对流-扩散方程的离散格式
第五章对流扩散方程的离散格式
aP = aE + aW
aE = De – Fe / 2 aW = Dw + Fw / 2
在流场的实际求解过程中， 每一个迭代层次上，即使速度 场尚未收敛，也要保证连续方 程是满足的。
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
三点说明：
系数 aE , aW 包含了对流 F 与扩散 D的作用的影响；
对均分网格：
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.2 构造对流项离散格式的两种方式 （2）控制容积积分
给出界面上被求函数的插值方式
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.2 构造对流项离散格式的两种方式 （3）两种定义之间的关系
对某种对流项离散格式，都可以用两种方法给出其相应 的定义；
3.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
上游优势
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
希望所构建的离散方程形式也具有这样的物理特性
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分 Central Scheme （CS）
分段线性
均分网格
令
对流项
----界面上的流量
1. 简 介
对流与扩散作用在物理本质上的区别
从物理过程来看，扩散作用与对流作用在传递信息或扰动方面 的特点有很大区别：
扩散是由分子的不规则热运动所致，分子不规则热运动对空间不同方向
的几率都是一样的，因而扩散过程可以把发生在某一地点上的扰动的影响 向各个方向传递。
对流是流体微团宏观的定向运动，带有强烈的方向性。在对流的作用下，
两种定义方式的截断误差阶数是一致的，均为二阶截差 （中心差分，分段线性）；
CFD大作业解析(对流扩散方程)
求解迁移方程
求解域为 初始条件为
求解当 t = 0.7 时，u 的值。
∂u ∂u ∂2u ∂t + ∂x = α ∂x2
x ∈ [0.0, 1.0]
{
u=
2.0, 0.1 < x < 0.2; 1.0, others.
2 迁移方程 α = 0 差分格式的构造
2.1 显式 Euler 法 + 空间后差
空间采取 Euler 后差。构造的差分格式如下
uni +1 − uni = − uni − uni−1
∆t
∆x
将其化为可求解的格式
uni +1
=
(1
−
∆t ∆x
)uni
+
∆t ∆x
uni−1
2.2 显式 Euler 法 + 空间前差
空间采取 Euler 前差。构造的差分格式如下
uni +1 − uni = − uni+1 − uni
∂u + ∂u = 2π cos(2πx) ∂t ∂x
边界条件为 x = 0, u = 0; x = 1, u = 0。 粘性项的验证，令 a = 0α = −1，令理论解为 u = x2 − x，则控制方程为
∂u ∂2u ∂t + ∂x2 = 2x
边界条件为 x = 0, u = 0; x = 1, u = 0。
1 N
∑精Ni=度1(测ui试−的Ui方)，法以为l空n N间, l离n e散为点坐数标N作图取，为计5算0、两1点00间、的20斜0，率进。行时间推进，直到达到理论解，计算误差
e
=
6 作业要求
• 编写程序，实现 2 中列出的四种方法，完成空间二阶导数的离散
哈尔滨工业大学 计算传热学 第五章 对流-扩散方程的离散格式-2013
aPP aEE aWW
Fe Fw exp( Pw ) aE , aW exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1
(D)
aP aE aW (Fe Fw )
区别就在函数 aE和aW
aE De
Pe aE De exp( Pe ) 1
aE Pe De
该格式计算量比指数小，且指数格式的解差别很小。
§ 5-3
为了在讨论中引入 PE 记
通用表达式
x
i
J*
i+1 i+1/2
x
1 界面i+ 上的值可以用界面两侧节点值表示 2
J * Bi Ai 1 （y）
系数A和B的性质的讨论 (1)当 i i 1 时，扩散量=0， J *完全由对流造成，即
即
aPP aEE aW W
显然不论那种格式，仅仅是 A(| P |) 表达式的区别。
A( P )
A(|P |)
中心 1 0.5 | P | 迎风 1 混合 [| 0,1 0.5 | P | |] 指数 | P | [exp(| P |) 1]
1.0
迎风
指数 乘方
乘方 | 0, (1 0.1| P |)5 |
中心
混合
P
§ 5-4
原始的假扩散概念
关于假扩散的讨论
一维非稳态对流方程（纯对流,没有扩散）
u t x
显示迎风差分格式
in1 in
t
u
in in 1
x
, o(x, t )
将上式在（i，n）点做Taylar级数展开，保留二阶。
上述若对任何成立，必得
B( P ) A( P ) A( P ) B( P )
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解对流扩散方程（Convection-DiffusionEquation，CDE）是描述物理系统中物质扩散和热对流运动的方程。
它源于20世纪30年代真空磁体理论中发现的电子运动方程，在50年代被普及应用于各种工程、物理学和化学领域，如电子、热传输、水力学等，具有不可缺少的重要意义。
一般来说，对流扩散方程可以被描述为：$$frac{partial y}{partial t}=afrac{partial^2 y}{partial x^2}+bfrac{partial y}{partial x}+cfrac{partial y}{partial y}+d$$其中，a、b、c和d是常数，t和x分别代表时间和物理位置。
若把空间坐标投射到它们的平面上，则可以用更具体的形式表述为： $$frac{partial y}{partial t}=afrac{partial^2 y}{partial x^2}+bfrac{partial y}{partial x}+cfrac{partial y}{partial y}+d+frac{partial y}{partial z}$$其中，z是投射后的空间坐标，a、b、c和d也可以改变以适合不同的实际应用场景。
对于对流扩散方程的解析解，有两种基本方法：一种是用不定积分法；另一种是用微分平面法，也称作渐进分析方法。
从一般的原理上来看，不定积分法是把对流扩散方程拆解成多个简单的可求解的微分方程，然后分别求解它们，最后再综合求得总解。
此外，它还可以运用标准积分法来近似求解，特别有利于解复杂的多变量方程。
而渐进分析（Perturbation Analysis）是把复杂的问题划分成几个渐进步骤，每一步把问题简化为可以近似解决的状态，依此不断迭代，最终求得近似解。
这种技术通常用来求解非线性方程，对于对流扩散方程求解也非常有效，能有效地提高准确度和计算速度。
此外，还有其他一些求解方法，比如拉格朗日法（Lagrange Method）、拉普拉斯正则化（Laplace Regularization）以及偏微分方程的泛函理论方法（Functional Theory of Partial Differential Equations）等。
数值传热第六章作业
6-3 试在直角坐标系的交错网格上，写出动量离散方程式（6-5）、（6-6）中的系数nb a （即S N W E a a a a ,,,）,n n e e A a A a ,,,的表达式。
为简便起见，设（1）流体物性为常数；（2）在x, y 方向上网格各自均匀划分。
速度e u 的邻点可参阅图6-5， 速度n υ的邻点参见图6-32.对流、扩散项的离散可采用五种三点格式之一。
解：根据课本P145式(5-13)、(5-16)、(5-18)，对流、扩散项采用指数格式计算本题 在二维直角坐标系中，对流—扩散方程的通用形式为：()()()φφφφφρυφφρρφS y y x x y u x t +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Γ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂ 对于动量方程，把压力梯度项放到源项中了。
引入在x 及y 方向的对流—扩散总通量密度，上式可改写为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Γ-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Γ-∂∂+∂∂y p x p S y y x u x t φρυφφφρρφφφ 即：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂y p x p S y J x J t yx ρφ （1） 其中：yJ xu J y x ∂∂Γ-=∂∂Γ-=φρυφφφρφφ将（1）式对P 控制容积做时间与空间上的积分得：e E P p P c s n w e pp A P P V S S J J J J V t)()()()()()(0-+∆+=-+-+∆∆-φρφρφ将通用变量φ换成速度u ，相应的其控制容积变为：所以上式可改写为：e E P p p c s n w e ee A P P V S S J J J J V t u u )()()()()()(0-+∆+=-+-+∆∆-φρρ （2）式（6-5）为：()e E P nb nbe e A p p b u au a -++=∑对上式用界面总通量表达式为：ee E e e EE e u a u F a J -+=)( （3）e w W w W w u F a u a J )(--= （4）n N e n N n u a u F a J -+=)( （5）e s S s S s u F a u a J )(--= （6） 把以上方程代入方程（2）得：e E p e p c e s S s S n N en N w w e w W ee E e e EE ee A P P V u S S u F a u a u a u F a u a u F a u a u F a V tu u )()()()()()(0-+∆+=-+--++--+-++∆∆-ρρ整理得：eE p ec s S n N w W ee E ep s S n N w W e EE A P P u tVV S u a u a u a u a u V S F a F a F a F a tV)(])()()()([0-+∆∆+∆++++=∆--+++-+++∆∆ρρ当对流、扩散项的离散采用指数格式时， 则上式中的系数分别为：1)ex p()(-==∆∆e ee e EE P F P A D a 1)e x p ()e x p ()(-==∆∆∆w w w w w W P P F P B D a1)ex p()(-==∆∆n n n n N P F P A D a 1)e x p ()e x p ()(-==∆∆∆s s s s s S P P F P B D a tVa e ∆∆=ρ0V S a F F F F a a a a a p e s n w e S N W EE e ∆-+-+-++++=00e e c u a V S b +∆=y A e ∆=同理对（6－6）()n N P nb nbn n A p p b aa -++=∑υυ，类似地有：1)ex p()(-==∆∆n n n n NN P F P A D a 1)e x p ()e x p ()(-==∆∆∆s s s s s S P P F P B D a 1)ex p()(-==∆∆e e e e E P F P A D a 1)e x p ()e x p ()(-==∆∆∆ww w w w W P P F P B D atVa n ∆∆=ρ0V S a F F F F a a a a a p n s e w n S E W NN n ∆-+-+-++++=000n n c u a V S b +∆=x A n ∆=6-4 对图6-11所示的二维流动情形，已知：10,0,20,50====E N s w p p v u 流动是稳态的，且密度为常数。
2.4常用的离散格式
低阶格式的假扩散特性
迎风格式,指数格式,混合格式及乘方格式等 一阶格式应用于实际问题时都可能引起较严 重的假扩散,这在HVAC领域的高大空间流体 流动及传热计算中尤为明显. 因此,为了有效地克服或减轻假扩散所带来的 计算误差,空间导数应当采用二阶或更高阶的 格式(如QUICK格式,二阶迎风差分格式等).
离散格式
假设速度场已知，则为求解离散方程，需计算广义未 知量在边界e和w处的值。
为完成这一任务，必须决定界面物理量如何通过节点 物理量的插值表示。
各种不同的插值方法就构成了不同的离散格式。
中心差分格式
一阶迎风格式
混合格式
指数格式
乘方格式
1
2.4.1术语的约定
对离散格式的讨论以一维稳态对流扩散方程为例，不 涉及瞬态项。
3
Central differencing scheme 中心差分格式
(x) P
P
interpolated value
e E
eE
We determine the value of at the face by linear
interpolation between the cell centered values.就是界 面上的物理量采用线性插值公式来计算。
基于此限制，中心差分格式不能作为对于一般 流动问题的离散格式，需创建其它更合适的格 式（对纯扩散稳态，如热传导是适用的）。
5
对流扩散方程的精确解
6
精确解随Pe数的变化
（Pe＝0纯扩散，Pe增大对流增强）
7
具体算例
（不同计算工况意味着不同Pe数）
8
第一种工况Pe=0.2
尽管网格粗糙，但数值解与精确解非常接近。
第5章-对流-扩散方程的离散格式
uL
0
Pe表示对流与扩散作用 的相对大小。
0
4/59
传热与流体流动的数值计算
二、对流项的中心差分
d d d u 采用控制容积积分法 对方程 dx dx dx e u e w u w P 2 2 x w x e
aE De Fe ,0 , aW Dw Fw ,0
对流项一阶迎风：
aW i 1 aE i 1 P ,0 1 P ,0 P D D
12/59
传热与流体流动的数值计算
A P P
B P A P P A P P ,0 P B P A P P ,0
24/59
传热与流体流动的数值计算
四、aE、aW的通用表达式
* Je B Pe P A Pe E
J d J P D d x x
*
18/59
传热与流体流动的数值计算
一、通量密度及其离散表达式（续）
J*的离散表达式：
J * Bi Ai 1
Behind Ahead 界面后的项 界面前的项 以坐标轴正方向为依据的“前”、“后”。
19/59
传热与流体流动的数值计算
负系数会导致物理上不真实的解。
7/59
传热与流体流动的数值计算
三、对流项的迎风格式
Taylor展开法
d i i 1 , ui 0 dx i x
i 1 i , ui 0 x
控制容积积分法 e界面 ue 0 , P ; ue 0 , E w界面 uw 0 , W ; uw 0 , P
第五章对流扩散方程
• 比混合格式复杂，计算量增加，但准确性 提高
• 稳定性：若用中心差分格式不能体现对流 项的物理本质，常会引起数值解的振荡
• 经济性：若用高阶格式，无数值振荡，但 格式复杂，求解相对困难，机时消耗较多
5.2 一维稳态对流扩散问题
d (u)
dx
d dx
d
dx
5.2.1 模型方程的精确解
d (u)
dx
d dx
d
dx
边界条件：
x 0, 0；x L, L
采用迎风思想：从来流上游方向找依赖区
在界面e上,若 ue 0,则e P ;若 ue 0,则e E ; 在界面w上,若 uw 0,则w W ;若 uw 0,则w P
界面流量
• 引入符号 • 对流：
a1, a2 max(a1, a2 )
(u)e Fee P Fe,0 E Fe,0 , (u)w Fww W Fw,0 P Fw,0
• 控制方程变为： dJ 0; 或 J const dx
J
F
0
0 L
exp(Pe) 1
界面上通量
Jw
Fw
W
W P
exp(Pw )
1Hale Waihona Puke JeFeP
P
exp(
E
Pe )
1
Fe exp( exp(Pe
Pe )
) 1
Fw exp(Pw )
1 P
Fe exp(Pe )
1E
Fw exp(Pw exp(Pw )
) 1
W
合并整理结果
aPP aEE aWW
• 系数
aE
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5章 对流-扩散方程的离散格式
2009年3月13日
1/59
传热与流体流动的数值计算
§5.1 对流项离散格式的重要性 及两种离散方式
一、对流项离散格式的重要性
1、数值解的准确性（假扩散） 2、数值解的稳定性 3、数值解的经济性
二、构造离散格式的两种方式
1、Taylor展开法 2、控制容积积分法
u e
Fee
P
max Fe,0
E
max Fe,0
w界面
P Fe ,0 E Fe ,0
uw 0 , W ; uw 0 , P
u w
Fww
W
max Fw,0
P
max Fw,0
W Fw,0 P Fw,0
9/59
传热与流体流动的数值计算
三、对流项的迎风格式（续）
3、一阶迎风格式截差阶数低，除非采用相当密的网格， 否则计算结果的误差较大。
4、一阶迎风格式的启示：应当在迎风方向取更多的信 息构造格式，更好地反映对流过程的物理本质。
5、在调试程序或计算的中间过程仍可以采用一阶迎风 格式。
11/59
传热与流体流动的数值计算
§5.3 对流-扩散方程的混合格式及乘方格式
一、通量密度及其离散表达式
d dx
u
d dx
d
dx
总通量密度J：单位时间内、单位面积上由扩散
及对流作用而引起的某一物理量的总转移量。
J
u
d
dx
x
P
d
d
x
x
J*
J D
P
d
d
x
x
18/59
传热与流体流动的数值计算
一、通量密度及其离散表达式（续）
一、系数aE与aW 之间的内在联系
aE(i)与aW (i+1)共享同一个界面。
对流项中心差分：
aE
De
Fe 2
, aW
Dw
Fw 2
aW
i 1
D
aE i
D
1
P 2
1
P 2
P
对流项一阶迎风：
aE De Fe,0 , aW Dw Fw,0
aW i 1 aE i
D
D
1 P,0
Fe 2
Dw
Fw 2
P
De
Fe 2
E
Dw
Fw 2
W
aPP aEE aWW
aP aE aW Fe Fw
,
aE
De
Fe 2
,
aW
Dw
Fw 2
在数值计算过程中，如果连续性方程始终得到满足，
则： aP aE aW
在求解过程中，始终保持连续性方程满足非常重要。
常物性条件下均分网格：
五、5种3点格式系数汇总只需给出
aE De
定义式
格式
定义
中心差分
1 Pe 2
迎风格式
1 Pe,0
混合格式 乘方格式 指数格式
Pe , 1 0.5Pe , 0
0
,
1 0.1 Pe
5
+
0
,
Pe
Pe
exp Pe 1
17/59
传热与流体流动的数值计算
§5.4 对流-扩散方程5种3点格式系数特性的分析
Fe exp exp Pe
Pe
1
exp
Fw Pw
1
P
exp
Fe Pe
1E
Fw exp Pw exp Pw
1
W
aPP aEE aWW
aE
Fe
exp Pe 1
,
aW
Fw exp Pw exp Pw 1
aP aE aW Fe Fw
14/59
传热与流体流动的数值计算
d
dx
采用控制容积积分法
e
x e
u e 2
w
x w
u w 2
P
e
x e
u e 2
E
w
x
界面的流量。
D= x 界面上单位面积扩散阻力的倒数(扩导)。
F D
=
u x
u
x
P
5/59
传热与流体流动的数值计算
二、对流项的中心差分（续）
De
迎风格式离散形式： aPP aEE aWW
aE De Fe, 0 aW Dw Fw, 0
aP aE aW Fe Fw
10/59
传热与流体流动的数值计算
四、中心差分与一阶迎风格式的讨论
1、对流项中心差分在不发生振荡的参数范围内，比一 阶迎风格式的误差更小。
2、一阶迎风格式离散方程系数永远大于零，不会引起 解的振荡，得到物理上看似合理的解。
1 P,0
P
12/59
传热与流体流动的数值计算
二、混合格式(Spalding,1971)
0
aE De
1 0.5Pe Pe
, Pe 2 , 2 Pe 2 , Pe 2
aE De
Pe
,
1 0.5Pe
,
0
13/59
传热与流体流动的数值计算
三、指数格式
利用精确解得到相邻节点间符合精确解的关系式。
三、指数格式（续）
15/59
传热与流体流动的数值计算
四、乘方格式(Patankar,1979)
0
, Pe 10
aE De
1 0.1Pe 5
1
0.1Pe
5
Pe
, ,
0 Pe 10 10 Pe 0
Pe
, Pe 10
aE
De
0
,
1 0.1 Pe
5
+
0
,
Pe
16/59
传热与流体流动的数值计算
3/59
传热与流体流动的数值计算
一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解（续）
0 L 0
eux euL
1 1
ePex L 1 ePe 1
Peclet数：
Pe uL
0
Pe表示对流与扩散作用 的相对大小。
0
4/59
传热与流体流动的数值计算
二、对流项的中心差分
对方程
d u
dx
d dx
P
1
0.5P
E
2
1
0.5P
W
6/59
传热与流体流动的数值计算
二、对流项的中心差分（续）
例：在一维模型方程离散求解的
均分网格中，已知W =100， E =200。试对P =0，1，2及4
四种情况按中心差分格式计算
P之值。
负系数会导致物理上不真实的解。
7/59
传热与流体流动的数值计算
三、对流项的迎风格式
两种定义截差阶数一致，但截差首项系数有所不同。
2/59
传热与流体流动的数值计算
§5.2 对流项的中心差分与迎风格式
一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解
d dx
u
d dx
d
dx
边界条件： x 0 , 0 ; x L , L
d udx C
ln
C1
ux
C2
C1eux C2
Taylor展开法
d i i1 dx i x
,
ui 0
i1 i x
, ui 0
控制容积积分法 e界面 ue 0 , P ; ue 0 , E w界面 uw 0 , W ; uw 0 , P
8/59
传热与流体流动的数值计算
三、对流项的迎风格式（续）
e界面
ue 0 , P ; ue 0 , E