数学分析专题研究试题及参考答案
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。
答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。
答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。
答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。
令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。
因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。
2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。
答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。
3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。
南开大学数学分析考研试题及解答
20XX 年南开大学数学分析考研试题及解答1、求极限2463lim.x x x ex -→-+解 原极限46464262660[1()][1()]690263limx x x x x x x o x x o x x →-+-+--+-++=11906=-+ 7.45= 2、 计算22,4L ydx xdy I x y -+=+⎰L 为221,x y +=取逆时针方向。
解 记2222,,44y xP Q x y x y-==++ 则222224,(,)(0,0),(4)P x y Qx y y x y x∂-+∂==≠∂+∂ 而由Green 公式知LI Pdx Qdy =+⎰222224(01,4x y ydx xdyx y εε+=-+=<<<+⎰取逆时针方向）222241x y ydx xdy εε+==-+⎰2201sin cos =(sin cos )22t tt t dt πεεεεε--⋅+⋅⎰ .π=3、 计算333,1Sx y z I dS z++=-⎰⎰S 为222=1),0 1.x y z z +-≤≤（解22x y I +≤=⎰⎰22x y +≤=22x y +≤=(对称性)31(1)rrdrr-=⋅⎰.4=4、求函数22(,)27f x y x y=-在闭区域22{(,);2413}D x y x xy y=++≤上的最大值与最小值。
解由414xyf xf y=⎧⎪⎨=-⎪⎩，知f的极值点为(0,0),且(0,0)0.f=往求f在22{(,);(,)24130}D x y x y x xy yϕ∂=≡++-=上的最大值与最小值。
为此，利用Lagrange乘数法，记(,,)(,)(,)L x y f x y x yλλϕ=+222227(2413).x y x xy yλ=-+++-则由224(22)014(28)024130xyL x x yL y x yL x xy yλλλ⎧=++=⎪=-++=⎨⎪=++-=⎩(1)知373xyλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩或122xyλ=±⎧⎪=⎨⎪=⎩直接计算有91(,),(1,2)26.333f f±=±=-故91min26,max.3D Df f=-=______________________________________由1,2(1)知(42)202(148)0.x yx yλλλλ++=⎧⎨+-+=⎩而其有非零解(否则与3(1)矛盾)。
最新电大数学分析专题研究试题及参考答案知识点复习考点归纳总结参考
三一文库（ ）*电大考试*数学分析专题研究试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 .2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈∀，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。
3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点0x 可导。
4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。
5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。
6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈∀α，有 成立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。
二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．设f ：Y X →，X A ⊂∀，则A （ ）))((1A f f -A. =B. ≠C. ⊃D. ⊂2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈∀，有1)(0<<x f ，则（ ）。
A. )(x f '有界B. )(x f '无界C. )(x f 可积D. )(x f 不可积3．已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导，且)(x f < )(x ϕ，则（ ）。
A. )(x f '≠)(x ϕ'B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f '>)(x ϕ' D. 前三个结论都不对4．已知⎩⎨⎧∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义⎰=x t t f x F 0d )()(，则)(x F 在区间[0，2]上（ ）。
A. 连续B. 不连续C. 可导D. 前三个结论都不对5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（ ）。
考研数学分析真题答案
考研数学分析真题答案一、选择题1. 根据极限的定义，下列哪个选项是正确的？A. \(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\)B. \(\lim_{x \to 0} \sin x = 1\)C. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = 1\)D. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)答案：A2. 函数 \(f(x) = \sin x + x^2\) 在 \(x = 0\) 处的导数是多少？A. 1B. 2C. 0D. -1答案：A二、填空题1. 函数 \(y = \ln x\) 的定义域是 _________。
答案：\((0, +\infty)\)2. 若 \(\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}\)，那么\(\int_{0}^{1} x^3 dx\) 的值是 _________。
答案：\(\frac{1}{4}\)三、解答题1. 证明：对于任意正整数 \(n\)，\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}\)。
证明：首先，我们可以将求和式拆分为部分和的形式：\[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)\]通过观察，我们可以看到这是一个望远镜求和，大部分项会相互抵消，最终只剩下：\[1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) 在 \(x = 2\) 处的泰勒展开式，并计算其近似值。
解：首先，我们计算函数在 \(x = 2\) 处的各阶导数：\[f'(x) = 3x^2 - 6x + 2, \quad f''(x) = 6x - 6, \quad f'''(x) = 6\]在 \(x = 2\) 处，\(f(2) = 0\)，\(f'(2) = -2\)，\(f''(2) =6\)，\(f'''(2) = 6\)。
数学分析专题研究试题及参考答案
数学分析专题研究试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈∀，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。
3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点0x 可导。
4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。
5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。
6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈∀α，有 成立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。
二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．设f ：Y X →，X A ⊂∀，则A （ ）))((1A f f-A. =B. ≠C. ⊃D. ⊂2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈∀，有1)(0<<x f ，则（ ）。
A. )(x f '有界 B. )(x f '无界 C. )(x f 可积 D. )(x f 不可积3．已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导，且)(x f < )(x ϕ，则（ ）。
A. )(x f '≠)(x ϕ' B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f '>)(x ϕ' D. 前三个结论都不对4．已知⎩⎨⎧∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义⎰=xtt f x F 0d )()(，则)(x F 在区间[0，2]上（ ）。
A. 连续B. 不连续C. 可导D. 前三个结论都不对 5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（ ）。
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。
12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。
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数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。
（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。
（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。
（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。
4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。
5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。
一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。
, , 当时, , 则。
2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。
五、1.证明:, , 当时, ；得证。
2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。
综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。
, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。
数学分析试题及答案
数学分析试题及答案4(总8页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除（十四） 《数学分析Ⅱ》考试题一 填空（共15分，每题5分）：1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ;2 设=--='→5)5()(lim,2)5(5x f x f f x 则54；3 设⎩⎨⎧>++≤=0,)1ln(,0,sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 1 ， =b 0 。
二 计算下列极限：（共20分，每题5分）1 n n n1)131211(lim ++++∞→ ; 解: 由于，n n n n 11)131211(1≤++++≤ 又，1lim =∞→nn n故 。
1)131211(lim 1=++++∞→nn n2 3)(21limn nn ++∞→；解: 由stolz 定理,3)(21limn n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n nn )1)1()(1(lim-+-+--=∞→n n n n n n nn)1)1(2))(1(()1(lim--+---+=∞→n n n n n n n n n.32)1)11(2111lim2=--+-+=∞→nn nn 3 ax a x a x --→sin sin lim；解: ax ax a x --→sin sin lim ax ax a x ax --+=→2sin 2cos2lim.cos 22sin2coslim a a x a x a x ax =--+=→ 4 xx x 1)21(lim +→。
解: xx x 10)21(lim +→.)21(lim 22210e x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→ 三 计算导数（共15分，每题5分）：1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+=求解: 。
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数学分析专题研究试题及参考答案
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈∀，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。
3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点
0x 可导。
4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。
5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。
6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈∀α，有 成
立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．设f ：Y X →，X A ⊂∀，则A （ ）))((1
A f f
-
A. =
B. ≠
C. ⊃
D. ⊂
2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈∀，有1)(0<<x f ，则（ ）。
A. )(x f '有界 B. )(x f '无界 C. )(x f 可积 D. )(x f 不可积
3．已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导，且)(x f < )(x ϕ，则（ ）。
A. )(x f '≠)(x ϕ' B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f '>)(x ϕ' D. 前三个结论都不对
4．已知⎩⎨⎧∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义⎰=x
t
t f x F 0d )()(，则)(x F 在区
间[0，2]上（ ）。
A. 连续
B. 不连续
C. 可导
D. 前三个结论都不对 5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（ ）。
A. 0)(>''x f
B. 最小值唯一
C. 0)(<''x f
D. 最大值唯一
6．
x x
x f sin )(=
定义在（0，1）上，则)(x f 在（0，1）上是( )函数
A. 有界
B. 无界
C. 周期
D. 偶 三、计算题（每小题8分，共32分）
1．已知2
cos tan )(x x f =，求)(x f '
2．求定积分
⎰20
d cos π
x
x x
3．已知34)1(2
+-=+x x x f ，求)(x f 。
4．求30
sin lim
x x x x -→
四、证明题（每小题8分，共32分）
1．设数列{n a }满足n a >0且1lim <=∞→r a n n n ，则级数∑∞
=1n n a 收敛
2．已知函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内存在二阶导数，且0)()(==b f a f ，存在0)(),,(>∈c f b a c 。
则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)(<''ξf 。
3．已知
2,0,0π
=
+>>y x y x ，证明2sin sin ≤+y x
4．已知函数在],[b a 上连续非负，且存在一点),(0b a x ∈，使0)(0>x f ，则
⎰
>b
a
x x f 0
d )(。
模拟试卷参考答案
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．等价关系
2．E x ∈∃>∀0,0ε，使得εβ+<
0x
3．x x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000
4．)()()(y f x f xy f += 5．线性
6．)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+ 二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 三、计算题（每小题8分，共32分）
1．解：
x x x x f 2sin )(cos cos 1
)(22
2⋅⋅=
'
12
cos 2
d sin 2
d sin sin d cos .220
20
20
2020
-=
+=
-=-=⎰⎰⎰π
π
π
π
π
π
π
π
x
x x x x x
x x x x 解
3．解 34)1(2
+-=+x x x f 8)1(6)
1(2
++-+=x x
故
86)(2
+-=x x x f 4．解
2030
3c o s 1lim sin lim
x x
x x x x x -=-→→
=x x x x x x x 2sin lim
31cos lim 31020
→→=-
61sin lim 610==
→x x x
四、证明题（每小题8分，共32分）
1． 证明：因1
lim <=∞
→r a n n n ，故存在N ，当N n ≥时，
1210<+=
≤r
r a n
n
2． 即N n ≥时，有n
n r a 0
< （4分） 因为级数∑∞
+=1
N n n r
收敛。
故有∑∑∑∞
+==∞
=+
=1
1
1
N n n
N
n n n n
a
a a。
因∑∞
+=1
N n n
a
收敛（7分），故∑∞
=1
n n
a
收敛。
2．证明：已知f(x)在（a,b ）内存在二阶导数，故f ′(x)在（a,b ）内连续，由拉格朗日定理，存在),(1c a ∈ξ，使得
)
()()(1>--=
'c a c f a f f ξ
存在),(2b c ∈ξ，使得
)
()()(2<--=
'c b c f b f f ξ
故存在),(21ξξξ∈，使得
)
()()(1
212<-'-'=
''ξξξξξf f f
3．证明：已知x x f sin )(=在
]
2,0[π
上是上凸函数（2分），故对于)
1,0(21
),2,0(,∈∈πy x 有
)
s i n (s i n 21
2s i n y x y x +≥+
故
24sin 22sin
2sin sin ==+≤+π
y x y x
4．证明：已知f(x)在[a,b]上连续且存在),(0b a x ∈使0)(0>x f ，故存在0>δ，使得
),(),(00b a x x ⊂+-δδ且当),(00δδ+-∈x x x 时，
)(21
)(0x f x f ≥
（4分），因f(x)非
负，故
⎰
⎰
⎰
⎰
++--++=b
x x x x a b
a
dx
x f dx x f dx x f dx x f δ
δ
δ
δ
0000)()()()(
0)(2)(21
)(0000>=⋅≥
≥⎰
+-δδδ
δ
x f x f dx x f x x。