2020届全国100所名校高考模拟金典卷理科数学(四)试题(word无答案)
2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷及答案解析(13页)
2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（ ） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（ ）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（ ） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（ ）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的； 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-， 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥， 所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ， 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=， 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， 从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++， 由023112x --=，得054x =， 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 （1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++， 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 （1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 （1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤； 当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。
全国所名校最新高考模拟示范卷卷(四)
全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(四)数学(理科)数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kk kn n P k p p -=-．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则AB =A ．()0,2B ．(]0,2C ．[)0,2D ．[]0,22．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11赛得分的情况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为A ．19、13B ．13、19C ．20、18D ．18、203．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a =A ．1- BC ．1-D ．1或4．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定 5．在区间[]0,1上任取两个数,a b ，方程220x ax b ++=的两根均为实数的概率为 A ．18 B ．14 C ．12 D ．346．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．15次B ．14次C ．9次D ．8次8．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须做答．9．若复数()()2563i z m m m =-++-是实数，则实数m = ． 10．已知3cos 5α=，则cos 2α= ． 11．根据定积分的几何意义，计算x =⎰．12．按如图2所示的程序框图运算． 若输入8x =，则输出k = ；若输出2k =，则输入x 的取值范围是 ． （注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”，均表示赋值语句）（二）选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题的得分．13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sinρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．14．（不等式选讲选做题）若a、b、c∈R，且222236a b c++=，则a b c++的最小值是．15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且:1:2AE EB=，DE与AC交于点F，若AEF∆的面积为62cm，则ABC∆的面积为2cm．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin cosf x a x b x=+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求实数a和b的值；（2）当x为何值时，()f x取得最大值．17．（本小题满分12分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数123456N n n n n n n=，其中N的各位数中，161n n==，kn（k=2，3，4，5）出现0的概率为23，出现1的概率为13，记123456n n n n n nξ=+++++，当该计算机程序运行一次时，求随机变量ξ的分布列和数学期望（即均值）．18．（本小题满分14分）如图3所示，在边长为12的正方形11AA A A''中，点,B C在线段AA'上，且3AB=，4BC=，作1BB1AA分别交11A A'、1AA'于点1B、P，作1CC 1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1C 、Q ，将该正方形沿1BB 、1CC 折叠，使得1A A ''与1AA 重合，构成如图4所示的三棱柱111ABC A B C -．（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比； （3）在三棱柱111ABC A B C -中，求直线AP 与直线1AQ 所成角的余弦值．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 中，51=a 且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）．（1）若数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求实数λ的值； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知函数()xf x e x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 21．（本小题满分14分）已知抛物线L ：22x py =和点()2,2M ，若抛物线L 上存在不同两点A 、B 满足AM BM +=0．（1）求实数p 的取值范围；（2）当2p =时，抛物线L 上是否存在异于A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(四)数学(理科)数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．8．由PA PB PC AB ++=，得PA PB BA PC+++=0，即2PC AP =，所以点P 是CA 边上的第二个三等分 点，如图所示．故23PBC ABC S BC PC S BC AC ∆∆⋅==⋅．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中第12题第一个空2分，第二个空3分．9．3 10．725-11．3π 12．4；(]28,57 13．cos 2ρθ= 14． 15．72三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）∵函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫⎪⎝⎭，∴sin cos 0,33sin cos 1.22a b a b ππππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即10,221.b a +=⎪⎨⎪=⎩解得1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩．（2）由（1）得()sin f x x x =12sin 2x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴当sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即232x k πππ-=+， 即526x k ππ=+()k ∈Z 时，()f x 取得最大值2． 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力等） 解：ξ的可能取值是2，3，4，5，6．∵161n n ==，∴()4042162C 381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()31412323C 3381P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()22241284C 3327P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()3341285C 3381P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭， ()444116C 381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望为16322481102345681818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系，面积与体积，空间向量等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力）（1）证明：在正方形11AA A A''中，∵5A C AA AB BC ''=--=， ∴三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =． ∵3AB =，4BC =，∴222AB BC AC +=，则AB BC ⊥．∵四边形11AA A A''为正方形，11AA BB ，∴1AB BB ⊥，而1BCBB B =，∴AB ⊥平面11BCC B ． （2）解：∵AB ⊥平面11BCC B ，∴AB 为四棱锥A BCQP -的高．∵四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=，∴梯形BCQP 的面积为()1202BCQP S BP CQ BC =+⨯=， ∴四棱锥A BCQP -的体积1203A BCQP BCPQ V S AB -=⨯=，由（1）知1B B AB ⊥，1B B BC ⊥，且AB BC B =，∴1B B ⊥平面ABC ．∴三棱柱111ABC A B C -为直棱柱， ∴三棱柱111ABC A B C -的体积为111172ABC A B C ABC V S BB -∆=⋅=．故平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分的体积之比为722013205-=．（3）解：由（1）、（2）可知，AB ，BC ，1BB 两两互相垂直．以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则()3,0,0A ，()13,0,12A ，()0,0,3P ，()0,4,7Q ， ∴(3,0,3)AP =-，1(3,4,5)AQ =--， ∴1111cos ,5AP AQ AP AQ AP AQ ⋅<>==-，∵异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，∴直线AP 与1AQ 所成角的余弦值为15． 19．（本小题满分14分） （本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力） 解：（1）方法1：∵51=a ，∴22122113a a =+-=，33222133a a =+-=． 设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有3122b b b +=． ∴321232222a a a λλλ+++⨯=+．∴13533228λλλ+++=+． 解得 1λ=-．事实上，1111122n n n n n n a a b b +++---=-()111212n n n a a ++=-+⎡⎤⎣⎦()1112112n n ++⎡⎤=-+⎣⎦1=，综上可知，当1λ=-时，数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列． 方法2：∵数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设2n n na b λ+=，由}{n b 为等差数列，则有122n n n b b b ++=+（*n ∈N ）． ∴12122222n n n n n n a a a λλλ+++++++⨯=+．∴1244n n n a a a λ++=--()()121222n n n n a a a a +++=---()()12221211n n ++=---=-．综上可知，当1λ=-时，数列2n na λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是2、公差是1的等差数列． （2）由（1）知，()1111122n n a a n --=+-⨯， ∴()121nn a n =+⋅+．∴()()()()12122132121121n nn S n n -⎡⎤=⋅++⋅+++⋅+++⋅+⎣⎦．即()1212232212n n n S n n n -=⋅+⋅++⋅++⋅+．令()1212232212n n n T n n -=⋅+⋅++⋅++⋅， ① 则()23122232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅． ②②－①，得()()12312222212n n n T n +=-⋅-+++++⋅12n n +=⋅．∴()11221n n n S n n n ++=⋅+=⋅+．20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）（1）解：∵()x f x e x =-，∴()1xf x e '=-．令()0f x '=，得0x =．∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．∴函数()xf x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增．∴当0x =时，()f x 有最小值1．（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1x e x -≥，即1xx e +≤．令k x n=-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n ke n-<-≤，∴1(1,2,,1)nnkkn k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即(1,2,,1)nk n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭．∵1,nn n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴(1)(2)211211n nn nn n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∵(1)(2)2111111111n n n e eeee e e e e ----------+++++=<=---， ∴ 1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）解法1：（1）不妨设A 211,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 222,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且12x x <， ∵AM BM +=0，∴2212122,22,222x x x x p p ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0．∴124x x +=，22128x x p +=．∵()21222122x x x x ++>（12x x ≠），即88p >，∴1p >，即p 的取值范围为()1,+∞．（2）当2p =时，由（1）求得A 、B 的坐标分别为()0,0、()4,4．假设抛物线L 上存在点2,4t C t ⎛⎫⎪⎝⎭（0t ≠且4t ≠），使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．设经过A 、B 、C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则2420,4432,1641616.F D E F tD t E F t t ⎧=⎪++=-⎨⎪++=--⎩整理得 ()()3441680t E t E ++-+=． ① ∵函数24x y =的导数为2x y '=， ∴抛物线L 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为2t ， ∴经过A 、B 、C 三点的圆N 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为2t ． ∵0t ≠，∴直线NC 的斜率存在．∵圆心N 的坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴242122t E t D t +⨯=-+，即()()324480t E t E ++-+=． ② ∵0t ≠，由①、②消去E ，得326320t t -+=．即()()2420t t -+=．∵4t ≠，∴2t =-．故满足题设的点C 存在，其坐标为()2,1-．解法2：（1）设A ，B 两点的坐标为1122()()A x y B x y ,,,，且12x x <。
(全国100所名校最新高考模拟示范卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟测试试题(含答案)
2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。
2020届江西省百所名校高三下学期第四次联考数学(理)试卷及解析
2020届江西省百所名校高三下学期第四次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,(){}ln 1A x y x ==+,{}220B x x x =--<,则() U B A =（ ）A. ()2,+∞B. (),2-∞C. ∅D. ()1,2- 【答案】B【解析】 根据已知条件先求出集合A 和集合B ,再求出集合A 的补集,再运用集合的并集运算即可. 【详解】因为{}1A x x =>-,{}12B x x =-<<, 所以{} 1U A x x =≤-,故(){} 2U B A x x ⋃=<.故选：B2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家,为数学界作出了巨大贡献,其中就有欧拉公式：cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系,被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式,则复数43i z iπ=的模为（ ）C. D. 2 【答案】B【解析】由题意可得4i e π=,代入43i z i π=+并对其化简,再代入模长计算公式即可.【详解】因为422i e π=+, 所以433112i z e i i i iπ==-++=-,从而5z =.故选：B3.空气质量AQI 指数是反映空气质量状况指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表：AQI 指数值 [)0,50[)50,100 [)100,150 [)150,200 [)200,300 [)300,+∞ 空气质量优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染如图所示的是某市11月1日至20日AQI 指数变化的折线图：下列说法不正确的是（ ）A. 这20天中空气质量为轻度污染的天数占14B. 这20天中空气质量为优和良的天数为10天C. 这20天中AQI 指数值的中位数略低于100D. 总体来说,该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】根据已知条件对每个选项进行判断即可.【详解】对于A ,20天中AQI 指数值高于100,低于150的天数为5,即占总天数的14,故A 正确； 对于B ,20天中AQI 指数值有10天低于100,故B 正确；对于C ,20天中AQI 指数值有10天低于100,10天高于100,根据图可知中位数略高于100,故C 错误；对于D ,由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些,故D 正确.故选：C。
名师精编2020年全国高考理科数学模拟试卷4+答题卡+解析
2020年全国高考模拟理科数学卷（4）考试时间120分钟 总分150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设U =R ，A ={x |x 2-3x -4＞0},B ={x |x 2-4＜0},则=B A C U I )(A ．{x |x ≤-1,或x ≥2}B ．{x |-1≤x ＜2}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |x ≤4}2.若复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m 的值为（ ） A. -1 B.-2 C.1 D.23.A ．4163π-B ．403C ．8163π-D ．3234. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是A ．1-B ．21C ．1D ．25. 在数列{}n a 中，12341,23,456,78910,a a a a ==+=++=+++则10a = （ ） A. 495 B.500 C.505 D.5106. ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）4A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭UC ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U8. 设()()2,cos sin cos cos 2a R f x x a x x x π⎛⎫∈=-+-⎪⎝⎭满足()(0)3f f π-=，求函数()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值 （ ） A.1 B.2 C.3 D.9. 在R 上定义的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间[]2,1是减函数，则函数)(x f （ ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数10. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150种B. 147种C. 144种D. 141种11. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+u u u v u u u v u u u u v，12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=u u v u u u u v（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =（ ） A ．13 B ．12 C ．23D12. 在三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ，DB ＝DC ，4AB DB +=，AB ⊥BD ，则三棱锥 A —BCD 的外接球的体积的最小值为（ ）A. 3B. 43πC. 3D. 323π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.13. 若向量12,2a =,b a b ==且-,则a b =+ 。
(全国100所名校最新高考模拟示范卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试(四)ZX-MNJ.SD
按秘密级事项管理★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试本试卷共22题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|26M x x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则M N =I （ ） A ．{}2|2log 35x x -<< B ．{}2|3log 35x x -<< C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<2.设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则（ ） A ．221x y =+B ．221y x =+C ．221x y =-D ．221y x =-3.已知()2,1AB =-u u u r ，()1,AC λ=u u u r ，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ）A ．-1B ．7C ．1D ．1或74.“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5.若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．14D ．136.函数()2cos 2cos 221xxf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD P ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<8.已知函数()2xf x x a =+，()ln 42xg x x a -=-，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,1B ．(]0,4C ．[)1,+∞D ．(]0,ln 2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）A ．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B ．支出最高值与支出最低值的比是5:1C ．第三季度平均收入为5000元D ．利润最高的月份是3月份和10月份10.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）A ．焦距长约为300公里B ．长轴长约为3988公里C ．两焦点坐标约为()150,0±D ．离心率约为7599411.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为过三点B 、E 、F 的平面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）A ．HF BE PB ．三棱锥1B BMN -的体积为6C ．直线MN 与平面11A B BA 的夹角是45°D ．11:1:3D G GC =12.已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论正确的是（ ） A ．实数a 的值为1B ．()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称 C ．21x x -的最大值为π D ．12x x +的最小值为23π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，则()5f -=__________；()()5f f -=__________.（本题第一空2分，第二空3分）14.某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5:3:2，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是111，则该部门员工总人数为__________.15.已知双曲线22219x y b -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上任一点，且12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最小值为-7，则该双曲线的离心率是__________.16.如图，在矩形ABCD 中，24AD AB ==，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE ，CE 折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.17.在①2316b b a =，②412b a =，③5348S S -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.设正数等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，{}n a 是等差数列，__________，34b a =，12a =，35730a a a ++=，是否存在正整数k ，使得132k k k S S b +=++成立？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.已知在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=21b -=.（1）求cos C 的值； （2）求ABC △的面积.19.在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，DF GE P ，2222AB AG DG DF ====. （1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小.20.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()0,2F 的距离小1. （1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222:221C x y -++=上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A 、B ，求直线AB 斜率的取值范围.21.某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案（a ）规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案（b ）规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)25,35，[)35,45，[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率； （2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案（a ）概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由. （同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）22.已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-. （1）若函数()f x 在()0,+∞上单调递减，且函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求实数m 的值； （2）求证：()()21111sin11sin1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭L （*n ∈N 且2n ≥）. 2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.A 本题考查交集.25log 356<<Q ，{}2|2log 35M N x x ∴=-<<I .2.B 本题考查复数的几何意义.12z zz +=+Q ，1x =+，解得221y x =+.3.C 本题考查向量的数量积.cos 10AB AC BAC AB AC ⋅∠===u u u r u u u r Q u u u r u u u r ，∴解得1λ=. 4.A 本题考查充分必要条件.Q 当函数()()2231f x b b x α=--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-，∴“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--为幂函数”的充分不必要条件. 5.D 本题考查二项式定理.()()()()666131313x a x x x a x -+=+-+Q 的展开式中3x 的系数为2233663313554045C aC a -=-=-，∴解得13a =. 6.C 本题考查函数的图象.()2cos 221cos 2cos 22121x xx x f x x x +=+=--Q ， ()()()2121cos 2cos 22121x x x x f x x x f x --++∴-=-=-=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又Q 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，∴选C 项. 7.A 本题考查线面关系.如图，CE ⊂平面ABPQ ，从而CE P 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，4m ∴=，EF Q P 平面11BPPB ，EF P 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交，4n ∴=，m n ∴=.8.A 本题考查函数与导数.由题意得()()0000002ln 425xx f x g x x a x a --=+-+=，即0000242ln 5xx a a x x -+=+-，令()ln 5h x x x =+-，()111xh x x x-'∴=-=，()h x ∴在()0,1上单调递增，则()1,+∞上单调递减， ()()max 14h x h ∴==，而024224x x a a a -+≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立，44a ∴≤，01a ∴<≤.9.ACD 本题考查图表问题.对于A 选项，4至5月份的收入的变化率为30502054-=--，11至12月份的变化率为5070201211-=--，故相同，A 项正确.对于B 选项，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值与支出最低值的比是6:1，故B 项错误.对于C 选项，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40百元，50百元，60百元，故第三季度的平均收入为405060503++=百元，故C 项正确.对于D 选项，利润最高的月份是3月份和10月份都是30百元，故D 项正确.10.AD 本题考查椭圆的实际应用.设该椭圆的半长轴长为a ，半焦距长为c .依题意可得月球半径约为1347617382⨯=，10017381838a c -=+=，40017382138a c +=+=，2183821383976a =+=，1988a =，21381988150c =-=，椭圆的离心率约为150751988994c e a ===，可得结论A 、D 项正确，B 项错误；11.AD 本题考查立体几何问题.对于A 选项，由于平面11ADD A P 平面11BCC B ，而平面BMN 与这两个平面分别交于HF 和BE ，根据面面平行的性质定理可知HF BE P ，故A 选项判断正确；由于1:1:2A F FA =，而E 是1CC 的中点，故11MA =，123HD =，112D G =，132GC =,12C N =. 对于B 选项，111111111342=43232B BMN B MNB V V MB NB BB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，故B 选项判断错误； 对于C 选项，由于1B N ⊥平面11A B BA ，所以直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1NMB ∠，且1114tan 13B N NMB B M ∠==≠，故C 选项判断错误； 对于D 选项，根据前面计算的结果可知112D G =，132GC =，故D 选项判断正确. 12.ACD 本题考查三角函数性质.56x π=Q 是函数()f x 的一条对称轴， ()53f x f x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，∴令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1a =， ()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，又Q 函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，21x x ∴-的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-，()()11,x f x ∴和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一个对称中心对称， ()1212233322x x x x k k ππππ-+-+-∴==∈Z ，()12223x x k k ππ∴+=+∈Z ，当0k =时，12x x +取最小值为23π， ∴A ，C ，D 项正确，B 项错误.13.0 1 本题考查求函数值.()()()5130f f f -=-==，()()()()5041ff f f -===.14.60 本题考查分层抽样和概率.设C 组有n 人，()22224121111n n C C C n n -==-Q ，∴解得12n =，∴该部门员工总共有()12532602⨯++=人. 15.43本题考查双曲线的离心率.设点()1,0F c -()0c >，()2,0F c ()0c >，(),P m n ， 则22219m n b -=，即22291n m b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()1=,PF c m n ---u u u r Q ，()2,PF c m n =--u u u u r，2222222221222991199n PF PF m c n n c n c c b b ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+=++-=++-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r ，当0n =时，等号成立，297c ∴-=-，4c ∴=，43e ∴=. 16.323π 本题考查折叠问题.由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图， 设BE ，EC ，BC 的中点分别为M ，N ，O ，连接AM ，OM ，AO ，DN ，NO ，DO ，OE ，则OM BE ⊥，ON CE ⊥. 因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE .所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ，易得2OA OB OC OD OE =====， 则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==.17.解：本题考查数列的应用.Q 在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，510a ∴=， ∴公差51251a a d -==-，()112n a a n d n ∴=+-=，348b a ∴==， 若存在正整数k ，使得132k k k S S b +=++成立，即132k k b b +=+成立，设正数等比数列{}n b 的公比为()0q q >，若选①，2316b b a =Q ，24b ∴=，322b q b ∴==，2n n b ∴=， ∴当5k =时，满足6532b b =+成立.若选②，41224b a ==Q ，433b q b ∴==，383n n b -∴=⋅， 23838332n n --∴⋅=⋅+，332n -∴=方程无正整数解， ∴不存在正整数k ，使得132k k b b +=+成立.若选③，5348S S -=Q ，4548b b ∴+=，28848q q ∴+=，260q q ∴+-=， ∴解得2q =或3q =-（舍去），2nn b ∴=，∴当5k =时，满足6532b b =+成立.18.解：本题考查解三角形.（121b -=2b a -=2sin sin C B A -=，6A π=Q ，56B C π∴=-，512sin 62C C π⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∴解得1cos 2C =-. （2）Q 在ABC △中，1cos 2C =-，23C π∴=，6B AC ππ∴=--=，1b a ∴==，11sin 112224ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△. 19.解：本题考查线面垂直和二面角.（1）Q 平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥，BE ∴⊥平面DGEF ，BE FG ∴⊥，由题意可得FG FE ==222FG FE GE ∴+=，FE FG ∴⊥，FG ∴⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--u u u r，()1,1,1FB =-u u u r ，()0,1,1FE =-u u u r.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =r ，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n ⎧--==⋅=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎪⎩u u u r ru u u r r，令11x =，()1,0,1n =r ，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==u r u u u r，1cos ,2n m n m n m⋅∴===r u r r u r r u r ，∴两法向量所成的角为3π， 由图可知，二面角A BF E --的大小为23π.20.解：本题考查轨迹问题.（1）设点(),M x y ，Q 点M 到直线1y =-的距离等于1y +，11y ∴+=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA 、PB 的斜率都存在，分别设为1k 、2k ，切点()11,A x y ，()22,B x y ， 设点(),P m n ，过点P 的抛物线的切线方程为()y k x m n =-+， 联立()28y k x m nx y⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，得28880x kx km n -+-=，26432320k km n ∆=-+=Q ，即220k km n -+=，122m k k ∴+=，122nk k =， 由28x y =，得4x y '=，114x k ∴=，2211128x y k ==，2222222428x x k yk =⋅==，222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+∴====--， Q 点(),P m n 满足()()22221x y -++=，13m ∴≤≤，13444m ∴≤≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21.解：本题考查概率问题.（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”. 依题意，快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2、0.15、0.05，0.20.150.050.4++=Q ，()P A Q 估计为0.4.（2）设事件B 为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C 为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()0,1,2,3,4i i =人选择方案()a ”，则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()*11002Y X X =+∈N ，方案()b 的日工资()*2*150,54,150554,54,X X Y X X X ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩NN， 所以随机变量1Y 的分布列为()11600.051800.052000.22200.32400.22600.152800.05224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500.31800.32300.22800.153300.05203.5E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()()12E Y E Y >Q ，∴建议骑手应选择方案()a .22.解：本题考查函数与导数.（1）Q 函数()f x 在()0,+∞上单调递减，()101mf x x'∴=-<+，即1m x <+在()0,+∞上恒成立，1m ∴≤， 又Q 函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ()cos 0g x m x '∴=->，即cos m x >在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，1m ≥，∴综上可知，1m =.（2）由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0,+∞上为减函数，()sin g x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <.sin1Q ，1sin12⨯，1sin 23⨯，L ，()1sin 01n n>-⨯（*n ∈N 且2n ≥），()()()111ln 1sin11sin 1sin 1sin ln 1sin112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦L()11111ln 1sin ln 1sin ln 1sin sin1sin sin 122311223n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++<+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ()()1111111111sin111221122312231n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<++++=+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⨯⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ，即()()111ln 1sin11sin 1sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦L ， ()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++< ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭L（*n ∈N 且2n ≥）.。
【备考2020】全国高考模拟考试数学试卷 (理科)4(含答案解析)
二〇二〇届全国高考模拟考试试卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，共12题，满分60分。
1．已知点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭和抛物线2:2C x y =，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若PA PB ⊥u u u r u u u r，则直线斜率k 为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．113．1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA uuu r ,OB uuu r对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD uuu r对应的复数是（ ） A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为（ ）A ．13B ．12 C ．16D ．236．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===r r r，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（ ）A ．0a b c ++=r rr r B ．a b c r r r 、、两两平行 C ．//a b rr D ．a b c r r r 、、方向都相同7．已知2:11xp x <+，:()(3)0q x a x -->，p 为q 的充分不必要条件，则a 的范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ．()1,-+∞8．下列命题正确的是（ ）A ．若lim()0n n n a b a →∞=⋅≠，则lim 0n n a →∞≠且lim 0n n b →∞≠B ．若lim(,)0n n n a b →∞=，则lim 0n n a →∞=且lim 0n n b →∞= C ．若无穷数列{}n a 有极限，且它的前n 项和为n S ，则12lim 0=lim lim lim n n n n n n S a a a →∞→∞→∞→∞=+++L D ．若无穷数列{}n a 有极限，则1lim lim n n n n a a +→∞→∞= 9．设为负实数且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．以上都不对10．在四边形ABCD 中,已知M 是AB 边上的点,且1MA MB MC MD ====,120CMD ∠=o ,若点N 在线段CD (端点,C D 除外)上运动,则NA NB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ） A ．[)1,0-B ．[)1,1-C ．3,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭11．若集合012|),{(},2,1,0{≥+-==y x y x N M 且M y x y x ∈≤--,,012}，则N 中元素的个数为（ ） A ．9B ．6C ．4D ．212．已知函数21()sin cos 2f x x x x =++，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()y f x =的图像关于直线3x π=对称D ．()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】【金太阳】2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷 理科数学(四)
3c 1 c2 3c2
3c 1 ，得 c2 3, c
3，
2
4
2
3c 1
a2 b2 c2 1
b
1，cos C
．
2
2ab
2
7．答案：C
2 cos 2x 2x 1
2x 1
1 2x
解析： f (x) cos 2x
cos 2x ， f (x)
cos(2x) cos 2x f (x) ，
B
5
5
5
解析： x
6
是函数 f (x) 的一条对称轴， f (x)
f
3
x ，令 x 0 ，得 f (0)
f
3
，
33
即
3 a ，所以 a 1，①正确； f (x) sin x 22
3
cos
x
2 sin
x
3
．
T 又因为函数 f (x) 在区间 (x1, x2 ) 上具有单调性， x2 x1 的最大值为 2 ，且 f (x1) f (x2 ) ，
AB AC
2
10
解析： cos BAC
，解得 1 ．
AB AC 5 1 2 10
5．答案：B
1 解析：设该椭圆长轴长为 a ，半焦距为 c ，依题意可得月球半径约为 3476 1738 ，
2
a c 100 1738 1838 a 1988
c 150 75
，离心率 e
,
97 13
19 (1) x2 8 y
1 3 (2) 直线 AB 斜率的取值范围是 4 , 4
20 (1) 0.4 21 (1) m 1
11
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2020届全国100所名校高考模拟金典卷理科数学（四）试题一、单选题
(★) 1 . 已知集合，，则（）
A．B．
C．D．
(★) 2 . 若复数（为虚数单位），则（）
A．B．C．D．
(★★) 3 . 袋子中装有大小、形状完全相同的个白球和个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的红球，则第一次摸到红球的概率为（）
A．B．C．D．
(★) 4 . 已知角的终边经过点，则（）
A．B．C．D．
(★) 5 . 若函数，在其定义域上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
(★) 6 . 已知双曲线，经点的直线与有唯一公共点，则直线的方程为（）
A．B．
C．或D．或
(★) 7 . 在中，角，的对边分别是，，且，，，若解此三角形有两解，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
(★) 8 . 二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（）
A．7B．12C．14D．5
(★★) 9 . 榫卯（sǔnmǎo）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（）
A．B．
C．D．
(★★) 10 . 运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（）
A．3B．4C．5D．6
(★) 11 . 已知定义在非零实数集上的奇函数，函数与图像共有4
个交点，则该4个交点横坐标之和为（）
A．2B．4C．6D．8
(★★★★) 12 . 已知函数，若时，函数至少有2个零点，其
中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
(★) 13 . 已知、为两个单位向量，且，则与夹角的余弦值为 __________ ．(★) 14 . 椭圆的离心率为_________．
(★) 15 . 已知，满足则的最大值为__________.
(★★) 16 . 如图，在直角梯形中，，，，是边的
中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为
__________ .
三、解答题
(★★) 17 . 已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为2的等差数列. （1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
(★★) 18 . 在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，.
（1）求证：；
（2）设为的中点，点在线段上，若直线平面，求的长；
（3）求二面角的余弦值.
(★★) 19 . 已知抛物线上一点到焦点的距离.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线
的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.
(★★) 20 . 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为 a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表
浮动因素
浮动比率
上一年度未发生有责任道路交
通事故
下浮10%
上两年度未发生有责任道路交
通事故
下浮
上三年度未发生有责任道路交
通事故
下浮30%
上一个年度发生一次有责任不
涉及死亡的道路交通事故
0%
上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故
上浮10%
上一个年度发生有责任交通死
亡事故
上浮30%
某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型
A 1
A 2
A 3
A 4
A 5
A 6
数量
10
5
5
20
15
5
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定， ，记 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求 的分布列与数学期望；（数学期望值保
留
到
个
位
数
字
）
（2
）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车
辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元:
①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值 .
(★★★★) 21 . 已知函数.
（1）求函数的极小值；
（2）求证：当时，.
(★★) 22 . 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极
点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（且）. （I）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知是直线上的一点，是曲线上的一点，，，若的最大值为2，求的值.
(★★) 23 . 设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最大值为，正实数满足，求的最小值.。