高等数学基础模拟题答案

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高数基础考试题库及答案

高数基础考试题库及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. x+2答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x+1答案：B4. 函数y=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. e^(-x) + CC. ln(x) + CD. x^e + C答案：A5. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为：A. 1B. 3C. 9D. -3答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^3-3x的极值点为______。

答案：x=-1或x=22. 函数y=ln(x)的定义域为______。

答案：(0, +∞)3. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有______。

答案：最大值和最小值4. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数为______。

答案：05. 微分方程dy/dx=2x的通解为______。

答案：y=x^2+C三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。

解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。

计算f(1)=0，f(3)=0，f(2)=-2，因此最大值为0，最小值为-2。

2. 求极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5x)。

解：将分子分母同时除以x^3，得到lim(x→∞) [(1-3/x+2/x^2)/(1+2/x-5/x^2)]，当x趋向于无穷大时，极限值为1/1=1。

四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是减函数。

高等数学基础-国家开放大学电大易考通考试题目答案

高等数学基础1、函数为基本初等函数.A. 是B. 否正确答案：B2、一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

A. 是B. 否正确答案：A4、1755年，_________给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。

”A. 欧拉B. 伽利略C. 梅根D. 柯西正确答案：A7、设Δx是曲线y=f(x)上的点M的在_____上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在_____上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。

A. 纵坐标；横坐标B. 横坐标；纵坐标C. 横坐标D. 以上都不对正确答案：B10、印度喀拉拉学校也曾发现可用于计算圆周率的无穷级数，并利用它将圆周率的值精确到小数点后第9位和第10位，后来又精确到第（）位。

A. 18B. 15C. 17D. 19正确答案：C11、1821年，_________从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。

”A. 康托B. 梅根C. 欧拉D. 柯西正确答案：D12、变量x的变化范围叫做这个函数的？A. 值B. 定义域C. 真集D. 以上都不是正确答案：B14、如果变量的变化是连续的，则常用（）来表示其变化范围。

A. 区间B. 集合C. 子集D. 补集正确答案：A15、十七世纪_________在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。

A. 笛卡尔B. 伽利略C. 柯西D. 欧拉正确答案：B16、两偶函数和为（）函数。

A. 奇B. 偶C. 反D. 以上都不对正确答案：B18、定积分的大小。

A. 与y＝f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B. 与y＝f(x)有关，与积分区间[a，b]和ξi的取法无关C. 与y＝f(x)和ξi的取法有关，与积分区间[a，b]无关D. 与y＝f(x)、积分区间[a，b]、ξi的取法均无关正确答案：A19、微分可以近似地描述当函数_____的变化量取值作足够小时，函数的值是怎样改变的。

高考数学模拟试题含答案详解

高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。

答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。

2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。

答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。

3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。

答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。

4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。

答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。

5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。

答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。

二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。

答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。

高三数学基础模拟试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 1D. 0答案：D2. 函数y=2x+1的图象是（）A. 一条直线B. 一条抛物线C. 一条射线D. 一个圆答案：A3. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(x)的值域是（）A. [0, +∞)B. (-∞, 0]C. (-∞, +∞)D. [0, 4]答案：A4. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC的面积是（）A. 6B. 8C. 10答案：A5. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1=2，a4=10，则d=（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B6. 已知复数z=i^2019，则|z|=（）A. 1B. √2C. 2D. 3答案：A7. 函数y=lnx的图象是（）A. 一条直线B. 一条抛物线C. 一条射线D. 一个圆答案：A8. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1=1，a3=8，则q=（）A. 2B. 4D. 16答案：B9. 已知数列{an}的通项公式an=3n-2，则数列{an}的前10项和S10=（）A. 144B. 153C. 162D. 171答案：A10. 已知函数f(x)=x^3-3x，则f'(x)=（）A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. 3x-3D. 3x+3答案：A二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数y=√(x-1)的定义域是______。

答案：[1, +∞)12. 若sinα=1/2，则cosα=______。

答案：√3/213. 已知复数z=2+3i，则|z|=______。

答案：√1314. 函数y=2x-3在区间[1, 3]上的最大值是______。

答案：315. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，公差d=2，则S10=______。

答案：55三、解答题（每题15分，共60分）16. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(1)=2，f(2)=5，f(3)=8，求a、b、c的值。

高等数学基础样题(试题及答案)

高等数学基础样题(试题及答案)一、单项选择题1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等．A.2)()(x x f =，x x g =)(B.2)(x x f =，xx g =)(C.3ln )(x x f =，xx g ln 3)(= D.1)(+=x x f ，11)(2−−=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞−∞，则函数)()(x f x f −+的图形关于（ C ）对称．A.坐标原点B.x 轴C.y 轴D.x y =3.设函数)(x f 的定义域为),(+∞−∞，则函数)()(x f x f −−的图形关于（ A ）对称．A.坐标原点 B.x 轴 C.y 轴 D.x y =4.下列函数中为奇函数是（ B ）A.)1ln(2x y += B.xx y cos = C.2xx a a y −+=D.)1ln(x y +=5.下列函数中为偶函数是（ D ）A.xx y sin 1）（+= B.xx y 2= C.xx y cos = D.)1ln(2x y +=6.下列极限存计算不正确的是（ D ）．A.12lim 22=+∞→x x xB.0)1ln(lim 0=+→x x C.0sin lim =∞→xxx D.01sinlim =∞→xx x 7.当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sinD.2)ln(+x 8.当0→x 时，变量（ D ）是无穷小量．(A) x 1(B) xx sin (C)x2(D)1)ln(+x 9.当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．(A) x 1(B) xx sin (C)1e −x (D)2x x 10.当0→x 时，下列变量中（ D ）是无穷小量．(A) x 1sin (B) xxsin (C) 21e (D)1)ln(2+x 11.当0→x 时，下列变量中（ A ）是无穷大量．(A) x x 21+ (B) x (C)0.001x (D)x−212.设)(x f 在0x 可导，则=−−→hx f h x f h 2)()2(lim 000（ D ）．A.)(20x f ′−B.)(0x f ′C. )(20x f ′ D.)(0x f ′−13.设)(x f 在0x 可导，则=−−→hx f h x f h )()2(lim000（ A ）．A.)(20x f ′− B.)(0x f ′ C. )(20x f ′ D.)(0x f ′−14.设)(x f 在0x 可导，则=−−→hx f h x f h 2)()(lim000（ C ）．A.)(210x f ′B.)(20x f ′C.)(210x f ′− D.)(20x f ′−15.设x x f e )(=，则=∆−∆+→∆xf x f x )1()1(lim 0（B ）．(A)e 2(B)e (C)e41(D)e 2116.若)(x f 的一个原函数是x1，则=′)(x f （ D ）．A.xln B. 21x− C. x 1 D.32x 17.若x x f cos )(=，则=′∫x x f d )(（ B ）．A.c x +sinB.cx +cos C.c x +−sin D.c x +−cos 18.若x x f sin )(=，则=′∫x x f d )(（ A ）．A.c x +sinB.cx +cos C.cx +−sin D.cx +−cos 19.若∫+=c x F x x f )(d )(，则∫=x x f xd )(ln 1（ B ）． (A))(ln x F (B)cx F +)(ln (C)c x F x+)(ln 1(D)cxF +)1(20.若∫+=c x F x x f )(d )(，则∫=x x f xd )(1（B ）． (A))(x F (B)cx F +)(2(C)c x F x+)(1(D)c x F +)(2121.下列无穷限积分收敛的是（ B ）．A.∫+∞1d 1x x B.∫+∞−0d e x xC.∫+∞1d 1xxD.∫+∞12d 1x x 22.下列无穷限积分收敛的是（ C ）．(A)xx d 11∫∞+(B)x xd 11∫∞+(C)xx d 1134∫∞+(D)xx d sin 1∫+∞23.下列无穷限积分收敛的是（ D ）．(A)∫+∞1d 1x x(B)∫+∞0d e xx(C)∫+∞1d 1xx(D)∫+∞12d 1x x 24.下列无穷限积分收敛的是（ A ）．(A)∫+∞13d 1xx (B)∫+∞cos xdx(C)dxe x ∫+∞13(D)∫+∞1d 1x x 25.下列无穷限积分收敛的是（ B ）．(A)∫+∞0xd e x(B)dx x ∫+∞021(C)dx x∫+∞11(D)∫+∞1d 1xx26.下列等式中正确的是（ B ）．(A)d d ()arctan 112+=x x x (B)d d ()12x xx =−(C)x x x d 2)2ln 2(d =(D)d d (tan )cot x x x=27.下列等式中正确的是（ C ）．(A)dx xx 1)1(d 2−=(B)dxx x2)1(d =(C)xx xd 2)2ln 2(d =(D)d d (tan )cot x x x =28.下列等式成立的是（ A ）．(A))(d )(d dx f x x f x =∫(B) )(d )(x f x x f =′∫(C))(d )(d x f x x f =∫(D))()(d x f x f =∫29.函数2e e xx y −=−的图形关于（ A）对称．(A)坐标原点(B)x 轴(C)y 轴(D)xy =30.函数222xx y +=−的图形关于（ A）对称．(A)坐标原点(B)y 轴(C)x 轴(D)x y =31.在下列指定的变化过程中，（ C ）是无穷小量．(A))(1sin∞→x xx (B))0(1sin→x x(C))0()1ln(→+x x (D))(e 1∞→x x32.在下列指定的变化过程中，（ A ）是无穷小量．(A))0(1sin→x xx (B))(1sin∞→x xx (C))0(ln →x x (D))(e ∞→x x 33.设)(x f 在0x 可导，则=−−→hx f h x f h 2)()2(lim 000（ C ）． (A))(0x f ′(B))(20x f ′(C))(0x f ′−(D))(20x f ′−35.下列积分计算正确的是（ D ）．(A)0d sin 11=∫−x x x (B)1d e 0=∫∞−−x x (C)πd 2sin 0=∫∞−x x (D)d cos 11=∫−x x x 36.下列积分计算正确的是（ D ）．(A)0d sin 11=∫−x x x (B)1d e 0=∫∞−−x x (C)πd 2sin 0=∫∞−x x (D)d cos 112=∫−x x x 37.下列积分计算正确的是（ B ）．(A)0d )(11=+∫−−x e e x x (B)0d )(e 11=−∫−−x e x x (C)0d 112=∫−x x (D)0d 11=∫−x x38.=∫x x xf xd )(d d 2（ A ）． (A))(2x xf (B)xx f d )(21(C))(21x f (D)xx xf d )(239.函数622+−=x x y 在区间)5,2(内满足（ D ）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升40.函数62−−=x x y 在区间)55(，−内满足（ A ）．A.先单调下降再单调上升 B.单调下降C.先单调上升再单调下降 D.单调上升41.函数362−−=x x y 在区间)4,2(内满足（ A ）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升42.函数322−+=x x y 在区间)4,2(内满足（ D ）．A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升43.当k=（ C ）时，<+≥+=0,0,1)(2x k x x x x f在点0=x 处连续 (A)-1(B)0(C)1(D)244.函数 =≠=0,0,5sin )(x k x xxx f 在0=x 处连续，则k=（ C ）(A)1(B)5(C) 51(D)045.下列函数中，在),(∞+−∞ 内是单调减少的函数是（ A ）A.x21）（=y B.3x y = C.x y sin = D.2x y =（二）填空题1.函数24)(2−−=x x x f 的定义域是 ),2(]2,(∞+−−∞U ．2.函数x x x f −+−=4)2ln(1)(的定义域是 ]4,3()3,2(U − ．3.函数x x x f −−=5)3ln()(的定义域是)5,3( ．4.函数xx x f −−=6)2ln()(的定义域是)6,2( ．5.函数)1ln(92−−=x x y 的定义域是 ]3,2()2,1(U．6.函数24)1ln(x x y −+=的定义域是)2,1(− ．7.函数x x y ++−=1)3ln(1的定义域是 )3,2()2,1[U − ．8.函数xx y −−+=21)5ln(的定义域是)2,5(− ．9.函数12++=x x y 的间断点是1−=x ．10.函数3322−−−=x x x y 的间断点是 3=x ．11.函数≤>−=0sin 01x x x x y 的间断点是 0=x ．12.函数≥+<=0,10,1sin )(2x x x xx x f 的间断点是 0=x ．13.若函数 ≥+<+=00)1()(21x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．14.若函数 ≥+<+=00)1()(31x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．15.函数 =≠−−=1111)(2x a x x x x f ，若)(x f 在),0(+∞内连续，则=a 2 ．16.函数 =≠=0,,2sin )(x k x xxx f ，在0=x 处连续，则=k 2 ．17.已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．18.已知函数72)1(2+−=−x x x f ，则=)(x f 62+x ．19.若函数>≤+=0201)(2x x x x f x ，则=)0(f 1．20.若函数 >+≤−=0103)(2x e x x x f x，则=)0(f -3 ．21.曲线xx f 1)(=在)1,1(处的切线斜率是 21−．22.曲线1)(3+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 3 ．23.曲线2)(2+=x x f 在)3,1(处的切线斜率是 2 ．24.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是21 ．25.曲线2)(+=x x f 在)2,2(处的切线斜率是41 ．26.曲线2)(+=x x f 在2=x 处的切线斜率是41 ．27.曲线x x f sin )(=在)1,2(π处的切线斜率是 0 ．28.曲线x x f sin )(=在)0,(π处的切线斜率是-1 ．29.曲线1)(+=x e x f 在)2,0(处的切线斜率是1．30.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是),0(∞+ ．31.函数x y arctan =的单调增加区间是),(∞+−∞．32.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是),0(∞+ ．33.函数1)1(2++=x y 的单调增加区间是),1(∞+− ．34.函数12−=x y 的单调增加区间是 ),0(∞+ ．35.函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是 )1,(−−∞ ．36.函数2e )(x xf −=的单调减少区间是 ),0(∞+ ．37.函数12−=x y 的单调减少区间是)0,(−∞ ．38.函数2)2(2+−=x y 的单调减少区间是 )2,(−∞ ．39.若∫+=c x x x f sin d )(，则=′)(x f x sin −．40.=∫−x x d e d 2xx d e 2−．41.若∫+=c x x x f sin d )(，则=′)(x f x sin −．42.若∫+=c x x x f 2cos d )(，则=)(x f x 2sin 2−．43.若∫+=c x x x f cos d )(，则=)('x f x cos −．44.若∫+=c x x x f cos d )(，则=)(x f x sin −．45.若∫+=c x x x f tan d )(，则=)(x f x2cos 1．46.若42)1(2++=+x x x f ，则=)(x f 32+x．47.已知x x f 2ln )(=，则=)]'2([f 0 ．48.=′∫x x d )(sin c x +sin ．49.=∫x x dx d d sin 22sin x ．50.=∫x dx d x d 3223x ．51若x 1是)(x f 的一个原函数，则=)('x f 32x ．52.函数2)1(−=x y 的驻点是 1=x ．三、计算题（一）计算极限1.1.计算极限4586lim 224+−+−→x x x x x ．解：32)1)(4()2)(4(lim 4586lim4224=−−−−=+−+−→→x x x x x x x x x x1.2.计算极限4532lim221+−−+→x x x x x ．解：34)1)(4()1)(3(lim 4532lim 1221−=−−−+=+−−+→→x x x x x x x x x x 1.3.计算极限)1sin(3221lim +−−−→x x x x ．解：4)1sin()3)(1()1sin(32lim lim 121−=+−+=+−−−→−→x x x x x x x x 1.4.计算极限1)1sin(lim 21−+−→x x x ．解：21)1)(1()1sin(lim 1)1sin(lim 121−=−++=−+−→−→x x x x x x x 1.5.计算极限xxx 5sin 6sin lim 0→．解：5655sin lim 66sin lim5655sin 66sin 56lim 5sin 6sin lim 0000=•=•=→→→→x x x xxx x x x x x x x x 1.6.计算极限xxx 2sin 3sin lim0→．解：2322sin lim 33sin lim2322sin 33sin 23lim 2sin 3sin lim0000=•=•=→→→→xx x xx x x x x x x x x x 1.7.计算极限32)3sin(lim 23−++−→x x x x ．解：41)1)(3()3sin(lim 32)3sin(lim323−=−++=−++−→−→x x x x x x x x 1.8.计算极限32)3sin(lim 23−−−−→x x x x ．解：41)1)(3()3sin(lim 32)3sin(lim 323=+−−=−−−−→−→x x x x x x x x 1.9.计算极限)3sin(9lim 23−−−→x x x ．解：6)3sin()3)(3(lim )3sin(9lim323=−+−=−−−→−→x x x x x x x 1.10.计算极限)3sin(9lim 23−−−→x x x ．解：6)3sin()3)(3(lim )3sin(9lim323=−+−=−−−→−→x x x x x x x 1.11.计算极限x xx 2sin lim 0→．解：2121sin lim 2sin lim 00=•=→→x x x x x x1.12.计算极限65)2sin(lim22+−−→x x x x ．解：1)3)(2()2sin(lim 65)2sin(lim 222−=−−−=+−−→→x x x x x x x x （二）设定求值2.1.设22sin x x y x+=，求y ′．解：由导数四则运算法则得4224222sin 22ln 2cos )2(sin 2)2(sin x x x x x x x x x x x x y xx x x −−+=+−′+=′312sin 22ln 2cos x x x x x x x +−−+=2.2.设x y e sin 2=，求′y ．解：由导数四则运算法则得)e 2sin(e e cos e sin e 2x x x x x y ==′2.3.设2x xe y =，求′y ．解：由导数四则运算法则得2222xx e x e y +=′2.4.设x x y 33ln +=，求′y ．解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得)'(ln )'()'ln (3333x x x x y +=+=′xx x x x x 22ln 323)'(ln ln 323+=+=2.5.设2sin x x y −=，求′y ．解：由导数四则运算法则和导数基本公式得)'(sin )'()'sin (22x x x x y −=−=′222cos 221)'(cos 21x x xx x x−=−=2.6.设x e x y 5ln −+=，求′y ．解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得)'()'(ln )'(ln 55x x e x e x y −−+−+=′x x e xx e x 5551)'5(1−−−=−+=2.7.设x e x y cos ln +=，求′y ．解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得x x e e xy sin 1−=′2.8.设2sin x e y x −=，求′y ．解：由导数四则运算法则和导数基本公式得x xe x e y x x 2cos sin 2sin −=−=′ 2.9.设x x y 35ln +=，求′y ．解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得)'(ln )'()'ln (3535x x x x y +=+=′xxx x x x 2424ln 35)'(ln ln 35+=+=2.10.设2cos 3x y x −=，求′y ．解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得)'(cos )'3()'cos 3(22x x y x x −=−=′222sin 23ln 3)'(sin 3ln 3x x x x x x +=+=2.11.设x x e y x ln tan −=，求′y ．解：由导数四则运算法则得xx e x e y x x1cos tan 2−+=′2.12.设x y 2cos ln =，求′y ．解：由导数四则运算法则得xxx x x y 22cos 2sin cos sin cos 2−=−=′2.13.设x x x y ln tan 2+=，求′y ．解：由导数四则运算法则得x x x x x x x x xy ++=•++=′ln 2cos 11ln 2cos 12222.14.设x x x y ln cos ln 2+=，求d y ．解：由微分运算法则得)ln (d )cos (ln d )ln cos (ln d d 22x x x x x x y +=+=)(ln d )(d ln )(cos d cos 122x x x x x x ++= xx x x x x x x x d 1d ln 2d cos sin 2⋅++−=xx x x x d )ln 2tan (++−=2.15.设52x cos x y −=，求y d ．解：由微分运算法则和微分基本公式得)(d )(cos d )(cos d d 5252x x x x y −=−=dx x x xd 45)(cos cos 2−=dxx x x )5sin cos 2(4+−=2.16.设x x y 3e cos +=，求y d ．解：由微分运算法则和微分基本公式得)3(d )e (cos d )3e (cos d d x x x x y +=+=x x x x ln3d 3)e (d e sin +−=x x x x x ln3d 3d e sin e +−=xx x x ln3)d 3e sin e (+−=2.17.设53x cos x y −=，求y d ．解：由微分运算法则和微分基本公式得dxx x x d x y 4253d 5)(cos xd cos 3)((cos d d −=−=）dxx x x )5cos sin 3(42+−=2.18.设x x e y 3sin +=，求y d ．解：由微分运算法则和微分基本公式得)3(d )(d )3(d d sin sin x x x x e e y +=+=dx x d e x x 3ln 3)(sin sin +=dxx e x x )3ln 3cos (sin +=2.19.设x e y x ln cos +=，求y d ．解：由微分运算法则和微分基本公式得)(ln d )(d )ln (d d cos cos x e x e y x x +=+=dx x x d e x 1)(cos cos += dxx x e x )1sin (cos +−=2.20.设y y x =()是由方程yy x 2xsin 2=确定的函数，求'y ．解：等式两端求微分得左端)(sin )(sin )sin (d 222y d x x yd y x +==ydy x ydx x cos sin 22+=右端2222x (d y xdyydx y −==由此得2222cos sin 2y xdyydx ydy x ydx x −=+整理后得xxy y yxy y y d 2cos x sin 22d 222+−=即xy y yxy y y 2cos x sin 22'222+−=2.21.设y y x =()是由方程y x y e cos =确定的函数，求d y ．解：等式两端求微分得左端yx x y x y d cos )(cos d )cos (d +==yx x x y d cos d sin +−= 右端y y y d e )e (d ==由此得yy x x x y y d e d cos d sin =+−整理后得xx xy y yd e cos sin d −=2.22.设y y x =()是由方程3y e e x y +=确定的函数，求d y ．解：等式两端求微分得左端y e e y y d )(d ==右端dy y dx e y d y x x x 2333)d()e ()e (d +=+=+=由此得dy y dx e dy e x y 23+=整理后得x ye y y xd 3e d 2−=（三）计算不定积分3.1.计算不定积分x x x d cos ∫．解：由换元积分法得cx x x x xx +==∫∫sin 2)d(cos 2d cos 3.2.计算不定积分∫x xxd e21．解：由换元积分法得c u x x x uu x x+−=−=−=∫∫∫e d e )1(d e d e 121cx +−=1e 3.3.计算不定积分∫x xd ex．解：由换元积分法得ce u x x xu u x x+===∫∫∫2d e 2)(d e 2d e3.4.计算不定积分∫x xx d ln 1．解：由换元积分法得cx c u du u x d x x x x +=+===∫∫∫ln ln ln 1)(ln ln 1d ln 13.5.计算不定积分∫x x d x 1sin 2．解：由换元积分法得c x c u udu xd x x x +=+=−=−=∫∫∫1cos cos sin 1(1sin d x 1sin23.6.计算不定积分∫x x d x 1cos 2．解：由换元积分法得cx c u x d x x x +−=+−=−=∫∫1sin sin )1(1cos d x 1cos23.7.计算不定积分∫x x x d 3cos ．解：由分部积分法得∫∫−=x x x x x x x d 3sin 313sin 31d 3cos c x x x ++=3cos 913sin 31(四)计算定积分4.1.计算定积分∫e1d ln x x x ．解：由分部积分法得∫∫−=e 12e12e1)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x 414e d 212e 2e 12+=−=∫x x 4.2..计算定积分∫e12d ln x x x ．解：由分部积分法得∫∫−=e 13e13e12)d(ln 31ln 3d ln x x x x x x x 9192e d 313e 3e 123+=−=∫x x 4.3.计算定积分∫e1d ln x x ．解：由分部积分法得∫∫−=e 1e1e1)d(ln ln d ln x x x x x x 1d e e1∫=−=x4.4.计算定积分∫10d x xe x ．解：由分部积分法得dx e xex xe x x x∫∫−=10101d 1e 10=−=xe4.5.计算定积分∫e12d ln x x x．解：由换元积分法得e x e x x e x d x x x x x x 2111d 11)(ln 1ln d ln e1e 12e 1e1e12−=−=+−=+−=∫∫∫4.6.计算定积分∫+e1d ln 2x xx．解：由换元积分法得∫∫∫=++=+32e1e1d )ln 2()d ln 2(d ln 2u u x x x x x 252322==u4.7.计算定积分∫e1d ln x xx ．解：由分部积分法得ex e x xe x d x x x x xx 2442d 122)(ln 2ln 2d ln e1e1e1e1e1−=−=−=−=∫∫∫四、应用题4.1求曲线上的点，使其到点的距离最短．解：曲线上的点到点的距离公式为22)3(y x d +−=d 与2d 在同一点取到最大值，为计算方便求2d 的最大值点，将代入得x x d +−=22)3(令 x x x D +−=2)3()(求导得1)3(2)(+−=′x x D 令0)(2=′d 得25=x ．并由此解出210±=y ，即曲线上的点)210,25(和点)210,25(−到点的距离最短．y x 2=A (,)30y x 2=A (,)30y x 2=y x 2=A (,)304.2在抛物线x y 42=上求一点，使其与x 轴上的点的距最短．解：设所求点 ),(y x P =，则y x ,满足 x y 42= 点P 到点A 的距离之平方为x x y x L 4)3()3(222+−=+−=令04)3(2'=+−=x L 解得1=x 是唯一驻点，易知1=x 函数的极小点，当1=x 时，2=y 或2−=y ，所以满足条件的有两个点)2,1( 和)2,1(− 。

高等数学基础模块习题答案

高等数学基础模块习题答案高等数学是大学理工科专业中非常重要的一门基础课程，它的学习对于培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力具有重要的作用。

高等数学的学习过程中，习题是必不可少的一部分，通过解答习题可以帮助学生巩固知识点，提高解题能力。

下面是高等数学基础模块习题的一些答案，供大家参考。

一、函数与极限1. 求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的极限lim(x→1) f(x)。

解：将x代入函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1中，得到f(1) = 2(1)^2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0。

所以，极限lim(x→1) f(x) = 0。

2. 求函数f(x) = sin(x) / x的极限lim(x→0) f(x)。

解：由极限lim(x→0) sin(x) / x的形式，可以使用洛必达法则。

对f(x)求导得到f'(x) = (x·cos(x) - sin(x)) / x^2。

将x = 0代入f'(x)得到f'(0) = 0/0，无法直接求解。

再次对f'(x)求导得到f''(x) = (2·cos(x) - x·sin(x) - cos(x)) / x^2。

将x = 0代入f''(x)得到f''(0) = 1/0，仍然无法直接求解。

继续对f''(x)求导得到f'''(x) = (3·sin(x) - x·cos(x) - 2·sin(x)) / x^2。

将x = 0代入f'''(x)得到f'''(0) = 0/0，仍然无法直接求解。

再次对f'''(x)求导得到f''''(x) = (4·sin(x) - 3·cos(x) + x·sin(x) - 3·sin(x)) / x^2。

高数基础教程练习册答案

高数基础教程练习册答案一、选择题1. 函数 $ f(x) = x^2 $ 的导数是：A. $ x $B. $ 2x $C. $ x^2 $D. $ 2 $答案：B2. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = L $，则 $ L $ 的值为：A. 0B. 1C. $ \frac{\pi}{2} $D. $ \infty $答案：B3. 定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值为：A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ 1 $D. $ \frac{1}{4} $答案：A二、填空题1. 函数 $ y = \ln x $ 的导数是 __________。

答案：$ \frac{1}{x} $2. 若 $ \int f(x)dx = F(x) + C $，则 $ \int x^2 dx $ 的结果是 __________。

答案：$ \frac{x^3}{3} + C $3. 函数 $ y = e^x $ 的不定积分是 __________。

答案：$ e^x + C $三、解答题1. 求函数 $ f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7 $ 在 $ x = 1 $ 处的导数值。

解：首先求导数 $ f'(x) = 9x^2 - 4x + 5 $，然后将 $ x =1 $ 代入得到 $ f'(1) = 9(1)^2 - 4(1) + 5 = 9 - 4 + 5 = 10 $。

2. 计算定积分 $ \int_{1}^{2} (2x + 1) dx $。

解：首先求不定积分 $ \int (2x + 1) dx = x^2 + x + C $，然后计算定积分 $ \int_{1}^{2} (2x + 1) dx = [x^2 + x]_{1}^{2} = (2^2 + 2) - (1^2 + 1) = 4 + 2 - 1 - 1 = 4 $。

高等数学基础模拟题答案

高等数学基础模拟题一、单项选择题（每小题3分，本题共 15分）1.设函数f(x)的定义域为(, )，则函数f(x)f( x)的图形关于（ D ）对称．(A) y x (B) x 轴 (C) y 轴(D)坐标原点2.当x0 时，变量（ C ）是无穷小量．(A) 1(B) sinx x x x (C) e x1 (D)x 23.设f(x) e x，则lim f(1 x) f(1) （B ）． x 0 x(A) 2e (B) e (C) 1e (D) 1e 424. dxf(x 2)dx （A ）．dx(A) xf(x 2) (B) 1f(x)dx1f(x) 2(C) (D) xf(x 2)dx25.下列无穷限积分收敛的是（B ）． (A) e xdx(B) 0 e xdx(C) 1 (D)1dx dx1x1 x二、填空题（每小题 3分，共15分）1.函数2.函数9 x 2］．y 的定义域是(1,2)U(2,3 ln(x 1)x 1 x 0yx 的间断点是X=0 ．sinx 03.曲线f(x) x 在(1,2)处的切线斜率是1/2． 1 4.函数y(x1)21的单调减少区间是（－∞，－1）． 5.(sinx)dxsinx+c．三、计算题（每小题 9分，共54分）11.计算极限lim sin6x．x0sin5xsinx 2x2.设y，求y．x 23.设y sin2e x，求．4.设是由方程ycosx e y确定的函数，求．5.计算不定积分xcos3xdx．e2lnx6.计算定积分dx．1x四、应用题（本题12分）圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？五、证明题（本题4分）当x 0时，证明不等式x arctanx．2高等数学基础模拟题答案一、单项选择题（每小题3分，本题共15 分）1.D2.C3.B4.A5.B二、填空题（每小题 3 分，本题共15分）1.(1,2)(2,3]2. x 03. 14. (,1)5.sinxc2三、计算题（每小题 6 分，共54分）1.解：lim sin6x lim6sin6x6limsin6x6 6x6xx0x0sin5x x05 sin5x 5 lim sin5x 55x x05x2.解：由导数四则运算法则得( sixn2x)x22x(sixn2x)x2coxsx22x ln22xsixn2x2x yx4x4 xcosxx2x ln22sinx 2x1x33.解：y2e x sine x cose x e x sin(2e x)4.解：等式两端求微分得左端d(ycosx) yd(cosx) cosxdyysixndxcoxsdy右端y yyd(e) ed由此得ysixndx coxdsy e y dy 整理后得dy ysixn dxcoxs e y5.解：由分部积分法得xco3sxdx 1xsi3nx 1si3nxdx3 31xsin3x1cos3x c3 96.解：由换元积分法得e2lnx e(2lnx)d(23udu 1 xdx lnx)1 23u2 52 2 23四、应用题（本题12分）解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足h2r2l2圆柱体的体积公式为Vπ2hrl 将r2l2h2代入得Vπ(l2h2)h求导得Vπ(2h2(l2h2))π(l23h2)令V 0得h 3l，并由此解出r 6l．即当底半径r 6l，高h 3l时，圆柱3 3 3 3体的体积最大．五、证明题（本题4分）证明：设F(x) x arctanx，则有F(x)11 x2x21x21当x 0时，F(x) 0 ，故F(x)单调增加，所以当x 0时有F(x)F(0) 0，即不等式x arctanx成立，证毕．4高等数学基础练习题一、单项选择题：（每小题3分，共15 分）1．设函数f(x)的定义域为( , )，则函数f(x) f(x)的图形关于（）对称。

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高等数学基础模拟题一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（ D ）对称． (A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点2.当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． (A) x 1 (B) xx sin (C) 1e -x(D) 2xx3.设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim0（ B ）． (A) e 2 (B) e(C) e 41 (D) e 214.=⎰x x xf xd )(d d 2（ A ）． (A) )(2x xf (B) x x f d )(21(C) )(21x f (D) x x xf d )(2 5.下列无穷限积分收敛的是（ B ）． (A) ⎰+∞d e x x (B) ⎰+∞-0d e x x(C) ⎰+∞1d 1x x(D) ⎰+∞1d 1x x二、填空题（每小题3分，共15分）1.函数)1ln(92--=x x y 的定义域是 (1,2)U(2,3］．2.函数⎩⎨⎧≤>-=0sin 01x x x x y 的间断点是 X=0 ．3.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 1/2 ．4.函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是（－∞，－1）． 5.='⎰x x d )(sin sinx + c ．三、计算题（每小题9分，共54分）1.计算极限x xx 5sin 6sin lim0→．2.设22sin x x y x+=，求y '． 3.设xy e sin 2=，求．4.设是由方程yx y e cos =确定的函数，求．5.计算不定积分⎰x x x d 3cos ． 6.计算定积分⎰+e1d ln 2x xx．四、应用题（本题12分）圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？五、证明题（本题4分）当0>x 时，证明不等式x x arctan >．高等数学基础模拟题答案一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.D 2.C 3.B 4.A 5. B二、填空题（每小题3分，本题共15分） 1. ]3,2()2,1( 2. 0=x 3.214. )1,(--∞5. c x +sin 三、计算题（每小题6分，共54分）1. 解：5655sin lim 66sin lim5655sin 66sin 56lim 5sin 6sin lim0000=⋅=⋅=→→→→xx x xx x x x x x x x x x 2. 解：由导数四则运算法则得4224222sin 22ln 2cos )2(sin 2)2(sin x x x x x x x x x x x x y xx x x --+=+-'+=' 312sin 22ln 2cos xx x x x x x +--+= 3. 解：)e 2sin(e e cos e sin e 2xx x x x y =='4. 解：等式两端求微分得左端y x x y x y d cos )(cos d )cos (d +== y x x x y d cos d sin +-= 右端y yyd e )e (d == 由此得y y x x x y yd e d cos d sin =+- 整理后得 x x xy y yd ecos sin d -=5. 解：由分部积分法得⎰⎰-=x x x x x x x d 3sin 313sin 31d 3cos c x x x ++=3cos 913sin 31 6. 解：由换元积分法得⎰⎰⎰=++=+32e 1e1d )ln 2()d ln 2(d ln 2u u x x x xx252322==u四、应用题（本题12分）解：如图所示，圆柱体高h 与底半径r 满足222l r h =+ 圆柱体的体积公式为 h r V 2π= 将222h l r -=代入得h h l V )(π22-= 求导得)3(π))(2(π22222h l h l h V -=-+-=' 令0='V 得l h 33=，并由此解出l r 36=．即当底半径l r 36=，高l h 33=时，圆柱体的体积最大．五、证明题（本题4分）证明：设x x x F arctan )(-=，则有2221111)(x x x x F +=+-='当0>x 时，0)(>'x F ，故)(x F 单调增加，所以当0>x 时有0)0()(=>F x F ，即不等式x x arctan >成立，证毕．高等数学基础练习题一、单项选择题：（每小题3分，共15分）1．设函数f (x )的定义域为),(+∞-∞，则函数f (x ))(x f --的图形关于（）对称。

（A ）x y = （B ）x 轴（C ）x 轴（D ）坐标原点 2．．当x →0时，下列变量中是无穷小量的是（）。

（A ）x 1 （B ）xx sin （C ）1-xe （D ）2xx3．设xe xf =)(，则=∆-∆+→xf x f x )1()1(lim 0（）。

（A ）e 2 （B ）e （C ）e 41 （D ）e 214．⎰=dx x xf dxd )(2（）。

（A ）)(2x xf （B ）21dx x f )(（C ）)(21x f （D ）dx x xf )(25．下列无穷积分收敛的是（）。

（A ）⎰∞+0dx e x （B ）⎰∞+-0dx e x（C ）⎰∞+11dx x （D ）⎰∞+11dx x二、填空题：（每空3分，共15分）1．函数y ＝)1ln(92--x x的定义域是______________。

2．函数⎩⎨⎧≤>-=0sin 01x x x x y 的间断点是______________。

3．曲线1)(+=x x f 在点)2,1(处的切线斜率是______________。

4．函数1)1(2++=x y 的单调减少区间是______________。

5．⎰='dx x )(sin ______________。

三、计算题：（每小题9分，共54分） 1．计算极限：xxx 5sin 6sin lim 0→2．设y xx y x'+=，求22sin3．设y e y x'=，求2sin4．设隐函数y ＝f (x ) 由方程yx y e cos =确定，求y d5．计算不定积分：⎰x x x d 3cos6．计算定积分：⎰+ex x x 1d ln 2四、应用题：（本题12分）圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？五、证明题（本题4分）当x ＞0时，证明不等式 x x arctan >高等数学基础样题一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.函数222xx y +=-的图形关于（）对称．(A) 坐标原点 (B) y 轴 (C) x 轴 (D) x y = 2.在下列指定的变化过程中，（）是无穷小量．(A) )0(1sin→x x x (B) )(1sin ∞→x xx (C) )0(ln →x x (D) )(e∞→x x3.下列等式中正确的是（）．(A) x x xd ln )1(d = (B) x xx d )(ln d = (C) x xx d 3)3(d = (D) xx x d )(d =4.若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f xd )(1（）． (A) )(x F (B) c x F +)((C) c x F +)(2 (D) )(2x F 5.下列无穷限积分收敛的是（）．(A)⎰+∞1d 1x x (B) ⎰+∞0d e x x(C) ⎰+∞1d 1x x(D) ⎰+∞12d 1x x二、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数)1ln(1-+=x x y 的定义域是．2.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=00)1()(1x kx x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ． 3.曲线x x f =)(在)1,1(处的切线斜率是．4.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是． 5.='⎰x x d )(cos ．三、计算题（每小题9分，共54分） 1.计算极限4)2sin(lim22--→x x x ．2.设xxx y e sin 2+=，求y '． 3.设2e sin x y =，求．4.设是由方程3e ln y x y =+确定的函数，求．5.计算不定积分⎰x xx d 1cos2． 6.计算定积分⎰e1d ln x x x ．四、应用题（本题12分）圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？五、证明题（本题4分）当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>．高等数学基础样题答案一、单项选择题1.B2.A3. B4. C5. D 二、填空题1. ),2()2,1(∞+2. e3. 214. ),0(∞+5. c x +cos 三、计算题1. 412. xx x x x e sin cos 22+++ 3. 22e cos e 2x x x 4.x y x y d )e 3(12- 5. c x +-1sin 6.94e 923+ 四、应用题当底半径l r 36=，高l h 33=时，圆柱体的体积最大．高等数学基础第一次作业第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（）是无穷小量．A. xx sin B. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（），则)(x f 在点0x 连续。