07数学分析(一)试题A及答案
人大2007年数学分析真题
2007数学分析试题：（请将答案做再答题纸上，再试题上做题无效）（本试卷共六道大题，满分150分）一、（本题满分20分）设()f x 在∞（0，）内可导，并且存在p ＞0使得()lim p x f x x →+∞=1. (1) 对任何1＞|δ|＞0，求极限lim x →+∞[(1)]()p f x f x p x δδ+-； (2) 求二次极限0l i m δ→l i m x →+∞[(1)]()p f x f x p xδδ+-； (3) 若'()f x 单增，证明对任何h ＞0，x ∈(0,)+∞，只要x -h ∈(0,)+∞，就有()f x -()f x h -≤'()hf x ≤()f x h +-()f x ；(4) 证明：lim x →+∞'1()p f x px -=1.二、（本题满份25分）设直线y =ax (0＜a ＜1)与抛物线y =2x 在第一象限所围成的平面图形的面积为1s ，y =ax ，y =2x 与直线x =1所围成的平面图形的面积为2s .(1) 试确定a 的值使得1s +2s 达到最小,并求出最小值；(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积；(3) 用定积分表示该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的侧面积(不必求出它的值).（1） 设p ∈(0,1)，将()f x =cos px 在[,]ππ-展开为以2π为周期的傅立叶级数；（2）利用11x+的麦克老林展开式，证明：p ∈(0,1)时， 1101p x dx x -+⎰=0(1)nn p n ∞=-+∑； （3）证明：p ∈(0,1)时，1101p px x dx x --++⎰= sin p π．四、（本题满分20分）证明边长分别为,,,a b c d 的凸边形中，当,a b 边的夹角α满足cos α=22222()a b c d ab cd +--+， 并且,c d 的夹角γ满足α+γ=π时，该四边形的面积最大，并且最大面积为 S =1()sin 2ab cd a +．五、（本题满分20分）设 [,]a b ⨯[,)c +∞={(,)x y |,a x b c y ≤≤≤<+∞}，(,)f x y 定义在[,]a b ⨯[,)c +∞上．(1) 叙述含参变量x 的无穷限广义积分()I x ＝(,)c f x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛的柯西原理；(2) 叙述函数级数1()n n x μ+∞=∑在[,]a b 上一致收敛的柯西原理； (3) 证明：()I x ＝(,)c f x y dy +∞⎰在[,]a b 上一致收敛的充要条件是对任何发散+∞的数列1{}n n A +∞=，(,1,2,...)n A c n >=，函数项级数11(,)n n A A n f x y dy -+∞=∑⎰在在[,]a b 上一致收敛，其中0A =c ．设V 是空间二维单连通的有界区域，其边界∑是简单光滑曲面，点00,0,0()P x y z ∈V .u =(,,)u x y z 在_V =V ⋃∑上具有连续偏导数,在V 内具有二阶连续偏导数,且满足22u x ∂∂+22u y ∂∂+22uz ∂∂=0.(1) 证明:0lim t +→214t πtudS ∑⎰⎰=00,0,0()u x y z ,其中t ∑是含在V 内的球面222000()()()x x y y z z -+-+-=2t ()0t >; (2) 设_n =(,,)n x y z 为t ∑上点(,,)p x y z 处的 外 法 向 量,0000{,,}r p p x x y y z z ==--- ,r r =,证明:1tu dS r n∂∂∑⎰⎰ ;(3) 设_n =(,,)n x y z 为 ∑上点(,,)p x y z 处的 外 法 向 量, 0000{,,}r p p x x y y z z ==--- ,r r =,计算积分21c o s (,)1[]4r n u u dSr r n π∂+∂∑⎰⎰ .。
2007年考研数学一真题及参考答案
2007年考研数学一真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)当时，与等价的无穷小量是(A)(B)(C)(D)【答案】B。
【解析】时几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线渐近线的条数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】D。
【解析】由于，则是曲线的垂直渐近线；又所以是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在一侧。
则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)【答案】C。
【解析】-3-2-10123【方法一】四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定则【方法二】由定积分几何意义知,排除(B)又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而显然排除(A)和(D),故选(C)。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数在处连续，下列命题错误．．的是(A)若存在，则(B)若存在，则(C)若存在，则存在(D)若存在，则存在【答案】D。
【解析】(A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；(B)：若存在，则,则，故(B)正确。
(C)存在，知，则则存在，故(C)正确(D)存在，不能说明存在例如在处连续，存在，但是不存在，故命题(D)不正确。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5)设函数在内具有二阶导数，且,令,则下列结论正确的是 (A)若,则必收敛(B)若,则必发散 (C)若,则必收敛(D)若,则必发散【答案】D 。
2007年考研数学一真题(含解析)
2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→( )A. 1-B.C. 1D.1-(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( )A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F -- (4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( ) A.若12u u >，则{n u }必收敛 B. 若12u u >，则{n u }必发散 C. 若12u u <，则{n u }必收敛 D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。
2007年考研数学一真题及答案解析
2007年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）当x →+0时，与x 等价的无穷小量是（ ）. (D) ３.[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，)24)(x f 处连续，下列命题错误的是（0)0(=f存在，则0)0(=f (C) 若xx f x )(lim 0→存在，则0)0('=f 存在(D) 若xx f x f x )()(lim 0--→存在，则0)0('=f 存.（5）设函数)(x f 在（0，+∞）上具有二阶的导数，且0)0(>''f 令)2,1)((Λ==n n f u n ，则下列结论正确的是（ ）(A) 若,21u u >则{}n u 必收敛。
(B) 若,21u u >则{}n u 必发散。
(C) 若,21u u <则{}n u 必收敛。
(D) 若,21u u <则{}n u 必发散。
（6）设曲线L ：),((1),(y x f y x f =具有一阶的连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和Ⅳ象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零的是（ ）(A).),(⎰Γdx y x f (B).),(⎰Γdy y x f(C) .),(⎰Γds y x f . (D).),(),(⎰Γ'+'dy y x f dx y x f y x（７）设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）(A),,,133221a a a a a a --- (B) ,,,133221a a a a a a +++ (C) ,2,2,2133221a a a a a a ---. (D) ,2,2,2133221a a a a a a +++.（８）设矩阵，，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=000010001211121112B A 则Ａ与Ｂ（ ）(A) 合同，且相似 (B) 合同但不相似(C) 不和同，但相似. (D) 既不合同，也不相似（９）某人向同一目标独立的重复射击，每次射击命中目标的概率为p （)10(<<p ，则此人第４次射击恰好第２次命中的概率为（ ）(A)2)1(3p p - (B) 2)1(6p p - (C) 22)1(3p p -. (D) 22)1(6p p -（１０）设随机变量（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)(),(y f x f y X 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的条件概率密度)|(|Y X f Y X 为（ ） (A) )(x f X (B) )(y f y (C) )()(y f x f y X . (D).)()(y f x f Y X二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （11）1231x e dx x=⎰１ （12） 设(,)f u v 为二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂=∂ （13） 二阶常系数非齐次线性方程2432x y y y e '''-+=的通解为y ＝(20) （本题满分10分）设幂级数nn n a x∞=∑在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===(Ⅰ)证明22,1,2,;1n n a a n n +==+L (Ⅱ)求()y x 的表达式 (21) （本题满分11分） 设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共的解,求a 的值及所有的公共解.(22) （本题满分11分）.设三阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Ta λλλ===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵.(Ⅰ) 验证1a 是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量; (Ⅱ) 求矩阵B.(23) （本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为2,01,01,(,)0x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他(Ⅰ) 求{}P X>2Y ;(Ⅱ) 求z X Y =+的概率密度()z f z (24)（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;)1,2(1),0x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他,其中参数(01)θθ<<未知.12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本,X 是样本均值.(Ⅰ) 求参数θ的矩估计量ˆθ4X是否为2θ的无偏估计量，并说明理由。
2007年考研数学一真题及解析
2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 ( ) A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( ) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。
2007—数一真题、标准答案及解析
2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→( )A. 1-B.C. 1D.1-(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( )A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F -- (4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( ) A.若12u u >，则{n u }必收敛 B. 若12u u >，则{n u }必发散 C. 若12u u <，则{n u }必收敛 D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。
2007考研数一真题答案及详细解析
h(a) =f(a)-g(a) =M-g(a)�O, h(/J) =f依） — g(/J) =f(/J) —M<o,
P 由介们定理，存在介于a与 之间的点刀，使得h(r;) = O.
综上，存在吓E(a,b),使得h(r;)=O. 因此由罗尔定理可知，存在 名ECa,r;),名E(17,b),使得
h I(名） =h'(名） =O,
= O,
故 x-+=时有斜渐近线y =x.
综上，所求曲线的渐近线条数为 3 条，答案为 D.
(3) C
解 如题目中图所示，大小半圆的面积分别为六与 一 14 六．
按定积分的几何意义知，当 x E[0,2]时f(x)�O,当 x E[2,3]时f(x)�O. 则
I I 2(:) ! F(3)=
勹 (t)dt=
(x2 )" n!
=xe立、2
,x、EC�=,
十=).
(21)解 因为方程组也与＠的公共解，即为联立方程组 x1+x2+x3 = 0,
x1 +2x2+a儿、 3 = O, ＠
X 1 +4x2 +a勹3�o, ｀亢 1+2x2 +.:r :, =a — 1
的解
对方程组＠的增广矩阵A施以初等行变换，有
。 。 1 1 1
= J'(0)存在．
工 -o
x-o X
工-o
X
因此A、B、C正确．故应选D.
(5) D 解
、
由广(x)>O (x>O)得J'(x)在(0, 十=)单调上升.j (x)只有以下三种情形：
(1)由存在x。 E (o, 十=), 厂(x。 )=O得
07年考研数一及解析解析
2007年数学一试题分析详解一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0x +→(A)1-(B) ln(C) 1.(D) 1-. 【 】【答案】 应选(B). 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). 【评注】本题直接找出ln但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案。
事实上，2000ln(1)ln(1)limlim lim t x x t t t t +++→→→+--= =22200212(1)111lim lim 1.1(1)(1)t t t t t t t t t t ++→→+-+++-==+- (2)曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】 【答案】 应选(D).【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim[]lim x x x x x y e e x x x x→+∞→+∞→+∞++=+==lim11xx x e e →+∞=+，1lim [1]lim [ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim [ln (1)]lim ln(1)0x xxx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).【评注】 一般来说，有水平渐近线(即lim x y c →∞=)就不再考虑斜渐近线，但当lim x y →∞不存在时，就要分别讨论x →-∞和x →+∞两种情况，即左右两侧的渐近线。
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2007 ～2008 学年第一学期 《数学分析（一）》课程考试试卷(A 卷)(闭卷)院(系) _经济学院___专业班级__________学号_________ 姓名__________考试日期: 2008-1-17 考试时间: 19：00—21：30一. 填空题（每小题3分，共30分） 1.=⎰dx x x2sin C x x x ++-|sin |ln cot .2. 曲线233x x y +-=的拐点是 （1，2）.3. )11(tan )cos 1(lim42220-+-→x x x e x x =___2__.4. 设x x y 44cos sin +=，则)(n y )(+∈N n =)24cos(41πn x n +-. 5. 设1)(2++=x x x f ，在[0,2]上用Lagrange 中值定理，则中值ξ=_1__. 6. Riemann 函数在每个有理点都间断，在每个无理点都连续. 7. 设,021k b b b <<<< 则n nk nnn b b b +++∞→ 21lim =k b .8. 设2211x x xy -+=， 则=dy dx x x x y )121(4-+. 9. 函数x x x u sin 1tan 1)(--+=当0→x 时的无穷小主部是x .10. 设)(x f 在+R 内可微且4)]()(2[lim ='++∞→x f x f x ，则=+∞→)(lim x f x 2二. 举例说明下列命题是错误的(每小题3分，共15分. 需要简单说明)1．非常值周期函数必有最小正周期.Direchlet 函数. 因为任意正有理数都是它的周期.2．设函数)(x f 在区间I 上有间断点，则)(x f 在I 上不存在原函数.⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1cos 21sin 2)(22x x xx x x x f ，在x=0处间断，但在任何区间)0(I I ∈上有原函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(22x x x x x F . 3. 设函数)(x f 在),0[+∞上有定义，且在),0(+∞内有0)(>'x f ，则对一切的0>x ，有)0()(f x f >.只要在x=0处不右连续的函数即可说明.4. 若()f x 在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则必存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=.函数)10(,)(<≤=x x x f ，0)1(=f .5. 若数列}{n x 满足：,,0N ∃>∀ε 当N n >时有ε<-+||1n n x x ，则}{n x 为基本数列.发散数列nx n 1211+++= ，},1][,1max{,01-=>∀-εεN 取 :N n >∀则 ε<+=-+11||1n x x n n .三. 计算题（每小题6分，共18分）1. 求不定积分⎰dx ex x.解： 令x t =，（1分）则⎰⎰=dt e t dx e x t x22 （3分）⎰-=dt te e t t t 422 （4分）C e te e t dt te e t tt t t t ++-=-=⎰4424222. 6分2. 求极限()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---+∞→1lim 412x e x x x x .解：原式()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+++-=--+∞→))(211())(2111(lim 442222x o x x x o x x x x x 3分.21)(212121lim 22-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=+∞→x o x x x 6分3．求极限.lim )1(0-→+xxx x解：因为ln 00lim(1)ln lim(1)ln x x xx x x x e x ++→→-=-2)(ln lim x x x +→=20ln lim 01x xx+→=== 4分所以.1lim lim 0ln )1(0)1(0===-→-→++e e x xxx xx xx6分四. （每小题6分，共12分）1．用极限的定义证明32121lim 221=---→x x x x .证：对1≠x ，有|12|3|1|)12(31321213212122+-=++-=-++=----x x x x x x x x x 2分限制1|1|0<-<x ，则1|1|23|3)1(2||12|>--≥+-=+x x x ， 4分对0>∀ε，取}3,1m i n{εδ=，则当δ<-<|1|0x 时，ε<----3212122x x x . 由极限的定义，32121lim 221=---→x x x x . 6分2. 证明2sin x 在),0[+∞上不一致连续. 证：取N n n x n x n n ∈=+=,2,22"'πππ， （3分） 则0)(lim "'=-∞→n n n x x ，但01))2sin()22(sin(lim ))()((lim "'≠=-+=-∞→∞→πππn n x f x f n n n n . 5分故，证明2sin x 在),0[+∞上不一致连续. 6分 五. 应用题 (7分)某商店每天向工厂按出厂价每件3元购进一批商品零售。
若零售价定为每件4元，估计销售量为400件；若一件售价每降低0.05元，则可多销售40件。
问每件售价应定为多少和从工厂购进多少件时，才可获得最大利润？最大利润为多少元？（假设销售量等于进货量）解：设利润为L ，进货量为x 件，售价为P 元/件，则利润为x P L )3(-=. （1分） 据题意进货的增加量与售价的降低量是成比例的，其数量关系如下表：由表，与是线性函数关系，由直线方程的两点式得该函数的表达式为P x 8003600-=，（2分）所以 108006000800)8003600)(3()(2-+-=--=P P P P P L ，（3分）由060001600)('=+-=P P L ，解得P =3.75 . 又由于01600)("<-=P L ，故P =3.75元是极大值点，也是最大值点。
（5分）这就是说，当定价为每件3.75元时，且进货量为600|)8003600(|75.375.3=-===P P P x （件），（6分）则每天能获得最大利润为450|)108006000800(|)(75.3275.3=-+-===P P P P P L （元）。
（7分）六. 证明题（每小题6分，共18分）1．利用闭区间套定理证明实数集是不可列集.证：用反证法. 假设实数集R 是可列集，即可以找到一种排列的规则，使},,,,{21 n x x x R =. （1分）先取闭区间],[11b a ，使得],[111b a x ∉，然后将],[11b a 三等分. 则在闭子区间]32,[111b a a +，]32,32[1111b a b a ++， ],32[111b b a +中至少有一个不含有2x ，把它记为],[22b a . （3分） 再将],[22b a 三等分，同样，在其三个闭子区间中至少有一个不含有3x ，把它记为],[33b a .这样的步骤可一直做下去，于是得到一个闭区间套]},{[n n b a ，满足 ,3,2,1],,[=∉n b a x n n n . （5分）由闭区间套定理，存在唯一的实数c 属于所有的闭区间],[n n b a ，即是说，),3,2,1( =≠n x c n ，这就与集合},,,,{21 n x x x 表示实数集R 产生矛盾. 6分2. 设导函数)(x f '在区间),1[+∞上连续，在),1(+∞内恒有0)(≥''x f . 若2)1(,1)1(='-=f f ，证明)(x f 在),1(+∞内有唯一零点.证：由已知和Taylor 公式，对1>x ，存在),1(x ∈ξ使得 32)1(21)1(2)()1)(1()1()(2-=-+-≥-''+-'+=x x x f x f f x f ξ. 2分于是1)2(≥f . 由零点定理，)(x f 在)2,1(内有零点，从而在),1(+∞内有零点. 4分 为证明唯一性，仅需证明)(x f 在),1(+∞内严格单调. 其实，由)(x f '在区间),1[+∞上连续和在),1(+∞内恒有0)(≥''x f ，得知02)1()(1>='>'>∀f x f x 有. 此表明)(x f 在),1(+∞内严格单调递增.6分3．设)(x f 在],0[c 上连续，在),0(c 内可导且0)0(=f ，)(x f '为x 的递减函数. 证明：对满足条件c b a b a ≤+<<≤0的任何b a ,都有)()()(b f a f b a f +≤+.证：函数)(x f 在[0,a]与[b,b+a]上均满足Lagrange 中值定理的条件，存在),,0(1a ∈ξ ),(2b a b +∈ξ使得)()()(),(0)0()()(21ξξf ab f b a f f a f a f a a f '=-+'=--=4分注意到)(x f '为x 的递减函数，于是)()()()()(21b f b a f f a f a a f -+='≥'=ξξ, 即)()()(b f a f b a f +≤+.6分。