数学分析专题研究试题模拟试题及参考答案
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。
答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。
答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。
答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。
令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。
因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。
2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。
答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。
3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。
《数学分析选论》习题全解 模拟试题及答案
《 数学分析续论 》模拟试题及答案一、 单项选择题（56⨯'）（１）设{}n a 为单调数列，若存在一收敛子列{}j n a ，这时有 ．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．j n j n n a a ∞→∞→=lim lim ； Ｂ．{}n a 不一定收敛； Ｃ．{}n a 不一定有界；Ｄ．当且仅当预先假设了{}n a 为有界数列时，才有Ａ成立．（２）设)(x f 在R 上为一连续函数，则有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．当I 为开区间时)(I f 必为开区间； Ｂ．当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间； Ｃ．当)(I f 为开区间时I 必为开区间； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． （３）设)(x f 在某去心邻域)(0x U 内可导．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若A x f x x ='→)(lim 0存在，则A x f =')(0；Ｂ．若f 在0x 连续，则A 成立；Ｃ．若A x f =')(0存在，则A x f x x ='→)(lim 0；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（４）设)(x f 在],[b a 上可积，则有 ．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．)(x f 在],[b a 上必定连续； Ｂ．)(x f 在],[b a 上至多只有有限个间断点； Ｃ．)(x f 的间断点不能处处稠密； Ｄ．)(x f 在],[b a 上的连续点必定处处稠密．（５）设∑∞=1n nu 为一正项级数．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若0lim =∞→n n u ,则 ∑∞=1n n u 收敛； Ｂ．若∑∞=1n n u 收敛，则1lim1<+∞→nn n u u ；C ．若∑∞=1n nu 收敛，则1lim<∞→nn n u ； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．二、计算题（401⨯'）（１）试求下列极限：①⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→n n n n 3)12(31lim ； ② ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∞+→xt x t x tt 022022lim d ed e ．（２）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+x y u f u y x u y x arctan e )(,21,220． 试求)()(0u f u f ''与． （３）试求由曲线 12-=x y ，直线2=x ，以及二坐标轴所围曲边梯形的面积 S ．（４）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）导出从固定点),(00y x 到直线0=++C y B x A 的距离计算公式．三、证明题（301⨯'）（１）设)()(x g x f 与在],[b a 上都连续．试证：若)()(,)()(b g b f a g a f ><，则必存在),(0b a x ∈，满足)()(00x g x f =．（２）证明x x x f ln )(=在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3, 其中 c b a ,,均为正数．( 提示：利用詹森不等式．)（３） 证明：∑∞=π=+-0412)1(n n n ．解 答一、［答］（１）Ａ； （２）Ｃ； （３）Ｂ； （４）Ｄ； （５）Ｄ． 二、［解］（１） ① 333lim 3)12(31lim -=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→∞→n n n n n n n ；②.022limd 2limd 2limd ed e lim2222222220200220====⎪⎭⎫⎝⎛∞+→∞+→∞+→∞+→⎰⎰⎰⎰x x x x x tx x xt xx xt xt x x t ttt eeee ee e（２） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-='++515242)(,e 2e 2)(55022222222e e u f y x xy x y y x u f y x y x ．（３）所围曲边梯形如右图所示．其面积为.212)3(01)3()1()1(3312122=-+-=-+-=⎰⎰x x x x xx x x S d d（４）由题意，所求距离的平方（2d ）为020)()(y y x x -+-的最小值，其中),(y x 需满足0=++C By Ax ，故此为一条件极小值问题．依据 Lagrange 乘数法，设)()()(2020C By Ax y y x x L ++λ+-+-=，并令⎪⎩⎪⎨⎧.0,0)(2,0)(200=++==λ+-==λ+-=λC y B x A L B y y L A x x L y x （Ｆ）由方程组（Ｆ）可依次解出：.2200202022200222202022********)()(,)()(4)()(,2,)(2,2,2BA C yB x A y y x x d B AC y B x A B A y y x x BA C yB x A B A y B Ax y B x AC By y Ax x +++=-+-=⇒+++=+λ=-+-⇒+++=λ⇒+λ-+=+=-λ-=λ-=最后结果就是所求距离d 的计算公式．注 上面的求解过程是由（Ｆ）求出λ后直接得到2d ，而不再去算出y x 与的值，这是一种目标明确而又简捷的解法． 三、［证］（１）只需引入辅助函数：)()()(x g x f x h -=．易知)(x h 在],[b a 上连续，满足0)(,0)(><b h a h ，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在),(0b a x ∈，满足0)(0=x h ，即)()(00x g x f =．（２）x x x f ln )(=的定义域为),0(∞+，在其上满足：),0(,01)(,1ln )(∞+∈>=''+='x xx f x x f ， 所以)(x f 为一严格凸函数．根据詹森不等式，对任何正数c b a ,,，恒有.)(ln )3(ln )ln ln ln (31)3(ln 3cb ac b a c b a c b a c c b b a a c b a c b a <++⇒++<++++++最后借助函数x ln 的严格递增性，便证得不等式c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3．（３）由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和．此时可以考虑把该级数的和看作幂级数=)(x S ∑∞=++-01212)1(n n n n x 在1=x 处的值，于是问题转为计算)(x S ．不难知道上述幂级数的收敛域为]1,1[-，经逐项求导得到]1,1[,)1()(02-∈-='∑∞=x x x S n n n ；这已是一个几何级数，其和为]1,1[,11)()(22-∈+=-='∑∞=x xx x S n n ．再通过两边求积分，还原得⎰⎰=+='=-xxx t tt t S S x S 02,arctan 11)()0()(d d由于这里的0)0(=S ，于是求得∑∞=π===+-041arctan )1(12)1(n n S n ．。
大学数学分析试题及答案
大学数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有界C. f(x)在区间(a, b)内不一定有界D. f(x)在区间(a, b)内一定单调答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2+3D. -3x^2+3答案：A4. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. 1/e^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
答案：函数f(x)在点x=a处的导数2. 设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(2)的值为______。
答案：93. 若序列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值为______。
答案：334. 函数y=ln(x)的定义域是______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 4]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。
令f'(x)=0，解得x=2。
在区间[1, 2)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(2, 4]上，f'(x)>0，函数单调递增。
因此，最小值为f(2)=-1，最大值为f(1)=0或f(4)=3。
2. 计算极限lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1)。
答案：lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1) = (0+0+2)/(0-0+1) = 2。
数学分析模拟试题2及参考答案
数学分析模拟试题2及参考答案一、叙述题： 1、 开集和闭集2、 函数项级数的逐项求导定理3、 Riemann 可积的充分必要条件 二、计算题：） 1、⎰-9131dx x x2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积3、求幂级数nn n x n ∑∞=+12)11(的收敛半径和收敛域 4、11lim222200-+++→→y x y x y x5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三、讨论与验证题：1、已知⎪⎩⎪⎨⎧==≠+++=0,0001sin )(),(222222y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微2、讨论级数∑∞=-+12211ln n n n 的敛散性。
3、讨论函数项级数]1,1[)1(11-∈+-∑∞=+x n x n x n n n 的一致收敛性。
四、证明题：1、 若⎰+∞adx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞→x f x2、 设二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。
参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
2、 设函数项级数∑∞=1)(n nx u满足（1）),2,1)(( =n x u n 在[a ，b]连续可导（2）∑∞=1)(n nx u在[a ，b]点态收敛于)(x S（3）∑∞=1')(n x un在[a ，b]一致收敛于)(x σ则)(x S =∑∞=1)(n n x u 在[a ，b] 可导，且∑∑∞=∞==11)()(n n n nx u dx dx u dx d 3、有界函数)(x f 在[a ，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当0)(max 1→∆=≤≤i ni x λ时Darboux 大和与Darboux 小和的极限相等二、1、令31x t -=（2分）7468)1(31233913-=--=-⎰⎰-dt t t dx x x 2、222221,x a b y x a b y --=-+=，所求的体积为：b a dx y y aa 2222212)(ππ=-⎰- 3、解：由于e n n n n n n nn 1])111(1))111()11(lim[(11=++⨯+++++∞→收敛半径为e 1，当e x 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e n n n n ，所以收敛域为)1,1(ee -4、：2)11(lim )11)(11()11)((lim11lim2200222222220222200=+++=+++-++++++=-+++→→→→→→y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x 5、解： 设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-z y x f f f 136)2,1,2(=-l f三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+=000)1cos 11(sin 22222222222y x y x yx y x y x x f x 由于22221cos 1yx y x ++当趋于（0，0）无极限。
数学专题研究试题（09秋）模拟试题1参考答案
数学专题研究试题（09秋）模拟试题1参考答案第一篇：数学专题研究试题(09秋)模拟试题1参考答案数学分析专题研究试题（09秋模拟试题（一））参考答案一、单项选择题（每小题4分，共20分）1．D；2.B；3.D；4.A；5.C二、填空题（每小题4分，共20分）1．{(c,a),(c,b),(d,a),(d,b)} 2.等价关系；3.无限集；4.cosx+isinx；5.1+x.三、计算题（每小题15分，共30分）1．解f(x+1)=x2-4x+3=(x+1)2-6(x+1)+8故f(x)=x2-6x+815分2．解令 f'(x)=1-f''(x)=2⋅分f''(-1)=-2<0,故x=-1是极大值点，f(-1)=-2是极大值。
15分四、证明题（每小题15分，共30分）1=0解得 x=±18分 2x1，f''(1)=2>0,故x=1是极小值点，f(1)=2是极小值；12x31.证明：若f(0)=0或f(1)=1，则x0可取为0或1.n否则有f(0)>0且f(1)<1,设ϕ(x)=f(x)-x，ϕ(x)是[0,1]上的连续函数，且ϕ(0)=f(0)>0，ϕ(1)=f(1)-1<010分n由连续函数的介值定理知，至少有一点x0∈(0,1)，使ϕ(x0)=0，即f（x0)=x015分2．证明已知sinx在(0,π2)内是上凸函数，故有1ABC1A1B1C[sin+sin+sin]≤sin[++] 322232323211=sin(A+B+C)=10分 62ABC1ABC3131因此sin⋅sin⋅sin≤{(sin+sin+sin)}≤()=15分222322228第二篇：09秋模拟试卷及答案中国石油大学（北京）远程教育学院 2009 年秋季期末考试毛泽东思想概论模拟试卷A一单项选择（每题2分，共20分，将正确序号写入答题纸相应位置）1毛泽东思想的初步形成是在（）。
数学分析专题研究模拟试题及参考答案
数学分析专题研究模拟试题及参考答案一、单项选择题1.A ，B ,C 是三个集合,C B A ⊂，则有( )成立。
A 。
若A x ∈,则B x ∈ B 。
若A x ∈，则C x ∈C 。
若A x ∈，则C B x ∈ Ｄ． 若C B x ∈，则A x ∈答案：Ｄ2． 设12)(2-+-=x x x f 则R R f →:是（ ）A. 双射B. 既非单射也非满射 Ｃ。
单射而非满射 D ． 满射而非单射答案:B3。
下列数集（ ）不是可列集。
Ａ．自然数集 B 。
整数集 Ｃ．有理数集 Ｄ．实数集答案：D4。
已知函数)(x f y =在)1,0(内可导，且)(x f '在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内（ ）．A ．连续B ．间断C 。
有界D 。
无界答案：Ａ5。
有界闭凸集S 上的下凸函数)(x f 的最大值必在S 的（ ）达到.A ．内部B 。
外部C ．边界S ∂ D.可能是内部也可能在边界S ∂答案：C二、填空题1．已知},{},,{d c B b a A ==,则________________=⨯A B .答案：)},(),,(),,(),,{(b d a d b c a c2.设R 为X 中的关系，若R 是反身的、对称的、传递的，则称关系R 是 ． 答案：等价关系３。
若集合A 能与其任意真子集1A 之间建立一个双射,则集合A 是 . 答案:无限集4．=ix e .答案：x i x sin cos + 5．设n n n x n x f ∑∞=--=11)1()(,则ln(_____))(=x f 。
答案：x +1三、计算题１．已知函数)(x f 满足34)1(2+-=+x x x f ,求)(x f .解:34)1(2+-=+x x x f8)1(6)1(2++-+=x x 故86)(2+-=x x x f2．求函数x x x f 1)(+=的极值． 解 令 011)(2=-='x x f 解得 1±=x 312)(x x f ⋅='',,02)1(>=''f 故1=x 是极小值点，2)1(=f 是极小值 ; ,02)1(<-=-''f 故1-=x 是极大值点，2)1(-=-f 是极大值。
数学分析三试卷及答案
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一。
计算题(共8题,每题9分,共７２分)。
1.求函数11(,)f x y y x =在点(0,0）处的二次极限与二重极限。
解：11(,)f x y y x =+=,因此二重极限为。
……（4分）因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在。
……(9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数，其中和分别具有连续的导数和偏导数，求dzdx．解: 对两方程分别关于求偏导：, ……（4分）。
解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++。
……（9分）3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。
设,,22y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续)。
解：看成是,x y 的复合函数如下:,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====。
……（４分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν.整理得:2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂. ……（９分)4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？ 解: 设圆桶底面半径为,高为，则原问题即为:求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表,()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件： 21r h π=。
……（３分）构造Ｌa ｇra ｎge 函数:22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。
(完整版)数学分析试题及答案解析,推荐文档
∑⎰ ⎰ ⎰ 2014 ---2015 学年度第二学期《数学分析 2》A 试卷一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若 f (x )在[a ,b ]连续，则 f (x )在[a ,b ]上的不定积分⎰ f (x )dx 可表为x f(t )dt + C （ ）.a2.若 f (x ), g (x )为连续函数，则⎰ f (x )g (x )dx = [⎰f (x )dx ]⋅ [⎰g (x )dx （）.+∞+∞3.若 f (x )dx 绝对收敛， ⎰ g (x )dx 条件收敛，则aa+∞[ f(x )- g (x )]dx 必然条件收敛（）.a+∞ 4. 若f (x )dx 收敛，则必有级数∑ f (n )收敛（ ）1n =15. 若{f n }与{g n }均在区间 I 上内闭一致收敛，则{f n + g n }也在区间 I上内闭一致收敛（ ）.∞6. 若数项级数 a n 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散n =1于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 若 f(x )在[a ,b ]上可积，则下限函数af (x )dx 在[a ,b ]上（）xA. 不连续B. 连续C.可微D.不能确定⎰ ⎰∞⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ∑ 2. 若 g (x )在[a ,b ]上可积，而 f (x )在[a ,b ]上仅有有限个点处与 g (x )不相等，则（ ）A. f (x )在[a ,b ]上一定不可积；B. f (x )在[a , b ]上一定可积,但是bf (x )dx ≠ bg (x )dx ；aaC. f (x )在[a , b ]上一定可积，并且 b f (x )dx = bg (x )dx ；aaD. f (x )在[a ,b ]上的可积性不能确定.∞3. 级数 n =11 + (- 1)n -1 n n2 A. 发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4. 设∑u n 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ）A. 若lim u n →∞= 0 ，则级数∑u n一定收敛；B. 若lim un +1 = < 1，则级数∑u 一定收敛；n →∞ u nC. 若∃ N ,千D. 若∃ N ,千 n > N 千千n > N 千千千u n +1 n< 1，则级数∑u n 一定收敛； u n> 1，则级数∑u n 一定发散；5. 关于幂级数∑ a n x n 的说法正确的是（）A. ∑ a n x n 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. ∑ a n x n 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑ a n x n 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；千 u n +1u n nx ⎰⎰ D. ∑ a n x n 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分） 1. lim 1n (n + 1)(n + 2) (n + n ) n →∞ n2. ln (sin x )dx cos 2 x四. 判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1. dx 01 + + x 2∞∑2. ∑ n ! n =1 n n∞ 3. n =1(- 1)nn 2n1 + 2n五. 判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1. f n(x )= sin nx n, n =1,2 , D = (- ∞,+∞)∑2. n D xn= (- ∞, - 2]⋃[2, + ∞)六．已知一圆柱体的的半径为 R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
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数学分析专题研究试题模拟试题及参考答案
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈∀，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。
3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点
0x 可导。
4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。
5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。
6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈∀α，有 成立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．设f ：Y X →，X A ⊂∀，则A （ ）))((1
A f f
-
A. =
B. ≠
C. ⊃
D. ⊂
2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈∀，有1)(0<<x f ，则（ ）。
A. )(x f '有界 B. )(x f '无界 C. )(x f 可积 D. )(x f 不可积
3．已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导，且)(x f < )(x ϕ，则（ ）。
A. )(x f '≠)(x ϕ'
B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f ' >)(x ϕ' D. 前三个结论都不对
4．已知⎩⎨⎧∈∈=]
2,1(2
]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义⎰
=
x t t f x F 0
d )()(，则)(x F 在区
间[0，2]上（ ）。
A. 连续
B. 不连续
C. 可导
D. 前三个结论都不对 5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（ ）。
A. 0)(>''x f
B. 最小值唯一
C. 0)(<''x f
D. 最大值唯一 6．x
x x f sin )(=
定义在（0，1）上，则)(x f 在（0，1）上是( )函数
A. 有界
B. 无界
C. 周期
D. 偶 三、计算题（每小题8分，共32分）
1．已知2cos tan )(x x f =，求)(x f '
2．求定积分⎰20
d cos π
x x x
3．已知34)1(2+-=+x x x f ，求)(x f 。
4．求3
sin lim
x
x x x -→
四、证明题（每小题8分，共32分）
1．设数列{n a }满足n a >0且1lim
<=∞
→r a n
n n ，则级数∑∞
=1
n n a 收敛
2．已知函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内存在二阶导数，且0)()(==b f a f ，存在0)(),,(>∈c f b a c 。
则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)(<''ξf 。
3．已知2
,0,0π
=
+>>y x y x ，证明2sin sin ≤+y x
4．已知函数在],[b a 上连续非负，且存在一点),(0b a x ∈，使0)(0>x f ，则
⎰
>b a
x x f 0d )(。
模拟试卷参考答案
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．等价关系
2．E x ∈∃>∀0,0ε，使得εβ+<0x
3．x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim 000
4．)()()(y f x f xy f += 5．线性
6．)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+ 二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 三、计算题（每小题8分，共32分）
1．解：x x x x f 2sin )
(cos cos 1)(2
2
2
⋅⋅=
'
12
cos 2
d sin 2
d sin sin d cos .220
20
20
20
20
-=
+=
-
=-=⎰
⎰⎰
π
π
π
π
π
π
ππ
x x x x x x
x x x x 解
3．解 34)1(2
+-=+x x x f 8)1(6)
1(2
++-+=x x
故86)(2
+-=x x x f
4．解 2
3
3c o s 1lim
sin lim
x x x x x x x -=-→→
=x x
x x
x x x 2sin lim 31
cos lim
31
02
0→→=
-
6
1
s i n lim
610==→x x x 四、证明题（每小题8分，共32分）
1． 证明：因1lim
<=∞
→r a n
n n ，故存在N ，当N n ≥时，12
10<+=
≤r r a n n
2． 即N n ≥时，有n n r a 0
< （4分） 因为级数
∑∞
+=1
N n n r
收敛。
故有∑∑∑∞
+==∞
=+
=
1
1
1
N n n
N
n n
n n a
a
a 。
因
∑∞
+=1
N n n
a
收敛（7分），故∑∞
=1
n n a 收敛。
2．证明：已知f(x)在（a,b ）内存在二阶导数，故f ′(x)在（a,b ）内连续，由拉格朗日定理，存在),(1c a ∈ξ，使得
0)()()(1>--=
'c
a c f a f f ξ
存在),(2b c ∈ξ，使得
0)()()(2<--=
'c
b c f b f f ξ
故存在),(21ξξξ∈，使得
0)
()()(1
212<-'-'=
''ξξξξξf f f
3．证明：已知x x f sin )(=在]2
,0[π
上是上凸函数（2分），故对于)
1,0(2
1),
2
,
0(,∈∈π
y x 有
)s i n (s i n 2
12
s i n
y x y x +≥
+
故
24
sin
22
sin
2sin sin ==+≤+π
y x y x
4．证明：已知f(x)在[a,b]上连续且存在),(0b a x ∈使0)(0>x f ，故存在0>δ，使得
),(),(00b a x x ⊂+-δδ且当),(00δδ+-∈x x x 时，)(2
1)(0x f x f ≥
（4分），因f(x)非
负，故
⎰
⎰
⎰
⎰
++--+
+=
b x x x x a
b a
dx x f dx x f dx x f dx x f δ
δδ
δ0000)()()()(
0)(2)(2
1)(0000>=⋅≥
≥
⎰
+-δδδδ
x f x f dx x f x x。