数学分析专题研究模拟试题1

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伍胜健《数学分析》配套模拟试题及详解【圣才出品】

伍胜健《数学分析》配套模拟试题及详解1．（15分）把x作为函数，u=xz、v=yz作为自变量，变换公式解：由于du=xdz+zdx，dv=ydz+zdy，所以于是故有代入原式，即得2．（15分）应用Stokes公式，计算曲线积分，式中C为圆周若从Ox轴正向看去，该圆周是沿逆时针方向进行的．解：平而x+y+z=0的法线的余弦为，于是3．（15分）证明：在x=0处三阶导数不存在．证明：当x≠0时，易知有从而根据导数的定义再由左、右导数的定义可得可见所以在x=0处的三阶导数不存在．4．（15分）设f（x）在[a,b]上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证明：存在c∈（a，b）使证明：由于做辅助函数则由Lagrange中值定理知，存在使得令即有5．（15分）函数f（x）在闭区间[0，1]上有连续的一阶导数，证明：证明：若结论显然成立．若则f（x）在[0，1]上变号，由f（x）的连续性知，存在使于是取积分可得原不等式得证．6．（15分）计算，其中图一解：如图一：把D分成D1，D2两部分，其中7．（20分）设L为球面和平面x+y+z=0的交线，若从x轴正向看去，L是沿逆时针方向的，试计算下列第二型曲线积分：解：把Y=-x-z代人，得令x=u+v，z=-v，可得所以可取由此知道L的参量方程为（1）因为并由对称性得所以（2）因为并由对称性得所以8．（20分）求函数在条件约束下的极值．解：作拉格朗日函数并令由前三式消去μ，得再消去λ，又得于是求得x=y或x=z或y=z．当x=y时，代入条件函数后又解得由此得出同样，当x=z或y=z时，也可得上述结果．由于函数，在有界闭集上必有最大值和最小值，所以有9．（20分）设悬链方程为，它在[0，t]上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为：s（t）、A（t）．该曲边梯形绕x轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为V（t）、S（t）、F（t）．证明：（1）s（t）=A（t），t>0；（2）S（t）=2V （t）；（3）证明：（1）由弧长公式得由定积分的几何意义可得（2）旋转体体积为侧面积为。

《数学分析选论》习题全解模拟试题及答案

《数学分析续论》模拟试题及答案一、单项选择题（56⨯'）（１）设{}n a 为单调数列，若存在一收敛子列{}j n a ，这时有．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．j n j n n a a ∞→∞→=lim lim ；Ｂ．{}n a 不一定收敛；Ｃ．{}n a 不一定有界；Ｄ．当且仅当预先假设了{}n a 为有界数列时，才有Ａ成立．（２）设)(x f 在R 上为一连续函数，则有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．当I 为开区间时)(I f 必为开区间；Ｂ．当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间；Ｃ．当)(I f 为开区间时I 必为开区间；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（３）设)(x f 在某去心邻域)(0x U 内可导．这时有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若A x f x x ='→)(lim 0存在，则A x f =')(0；Ｂ．若f 在0x 连续，则A 成立；Ｃ．若A x f =')(0存在，则A x f x x ='→)(lim 0；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（４）设)(x f 在],[b a 上可积，则有．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．)(x f 在],[b a 上必定连续；Ｂ．)(x f 在],[b a 上至多只有有限个间断点；Ｃ．)(x f 的间断点不能处处稠密；Ｄ．)(x f 在],[b a 上的连续点必定处处稠密．（５）设∑∞=1n nu 为一正项级数．这时有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若0lim =∞→n n u ,则 ∑∞=1n n u 收敛；Ｂ．若∑∞=1n n u 收敛，则1lim1<+∞→nn n u u ；C ．若∑∞=1n nu 收敛，则1lim<∞→nn n u ；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．二、计算题（401⨯'）（１）试求下列极限：①⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→n n n n 3)12(31lim ； ② ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∞+→xt x t x tt 022022lim d ed e ．（２）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+x y u f u y x u y x arctan e )(,21,220．试求)()(0u f u f ''与．（３）试求由曲线 12-=x y ，直线2=x ，以及二坐标轴所围曲边梯形的面积 S ．（４）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）导出从固定点),(00y x 到直线0=++C y B x A 的距离计算公式．三、证明题（301⨯'）（１）设)()(x g x f 与在],[b a 上都连续．试证：若)()(,)()(b g b f a g a f ><，则必存在),(0b a x ∈，满足)()(00x g x f =．（２）证明x x x f ln )(=在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3, 其中 c b a ,,均为正数．( 提示：利用詹森不等式．)（３）证明：∑∞=π=+-0412)1(n n n ．解答一、［答］（１）Ａ；（２）Ｃ；（３）Ｂ；（４）Ｄ；（５）Ｄ．二、［解］（１） ① 333lim 3)12(31lim -=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→∞→n n n n n n n ；②.022limd 2limd 2limd ed e lim2222222220200220====⎪⎭⎫⎝⎛∞+→∞+→∞+→∞+→⎰⎰⎰⎰x x x x x tx x xt xx xt xt x x t ttt eeee ee e（２） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-='++515242)(,e 2e 2)(55022222222e e u f y x xy x y y x u f y x y x ．（３）所围曲边梯形如右图所示．其面积为.212)3(01)3()1()1(3312122=-+-=-+-=⎰⎰x x x x xx x x S d d（４）由题意，所求距离的平方（2d ）为020)()(y y x x -+-的最小值，其中),(y x 需满足0=++C By Ax ，故此为一条件极小值问题．依据 Lagrange 乘数法，设)()()(2020C By Ax y y x x L ++λ+-+-=，并令⎪⎩⎪⎨⎧.0,0)(2,0)(200=++==λ+-==λ+-=λC y B x A L B y y L A x x L y x （Ｆ）由方程组（Ｆ）可依次解出：.2200202022200222202022********)()(,)()(4)()(,2,)(2,2,2BA C yB x A y y x x d B AC y B x A B A y y x x BA C yB x A B A y B Ax y B x AC By y Ax x +++=-+-=⇒+++=+λ=-+-⇒+++=λ⇒+λ-+=+=-λ-=λ-=最后结果就是所求距离d 的计算公式．注上面的求解过程是由（Ｆ）求出λ后直接得到2d ，而不再去算出y x 与的值，这是一种目标明确而又简捷的解法．三、［证］（１）只需引入辅助函数：)()()(x g x f x h -=．易知)(x h 在],[b a 上连续，满足0)(,0)(><b h a h ，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在),(0b a x ∈，满足0)(0=x h ，即)()(00x g x f =．（２）x x x f ln )(=的定义域为),0(∞+，在其上满足：),0(,01)(,1ln )(∞+∈>=''+='x xx f x x f ，所以)(x f 为一严格凸函数．根据詹森不等式，对任何正数c b a ,,，恒有.)(ln )3(ln )ln ln ln (31)3(ln 3cb ac b a c b a c b a c c b b a a c b a c b a <++⇒++<++++++最后借助函数x ln 的严格递增性，便证得不等式c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3．（３）由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和．此时可以考虑把该级数的和看作幂级数=)(x S ∑∞=++-01212)1(n n n n x 在1=x 处的值，于是问题转为计算)(x S ．不难知道上述幂级数的收敛域为]1,1[-，经逐项求导得到]1,1[,)1()(02-∈-='∑∞=x x x S n n n ；这已是一个几何级数，其和为]1,1[,11)()(22-∈+=-='∑∞=x xx x S n n ．再通过两边求积分，还原得⎰⎰=+='=-xxx t tt t S S x S 02,arctan 11)()0()(d d由于这里的0)0(=S ，于是求得∑∞=π===+-041arctan )1(12)1(n n S n ．。

数学分析专题研究模拟试题及参考答案

数学分析专题研究模拟试题及参考答案一、单项选择题1．A ，B ，C 是三个集合，C B A ⊂，则有（）成立。

A. 若A x ∈，则B x ∈B. 若A x ∈，则C x ∈C. 若A x ∈，则C B x ∈D. 若C B x ∈，则A x ∈答案：D2．设12)(2-+-=x x x f 则R R f →:是（）A. 双射B. 既非单射也非满射C.单射而非满射D. 满射而非单射答案：B3．下列数集（）不是可列集.A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．实数集答案：D4．已知函数)(x f y =在)1,0(内可导，且)(x f '在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内（）.A ．连续B ．间断C ．有界D ．无界答案：A5．有界闭凸集S 上的下凸函数)(x f 的最大值必在S 的（）达到.A ．内部B ．外部C ．边界S ∂D ．可能是内部也可能在边界S ∂答案：C二、填空题1．已知},{},,{d c B b a A ==，则________________=⨯A B . 答案：)},(),,(),,(),,{(b d a d b c a c2．设R 为X 中的关系，若R 是反身的、对称的、传递的，则称关系R 是 . 答案：等价关系3．若集合A 能与其任意真子集1A 之间建立一个双射，则集合A 是 .答案：无限集4．=ix e .答案：x i x sin cos +5．设n n n x n x f ∑∞=--=11)1()(，则ln(_____))(=x f . 答案：x +1三、计算题1．已知函数)(x f 满足34)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .解：34)1(2+-=+x x x f8)1(6)1(2++-+=x x故86)(2+-=x x x f2．求函数x x x f 1)(+=的极值. 解令 011)(2=-='x x f 解得 1±=x 312)(xx f ⋅=''，,02)1(>=''f 故1=x 是极小值点，2)1(=f 是极小值； ,02)1(<-=-''f 故1-=x 是极大值点，2)1(-=-f 是极大值。

数学分析报告(1)期末模拟考精彩试题(证明部分新).

数列极限类1.证明: .证因为又,由迫敛原理得.2.设,证明有极限,并求此极限的值.证由均值不等式得,即有下界.又,即单调减,于是存在,且由极限的保号性可得.对已知递推公式,令和极限的唯一性得,解得(负根舍去,即有.单调性的证明也可如下完成:,或.3.设,试证数列存在极限,并求此极限.证由知, .假设,则,由归纳法知为单调下降数列.又显然有,所以有下界.由单调有界原理知,数列收敛.所以可令,对两边取极限得,解得或(舍去,故.4.设,当时,有且.求证极限与存在且等于.证由得,由迫敛原理得,再由及可得存在且等于.5. 设.求证: (1 与均有极限; (2 .证因为,所以,即单调减少有下界,而,即单调增加有上界.所以与都收敛.在两边取极限得.6. 设,且,求证收敛且.证因为,对给定的,当时,有,所以,当时,有,由迫敛原理得.闭区间上连续函数的性质7.证明方程在内至少有一个根.证令,则在上连续,且,,即.由根的存在性定理得至少存在一点,使得,即方程在内至少有一个根.8.证明方程至少有一个小于的正根.(10分证令,则在上连续且,由闭区间上连续函数的零点存在定理,，使得.9. 设函数在上连续,且满足.若在上能取到负值,试证明: (1 ,使得; (2 在上有负的最小值.证由条件可设且,由,存在使得,由根的存在性定理,得,使得.(1得证.(2 由,存在使得当时,有.又在上连续,故,使得.而当时,,故对有.所以结论成立.10. 设为正整数,为个实常数,且.求证多项式函数在内至少有两个零点.证因为,又,所以存在,使得,又在和上都连续,由根的存在性定理,和,使得,所以,结论成立.11. 设,求的表达式,并指明的间断点及其类型.解: ,所以为第一类可去间断点;为第二类无穷间断点.12. 设在上连续,且满足,求证:,使得.证明:令,则在上连续,.由连续函数的零点定理,必存在,使得,故使得.13. 设是上的连续函数,且满足条件.证明存在,使得.证明: 令,则在上连续,且,.若,则存在或使得.若与都不为零,则由连续函数的零点定理,必存在,使得,故使得.(注:两个数的和为零,则这两个数要么同时为零,要么,它们异号.14. 设函数在上连续,且满足,若存在,使得,求证:(1 使得;(2 在上有负的最小值.证明: (1 因为,由函数的局部保不等式性,存在充分大的(不妨设,使得时,有,所以当时,在上连续且,由连续函数的零点存在定理,存在使得.(2 又在上连续,故由最值定理,存在,使当时,,而,且时,.所以在上有负的最小值.15. 设,若,求证.证法1（用导数定义）因为.又,所以,所以.证法2（用重要极限1）所以.导数与微分证明16.设证明: 在处可微; 在处不可微证因为,所以函数在处可导,由可导与可微的关系知在处可微;又当时, ,而极限不存在,故在处不可导, 由可导与可微的关系知在处不可微;17. 设存在,证明:证:18. 设为内的可导函数,周期为.求证:也是以为周期的函数. 证明:因为,所以也是以为周期的函数.中值定理的应用19.设,证明多项式在内至少有一个零点.证作辅助函数,则在闭区间满足罗尔中值定理的三个条件,故存在使得,故在内至少有一个零点.20.设都是可导函数,且,证明当时,证因为严格单调增.当时, .又由柯西中值定理得,存在使得.21. 对任意的,有,且等号只在时成立.证明: 令存在,使得,而,当且仅当时,所以结论成立.22. 设在上连续,在内可导,且满足,求证:存在,使得.提示:令,用罗尔中值定理可证.23.设函数在上连续,在内二阶可导,连结点与点的直线交曲线于点,其中.证明:存在,使得.证因为三点共线,所以.在及上分别应用中值定理得:存在,使;存在,使,即.由于二阶可导,故函数在区间上满足罗尔中值定理的条件,故,使得.24. 设,证明不等式:.提示:在上用拉格朗日中值定理,注意将分母放大!25. 设,证明不等式.26. 设,证明不等式.证将要证的不等式变形为,令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,于是使得,又由与在上的连续性与单调性可得,所以,故要证的不等式成立.27. 已知在的某邻域内有二阶连续导数,且,证明:存在唯一的一组实数,使当时,是比高阶的无穷小量.证法1 （洛比达法则）令,并由要证可知,前三式的分子的极限都应是零,可得到(2因为,故(2有唯一非零解.故结论成立.28.设函数在内可导,且及都存在.证明. 证当时,由条件知,函数在区间上连续可导,故,使得.因为及都存在,所以=.29. 证明;当时,证令,则.令,所以在内单调增,则当时, ,从而,所以在内单调增,则当时, .用单调性证明不等式30. 证明;当时,证令,,当时,,所以在内单调增,故当时,因而得在内单调增, 故当时, .31. 设,证明不等式:.32. 设，证明不等式。

考研数学模拟测试题完整版及答案解析数一

2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数一）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）当0x →时，下面4个无穷小量中阶数最高的是（）23545x x x ++(C) 33ln(1)ln(1)x x +--(D) 1cos 0x-⎰【答案】（D ）【解析】（A ）项：当0x →22x =:（B ）项：显然当0x →时，2352454x x x x ++:（C ）项：当0x →时，333333333122ln(1)ln(1)ln ln 12111x x x x x x x x x⎛⎫++--==+ ⎪---⎝⎭:: （D）项：1cos 31100001(1cos )2limlim lim k k k x x x x x x x x kx kx ---→→→→-⋅===⎰所以，13k -=，即4k =时1cos 0limkx x-→⎰存在，所以41cos 08x -⎰:（2）下列命题中正确的是（） (A) 若函数()f x 在[],a b 上可积，则()f x 必有原函数 (B)若函数()f x 在(,)a b 上连续，则()baf x dx ⎰必存在(C)若函数()f x 在[],a b 上可积，则()()xax f x dx Φ=⎰在[],a b 上必连续(D)若函数()f x 在[],a b 上不连续，则()f x 在该区间上必无原函数【答案】 C【解析】选项（A ）错误，反例：1,01()2,12x f x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，在[]1,2可积，但它无原函数。

选项（B ）错误，反例：1()f x x=在(0,1)上连续，但101dx x ⎰不存在。

选项（D ）错误，反例：112cos sin ,0()00x x f x x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处不连续，但其原函数可取21cos ,0()00x x F x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 。

数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新)

数列极限类 1. 证明: 112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 证因为11211122222+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤+n n n n n n n n n又11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ,由迫敛原理得112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 2. 设() ,2,121,1111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>=+n a a a a a a n n n ,证明{}n a 有极限,并求此极限的值. 证由均值不等式得a a a a a a a a n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2212111,即{}n a 有下界. 又0212121=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ,即{}n a 单调减,于是A a n n =∞→lim 存在,且由极限的保号性可得1≥A .对已知递推公式,令∞→n 和极限的唯一性得⎪⎭⎫⎝⎛+=A a A A 21, 解得a A =(负根舍去),即有a a n n =∞→lim .单调性的证明也可如下完成:11211212221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a a ,或n n n n n a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+2121. 3. 设() ,2,16,1011=+==+n x x x n n ,试证数列{}n x 存在极限,并求此极限.证由4166,10121==+==x x x 知, 21x x >.假设1+>k k x x ,则21166+++=+>+=k k k k x x x x ,由归纳法知{}n x 为单调下降数列.又显然有0>n x ,所以{}n x 有下界.由单调有界原理知,数列{}n x 收敛.所以可令a x n n =∞→lim ,对n n x x +=+61两边取极限得0662=--⇒+=a a a a ,解得3=a 或2-=a (舍去),故3lim =∞→n n x .4. 设+N ∈∃N ,当N n >时,有n n b A a ≤≤且()0lim =-∞→n n n a b .求证极限n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在且等于A .证由n n b A a ≤≤得n n n a b a A -≤-≤0,由迫敛原理得A a n n =∞→lim ,再由()0lim =-∞→n n n a b 及A a n n =∞→lim 可得n n b ∞→lim 存在且等于A .5. 设()n n n n n n y x y y x x b y a x +==>=>=++21,,0,01111.求证: (1) {}n x 与{}n y 均有极限; (2) n n n n y x ∞→∞→=lim lim .证因为()1121++=+≤=n n n n n n y y x y x x ,所以()()n n n n n n y y y y x y =+≤+=+21211,即{}n y 单调减少有下界,而n n n n n n n x x x y x x y y =≥=≥≥++111,即{}n x 单调增加有上界.所以{}n x 与{}n y 都收敛.在()121+=+n n n y y x 两边取极限得n n n n y x ∞→∞→=lim lim .6. 设0>n a ,且1lim1<=+∞→q a a nn n ,求证{}n a 收敛且0lim =∞→n n a .证因为1lim1<=+∞→q a a nn n ,对给定的+N ∈∃>-=00,021N qε,当0N n >时,有()n n n n n n a a r r q q q a a q q q q a a <⇒<=+=-+<<--⇒-<-+++111121212121, 所以,当0N n >时,有112210a r a r ra a n n n n ---<<<<< ,由迫敛原理得0lim =∞→n n a .闭区间上连续函数的性质7. 证明方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根. 证令()1sin ++=x x x f ,则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,且22ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,222ππ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,即022<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f .由根的存在性定理得至少存在一点∈ξ⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ,使得()0=ξf ,即方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根.8. 证明方程12=⋅xx 至少有一个小于1的正根.(10分)证令()12-=xx x f ,则f 在[]1,0上连续且()()()011110<-=⋅-=⋅f f ,由闭区间上连续函数的零点存在定理,()1,0∈∃ξ，使得()12012=⋅⇒=-⋅=ξξξξξf .9. 设函数f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x .若f 在[)+∞,0上能取到负值,试证明:(1) [)+∞∈∃,00x ,使得()00=x f ; (2) f 在[)+∞,0上有负的最小值.证由条件可设[)+∞∈',0x 且()0<'x f ,由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得()021>>M f ,由根的存在性定理,得()[)+∞⊂'∈∃,0,0M x x ,使得()00=x f .(1)得证. (2) 由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得当M x ≥时,有()021>>x f .又f 在[]M .0上连续,故[]M ,0∈∃ξ,使得()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.而当[)+∞∈,M x 时,()021>>x f ,故对[)+∞∈∀,0x 有()≥x f ()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.所以结论成立.10. 设n 为正整数,n a a a 221,,, 为n 2个实常数,且02<n a .求证多项式函数()n n n n n a x a x a x x P 21212122++++=--在()+∞∞-,内至少有两个零点.证因为()0022<=n n a P ,又()()+∞=+∞=+∞→-∞→x P x P n x n x 22lim ,lim ,所以存在0>M ,使得()()0,022>>-M P M P n n ,又n P 2在[]0,M -和[]M ,0上都连续,由根的存在性定理,()0,1M -∈∃ξ和()M ,02∈∃ξ,使得()()02212==ξξn n P P ,所以,结论成立.11. 设()xt x x t x t x f sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛=,求()x f 的表达式,并指明()x f 的间断点及其类型.解: ()xx xx x t x x t xt xx t ex x t x t x f sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim sin sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛=-→-→,所以0=x 为第一类可去间断点;() ,2,1±±==k k x π为第二类无穷间断点.12. 设()x f 在[]b a ,上连续,且满足()b x f a <<,求证:()b a x ,0∈∃,使得()00x x f =.证明:令()()x x f x F -=,则()x F 在[]b a ,上连续,()()()()()()0<-⋅-=⋅b b f a a f b F a F .由连续函数的零点定理,必存在()b a x ,0∈∃,使得()00=x F ,故()b a x ,0∈∃使得()00x x f =.13. 设()x f 是[]a 2,0上的连续函数,且满足条件()()a f f 20=.证明存在[]a x ,00∈,使得()()a x f x f +=00.证明: 令()()()a x f x f x F +-=,则()x F 在[]a ,0上连续,且()()()a f f F -=00,()()()()()()()02002=-=+⇒-=a f f a F F a f a f a F .若()()00==a F F ,则存在00=x 或a x =0使得()()a x f x f +=00.若()0F 与()a F 都不为零,则()()00<⋅a F F由连续函数的零点定理,必存在()a x ，00∈∃,使得()00=x F ,故()a x ,00∈∃使得()()a x f x f +=00.(注:两个数的和为零,则这两个数要么同时为零,要么,它们异号).14. 设函数()x f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x ,若存在()+∞∈,00x ,使得()00<x f ,求证:(1) ()+∞∈∃,0ξ使得()0=ξf ; (2) ()x f 在[)+∞,0上有负的最小值.证明: (1) 因为()1lim =+∞→x f x ,由函数的局部保不等式性,存在充分大的0>M (不妨设0x M >),使得M x >时,有()21>x f ,所以当M x >1时,()x f 在[]10,x x 上连续且()()010<⋅x f x f ,由连续函数的零点存在定理,存在[]()+∞⊂∈∃,0,10x x ξ使得()0=ξf .(2) 又()x f 在[]0,0x 上连续,故由最值定理,存在[]1,0x ∈η,使当[]1,0x x ∈时,()()ηf x f ≥,而()()00<≤x f f η,且[)+∞∈,1x x 时,()()ηf x f >>>021.所以()x f 在[)+∞,0上有负的最小值()ηf .15. 设()nx a x a x a x f n sin 2sin sin 21+++= ,若()x x f sin ≤,求证1221≤+++n na a a .证法1（用导数定义）因为 ()()n n na a a f nx na x a x a x f +++='⇒+++=' 212120cos 2cos 2cos . 又()()0000sin 0=⇒=≤f f ,所以()()()()1sin lim lim 00lim0000=≤=--='→→→xx x x f x f x f f x x x ,所以1221≤+++n na a a .证法2（用重要极限1）()1sin lim sin lim 2sin lim sin lim lim 0002010=≤+++=→→→→→xx x nxa x x a x x a x x f x x n x x x 所以1sin lim 2021=≤+++→xx na a a x n .导数与微分证明16. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 3x x xx x f 证明: ()x f 在0=x 处可微; ()x f '在0=x 处不可微证因为()()()01sin lim 00lim0200==--='→→xx x f x f f x x ,所以函数()x f 在处可导,由可导与可微的关系知()x f 在0=x 处可微;又当0≠x 时, ()xx x x x f 1cos 1sin32-=', 而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-'-'→→x x x x f x f x x 1cos 1sin 3lim 00lim00极限不存在,故()x f '在0=x 处不可导, 由可导与可微的关系知()x f '在0=x 处不可微; 17. 设()0x f ''存在,证明: ()()()()0200002limx f hx f h x f h x f h ''=--++→ 证:()()()()()()()()()()()[]()0000000000020000)21lim 212lim 2limx f x f x f h x f h x f h x f h x f h h x f h x f h x f h x f h x f h h h ''=''+''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--'+'-+'=-'-+'=--++→→→ 18. 设()x f 为()+∞∞-,内的可导函数,周期为T .求证:()x f '也是以T 为周期的函数.证明:因为()()()()x f T x f x f T x f '=+'⇒=+,所以()x f '也是以T 为周期的函数. 中值定理的应用 19. 设01210=++++n a a a n ,证明多项式()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.证作辅助函数()12101121+++++=n n x a n x a x a x F ,则()x F 在闭区间[]1,0满足罗尔中值定理的三个条件,故存在()1,0∈ξ使得()010=+++='n n a a a F ξξξ ,故()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.20. 设g f ,都是可导函数,且()()x g x f '<',证明当a x >时,()()()()a g x g a f x f -<-证因为()()⇒'<'≤x g x f 0()x g 严格单调增.当a x >时, ()()a g x g >. 又由柯西中值定理得,存在()x a ,∈ξ使得()()()()()()()()()()()()()()()()a g x g a f x f g f a g x g a f x f g f a g x g a f x f -<-⇒<''=--⇒''=--1ξξξξ.21. 对任意的[)+∞∈,0x ,有()x x ≤+1ln ,且等号只在0=x 时成立.证明: 令()()(),001ln =⇒-+=f x x x f 存在()x ,0∈ξ,使得()()x f x f ξ'=,而()()001<⇒<+-='x f f ξξξ,当且仅当0=x 时()00=f ,所以结论成立.22. 设()x f 在[]a ,0上连续,在()a ,0内可导,且满足()()00==a f f ,求证:存在()a ,0∈ξ,使得()()02='+ξξξf f .提示:令()()x f x x F 2=,用罗尔中值定理可证.23. 设函数f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,连结点()()a f a A ,与点()()()b f b B ,的直线交曲线()x f y =于点()()c f c M ,,其中b c a <<.证明:存在()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf .证因为B M A ,,三点共线,所以()()()()()()cb c f b f a c a f c f a b a f b f --=--=--. 在[]c a ,及[]b c ,上分别应用中值定理得: 存在()c a ,1∈η,使()()()a c a f c f f --='1η;存在()b c ,2∈η,使()()()cb c f b f f --='2η,即()()21ηηf f '='.由于f 二阶可导,故函数f '在区间[]21,ηη上满足罗尔中值定理的条件,故()()b a ,,21⊂∈∃ηηξ,使得()0=''ξf .24. 设10<<<b a ,证明不等式:abab a b 2arctan arctan -<-. 提示:在[]b a ,上用拉格朗日中值定理,注意将分母放大!25. 设b a <<0,证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+.26. 设()1,0∈x ,证明不等式()x x x x 2arctan 1ln <++<. 证将要证的不等式变形为()2arctan 1ln 1<++<xxx ,令()()x x x f arctan 1ln ++=,则()()()x f x f ,1,0,00∈∀=在[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件,于是()(),01,0⊂∈∃x ξ使得()211110arctan 1ln ξξ+++=-++x x x , 又由x +11与211x +在[]1,0上的连续性与单调性可得11121,111212<+<<+<ξξ,所以 ()2arctan 1ln 1<++<xxx ,故要证的不等式成立.27. 已知()x f 在0=x 的某邻域内有二阶连续导数,且()()()00,00,00≠''≠'≠f f f ,证明:存在唯一的一组实数321,,λλλ,使当0→h 时,()()()()032321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小量.证法1 （洛比达法则）()()()()()()()()()()()()0942123924lim 23322lim032lim3213210321023210f h f h f h f h h f h f h f h f h f h f h f h h h ''++=''+''+'''+'+'=-++→→→λλλλλλλλλλλλ令()()009421321=''++f λλλ,并由要证可知,前三式的分子的极限都应是零,可得到 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0940321321321321λλλλλλλλλ (2) 因为0941321111≠,故(2)有唯一非零解.故结论成立.28. 设函数f 在),(+∞a 内可导,且()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在.证明()0lim ='+∞→x f x .证当a x >时,由条件知,函数f 在区间[]1,+x x 上连续可导,故()1,+∈∃x x ξ,使得()()()ξf x f x f '=-+1.因为()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在,所以()x f x '+∞→lim =()()()[]()()0lim 1lim 1lim lim =-+=-+='+∞→+∞→+∞→+∞→x f x f x f x f f x x x ξξ.29. 证明;当2021π<<<x x 时,1212tan tan x x x x >证令()x x x f tan =,则 ()xx xx x xx x x f 2222cos 2sin 21tan sec -=-='. 令()()⎪⎭⎫⎝⎛∈>-='⇒-=2,0,02cos 12sin 21πx x x g x x x g ,所以()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内单调增,则当0>x 时, ()()00=>g x g ,从而()0>'x f ,所以()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内单调增, 则当2021π<<<x x 时, ()()1212112212tan tan tan tan x x x x x x x x x f x f >⇒>⇒>.用单调性证明不等式30. 证明;当0>x 时, ()xx x +>+1arctan 1ln证令()()()x x x x f arctan 1ln 1-++=,()()()()2221211;111ln 1x xx x f x x x f +++=''+-++=',当0>x 时,()0>''x f ,所以()x f '在()+∞,0内单调增,故当0>x 时, ()()00='>'f x f 因而得()x f 在()+∞,0内单调增, 故当0>x 时, ()()()xxx f x f +>+⇒=>1arctan 1ln 00. 31. 设e x 31≤≤,证明不等式:()1ln ln 23ln 122≤-≤-x x .32. 设0>x ，证明不等式11≤--xe x。

数学分析课程模拟试卷

浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷1一、（10分）1．求极限。

2．设求二、（10分）1．设，试证明2．设在上上连续，在内存在，试证明存在，使得三、（15分）1．求数项级数的和S。

2．试证明是（）上的连续函数。

四、（15分）1．设方程组，确定了可微函数试求.2.设求.五、（30分）1．计算定积分.2．求以曲面为顶，以平面为底，以柱面为侧面的曲顶柱体的体积V.3．设表示半球面的上侧，求第二类曲面积分六、（20分）1．将函数展开成Fourier级数。

2．求级数的和3．计算广义积分浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷2一、（20分）1、证明：数列是收敛的，其中表示以自然底数为底的对数。

2、计算：。

二、（15分）设是闭区间[]上的的连续函数，对任一点，存在趋于零的数列{}，使得证明函数为一线性函数。

三、（15分）设是（）上的无处可导的连续函数，试以此构造连续函数，在（）上仅在两点可得，并且说明理由。

四、（15分）设1，求以及；2，问，在原点是否连续？在原点是否可微？试说明理由。

五、（20分）设在[]的任何闭子区间[]上黎曼可积，且收敛，证明：对于常数，成立六、（15分）计算曲面积分其中，常数。

七、（15分）设V为单位球：，又设为不全为零的常数，计算：。

八、（20分）设函数，证明级数收敛。

九、（15分）设在[]上可微，。

若有常数，使得对任意，有。

证明在。

浙江大学数学系数学分析课程模拟试卷3一、（10分）计算定积分。

二、（10分）设在[0，1]上Riemann可积，且，计算：。

三、（15分）设为实数，且。

试确定的值，使得。

四、（15分）设在[]上连续，且对每一个，使得。

证明：存在，使得。

五、（20分）（1）设在[]上连续，且收敛。

证明：存在数列，条件。

（2）设在[]上连续，，且。

问：是否必有？为什么？五、（15分）设在[]上具有二阶连续导续，且已知和均为限数。

证明：、（1）对任何的，均成立；（2）也是有限数，并且满足不等式.七、（10分）设在任何有限区间上Riemann可积，且收敛。

数学分析(1)期末模拟考试题(单项选择部分)

单项选择题一、函数 1. 设()⎩⎨⎧>≤=.1,0,1,1x x x f 则()[]{}x f f f 等于( B ).(A) 0; (B) 1; (C) ⎩⎨⎧>≤.1,0,1,1x x ; (D) ⎩⎨⎧>≤.1,1,1,0x x2. 设()⎩⎨⎧>+≤-=.0,2,0,2x x x x x g ()⎩⎨⎧≥-<=.,,0,2x x x x x f 则()[]=x f g ( D ).(A) ⎩⎨⎧≥-<+.0,2,0,22x x x x ; (B) ⎩⎨⎧≥+<-.0,2,0,22x x x x ; (C) ⎩⎨⎧≥-<-.0,2,0,22x x x x ; (D) ⎩⎨⎧≥+<+.0,2,0,22x x x x3. 若f 为连续奇函数,则()x f sin 为( A ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.4. 若f 为连续奇函数,则()x f cos 为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.5. 若()()()x f x f x g --=,则g 为( A ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.6. 若f 为连续偶函数,则()x x f sin -为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.7. 若f 为连续偶函数,g 为非负偶函数,则g f 为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.8. 设()xex x x f cos sin ⋅=,则在()+∞∞-,上()x f 是( D )(A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 偶函数. 8. 设()⎩⎨⎧>+≤=.0,,0,22x x x x x x f 则( D ).(A) ()()⎩⎨⎧>+-≤-=-.0,,0,22x x x x x x f (B) ()⎩⎨⎧>-≤+-=-.0,,0),(22x x x x x x f(C) ()⎩⎨⎧>-≤=-.0,,0,22x x x x x x f (D) ()⎩⎨⎧≥<-=-.0,,0,22x x x x x x f9.设()1,0∈x 则下列选项正确的是( B ).(A) ()x x ln ln sin <; (B) ()x x ln ln sin >; (C) ()x x ln ln sin ≤; (D) (A)、（B ）、（C ）都不正确.10 设1121x f x x ⎛⎫-=⎪-⎝⎭,则()f x =( C )(A)11x+; (B) 1x-; (C)11x-; (D) 以上都不对.11 下列各对函数中,相同的是( D )(A) ()cos f x x =与()g x = (B) ()f x =()g x =;(C) ()x f x x=与()1g x =; (D) ()()2ln 1x x f x x-与()()ln 1x g x x-=.12. 将函数()22f x x =--表示为分段函数时,()f x =( B ) (A) 4,0,x x x x -≥⎧⎨<⎩; (B) 4,2,2x x x x -≥⎧⎨<⎩; (C) 4,04,0x x x x -≥⎧⎨+<⎩; (D) 4,24,0x x x x -≥⎧⎨+<⎩ .13. 设()132x f x x -=-与()g x 的图形关于直线y x =对称,则()g x =( A )(A)123x x ++; (B) 132x x --; (C)312x x++; (D)213x x--.14. 已知()f x 的定义区间是()0,1,则函数( D )的定义区间仍为()0,1. (A) ()()11f x f x ++-; (B) ()2f x ; (C) ()()11f x f x +⋅-; (D) 11x f x -⎛⎫⎪+⎝⎭. 15. 函数()y f x =与()y f x =-的图形关于( A )(A) x 轴对称; (B) y 轴对称; (C) 原点对称; (D) y x =对称.16. 设函数(()log 0,1a y x a a =+>≠,则该函数是( A )(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非奇非偶函数; (D) 既是奇函数又是偶函数.二、数列极限1. 已知2lim >=∞→A a n n ,则正确的选项是( B ).(A) 对+N ∈∀n ,有2>n x ; (B) +N ∈∃N ,当N n >时,有2>n a ;(C) N N N >∃N ∈∀+0,,使20=N x ; (D) 对2,≠N ∈∀+n a n .2. 设+N ∈∃N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞→lim ,B b n n =∞→lim .则正确的选项是: ( A ).(A) B A ≥; (B) B A ≠; (C) B A >; (D) A 和B 的大小关系不定. 3. 若()0tan 1lim1cos1≠=---∞→a neknn π,则 ( A )(A) 2=k 且π21=a ; (B) 2-=k 且π21=a ;(C) 2=k 且π21-=a ; (D) 2-=k 且π21-=a ;4. 设32lim 1knn en -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则k =( C )(A) 3/2; (B) 2/3; (C) -3/2; (D) -2/3.5. 设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=,则下列命题正确的是( D )(A) 若{}n x 发散,则{}n y 必然发散; (B) 若{}n x 无界,则{}n y 必然有界; (C) 若{}n x 有界,则{}n y 必为无穷小量; (D) 若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为无穷小量,则{}n y 必为无穷小量.三、函数极限 1. 极限=+-∞→3321213limx x x ( D ).(A)323; (B) 323-; (C) 323±; (D) 不存在.2. 极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→210sin lim x x x x ( A )(A) 13e-; (B) 13e ; (C) 3e -; (D) 不存在.3. 极限=-→xxx x sin lim( B ).(A) 等于1; (B) 等于1-; (C) 不存在; (D) 等于21.4. 极限()=+-+∞→122lim22x x x x ( D )(A) 221; (B) 21; (C) 221-; (D) 不存在.5. 极限=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1x x e x ( A )(A) 1; (B) 1-; (C) 0; (D) 不存在. 6 若极限()x f x x 0lim →存在,则( B )(A)()()00lim x f x f x x =+→;(B) ,0>∃M 及0>δ,当()δ;00x Ux ∈时,()M x f ≤;(C) ,0>∃M 及0>δ,当()δ;0x U x ∈时,()f x M >; (D),0>∃M ()M x f ≤.7. 若()A x f x x =-→0lim ,且0<A ,则( C )(A) ∃0>δ,当()δ;0x U x ∈时,恒有()0<x f ; (B) ∃0>δ,当δ<-0x x 时,恒有()0<x f ; (C) ∃0>δ,当00<-<-x x δ时,恒有()0<x f ; (D) ∃0>δ,当δ->-0x x 时,恒有()0<x f . 8．设f 在()U 内有定义.()x f x +∞→lim存在的充要条件是:对数列{}⊂n x()U且=∞→n n x lim,()lim n n f x →∞都且相等.正确的选项是( C )(A) 0x ,∃,0x ,∞,∀; (B) ∞,∀ ,∞,0x ,∃;(C) ∞+,∀,∞+,+∞,∃; (D) ∞+,∃,∞+,0x ,∃.9. 设k 为正整数,极限=-++→xkx x e xe 2132lim( D )(A)32; (B) 0; (C) 与k 的奇偶性有关; (D) 不存在.10 若()32211lim21x xa bx x →∞+++=-+,则常数,a b 分别为( C ).(A) 0,2; (B) 1,-2; (C) -1,-2; (D) 以上对不对. 11 已知212lim31x x ax x →-+=-,则当1x →时,22x ax -+( B )(A) 与1x -是等价无穷小; (B) 与1x -是同阶无穷小但不等价; (C) 是比1x -较高阶的无穷小量; (D) 是比1x -教低阶的无穷小量.12. 若()()()97350211lim81x x ax x→∞++=+,则常数a =( C )(A) 1; (B) 8; (C) 2; (D) 以上都不对.13. 函数()()1122,1ln 1,11,sin ,1x ex f x x x x x x -+⎧<-⎪⎪=--<<⎨⎪≤⎪⎩当( D )时为无穷大量.(A) x →-∞; (B) x →+∞; (C) 1x →; (D) 1x →-. 14. 若()()lim ,lim x ax af xg x →→=∞=∞,下列式子成立的是( D )(A) ()()lim x a f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦; (B) ()()lim 0x a f x g x →-=⎡⎤⎣⎦; (C) ()()1lim0x af xg x →=+; (D) ()1lim0x af x →=.15. 设()232xxf x =+-,则当0x →时( B )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 ; (C) ()f x 是比x 高阶的无穷小量; (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量. 16. 下列各式正确的是( C )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭; (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ;(C) 11lim 1xx e x -→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭; (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.17. 当0x →时,等价的无穷小量是( A )(A) x ; (B) 2x ; (C) 2x ; (D) 22x .18. 若当0x →时,11x ax e bx +-+是2x 的高阶无穷小,则( D )(A) 0,0a b ==; (B) 1,1a b ==; (C) 11,22a b =-=; (D) 11,22a b ==-.四、连续函数 1. 设函数()bxea x x f +=在()+∞∞-,内连续,且()0lim =-∞→x f x ,则常数b a ,满足( D ).(A) 0,0<<b a ; (B) 0,0>>b a ; (C) 0,0>≤b a ; (D) 0,0<≥b a .2. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.0,0,0,sin 11x x xex f x则0=x 是函数()x f 的( D )(A) 连续点; (B) 第一类间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.3. 设()xxe x e x xf 2152sin 1++++=,则0=x 是()x f 的（ B ）（A ）可去间断点；（B ）跳跃间断点；（C ）无穷间断点；（D ）震荡间断点. 4. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧==≠≠-=-.10,01,0,111x x x x e x f x x或且则( B )(A) 0=x 与1=x 均为()x f 的可去间断点;(B) 0=x 为()x f 的无穷间断点;1=x 为()x f 的第一类间断点,但不为可去间断点; (C) 0=x 为()x f 的无穷间断点;1=x 为()x f 的可去间断点; (D) 0=x 和1=x 均为()x f 的第一类间断点.5. 设()x f 与()x ϕ均为()+∞∞-,上有定义的函数,()x f y =在()+∞∞-,上连续且()0≠x f ,()x y ϕ=有间断点,则下列选项中正确的是( D )(A)()[]x f ϕ有间断点；(B)()()x f ϕ有间断点; (C) ()[]2x ϕ有间断点; (D)()()x f x ϕ有间断点.6. 设()x y y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足处始条件()()000='=y y 的特解,则当0→x 时,函数()()x y x 21ln +的极限( C ).(A) 不存在; (B) 等于1 ; (C) 等于2; (D) 等于3. 7. 方程x e x =--21在()+∞,0内实根的个数为( B ). (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3.8 函数()()1,12ln 10,11,2x x x f x x x ⎧>≠⎪-⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩且的连续区间是( C )(A) [)1,+∞; (B) ()1,+∞; (C) [)()1,2,2,+∞; (D) ()()1,2,2,+∞.9. 设()ln,1,1,1x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则()f x 在1x =处( D ) (A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 连续且()10f '=; (D) 连续且()11f '=.10. 设()21cos sin ,0,1,0x x x f x xx x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩则0x =是()f x 的( D ) (A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 振荡间断点; (D) 连续点.11 设函数()()1,0,0mx kx x f x a x ⎧⎪+≠=⎨=⎪⎩,若函数()fx 在0x =连续,则常数a =( D ).(A) m e ; (B) k e ; (C) km e -; (D) km e .五、导数与微分 1. 若极限()()A eh a f ha f hh =-+--→1lim222,则函数()x f 在a x =处( A )(A) 不一定可导; (B) 不一定可导,但()A a f ='+; (C) 不一定可导,但 ()2A a f ='-; (D) 不一定可导,但()A a f ='-.2. 若极限()1lim1h f a f a h A →+∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-,则函数()x f 在a x =处( C ) (A) 可导,且()2A a f =' (B) 不一定可导,但()2A a f ='+;(C) 不一定可导,但 ()2A a f ='-; (D) 不一定可导,但()A a f ='-.3. 若极限()()A eh a f ha f hh =-+--→1lim222,()()B ha f ha f h =--→22lim则函数()x f 在a x =处( B )(A) 不可导; (B) ()A B a f -='+; (C) ()A B a f -='-; (D) ()B A a f -='-. 4. 设函数f 是可导函数,则( A )(A) f 为奇函数时,f '为偶函数; (B) f 为单调函数时,f '为单调函数; (C) f 为非负函数时,f '也为非负函数; (D) f '为连续函数.5. 设()x f ,0>δ在区间()δδ,-内有定义,若当∈x ()δδ,-时,恒有()2x x f ≤,则0=x 必是f 的( C )(A) 间断点; (B) 连续而不可导的点; (C) 可导点,且()00='f ; (D) 可导的点,且()0≠'x f .6. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=.1,2,1,112x x x x x f 则在1=x 处,函数()x f ( ) (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续7. 设雨滴为球体状,若雨滴聚集水份的速率与表面积成正比,则在雨滴行成过程中(一直保持球体状),雨滴半径的增加率( D )(A) 与球体体积的立方根成正比 (B) 与球体半径成正比 (C) 与球体体积成正比 (D) 为一常数.解因为表面积()24,S r t π=体积()343Vrt π=，其中t 为时间,球体体积增长的速率()()24V rt r t π''=，而已知()24V kSk rt π'==，故答案为D 。

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数学分析专题研究模拟试题1
一、填空题（每小题3分，共18分）
1. 设F 为集合X 到集合Y 的关系，，则称F 是映射.
2. 设A ，B ，C 是三个非空集合，称是一个从A ×B 到C 中的运算.
3. 设),(<A 是一半序集，.A a ∈. ，则称a 为A 的极大元.
4. 设有区间I ，并有开区间集合S . ，则称开区间集S 覆盖了区间I .
5. 若复数0x 是某个整系数多项式
)0()(0
111≠++++=--n n n n n a a x a x a x a x p
的根，则称0x 是 . 6.设函数)(x f 定义在开区间),(b a 内，对于)1,0(),,(,21∈∀∈∀αb a x x ，有)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+，则称)(x f 是),(b a 内的函数.
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1. 集合{}{},,,,d c b a X =则
A. X a ∈
B. X a ⊂
C. {}X a ∈
D. {}X a ⊂
2. 设,:Y X f → ,X A ⊂则A （）)).((1A f f -
A. ⊂
B. ⊃
C. =
D. ≠
3. 设R 是X 中的关系，若1
-=R R ，则称R 为（）.
A. 反身的，
B. 对称的
C. 反对称的
D. 传递的
4. 已知)(x f 在开区间),(b a 内连续，则)(x f 在),(b a 内（）
A. 有界
B. 保号
C. 有最大值
D. 任意一点都连续
5. 已知)(x f 是定义在A 上的周期函数，则)(x f （）
A. 在A 上至少有一个连续点，
B. 在A 上连续
C. 有最小正周期
D. 有无穷多个周期
6.设)(x f 是),(b a 内充分光滑的严格下凸函数，则（）
A. )(x f 在),(b a 内必取到最小值
B. )(x f 在),(b a 内必取到最大值
C. )(x f 在),(b a 内有0)(≥''x f
D. 前三个结论都不对
三．计算题（每小题8分，共32分）
1. 已知重根号
n n a 222= 说明数列{}n a 的根限存在且求+∞
→n lim n a . 2. 已知x x x x f ln sin )(⋅⋅=,求)(x f '.
3. 求一函数其函数曲线过点)1,0(且该曲线上每点切线的斜率是该点横坐标的4倍.
4. 求函数21x y -=的曲线上任一点的法线方程.
四．证明题（每小题8分，共32分）
1. ,,,:Y B A Y X f ⊂→证明
).()()(111B f A f B A f ---=
2. )(x f 是定义在R 上的连续函数，对于任意的,,R y x ∈有
,2)()(y x y f x f -<-
求证.x x f x g 2)()(-=是严格单调减少函数.
3. 证明，方程6422
5++-x x x 在)1,1(-内有且仅有一实根.
4. 设A ，B ，C 为三角形三内角，证明 2
32sin 2sin 2sin ≤++C B A .
数学分析专题研究模拟试题参考答案
一、填空题（每小题3分，共18分）
1.任意的X x ∈，存在唯一的Y y ∈，使.xFy
2.映射.:C B A F →⨯
3.x a A x <∈∀,都不成立
4.对于任意的I x ∈，都有S ∈∆，使∆∈x
5.代数数
6.下凸
二、1.C ， 2. A ， 3. B ， 4. D ， 5. D ， 6.C
三、计算
1. 解，由已知条件知 12-=n n a a 2分
先说明n a 单调增加，事实上
.12,1223211>===---a a a a a a a a n n n n 故.1->n n a a （4分）其次,22,2121<=
<a a a 一般地有2<n a .故数列{}n a 有上界因此∞→n n a lim 存在，设∞
→n lim .a a n = 5分则.2a a =解得0=a ，或2=a . 因120a a =<=不符合题意，故+∞
→n lim 2=n a . 8分 2. 解. x x x f ln sin 1)(⋅⋅='x x x ln cos +x x x 1
sin ⋅⋅+
x x x x x x sin ln cos ln sin ++= 8分
3.解. 设该曲线的函数 )(x f y =，则
x x f 4)(=' 3分
由此得
C x x f +=2
2)( 5分因曲线过点)1,0(由此设1=C 即
.12)(2+=x x f 8分
4. 解. 显然， ,11≤≤-x 当 )1,1(-∈x 时，
221)2(1121x
x x x y x --=--=' 3分任取一点曲线上一点),,(00y x {}0)1,1(0--∈x 则法线方程为
)(100200x x x x y y --=- 5分
当00=x 时法线方程为 0=x 6分当10±=x 时法线方程为 0=y 8分
四、试明题：
1. 证明先证),()()(111B f
A f
B A f ---⊂ 事实上，固.A B A ⊂ 故有)()(11A f B A f
--⊂ （2分）同理有),()()(111B f B f B A f ---⊂⊂ （3分），故)()()(111B f A f
B A f ---⊂ （4分）再证 )()().()()(11111B f A f x B f
A f
B A f -----∈∀⊃ 则 .)(B A x f y ∈=故),(1B A f
x -∈即)()()(111B A f B f A f ---⊂ 6分从而有 ).()()(111B f A f B A f
---= 8分
2. 证明设,,21R x x ∈∀不妨设21x x < 2分 []1122122)(2)()()(x x f x x f x g x g ---=-
)(2)()(1212x x x f x f ---=
)()()(21212x f x f x x -+--≤ 12122)(2x x x x -+--<
0= 6分
所以，x x f x g 2)()(-=是严格单调减少函数. 8分
3. 证明设642)(2
5++-=x x x x f 2分则)(x f 是[]1,1-上的连续函数. 96421)1(=++-=f .16421)1(-=+---=-f
故至少存在一点),1,1(0-∈x 设0)(0=x f 4分
)1(45445)(44x x x x x f -+=+-='当)1,1(-∈x 时0)(>'x f 故)(x f 是)1,1(-内严格单调增加函数故0)(=x f 至多有一根
因此方程064225=++-x x x 在)1,1(-内有且仅有一根. 8分
4. 证明设,sin )(x x f =则)(x f 在),,0(π内是上凸函数 2分由上凸函数的性质有，对于),0(,,321π∈t t t 有
[]⎪⎭⎫
⎝⎛++≤++3)()()(31
321
321t t t f t f t f t f
4分令,2,2,2321C
t B t A
t ===则
3sin 32sin 2sin 2sin 2
22C B
A C
B A ++≤++
23
6sin 36sin 3=⋅=++=π
C
B A
8分。