数学分析专题研究第6章极值问题
极值的应用问题
f
( x)
x
1 x
1
ln x2
x
，
令
f ( x) 0 ,得唯一驻点x e
,
导数左正右负，故 x e 为 f (x) 的极大值点,
由于其唯一性,该点也是f (x) 的最大值点.
又e 2.71828,故 所 求 的 最 大 项 只 可 能是 2, 3 3之 一 ，
而 ( 2)6 8 ,(3 3)6 9 , 所以 2 3 3 ,
x
a
a2x
5
例7 将边长为a的正方形铁皮，四角各截去相同的小 正方形，折成一个无盖方盒，问如何截，使方盒的容 积最大？最大值为多少？ 解 设小正方形的边长为 x，则方盒的容积为
V x(a 2 x)2 ， x (0, a ) ， 2
求导得 V (a 2x)(a 6x)，
x
a 2x
6
例7 将边长为a的正方形铁皮，四角各截去相同的小 正方形，折成一个无盖方盒，问如何截，使方盒的容 积最大？最大值为多少？
1,最小值为 1 2 p1
,
故
1 2 p1
f ( x) 1，即 1
2 p1
x p (1 x) p
1.
10
例11 求 数 列{n n }的 最 大 项.
分析 数列是离散函数,不能求导,应把n改为x,转化 为连续函数,再求导.
1
解 设 f ( x) x x x x ( x 1 ), 利用对数求导法,得
例10 设 0 x 1 , p 1 ,证明不等式:
1 2 p1
xp
(1
x)p
1
解 设 f ( x) x p (1 x) p ,则
f ( x) px p1 p(1 x) p1 令 0 ， x 1 .
函数的极值与最值问题
函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。
在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。
本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。
一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。
而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。
二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。
驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。
2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。
3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。
同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。
4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。
确保所比较的点处于函数的定义域内。
三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。
以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。
例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。
在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。
比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。
此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。
在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。
结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。
通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。
本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。
极值问题详解【一元分析学经典讲义】
二、求下列函数的极值： 求下列函数的极值： 1 、 y = e x cos x ； 2、 y = x ； x2 y 3 、方程e + y = 0 所确定的函数 y = f ( x ) ； x12 4 、 y = e , x ≠ 0 . 0, x = 0 证明题： 三 、证明题： 1 、如果 y = ax 3 + bx 2 + cx + d 满 足条 b 2 − 3ac < 0 ， 则函数无极值. 则函数无极值. 2、 2 、设 f ( x ) 是有连续的二阶导数的偶函数 f ′′( x ) ≠ 0 ， 的极值点. 则 x = 0 为 f ( x ) 的极值点.
1 x
练习题答案
2、 2、 f ′( x 0 ) = 0 ； 3 1 1 e 3、(1,2),无 4、 3、(1,2),无； 4、 , ( ) ,0,1; e e π 2 4 + 2 kπ π e 二、1、极大值 y( + 2kπ ) = ,极小值 4 2 π 2 4 + ( 2 k +1) π π y( + ( 2k + 1)π ) = − e ( k = 0,±1,±2,L) ； 4 2 局部； 一、1、局部； 2、极大值 y(e ) = e ； 3、极小值 y(0) = −1； 4、极小值 y(0) = 0 .
但函数的驻点却不一定 是极值点.
y = x 3 , y ′ x = 0 = 0, 例如, 例如
但x = 0不是极值点. 不是极值点
定理2(第一充分条件) 定理2(第一充分条件) 2(第一充分条件
(1)如果x ∈( x0 − δ , x0 ),有f ′( x) > 0; 而x ∈( x0 , x0 + δ ) , (1)如果 处取得极大值. 有 f ′( x) < 0，则 f (x)在 x0 处取得极大值. (2)如果 (2)如果x ∈( x0 − δ , x0 ),有f ′( x) < 0; 而x ∈( x0 , x0 + δ ) 处取得极小值. 有 f ′( x) > 0，则 f (x)在x0 处取得极小值. (3)如果当 (3)如果当x ∈( x0 − δ , x0 )及x ∈( x0 , x0 + δ ) 时, f ′(x) 符号相同, 处无极值. 符号相同,则 f (x)在x0 处无极值.
极值问题的极值存在定理及其简要证明
极值问题的极值存在定理及其简要证明数学中的极值问题是研究一个函数在某一区间内的最大值或最小值。
极值问题是数学分析中的一个重要问题，在数学的各个领域都有涉及。
极大值和极小值的存在性是极值问题的一个基本问题，下面简要介绍极值存在定理及其证明。
极值存在定理：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在区间$[a,b]$上一定有极大值和极小值。
证明：假设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上没有极大值，则$f(x)$在区间$[a,b]$上不断增加，即$f(x_1)<f(x_2)<\cdots<f(x_n)$，其中$x_1<x_2<\cdots<x_n$为区间$[a,b]$上的任意$n$个不同的点。
由于$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，因此根据介值定理，对于任意$k\in\mathbb{N^{+}}$，都存在一个$x_k\in(a,b)$，使得$f(x_k)=k$，所以$f(x)$在区间$[a,b]$上无上界，矛盾。
同理可证$f(x)$在区间$[a,b]$上一定有极小值。
从证明中可以看出，极值存在定理的证明过程依赖于介值定理。
介值定理是数学分析中一个重要的定理，它表明了连续函数在区间中取到介于$f(a)$与$f(b)$之间的任意值。
介值定理的表述：设$f(x)$为区间$[a,b]$上的连续函数，$u$和$v$分别为$f(x)$在区间$[a,b]$上的任意两个值，其中$u<v$。
则对于任意$w\in(u,v)$，总存在一个$x_0\in[a,b]$，使得$f(x_0)=w$。
介值定理的证明：对于任意$\epsilon>0$，由于$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，所以存在$\delta>0$，使得对于任意$x_1,x_2\in[a,b]$，当$|x_1-x_2|<\delta$时，有$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$。
数学分析6.4函数的极值与最大（小）值（讲义）
第六章微分中值定理及其应用4 函数的极值与最大(小)值(讲义)一、极值判别定理6.10：(极值的第一充分条件)设f在点x0连续，在某邻域U0(x0,δ)内可导：1、若当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≤0，当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≥0，则f在点x0取得极小值.2、若当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≥0，当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≤0，则f在点x0取得极大值.证：∵当x∈(x0-δ,x0)时，f’(x)≤0，∴f在(x0-δ,x0)内递减.∵当x∈(x0,x0+δ)时，f’(x)≥0，∴f在(x0-δ,x0)内递增.∴对任意x∈U(x0,δ)，恒有f(x)≥f(x0)，即f在x0取得极小值。
同理可证2.定理6.11：(极值的第二充分条件)设f在点x0的某邻域U(x0,δ)内一阶可导，在x= x0处二阶可导，且f’(x0)=0，f”(x0)≠0.1、若f”(x0)<0，则f在点x0取得极大值.2、若f”(x0)>0，则f在点x0取得极小值.证：依题意，f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+12!f”(x0)(x-x0)2+o((x-x0)2).∵f’(x0)=0，∴f(x)-f(x0)=12!f”(x0)(x-x0)2+o((x-x0)2)=[12!f”(x0)+o(1)](x-x0)2.又f”(x0)≠0，∴存在正数δ’≤δ，使当x∈U(x0,δ’)时，1 2!f”(x0)与12!f”(x0)+o(1)同号.∴当 f ”(x 0)<0时，f(x)-f(x 0)<0，即f(x)<f(x 0)，∴f 在点x 0取得极大值. 当 f ”(x 0)>0时，f(x)-f(x 0)>0，即f(x)>f(x 0)，∴f 在点x 0取得极小值.例1：求f(x)=(2x-5) x 23的极值点与极值.解：f(x)=(2x-5) x 23=2x 53-5x 23, f ’(x)=103x 23−103x −13, f ”(x)=209x−13+109x −43.当f ’(x)=0时，103x 23−103x −13=0，解得x=1.∵f ”(1)=209+109=103>0，f(1)=2-5=-3. ∴f 在x=1取得极小值f(1)=-3. 又f 在x=0连续，f ’(0)不存在，当0<x<1时，f ’(x)= 103x 23−103x −13<0，当x<0时，f ’(x)= 103x 23−103x −13>0，∴f(x)在x=0取得极大值f(0)=0.例2：求f(x)=x 2+432x的极值点及极值.解：f ’(x)=2x −432x 2, f ”(x)=2+864x 3. 当f ’(x)=0时，2x −432x 2=0，解得x=6.∵f ”(6)= 2+86463=6>0，f(6)=36+72=108. ∴f 在x=6取得极小值f(6)=108.定理6.12：(极值的第三充分条件)设f 在x 0的某邻域内存在直到n-1阶导函数，在x 0处n 阶可导，且f (k)(x 0)=0 (k=1,2,…,n-1)，f (n)(x 0)≠0，则：1、当n 为偶数时, f 在x 0取得极值，且当f (n)(x 0)<0时取极大值，当f (n)(x 0)>0时，取得极小值.2、当n 为奇数时, f 在x 0处不取极值.证：f(x)=f(x 0)+f ’(x 0)(x-x 0)+12!f ”(x 0)(x-x 0)2+…+1n!f (n)(x 0)(x-x 0)n +o ((x-x 0)n ).∵f (k)(x 0)=0 (k=1,2,…,n-1)，∴f(x)-f(x0)=1n!f(n)(x0)(x-x0)n+o((x-x0)n)=[12!f(n)(x0)+o(1)](x-x0)n.又f(n)(x0)≠0，∴存在正数δ’≤δ，使当x∈U(x0,δ’)时，1 n!f(n)(x0)与12!f(n)(x0)+o(1)同号. ∴当n为偶数时，有当f(n)(x0)<0时，f(x)-f(x0)<0，即f(x)<f(x0)，∴f在点x0取得极大值. 当f(n)(x0)>0时，f(x)-f(x0)>0，即f(x)>f(x0)，∴f在点x0取得极小值. 当n为奇数且f(n)(x0)<0时，有当x0<x<x0+δ’时，f(x)-f(x0)<0，即f(x)<f(x0).当x0-δ’<x<x0时，f(x)-f(x0)>0，即f(x)<f(x0).即f(x)递增. 同理可证，当n为奇数且f(n)(x0)>0时，f(x)递减.∴当n为奇数时, f在x0处不取极值.例3：试求函数x4(x-1)3的极值.解：记f(x)=x4(x-1)3=x7-3x6+3x5-x4.当f’(x)=7x6-18x5+15x4-4x3=0时，x=0或x=1或x=47.∵f”(x)=42x5-90x4+60x3-12x2，∴f”(0)=0,f”(1)=0,f”(47)=6449>0.∵f”’(x)=210x4-360x3+180x2-24x，f”’(0)=0, f”’(1)=6(无极值). f(4)(x)=840x3-1080x2+360x-24，f(4)(0)=-24<0.∴x4(x-1)3在x=0处有极大值f(0)=0，在x=47处有极小值f(47)=−6912823543.四、最大值与最小值比较f的所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，以取得f的最值.例4：求f(x)=|2x3-9x2+12x|在闭区间 −14,52上的最大值与最小值.解：当f(x)=|2x3-9x2+12x|=0时，x=0，∴f’(x)=|6x2-18x+12|, (x≠0). 当f’(x) =|6x2-18x+12|=0时，x=1或x=2.f(−14)=|2× −143-9× −142+12× −14|=3932, f(1)=|2-9+12|=5,f(2)=|2×23-9×22+12×2|=4, f(52)=|2×523-9×522+12×52|=5.∵0<3932<4<5，∴f在x=0处取最小值0，在x=1,x=52处取最大值5.例5：一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为10(km/h)时，燃料费为每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时，每航行1km所消耗的费用最小?解：记速度为x km/h, 燃料费为y元,可设y=kx3,将x=10, y=6代入上式得6=1000k, ∴k=0.006.记每航行1km所消耗的费用为f(x)=1x(0.006x3+96).当f’(x)=0.018x−1x2(0.006x3+96)=0时，x=20.又当x<20时，f’(x)<0，∴f(x)>f(20)；当x>20时，f’(x)>0，∴f(x)>f(20)，即x=20是f唯一的极小值点，且f在(0,+∞)处处可导，∴当轮船的速度为20km/h时，每航行1km所消耗的费用f(20)=120(0.006×203+96)=7.2(元)最小.例6：剪去边长为a的正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时，可使盒子容积最大. 解：设小正方形的边长为x，则0<x<a2，记盒子的容积为：f(x)=x(a-2x)2=4x3-4ax2+a2x, x∈(0,a2)，当f’(x)=12x2-8ax+a2=0时，x=a2(舍去)或x=a6.又当x<a6时，f’(x)>0，∴f(x)<f(a6)；当a6<x<a2时，f’(x)<0，∴f(x)<f(a6)；即x=a6是f唯一的极大值点，且f在(0,a2)处处可导，∴剪去小方块的边长为a6时，盒子容积f(a6)=a6(a−2a6)2=2a327最大.。
数学分析 第六章 极值曲率6-8解读
定理3(第三充分条件)
若f ( x )在x0有n阶导数，且f ( k ) ( x0 ) 0, ( k 1,, n 1), f
( n)
( x0 ) 0, 则 f ( n ) ( x0 ) 0时取极大值；f ( n ) ( x0 ) 0时取极小值；
(1) 当n是偶数时，f在x0取得极值，且当
(2)当 f ( x0 ) 0 时, f ( x ) 在 x0 处取得极小值.
f ( x)
f ( x ) 0 0 f ( x)
2019/4/20
f ( x0 ) 0 f ( x0 ) 0
x0
5
证 (1) f ( x )
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )2 o(( x x0 )2 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 o(( x x0 )2 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) 1 lim f ( x0 ) 0 2 x x0 ( x x0 ) 2
y
y
x0
o
2019/4/20
x
o
x0
x
1
[ 费马定理 ]：可导函数极值的必要条件：
若 f ( x ) 在 x0的某邻域有定义，且在点 x0可导，
若x0为f ( x )的极值点，则 f ( x0 ) 0.
极值点 在哪找？ x0 为 极值点 f ( x0 ) 0 或 f ( x0 ) 不存在.
有 f ( 4) 18 0, 故有极大值f (4) 60 ;
f ( 2) 18 0,
M
故有极小值f (2) 48. f ( x )的 图 形
数学分析第六章总结
数学分析I 第六章总结一、定义小结定义一：f 为凸函数，如果 12,,(0,1),..f I x x I s t λ∀∈∈定义在上， 1212((1))()(1)f x x f x x λλλλ+-≤+-f 为凹函数，如果 12,,(0,1),..f I x x I s t λ∀∈∈定义在上， 1212((1))()(1)f x x f x x λλλλ+-≥+-定义二：设函数f 在0x 处有穿过曲线的切线，若切点两侧的凹向性相反，则称点0x 为函数曲线的拐点二、定理小结引理：[]Fermat 定理000'(),'()=0x f f x f x 若是函数的极值点,存在导数则一定有定理一：[Rolle 中值定理],],[()()],[,..'()0f a b a b f a f b a b s t f ξξ=∃∈=在[]连续，在可导，且，那么 定理二：[Lagrange 中值定理]()(),],[],[,..'()f b f a f a b a b a b s t f b aξξ-∃∈=-在[]连续，在可导，那么 [推论：导数极限定理]0o 00()()lim ()x x f U x U x f x →在连续，在可导，且极限存在 000'()lim '()x x f x f x f x →=则在可导，且 定理三： '()0(0)f I f Iff f x ≥≤在可导，则递增(减)定理四：[]Darboux 定理++[,]'()'(),(,),'()f a b f a f b k a b f k ξξ≠∈=若在可导，且介于二者之间，则存在定理五：[]Cauchy 中值定理,,],[0()();f g a b a b g a g b ≠在[]连续，在可导，导数不同时为且 那么'()()()],[,..'()()()f f b f a a b s tg g b g a ξξξ-∃∈=-定理六：[']L Hospital 法则0000001.0(1),0, (2),'()0'()(3)lim'()()'()lim lim ()'()x x x x x x f g x x f g x g x f x A g x f x f x A g x g x →→→→→≠===型不定式极限在某个空心邻域可导，则00000+++2.(1), (2),'()0'()(3)lim'()()'()lim lim ()'()x x x x x x g x x f g x g x f x A g x f x f x A g x g x →→→∞∞→∞→≠===型不定式极限在某个空心右邻域可导，则定理七：[Taylor 公式]00 ()()(())n n f x n f x T x o x x =+-在存在直至阶导数，则有定理八：[]Taylor 定理[,] ],[1f a b n a b n +在存在直至阶导函数，在存在阶导函数(1)100(),[,],],[,()()()(1)!n n n f x x a b a b f x T x x x n ξξ++∀∈∃∈=+-+则有 定理九：[极值充分条件]1.函数f 在点0x 连续,邻域内可导。
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题（ConstrainedExtremumProblem）优化分析中一个重要的问题，它涉及优化函数（通常称之为目标函数）以最大或最小值来求解约束关系（约束条件）的问题，它体现了一类技术问题的结构特点。
条件极值问题的数学模型是如下的：最优化问题：$min f(x_1，x_2，…，x_n)s.t. g_1(x_1，x_2，…，x_n)le 0g_2(x_1，x_2，…，x_n)le 0vdotsg_m(x_1，x_2，…，x_n)le 0$其中，f(x_1，x_2，…，x_n)是一个最小或最大等式，决定一组变量$x_1，x_2，…，x_n$的最优结果；约束条件$g_1(x_1，x_2，…，x_n)le 0，g_2(x_1，x_2，…，x_n)le 0，…，g_m(x_1，x_2，…，x_n)le 0$存在某种性质的约束，在确定最优值的同时，需要满足这些约束条件。
下面我们将详细介绍条件极值问题的定义及其特点，以及它的数学分析方法。
一、定义在经济学、工程学等多学科领域，条件极值问题都是指有约束条件的最优化问题。
特别是在经营管理中，对于生产、营销、财务以及组织等方面的活动，通常都存在许多约束条件，比如预算限制、市场限制、原料限制、生产能力限制等，这些所有限制令管理者仅能在有限的条件内进行有效决策，最终实现更大的效益最大化。
二、特点1、有限条件。
条件极值问题的最大特点是在确定最优解的同时，要满足一系列约束条件，这些条件是有限的。
2、多变量。
条件极值问题的解有时可能需要多个变量，这就要求模型中所有变量都要满足约束条件，而且变量间可能还要相互交互作用，综合起来十分复杂。
3、抗干扰能力强。
条件极值问题的模型具有良好的抗干扰能力，即对于环境因素的变化，其解的变化不会太大，使模型具有一定的稳定性。
三、数学分析方法条件极值问题的数学分析方法一般是求解方程组的方法，分析的过程往往由数学模型的构造、数学解法和有效的计算方法三部分组成。
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数学分析专题研究第6章极值问题
自我检测题
（一）填空题
1.若)(x f 在R 上是严格下凸的，则对于R x x ∈∀21,和)1,0(∈∀t ，有不等式 成立。
2.若0)(<''x f ，则)(x f 在R 上是严格 的。
3.若n
R S ⊂，且对于S x x ∈∀21,及)1,0(∈∀t ，有
S x t tx x t ∈-+=21)1(
则称集合S 是 集。
（二）单项选择题
4.有界闭凸集S 的下凸函数)(x f 的最大值必在S 的（ ）达到。
A ．内部 B ．外部 C ． 边界S ∂ D ．可能在内部也可能在边界S ∂
5.下列结论不正确的是（ ） A ．凸集的交集是凸集 B ．凸集的并集是凸集
C ．凸集内任意两点的连线仍在其内部
D ．凸集的线性组合是凸集 6.下列结论正确的是（ ）
A ．)(x f 的极值点一定是稳定点
B ．)(x f 的稳定点一定是极值点
C ．)(x f 的不可导点一定不是极值点
D ．可微函数的极值点一定是稳定点 7. 0=x 不是函数（ ）的极值点 A ． 13
2
-=
x
y B ．x
x
y e e
+=-
C ．x x y sin -=
D ．x
x y e )1(-=
8. 函数3
3
812),(y xy x y x f +-=在稳定点（2，1）（ ） A ． 取得极大值 B ．取得极小值
C ．不取极值
D ．无法判断是否取得极值
9.,0),(,0),(='='y x f y x f y x 是函数),(y x f 在点),(00y x 处取得极值的（ ）
A ．必要条件
B ．充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分也非必要条件
10. 若点),(00y x 是函数),(y x f 的一个稳定点，且在点),(00y x 有二阶连续的偏导数，则函数在点),(00y x 处取得极小值的充分条件是（ ）
A ．0),(),()],([0000200=''''-''=∆y x f y x f y x f yy xx xy
B ．0),(),()],([00002
00>''''-''=∆y x f y x f y x f yy xx xy
C ．0),(),()],([0000200<''''-''=∆y x f y x f y x f yy xx xy
且0),(00>''y x f xx D ．0),(),()],([0000200<''''-''=∆y x f y x f y x f yy xx xy
且0),(00<''y x f xx
答案：
1.)()1()())1((2121x f t x tf x t tx f -+≤-+
2.上凸
3.凸
4.C,
5.B,
6.D,
7.C,
8.B,
9.D,10.C。