电磁感应,杆,双杆模型(教师版)

第九章冲刺985深化内容

电磁感应失分点之(三)——电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)

电磁感应中的杆＋导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：

模型一 单杆＋电阻＋导轨模型

[初建模型]

[母题] (2017·淮安模拟)如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd

由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求：

(1)杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。 [思路点拨]

[解析] (1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ， 则杆产生的感应电动势E ＝BLv ， 回路中的感应电流I ＝E R ＋R

杆所受的安培力F ＝BIL 根据牛顿第二定律有 mg sin θ－B 2L 2v

2R

＝ma

当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下 当杆的加速度a ＝0时，速度最大，最大速度v m ＝

2mgR sin θ

B 2L 2

，方向沿导轨平面向下。

(2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中， 根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋1

2mv m 2

又Q 杆＝12Q 总，所以Q 杆＝12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2 θ

B 4L 4。

[答案] (1)g sin θ，方向沿导轨平面向下 2mgR sin θB 2L 2

，方向沿导轨平面向下 (2)1

2

mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ

B 4L 4

[内化模型]

单杆＋电阻＋导轨四种题型剖析

杆以速度v 切割

能量观点

动能全部转化为

内能：Q ＝1

2

mv 02 F 做的功一部分

转化为杆的动能，一部分转化

为内能：W F ＝Q

＋1

2

mv m 2 重力做的功(或

减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：W G ＝Q ＋

1

2

mv m 2

重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：W G ＝Q ＋

1

2

mv m 2

[变式] 此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。现用沿导轨平面向上的恒定外力F 作用在金属杆cd 上，使cd 由静止开始沿导轨向上运动，求cd 的最大加速度和最大速度。

解析：分析金属杆运动时的受力情况可知，金属杆受重力、导轨平面的支持力、拉力、摩擦力和安培力五个力的作用，沿斜面方向由牛顿第二定律有

F －mg sin θ－F 安－f ＝ma

又F 安＝BIL ，I ＝E R ＋R ＝BLv R ＋R ，所以F 安＝BIL ＝B 2L 2v

R ＋R

f ＝μN ＝μm

g cos θ

故F －mg sin θ－B 2L 2v

R ＋R

－μmg cos θ＝ma

当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a m ＝F

m －g sin θ－μg cos θ，方向沿导轨平

面向上

当杆的加速度a ＝0时，速度最大， v m ＝

F －mg sin θ－μmg cos θ·2R

B 2L

2。 答案：见解析

模型二 单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型

[初建模型]

[母题] (2017·北京模拟)如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN 、PQ 固定在水平面内，相距为L 。一质量为m 的导体棒cd 垂直于MN 、PQ 放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。

(1)如图1所示，若轨道左端M 、P 间接一阻值为R 的电阻，导体棒在拉力F 的作用下以速度v 沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt 内，拉力F 所做的功与电路获得的电能相等。

(2)如图2所示，若轨道左端接一电动势为E 、内阻为r 的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S ，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度v m ，求此时电源的输出功率。

(3)如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C ，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t 1时刻电容器两极板间的电势差为U 1。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。

[思路点拨]

(1)导体棒匀速运动→受力平衡→求出拉力做的功。导体棒切割磁感线产生感应电动势→产生感应电流→求出回路的电能。

(2)闭合开关S →导体棒变加速运动→产生的感应电动势不断增大→达到电源的路端电压→棒中没有电流→由此可求出电源与电阻所在回路的电流→电源的输出功率。

(3)导体棒在外力作用下运动→回路中形成充电电流→导体棒还受安培力的作用→由牛顿第二定律列式分析。

[解析] (1)导体棒切割磁感线，E ＝BLv 导体棒做匀速运动，F ＝F 安 又F 安＝BIL ，其中I ＝E

R

在任意一段时间Δt 内，拉力F 所做的功W ＝Fv Δt ＝F 安v Δt ＝B 2L 2v 2

R Δt

电路获得的电能ΔE ＝qE ＝EI Δt ＝B 2L 2v 2

R

Δt

可见，在任意一段时间Δt 内，拉力F 所做的功与电路获得的电能相等。 (2)导体棒达到最大速度v m 时，棒中没有电流，电源的路端电压U ＝BLv m ＝E －U

r

电源的输出功率P ＝UI