）知a b⋅的最大值为12-，所以22()12a b a b a b λλλλλ+=+=+⋅+== 所以当12λ=时，a b λ+取得最小值，最小值为2, 这一结果的几何解释：平行四边形OABC 中，1,120OA AOC =∠=，当且仅当12OC =时，对角线OB 最【点睛】对于向量的数量积和向量的模的运算方法：1、定义法：已知或可求得两个向量的模和夹角；2、基底法：直接利用定义法求得数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量的基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解；3、坐标法：已知条件中（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求解数量积；4、利用a a a =⋅及22()2a b a a b b +=±⋅+，把向量模的运算转化为数量积的运算；5、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.20. 过点()P 4,1作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l 的方程.【答案】（1）480x y +-=；（2）260x y +-=【解析】【分析】由题意设(,0)A a ，(0,)B b ，其中a ，b 为正数，可设直线的截距式为1x y a b +=，代点可得411a b +=，（1）由基本不等式可得16ab ≥，由等号成立的条件可得a 和b 的值，由此得到直线方程，（2）41()()OA OB a b a b a b+=+=++，由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．【详解】由题意设(,0)A a ，(0,)B b ，其中a ，b 为正数，可设直线的截距式为1x y a b +=，直线过点()P 4,1，∴411a b+=，（1）由基本不等式可得411a b =+≥，解得：16ab ≥，当且仅当41=a b ，即8a =且2b =时，上式取等号，∴ AOB ∆面积182S ab =≥，则当8a =，2b =时，AOB ∆面积最小，此时直线l 的方程为182x y +=，即480x y +-=，（2）由于414()()559b a OA OB a b a b a b a b +=+=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即6a =且3b =时取等号，所以当6a =，3b =时，OA OB +的值最小，此时直线l 的方程为163x y +=，即260x y +-=．【点睛】本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题．21. 如图，射线OA ，OB 所在直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N .（1）若1k =，31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP 的面积是65，求k 的值；（3）已知k 为常数，M ，N 的中点为T ，且1MON S k =△，当P 变化时，求OT 的取值范围. 【答案】（12；（2）112或2；（3）1,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】 (1)求出||OP ,点P 到直线的距离,利用勾股定理,求||OM 的值;(2)直线OA 的方程为0kx y ,求出(2,1)P 到直线的距离,利用勾股定理求出||OM ,利用OMP 的面积为65,求k 的值; (3)设直线OA 的倾斜角为α,求出||OM ,||ON ,利用1MON S k=△,可得P 变化时,动点T 轨迹方程,求出||OT ,即可求||OT 的取值范围. 【详解】（1）31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10||OP ∴=，若1k =，则()11,1d =，OA ∴的方程为y x =，即0x y -=，则点P 到直线OA 3122222-=， 22102||222OM ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）直线OA 的方程为0kx y ,(2,1)P到直线的距离为d =||OM ∴=, OMP ∴的面积为1625=, 112k ∴=或2；（3）设()11,M x kx ,()22,N x kx -,(,)T x y ,1>0x ,20x >,0k >,设直线OA 的倾斜角为α,则tan k α=，22sin 21k k α=+, 根据题意得()121222x x x k x x y OM x ON x +⎧=⎪⎪-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩，解得12y x x k y x x k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入11||||sin 22MON S OM ON kα==，化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.1||OT k∴====, 当且仅当11,,0x T k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭时,||OT 取得最小值1k . ||OT ∴的取值范围是1,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.。

2020—2021学年高二第一学期第一次考试数学试卷

2020—2021学年高二第一学期第一次考试数学（试卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 一批热水器共98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽出一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽得的热水器的台数是（） A ．甲厂9台，乙厂5台 B. 甲厂8台，乙厂6台 C. 甲厂10台，乙厂4台 D. 甲厂7台，乙厂7台 2. 不等式x (2－x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＞0}B ．{x |x ＜2}C ．{x |x ＞2或x ＜0}D ．{x |0＜x ＜2} 3. 已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是（） A.若//l m ，//m n ，则//l n . B.若l α⊥，//n α，则l n ⊥.C.若//l α，//n α，则//l n .D.若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. 4. 下列条件中,不能使b a ＋ab≥2成立的是( )A. ab ＞0B. ab ＜0C. a ＞0，b ＞0D. a ＜0，b ＜0， 5. 设全集U =R ,集合A ={x|log 2x ≤2},B ={x|(x-3)(x +1)<0},则=⋂B A ( )A. (-1,3)B. (0,3)C. [0,3)D. (3,4]6. 如图，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA →7. 某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中 200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的约有（）A. 39辆B. 78辆 B. 390辆 D. 610辆8. 若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.569. 若将函数 2sin(2)6y x π=+的图象向右平移的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A.2sin(2)4y x π=+B.2sin(2)3y x π=+ C.2sin(2)4y x π=- D.2sin(2)3y x π=-10. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，334S =，则4S = .A ．81 B ．83 C ．85 D ．87 11. 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°12. 圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =( )A. 43-B. 34- C.3 D.2 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题卡的相应位置. 13. 已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，| b |＝1，则|a ＋2 b |＝________. 14. 一元二次不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是． 15. 若正数n m ，满足21m n +=,则12m n+的最小值为_______. 16. 为了了解某地高二学生的体能状况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),则x= ,估计该地学生跳绳次数的中位数是 .(本题第一空2分,第二空3分)三、解答题：本大题共六小题，共70分。

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2020-2021学年上海市嘉定区第一中学高二上学期第一阶段考试数学试题一、单选题1．已知a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭为单位矩阵，则向量()m a b =,的模为（）．A ．0B ．1C ．2D【答案】B【分析】根据n 阶单位矩阵的定义，可知1,0a d b c ====，即()1,0m =，即可求得结果【详解】根据单位矩阵的定义，主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n 阶矩阵称为n 阶单位矩阵，可知1,0a d b c ====，则()(),1,0m a b == 所以()1,01m == 故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查单位矩阵及求向量的模，解题的关键是熟悉单位矩阵的定义，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.2．已知a ，b 为两个非零向量，命题甲：a b a b -=+，命题乙：向量a 和b 共线，则甲是乙的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】A【分析】若()22cos ,//1a b a b a a ba b ba b-=+⇒-=+⇒=-⇒，即甲可以推出乙，故充分性成立；但,a b 同向共线时，a b a b -<+；,a b 反向共线时，a b a b -=+，即乙推不出甲，故必要性不成立.【详解】若a b a b -=+，则()22a ba b-=+，整理得2222+c 2,2os a a b a b a b a b b +-=+，即c 22os ,a b a b a b -=，即cos ,1=-a b ，则//a b ，即甲可以推出乙，故充分性成立；若//a b ，当,a b 同向时，a b a b -<+；当,a b 反向时，a b a b -=+，即乙推不出甲，故必要性不成立，所以甲是乙的充分不必要条件；故选：A【点睛】关键点睛：本题考查充分必要性条件的判断，向量数量积与向量共线，向量模长的运算，解题的关键是熟悉向量积公式cos ,a b a b a b ⋅=，及向量模长公式2a a =的运用，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.3．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的1010倍，若视力4.2的视标边长为a ，则视力5.1的视标边长为（）A ．91010a - B ．4510a -C ．4510aD ．91010a【答案】A【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -由题意可得：10110111100n n n n a a a a ---=⇔=则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列即101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭则视力5.1的视标边长为91010a - 故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.4．在ABC 中，H 是边AB 上一定点，满足4AB HB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB PC HB HC ⋅≥⋅，则（）． A ．90ABC ∠= B ．90BAC ∠=C ．AB AC =D ．AC BC =【答案】D【分析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设4AB =，(),C a b ，(),0P x ，由题意写出HB ，HC ，PB ，PC 的坐标，由PB PC HB HC⋅≥⋅结合向量的数量的坐标表示可得关于x 的一元二次不等式，结合二次不等式的性质即可求出a 得值，进而可得正确答案.【详解】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设4AB =，(),C a b ，(),0Px ，则1BH = ，()2,0A -，()2,0B ，()1,0H ，所以()1,0HB =，()2,0PB x =-，(),PC a x b =-，()1,HC a b =-，()()2PB PC x a x ⋅=--，1HB HC a ⋅=-，因为PB PC HB HC ⋅≥⋅对于边AB 上任一点P 都成立，所以()()21x a x a --≥-恒成立，即()2210x a x a -+++≥恒成立，所以()()22410a a ∆=+-+≤，即20a ≤，又因为20a ≥，所以0a =，即点C 在AB 的垂直平分线上，所以AC BC =，故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键想到建立直角坐标系将PB PC HB HC ⋅≥⋅转化为坐标，设，设4AB =，(),C a b ，(),0Px ，写出各点坐标即可写出HB ，HC ，PB ，PC 的坐标，可得()()21x a x a --≥-恒成立，利用二次函数的性质求出0a =，可得点C 在AB 的垂直平分线上即AC BC =二、填空题5．2213lim x n n →∞+=______．【答案】3【分析】根据极限的运算法则，即可求解.【详解】由22221311lim lim(3)lim 33x x x n n n n→∞→∞→∞+=+=+=. 故答案为：3.6．已知()1,a k =，()2,3b =，若a 与b 平行，则k =________. 【答案】32【分析】直接利用向量平行公式计算得到答案.【详解】()1,a k =，()2,3b =，a 与b 平行，则3322k k =∴= 故答案为：32【点睛】本题考查了向量的平行，属于简单题.7．方程组2130x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为______．【答案】211310⎛⎫⎪-⎝⎭【分析】利用增广矩阵的定义即可求解.【详解】方程组的增广矩阵为其系数以及常数项构成的矩阵，故方程组2130x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为211310⎛⎫⎪-⎝⎭，故答案为：211310⎛⎫⎪-⎝⎭8．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S =______．【答案】88.【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】因为{}n a 是等差数列，所以()()111481*********88222a a a a S ++⨯====，故答案为：88.9．若1324A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1233B -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2A B -=______．【答案】34111⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由矩阵的性质进行计算即可.【详解】13263424412122233381311A B ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎪--⎝⎭⎝⎭⎭故答案为：34111⎛⎫⎪⎝⎭10．已知()111111234212f n n n=++++++-，则()()1f n f n +-=______．【答案】112122n n +++ 【分析】由题意得出()1f n +，再由()()1f n f n +-得出答案.【详解】()1111111112342122122f n n n n n +=++++++++-++ ()()1121122n n n n f f +=+∴++- 故答案为：112122n n +++ 11．已知ABC 是边长为1的等边三角形，P 为边BC 上一点，满足2PC BP =，则BA AP ⋅=______．【答案】56-【分析】利用平面向量的线性运算以及数量积的定义即可求解.【详解】因为2PC BP =，所以13BP BC =， ()2213BA AP BA BP BA BA BP BA BA BC BA ⋅=⋅-=⋅-=⋅-221115cos601113326BA BC BA =⨯-=⨯⨯⨯-=-，故答案为：56-12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n =+，n *∈N ，则n a =______．【答案】5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩，n *∈N【分析】根据数列的前n 项和，由11,2n n n S S n a S --≥⎧=⎨⎩，即可求出结果.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n =+，n *∈N ，当2n ≥时，()22141421n n n a S S n n n -=-=+---=-；又211145a S ==+=不满足上式，所以5,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，n *∈N .故答案为：5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩，n *∈N13．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q =___________．【答案】152-+ 【分析】无穷等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，不合题意；要使()34lim n n a a a →∞+++存在，必须(1,0)(0,1)q ∈-⋃，求出极限，解方程即可．【详解】由题：无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，341(2)n a a a n a +++=-，不满足()134lim n n a a a a →∞=+++；所以1q ≠，2334(1)1n n a a a a q q-+++=--，极限()34lim n n a a a →∞+++存在，即(1,0)(0,1)q ∈-⋃，()23334(1)lim lim 11n n n n a q aa a a q q-→∞→∞⎛⎫-+++== ⎪--⎝⎭，即2111a q a q=-，化简得：210q q +-=，解得：q =，(1,0)(0,1)q ∈-⋃所以q =．故答案为：12-+ 【点睛】此题考查等比数列之和极限的应用，根据对数列极限讨论，求出基本量的关系．14．已知点()11,1P ，()27,4P ，点P 分向量12PP 的比是12，则向量1PP 在向量()1,1a =-方向上的投影为______．【答案】2【分析】根据点P 分向量12PP 的比是12，11213PP PP =，求出向量1PP的坐标，利用投影的计算公式即可求解.【详解】因为点P 分向量12PP 的比是12，即()()112116,32,133PP PP ===，因为()1,1a =-()121111PP a ⋅=⨯-+⨯=-，所以向量1PP 在向量()1,1a =-方向上的投影为122PP a a ⋅==，故答案为：215．在ABC ∆中,,120CB a CA b ACB ==∠=，，若点D 为ABC ∆所在平面内一点,且满足条件:①()()1CD CB CA R λλλ=+-∈；②()CDbCB aCA +，则CD =________(用a b 、表示).【答案】aba b+ 【分析】由①②可知,CD 为ACB ∠的角平分线，利用,,ABC BCD ACD ∆∆∆的面积关系，即可求出CD .【详解】()()1CD CB CA R λλλ=+-∈，(),CD CA CB CA AD AB λλ∴-=-∴=,AD AB ∴共线，且有一公共点，,,A B D ∴三点共线，即D 在AB 边上.由()CB CAbCB aCA ab a b+=+=()||||CB CA ab CB CA + ||||CB CACB CA +向量在ACB ∠的角平分线上， ()CD bCB aCA +∥，所以CD 为ACB ∠的角平分线. 060ACD BCD ∴∠=∠=00,11sin120||sin 60(),22ABC ACD BCD S S S a b CD a b ∆∆∆=+∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+ abCD a b ∴=+. 故答案为:aba b+ 【点睛】本题考查平面向量的几何意义,考查模长,三角形的面积,常用向量所表示的几何意义熟练掌握是解题的关键,属于中档题.16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意的n *∈N ，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”，则以下{}n a 为“T 数列”的是______． ①{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <；②若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <； ③若()212n nn a n n +=+；④若11a =，()210nn n a a ++-=．【答案】②③【分析】对于①②③④中的数列，分别求前n 项和n S ，判断是否存在实数A ，使得对任意的n *∈N ，都有n S A <，即可判断该数列是否为“T 数列”，即可得正确答案. 【详解】对于①：{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，由等差数列的前n 项和公式可得：()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，当n 无限大时，n S 也无限大，所以数列{}n a 不是 “T 数列”，故①不正确；对于②：若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <；所以()11111112111111n n n n a q a a q a a q a S qq q q q q-==-<+<------，满足“T 数列”的定义，故②正确；对于③：()()121112212n n n n n a n n n n ++==-+⋅+⋅，所以()()122311111111111122222322122122n n n n S n n n ++=-+-++-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅所以数列()212n nn a n n +=+是“T 数列”，故③正确；对于④：在数列{}n a 中，11a =，()210nn n a a ++-=，当n 是奇数时，20n n a a +-=，数列{}n a 中的奇数项构成常数列，且各项都是1，当n 是偶数时，20nna a ，即任意两个连续偶数和为0，当n →+∞时，n S →+∞，所以{}n a 不是“T 数列”，综上所述为“T 数列”的是：②③，故答案为：②③【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.三、解答题17．已知()2,1A ，()3,2B =，()1,4D =-．（1）若四边形ABCD 是矩形，试确定点C 的坐标；（2）已知O 为坐标原点，在（1）的情况下，求OA OB OC OD ⋅-⋅．【答案】（1）()0,5；（2）12-.【分析】（1）设(),C x y ，利用四边形ABCD 是矩形，可得AD BC =，转化为坐标相等即可求解；（2）利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】（1）设(),C x y ，因为四边形ABCD 是矩形，所以AD BC =，()3,3AD =-，()3,2BC x y =--, 所以3323x y -=-⎧⎨-=⎩，解得05x y =⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标()0,5，（2）因为()2,1OA =，()3,2OB =，()0,5OC =，()1,4OD =-，所以()231204512OA OB OC OD ⋅-⋅=⨯+⨯-+⨯=-，所以12OA OB OC OD ⋅-⋅=-.18．已知向量x 、y 满足：1x =，2y =，且(2)?(2)5x y x y --=．（1）求x 与y 的夹角θ；（2）若()x my y -⊥，求实数m 的值．【答案】(1) 3πθ=(2) 14m =【分析】（1）由(2)(2)5x y x y -⋅-=展开，可解出1x y ⋅=，根据向量夹角公式1cos 2x yx yθ==⋅，即可求出夹角θ的大小；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出m 的值．【详解】（1）∵(2)(2)5x y x y --=∴2225251x x y y x y -⋅+=⇒⋅= ∵1cos 2x y x yθ⋅==⋅ ∴3πθ=．（2）∵()x m y y -⊥∴()0x m y y -⋅=，即20x y m y ⋅-= ∴11404m m -=⇒=．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于基础题．19．根据预测，疫情期间，某医院第()N n n *∈天口罩供应量和消耗量分别为n a 和n b （单位：个），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 天末的口罩保有量是前n 天的累计供应量与消耗量的差．（1）求该医院第4天末的口罩保有量；（2）已知该医院口罩仓库在第n 天末的口罩容纳量()24468800n S n =--+（单位：个）．设在某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？【答案】（1）935；（2）第42天末，口罩保有量达到最大超过了.【分析】（1）分别将1,2,3,4n =代入n a 和n b 算出前4个天的口罩供应量和消耗量，差值即为保有量；（2）当供应量大于消耗量时，口罩保有量增加，根据n a 和n b 列出不等式，求出n 的最大值，计算出最大保有量和最大容纳量比较即可得出结论.【详解】（1）第4天末的口罩保有量是前4天口罩供应量和消耗量之差，将1,2,3,4n =代入n a 和n b 得第4天末的口罩保有量为：()()()()1234123420954204306789935a a a ab b b b +++-+++=+++-+++=，所以该医院第4天末的口罩保有量为935；（2）当n n a b >时，保有量始终增加.即104705n n -+≥+，n 为正整数，解得42n ≤，即第42天末的时候，保有量达到最大，此时()()1234212342a a a a b b b b ++++-++++()()420503864742965878222+⨯+⨯=+-=，而容纳量为()2424424688008736S =--+=，而87828736>，所以保有量超过了容纳量.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是读懂题意当供应量大于消耗量时，口罩保有量增加，前4个天的口罩供应量和消耗量差值即为保有量；第二问当n n a b >时，保有量始终增加，由104705n n -+≥+，n 为正整数，解得42n ≤，即第42天末的时候，保有量达到最大，计算出前42天保有量和第42天末的口罩容纳量比较即可. 20．在直角坐标平面xOy 上的一列点()111,A a ，()222,A a ，…，(),nnA n a ，…，简记为{}n A ．若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1n n b b +>，1n =，2，…，其()0,1j =，则称{}n A 为“M 点列”．（1）判断()11,1A ，()22,1A ，()33,1A ，…，(),1n A n ，是否为“M 点列”，并说明理由；（2）判断()11,1A ，212,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，313,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，1,n A n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭…是否为“M 点列”，请说明理由，并求出此时列{}n b 的前n 项和n T ．（3）若n A 为“M 点列”，且点2A 在1A 的右上方，任取其中连续三点k A ，k 1A +，2k A +，判断12k k k A A A ++的形状（锐角三角形､直角三角形､钝角三角形），并予以证明．【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析；1n nT n =-+；（3）钝角三角形，证明见解析．【分析】（1）根据“M 点列”的定义，结合题中条件，即可得出结果；（2）根据题中条件，得出()11nn n b -+=，结合“M 点列”的定义，即可判断出结果；再利用裂项相消法，即可求出数列的和；（3）先由题意，得到1k k A A +与12k k A A ++的坐标，表示出向量数量积，利用“M 点列”的性质，判断1120k k k k A A A A +++⋅<，即可判断三角形的形状. 【详解】（1）根据题意得1n a =，()11,0n n A A +=，∴110010n n n b A A j +=⋅=⨯+⨯=不满足1n n b b +>，故{}n A 不是“M 点列”．（2）根据题意得1n a n =，1111,1n n A A n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴()111111n n n b A A j n n n n +-=⋅=-=++，显然有1n n b b +>， ∴{}n A 是M 点列．则12311111111 (1123243)111n n nT b b b b n n n n =++++=-+-+-++-=-=-+++．（3）因为n A 为“M 点列”，所以(),k k A k a ，()111,k k A k a +++，()222,k k A k a +++ 所以()111,k k k k A A a a ++=--，()12211,k k k k A A a a ++++=-，则()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--， ∵点2A 在点1A 的右上方，∴1210b a a =->， ∵{}n A 为M 点列，∴10n b b ≥>，∴()()21110k k k k k k a a a a b b ++++--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<，即11212112cos 0k k k k k k k k k k k A A A A A A A A A A A ++++++++⋅∠=<，又12k k k A A A ++∠为12k k k A A A ++的内角，∴12k k k A A A ++∠为钝角，∴12k k k A A A ++为钝角三角形．【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于对“M 点列”的理解，要判断一个点列为“M 点列”，必须满足1n n n b A A j +=⋅为增数列；求解“M 点列”中构成的三角形形状时，则需要结合“M 点列”的性质，结合向量数量积求解即可.21．已知数列{}n a 中，已知11a =，2a a =，()12n n n a k a a ++=+对任意n *∈N 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若1a =，12k =-，求n S ；（3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项m a ，1m a +，2m a 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12k =；（2）()2,21,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ；（3）存在，25k =-．【分析】（1）由{}n a 是等差数列，可得121n n n n a a a a +++-=-得到121()2n n n a a a ++=+，即可求解；（2）由12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，进而得到321n n n n a a a a ++++=+，分n 是偶数和n 是奇数，分类讨论，即可求解；（3）由{}n a 是等比数列，得到1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=，分1m a ，m a 和2ma 分别为等差中项，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由题意，数列{}n a 是等差数列，则对任意n *∈N ，可得121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，即121()2n n n a a a ++=+，故12k =．（2）由12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--，()211n n n n a a a a ++++=-+，故()32211n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+．当n 是偶数时，()12341122n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=；当n 是奇数时，()23212a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++()()()123451n n a a a a a a a -=+++++++，()11222n n -=+⨯-=- 综上可得，()2,21,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ．（3）若{}n a 是等比数列，则公比21a q a a ==，由题意1a ≠，故1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=．①若1m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，221a a =+，解得1a =（舍去）； ②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，22a a =+，因为1a ≠，解得2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++． ③若2m a 为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m a a a +-=+，221a a =+，因为1a ≠，解得12a =-，2215a k a ==-+，综上，存在实数k 满足题意，25k =-．【点睛】解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.3、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，进行求解.。