第五章对流扩散问题(一维稳态对流扩散问题)

差分方程应 满足相邻系 数之和准则
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
a P P a E E a W W
中心节点系数
相邻节点系数
aP aE , a W aP aE a W (Fe Fw )
考虑到连续方程
Fe-Fw=0
满足相邻系 数之和准则
a P aE a W
扩散项和以前的处理方法一样，即有：
(u) e e (u) w w e ( E P ) ( x ) e w ( P E ) ( x ) w
而控制容积界面上的变量值取其相应上风侧网格 节点上的值。即：
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题 5.2 一维稳态对流扩散问题
5.2.1 基本方程与差分方程
du d d ( ) dx dx dx
(x)w
其中，u已知，且满
d u 足： 0 或u 常数 dx
( x ) e
( x ) e ( x ) e
w W
e P x
a P P a E E a W W
aE 1 4 1 2 4 aW 1 3 2 a P 1 3 4 4 2
2P E 3W
De Dw 1 Fe Fw 4
E 200, W 100
E 100 W 200
2 P 0.25E 1.75 W
De D w 1 Fe Fw 1.5
E 200, W 100
E 100 W 200
P 187.5
P 112.5
某问题 结果合理
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
出现负系数意味着 a P a np ，从而违反了斯卡巴勒 准则。这样差分方程的逐点迭代求解就有可能发散 对于扩散项为零的极端情况，中心差分格式将导 致 a P 0 ，从而使差分方程变得不适宜用逐点迭 代法求解，也不适宜用其它迭代方法求解。
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题 5.2.3 保证正系数准则的方法
为了解决负系数问题，保证正系数准则得到遵守
，我们首先来看看负系数及其引起不真实结果的
根源是什么？非常幸运的是对我们所研究的一维
稳态对流扩散问题在扩散系数为常数的情况下，
是具有精确解的。自然而然，我们期望通过对精
确解的了解，来认识中心差分格式的负系数根源
扩散项：扩散项的处理方式和以前一样，即在计 算扩散项中的梯度时仍采用了线性分布 假设 对流项：对流项中，控制容积界面上变量值按下 列假设计算：控制容积界面上的变量值 等于上风侧网格节点上的值。
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对控制方程在P点的控制容积积分后，得到如下方程
(u ) e (u ) w ( d d ) e ( )e dx dx
，以及寻找保证正系数准则的方法。
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题 精确解
du d ( ) dx dx dx
假设扩散系数为常数，且在区域 0 x L具有以下边界 在x=0处 在x=L处
0
L
则在求解区域上，上述方程的解如下
0 exp( Px / L) 1 L 0 exp( P) 1
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题 2 正系数准则
a P P a E E a W W
Fe aE De 0 2
Fw a W Dw 0 2 aP aE a W (Fe Fw ) 0
对流通量F的正负是这样来规定，与坐标轴线的正向一 致的对流通量规定为正值，与坐标轴线的正向相反的对 流通量规定为负值。
P<<-1
P=-1
P=0
P=1 P>>1
0
0 L/2 L
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说明
由图很容易看出，只有在贝克列数为零的极限条 件下，即对纯扩散问题或导热问题，变量在任意 两点之间的变化才是线性的。即在没有流动的情 况下，我们假定变量在任意两个节点之间的线性 分布才是可以接受的。 当贝克列数不为零时，即存在对流过程时，变量 在任意两点之间的变化是偏离线性的。贝克列数 的绝对值越大，这种偏离越严重。所以我们在用 控制容积法推导差分方程时，假定任意两个节点 之间变量呈线性变化显然是有问题的。
du d u dx dx E W u ( x ) e ( x ) w E W u 2 x
所以，也可以说对流扩散问题的中心差分格式不满足正系数准则
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正系数准则的破坏会使差分方程不真实，从而引起不正确 的计算结果。如：
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题 1 相邻系数之和
du d d ( ) dx dx dx
代入+c 是方程的解
du( c) du du du d d( c) c ( ( )) dx dx dx dx dx dx
+c也是方程的解
(u) e e P Fe ,0 E Fe ,0
(u) w w W Fw ,0 P Fw ,0
代入积分方程，并整理，即得：
a P P a E E a W W
其中
aE De Fe ,0
a W D w Fw ,0
a P De Fe ,0 D w Fw ,0 a E a W (Fe Fw )
当 F 2D 时，正系数准则能够得到满足，因而上边 得到的差分方程是真实的。也就是说对于低雷诺数 (即 F / D较小 )流动，中心差分格式仍然是可以接受的
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综上所述，出现负系数不论从差分方程的真实 性，还是差分方程的求解来看，都是不可接受 的，同时我们所遇到的对流扩散问题不总是低 雷诺数的。所以，针对负系数的问题，我们必 须加以解决，否则对这类问题的数值计算则无 法实现和进行。那么怎样来解决呢？
P 250
P 50
结果不真实
某问题
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a P P a E E a W W
aE 1 1.5 0.25 2 1.5 aW 1 1.75 2 a P 0.25 1.75 1.5 1.5 2
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其中，P称之为贝克列数，定义如下：
uL P
显然，它反映了对流和扩散之间的相对强弱 对不同贝克列数，变量 与x之间的变化关系如下图所示
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对不同贝克列数，变量 与x之间的变化关系如下图所示

L
斯卡巴勒准则
对流、扩散项
满足
矛盾
不满足
不矛盾
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举例
a P P a E E a W W
aE De Fe ,0
Upwind Scheme
a W D w Fw ,0
aE 1
a P De Fe ,0 D w Fw ,0 a E a W (Fe Fw )
e P e E
如果 Fe 0 如果 Fe
0
同样
w W
w P
如果 Fw 0
如果 Fw 0
为了能写出差分方程，我们定义一个新的算子，如下：
A, B AMAX( A, B)
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则我们可以把积分方程等式左边的两项写成如下形式：
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题 几点说明
上述分段线性分布假说，对对流项来说意味着采用中心 差分格式，因为： 从中心差分格式的Taylor 从控制容积角度来看： 级数展开
d u 1 [ (u )e (E P ) dx 2 1 (u )w (P W )] / x 2 1 [u( (E P ) 2 1 ( P W ))] / x 2 E W u 2 x
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当贝克列数不为零时，两节点处的变量对位于它 们之间中间位置处的变量的影响是不对称的。上 游节点的影响大于下游节点的影响，随着贝克列 数的绝对值的增大，这种上游节点的影响也越来 越大，直到完全受上游节点的影响，甚至连扩散 都几乎不存在了。 造成这些现象的根源在于对流项。是由于对流项 的影响区是有方向的，它对下游方向的影响要大 于对上游方向的影响。而对扩散项来说，只要有 梯度存在，就必然有扩散存在，而且其影响区总 是波及其两侧，并不因为扩散通量的正负而表现 出不同的影响特性。
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所以，当 F 2D，即意味着两节点对其间变量分布 的影响特性是受扩散控制的，当 F 2D时，即意味 着两节点对其间变量分布的影响特性是受对流控 制的。对于前者，两节点之间的变量分布偏离线 性分布，但尚不显著，而对于后者两节点之间的 变量分布则严重偏离线性分布。
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
很显然，对上风格式的差分方程，系数之和准则和正系 数准则都是满足的。为此，我们将它与中心差分格式做 一个比较如下： 上风格式 控制容积界面上 变量的选取 系数之和准则 正系数准则 中心差分格式
物理意义清晰， 仅具有数学意义， 合理 无物理考虑 满足 满足 满足 不满足
E
(u) e (u) w (
d d ) e ( )w dx dx
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