对流扩散方程有限差分方法.
扩散方程的差分解法
（24）
则
， （25）
则误差方程为
（26）
误差放大因子为
（27）
要满足稳定性条件，则要求对所有的k值均有 。从（28）式中可以看出，当 （即 ）时， 恒成立。因此，全隐格式是无条件稳定的。
4.4收敛性
如果差分方程的解为 ，微分方程的解为 ，若当 ， 时，差分方程的解与微分方程的解之差
扩散方程的差分解法
在研究热传导过程、扩散过程、边界层现象时，我们常常遇到抛物型方程，这类方程中最典型、最简单的就是热传导方程。热传导方程中的自变量中包括时间t，它是描述一种随时间变化的物理过程，即所谓不定常现象。这类问题的基本定解问题应是初值问题，即在初始时刻（t=0）时给定定解条件，求解t>0时的解。
write(2,*) 'x=',x,'m'
do n=1,nt,200
write(2,*) (n-1)*dt,u(j,n)
enddo
if
enddo
!-----------!
end
5.3.2全隐格式
!----------------------------------------全隐格式求解扩散方程-----------------------------------------------!
由以上对一维扩散问题的分析，可知，求解一维扩散方程需给定初始条件及边界条件。
在本文计算中，取 ， 。
初始条件（ 时）
（29）
边界条件为
（30）
其初始时刻（ ）时的u分布如图1所示，x=0m处u随时间变化情况如图2所示，x=10m处u随时间变化情况如图3所示。
图1初始时刻u分布图
图2 x=0处u随时间变化图
第五章对流扩散问题(一维稳态对流扩散问题)
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
a P P a E E a W W
中心节点系数
相邻节点系数
aP aE , a W aP aE a W (Fe Fw )
考虑到连续方程
Fe-Fw=0
满足相邻系 数之和准则
a P aE a W
扩散项和以前的处理方法一样，即有：
(u) e e (u) w w e ( E P ) ( x ) e w ( P E ) ( x ) w
而控制容积界面上的变量值取其相应上风侧网格 节点上的值。即：
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题 5.2 一维稳态对流扩散问题
5.2.1 基本方程与差分方程
du d d ( ) dx dx dx
(x)w
其中，u已知，且满
d u 足： 0 或u 常数 dx
( x ) e
( x ) e ( x ) e
w W
e P x
a P P a E E a W W
aE 1 4 1 2 4 aW 1 3 2 a P 1 3 4 4 2
2P E 3W
De Dw 1 Fe Fw 4
E 200, W 100
E 100 W 200
2 P 0.25E 1.75 W
De D w 1 Fe Fw 1.5
E 200, W 100
E 100 W 200
P 187.5
P 112.5
某问题 结果合理
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解
《流体力学中的湍流扩散方程解析解》
一、什么是湍流扩散方程？
湍流扩散方程是描述物理流体扩散过程数学模型，是由流体力学中的湍流动力学概念推导出来的一种方程，是一种常用的偏微分方程。
它是一种描述在空间中湍流的扩散过程的数学方程，其目的是描述物质和能量在湍流中的传播。
二、湍流扩散方程的公式：
湍流扩散方程的公式为：
∂C/∂t = D∇2C
左侧的第一项是物质的局部变化率，t 代表时间；右侧的第一项用来描述物质在空间中的传播，D 为扩散系数，∇2C 为Laplace 算子。
三、湍流扩散方程的解析解：
1.快速波动方法：即快速 Fourier 过程，是一种快速处理湍流扩散方程的方法，其大致操作是用离散傅立叶变换把扩散方程转化为一个秩为 0
的傅立叶方程，然后使用傅立叶级数解决得出结果；
2.有限差分方法：给定的湍流扩散方程先采用有限的体积分解，即在时间及空间的二维平面上将扩散方程的计算区域划分成均匀的小单元，然后在每个区间内建立一个线性的有限差分矩阵，把扩散方程就变为简单的线性方程组；
3.格式方法：即 Finite Element 方法，用此方法可以把湍流扩散方程从不同的坐标方程中任意变换到球形坐标系，然后用有限元计算机程序解决；
4.积分方法：则是用数值积分的方法解决湍流扩散方程，包括 Runge-Kutta 方法、Adams 方法及其它积分的方法。
四、总结
湍流扩散方程是描述物理流体扩散过程的数学模型，是由流体力学中的湍流动力学概念推导出来的一种方程。
解决该方程有几种方法，即快速波动方法、有限差分方法、格式方法及积分方法。
以上是关于湍流扩散方程解析解的相关介绍，希望能够帮助到大家。
求解空间分数阶扩散方程和对流扩散方程的有限差分格式研究
求解空间分数阶扩散方程和对流扩散方程的有限差分格式研究1 空间分数阶扩散方程有限差分格式研究空间分数阶扩散方程是一类非线性偏微分方程，广泛应用于化学、生物、地理、物理等领域的模拟和研究中。
由于其阶数为分数阶，因此其求解方法与常规的整数阶偏微分方程有所不同。
##1.1 基本方程及边值条件空间分数阶扩散方程基本形式为：$$\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$ 其中，$0<\alpha<1$为分数阶，$D$为扩散系数，$u(x,t)$为扩散物体在空间$x$和时间$t$的浓度分布。
边值条件通常为：$$u(x,0)=f(x)$$$$u(0,t)=u(L,t)=0$$其中，$f(x)$为初始浓度分布，$L$为空间长度。
##1.2 有限差分格式为了在计算机上求解空间分数阶扩散方程，需要将其离散化为有限差分格式。
常用的有限差分格式为Caputo分数阶导数格式和Grünwald-Letnikov分数阶导数格式。
这里以Caputo分数阶导数格式为例，其形式为：$$\frac{\partial^{\alpha}u}{\partial t^{\alpha}}\approx\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{\partial u}{\partial s}(t-s)^{-\alpha}ds$$$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\approx\frac{u(x+\Delta x)-2u(x)+u(x-\Deltax)}{\Delta x^2}$$将上述两式带入空间分数阶扩散方程中，得到：$$\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t\frac{\partial u(x,s)}{\partial s}(t-s)^{-\alpha}ds=D\frac{u(x+\Delta x)-2u(x)+u(x-\Delta x)}{\Delta x^2}$$可得到迭代公式：$$u_i^{n+1}=\frac{(1-\theta)\Delta t^{\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)\Deltax^2}u_{i+1}^n+\frac{2\theta\Delta t^{\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)\Deltax^2}u_i^{n+1/2}+\frac{(1-\theta)\Delta t^{\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)\Delta x^2}u_{i-1}^n+\frac{\Delta t}{\Delta x^2}f_i^n$$其中，$u_i^n$表示在$x=i\Delta x$、$t=n\Delta t$时的浓度值，$f_i^n$表示边界条件。
一维非稳态对流-扩散方程的隐式中心差分格式
一维非稳态对流-扩散方程的隐式中心差分格式非稳态对流-扩散方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial}{\partialx}\left(F_{c}\left(u\right)\right)=\underbrace{\frac{\partial}{\ partial x}\left(V_{x}\left(x\right)\frac{\partial u}{\partial x}\right)}_{扩散项}+S\left(x,t\right)$$其中，$u\left(x,t\right)$为温度、浓度等物理量，$F_{c}\left(u\right)$为流动的拖曳力，$V_{x}\left(x\right)$为扩散系数，$S\left(x,t\right)$为源项。
考虑前向差分格式，$i,j=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$表示位置，$n$表示时刻：$$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\frac{\Delta t}{\Deltax}\left[F_{c}\left(u_{i+1}^{n}\right)-F_{c}\left(u_{i}^{n}\right)\right]+\frac{\Delta t}{2\Deltax}\left[V_{i+1/2}^{n+1/2}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}\right)+V_{i-1/2}^{n+1/2}\left(u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}\right)\right]+\Delta t\cdot S_{i}^{n}$$其中，$V_{i+1/2}^{n+1/2}=V_{x}\left(x_{i+1/2}^{n+1/2}\right)$，$x_{i+1/2}^{n+1/2}=\frac{1}{2}\left(x_{i+1}^{n}+x_{i+1}^{n+1}\ri ght)$。
tvd格式_对流扩散方程_解释说明
tvd格式对流扩散方程解释说明1. 引言1.1 概述对流扩散方程是描述物质传输中对流和扩散过程的数学模型，广泛应用于自然科学和工程领域。
为了准确地求解对流扩散方程，需要选择适当的数值方法。
TVD(Total Variation Diminishing)格式是一种被广泛应用于求解对流扩散方程的数值方法，具有一阶或高阶精度、小量级能量损失等优点。
1.2 文章结构本文分为五个部分来讨论TVD格式与对流扩散方程。
首先，在引言部分概述了文章的背景和主要内容。
其次，在第二部分将简要介绍TVD格式和对流扩散方程，并探讨了TVD格式在解决对流扩散方程中的应用。
接下来，在第三部分详细介绍了TVD格式的原理和推导过程，还讨论了TVD限制器的作用和选择方法。
第四部分将通过数值实验和应用案例的分析，深入研究TVD格式的效果，并探讨其在实际问题中的应用意义。
最后，在第五部分总结本文研究工作并给出未来研究方向展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍TVD格式在求解对流扩散方程中的应用，并探讨其原理和推导过程。
希望通过数值实验和应用案例分析，验证TVD格式的有效性，同时提出改进方法。
本文还将总结研究工作的贡献点，并展望未来在这一领域的深入研究方向。
通过本文的撰写，旨在增加人们对TVD格式与对流扩散方程相关知识的了解，并为相关领域研究者提供参考和启示。
以上是“1. 引言”部分内容，包括概述、文章结构以及目的三个小节。
下文将继续详细阐述其他部分内容。
2. TVD格式与对流扩散方程2.1 TVD格式简介TVD（Total Variation Diminishing）格式是求解对流扩散方程的一种数值方法。
它在处理具有激烈变化、激波或阶跃的解时表现出色，并且能够有效地抑制数值耗散和震荡现象。
TVD格式广泛应用于流体力学、传热学等领域中。
2.2 对流扩散方程概述对流扩散方程是描述一维物理过程中物质输运的数学模型。
它由对流项和扩散项组成，其中对流项描述了物质通过速度场的输运，而扩散项则描述了物质因浓度或温度差异而发生的不规则传播。
一类二维稳态对流——扩散方程的有限差分法
一类二维稳态对流——扩散方程的有限差分法一维稳态扩散方程描述了物质在一维空间中的扩散行为。
然而，在某些情况下，我们需要研究物质在二维平面中的扩散行为，例如热传导、流体传输等。
本文将介绍一类二维稳态对流-扩散方程的有限差分法。
二维稳态对流-扩散方程可以写作：∇·(D∇u) + ∇·(cu) + fu = 0 —— (1)其中，D是扩散系数，c是速度场，u是待求解的物理量，f是源项。
在这个方程中，第一项表示物质的扩散项，第二项表示对流项，第三项表示源项。
我们需要求解方程(1)，找到u的分布。
为了应用有限差分法来求解二维稳态对流-扩散方程，需要将二维空间离散化为一个网格。
假设我们将x方向离散为Nx个等距的节点，y方向离散为Ny个等距的节点，那么我们可以得到一个(Nx+1)×(Ny+1)的网格。
我们在网格节点上定义未知量u，然后将方程(1)对节点处的u进行离散化。
首先，我们对方程(1)的扩散项进行离散化。
我们使用五点差分格式来近似二维Laplace算符∇·(D∇u)。
对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(Dij(xi+1,yj)ui+1,j + Dij(xi-1,yj)ui-1,j +Dij(xi,yj+1)ui,j+1 + Dij(xi,yj-1)ui,j-1 -4Dij(xi,yj)ui,j) / ∆x^2 + (Dij(xi,yj)ui,j) / ∆y^2其中，∆x和∆y是网格步长，Dij是扩散系数。
接下来，我们对方程(1)的对流项进行离散化。
我们使用中心差分格式来近似二维梯度算符∇·(cu)。
对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(cxi+1/2,yj(ui+1,j - ui,j)) / ∆x + (cxi-1/2,yj(ui,j - ui-1,j)) / ∆x + (cyi,j+1/2(ui,j+1 - ui,j)) / ∆y + (cyi,j-1/2(ui,j - ui,j-1)) / ∆y其中，cxi+1/2,yj、cxi-1/2,yj、cyi,j+1/2和cyi,j-1/2是速度场在节点(x,y)处的中心点处的x和y分量。
对流扩散方程有限差分方法
对流扩散方程有限差分方法流扩散方程是描述流体内部物质的扩散过程的方程，它可以用于描述溶质的扩散、热量的传导以及动量的传递。
在许多工程和科学领域中，比如地球科学、生物医学和工程学等，流扩散方程都有着广泛的应用。
在数值计算中，有限差分方法是一种常用的数值解法，可以非常有效地解决流扩散方程。
下面将详细介绍对流扩散方程有限差分方法的原理和步骤。
首先，考虑一维流扩散方程的一般形式：∂C/∂t=D∂²C/∂x²-V∂C/∂x其中，C是扩散物质的浓度，t是时间，x是空间位置，D是扩散系数，V是对流速度。
为了使用有限差分方法求解上述方程，我们需要将时间和空间分布离散化，得到方程在网格点上的近似表示。
首先，将时间轴分为n个等间隔的时间步长Δt，空间轴分为m个等间隔的网格点，网格点之间的间距为Δx。
然后，我们使用数值方法来逼近方程中的各个导数项，采用中心差分公式：∂C/∂t≈(C_i^(n+1)-C_i^n)/Δt∂²C/∂x²≈(C_i+1^n-2C_i^n+C_i-1^n)/Δx²∂C/∂x≈(C_i+1^n-C_i-1^n)/(2Δx)将上述近似代入流扩散方程，可以得到：(C_i^(n+1)-C_i^n)/Δt=D(C_i+1^n-2C_i^n+C_i-1^n)/Δx²-V(C_i+1^n-C_i-1^n)/(2Δx)整理上式，可以得到对流扩散方程的有限差分方程：C_i^(n+1)=C_i^n+(DΔt/Δx²)(C_i+1^n-2C_i^n+C_i-1^n)-(VΔt/2Δx)(C_i+1^n-C_i-1^n)上述方程给出了方程在时刻n+1时刻网格点i的值，即C_i^(n+1)，它的值通过已知时刻n时刻各个网格点的值C_i^n来计算。
最后，我们可以使用迭代的方法，从初始条件C_i^0开始，依次计算下一个时刻的网格点C_i^(n+1)，直到达到所需的计算精度或者计算到需要的时间步长。
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对流扩散方程有限差分方法求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。
3.1 中心差分格式时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[21111122h u u u vhu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-+++-=-+-τ（3）若令 haτλ=，2h vτμ=，则（3）式可改写为)2()(2111111nj n j n j n j n j n j n ju u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4）从上式我们看到，在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1+n j u ，它可以由时间层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。
因此，中心差分格式是求解对流扩散方程的显示格式。
假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解，将1+n j u ，n j u 1+，n j u 1-分别在),(n j t x 处进行Taylor 展开：)(),(),(211ττO t u t x u t x u u njn j n j n j+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++)(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u nj nj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++)(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u njnj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-==--代入(4)式，有 21111122),(hu u u vhu u au u t x T nj n j n j nj n j n jn j n j -+-+++---+-=τ)()()(2222h O v x u v h O a x u a O t u nj nj nj ⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u njnj nj ⋅-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ)(2h O +=τ显然，当0→τ，0→h 时，0),(→n j t x T ，即中心差分格式与定解问题是相容的。
由以上的讨论也可得知，对流扩散方程的中心差分格式的截断误差为)(2h O +τ。
对于我们上面构造的差分格式，是否可以直接用于实际计算呢？也就是说，如果初始值有误差，在计算过程中误差会不会扩大传播呢？这就是接下来我们要讨论的是差分方程的稳定性问题。
下面用Fourier 方法来分析中心差分格式的稳定性。
令ikjh n nje v u =，代入到（4）式)2()(21)1()1()1()1(1h j ik n ikjh n h j ik n h j ik n h j ik n ikjhn ikjhn e v e v e v e v e v ev ev -+-+++-+--=μλ整理得 n n v kh i kh v]sin )cos 1(21[1λμ---=+所以该差分格式的增长因子为：kh i kh k G sin )cos 1(21),(λμτ---= 其模的平方为222)(sin )]cos 1(21[),(kh kh k G λμτ---=2222)(s i n )c o s 1(4)c o s 1(41kh kh kh λμμ+-+--= )]cos 1()cos 1(44)[cos 1(122kh kh kh +-----=λμμ 由于0cos 1≥-kh ，所以1),(≤k G τ（即差分格式稳定）的充分条件为 0)c o s 1()c o s 1(4422≥+---kh kh λμμ 上式可以改写为0242c o s 1)82(222≥-+--λμμλkh注意到]1,0[)cos 1(21∈-kh ，所以上面不等式满足的条件为024)82(222≥-+-λμμλ， 0242≥-λμ。
由此得到差分格式（3）的稳定性限制为22av≤τ ， 212≤h v τ。
故有结论：对流扩散方程的中心差分格式是条件稳定的。
根据Lax 等价定理，我们可以知道，对流扩散方程的中心差分格式是条件收敛的。
3.2 Samarskii 格式设a >0，先对方程(1)作扰动，得到另一个对流扩散方程]7[2211x u v R x u a t u ∂∂+=∂∂+∂∂ （5） 其中 ha vR 21=，当0→h 时，（5）式化为（1）式 对于（5）式，构造迎风格式21111211hu u u v R hu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-++-+=-+-τ（6） 差分格式（6）称为逼近对流扩散方程的Samarskii 格式。
首先推导（6）的截断误差。
设),(t x u 是对流扩散方程（1）式的充分光滑的解21111),(),(2),(11),(),(),(),(h t x u t x u t x u v R ht x u t x u at x u t x u T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-++-+--+-=τ令2111),(),(2),(),(),(h t x u t x u t x u vt x u t x u n j n j n j n j n j nj-+++---=τα用 Taylor 级数展开有)()()(222h O xu v t u n j n j nj++∂∂-∂∂=τα再令 2111),(),(2),()111(),(),(h t x u t x u t x u v R h t x u t x u an j n j n j n j n j n j-+-+--+--=β 用 Taylor 级数展开有)()(11)(2)(22222h O xu v R x u ah t u a nj n j n j nj+∂∂++∂∂-∂∂=β )()(1)()(22222h O x uv R R x u Rv x u a n j n j +∂∂++∂∂-∂∂= )()(1)(2222h O xu v R R x u a nj n j +∂∂+-∂∂=由于)()24()21(4122222222h O v h av ah vha va h RR =+=+=+所以 )()(2h O xu a nj n j +∂∂=β )()()()(222h O xu v x u a t u T nj n j n j n jnjnj++∂∂-∂∂+∂∂=+=τβα)(2h O +=τ当0→τ，0→h 时，0→n j T ，所以Samarskii 格式与定解问题是相容的，并且其截断误差为)(2h O +τ。
现在看看Samarskii 格式的稳定性。
将（6）式两边同时加上)2(211nj n j n j u u u ha -++-，把（6）式化为 2111112)21(2h u u u ah R v hu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-+++-++=-+-τ令 21ahR v v ++=，则上式即为： 21111122hu u u vhu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-+++-=-+-τ根据中心显示格式稳定性的讨论，可以得到（6）式的稳定性条件为 212≤h v τ ，22av≤τ即21)21(2≤++h ah R v v τ ， )21(22ahR v a ++≤τ 稳定性的第二个条件等价于1)1(22≤++ahR a v τ而 v R ah v R ah h R v v R ah v R a ah R a v 2)1(1)2)1((122)1(12)1()1(22222+++⋅+=+++⋅=++τττ 利用不等式v R ah vR ah v R ah 2)1(12)1(1)2)1((2++≤+++ 所以222)211(2)2)1(1(12)1(2hv ah R v v R ah h R v ahR a v τττ++=++⋅+≤++ 利用稳定性的第一个条件，有1212)1(22=⋅≤++ahR a v τ，从而可知稳定性条件的第二个条件可由第一个条件推出，因此差分格式的稳定性条件为21)211(2≤++h v ah R v τ， 即 212/122≤⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++hv ah v ah τ。
由Lax 等价定理可知，Samarskii 格式也是条件收敛的。
3.3 Crank-Nicolson 型隐式差分格式前面讨论了求解对流扩散方程的两种显示格式，它们都是条件稳定的，为了放松稳定性条件，可以采用隐式格式进行求解。
现在考虑Crank-Nicolson 型隐式差分格式]8[)22(21111111hu u h u u a u u n j n j n j n j n jn j +-++-++-+-+-τ)22(2211111211hu u u h u u u v n j n j n j n j n j n j +-+++-++-++-= （7） 令h a τλ=，2hv τμ=，则（7）式可化为 11111)2()1(4)2(++++--++++-n j n j n j u u u μλμμλn j n j n j u u u 11)2()1(4)2(+-+-+-++=μλμμλ （8）把（8）式用矩阵的形式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--++--++--+)1(4)2(2)1(4)2(2)1(4)2(2)1(4μμλμλμμλμλμμλμλμ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-++11121312n J n J n n u u u u = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++--++--++--)1(422)1(422)1(422)1(4μμλμλμμλμλμμλμλμ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--n J nJ n n u u u u 1232 + ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++++))(2(00))(2(1111n J n J n n u u u u μλμλ （9）设 =A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--++--++--+)1(4)2(2)1(4)2(2)1(4)2(2)1(4μμλμλμμλμλμμλμλμ ， =B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++--++--++--)1(422)1(422)1(422)1(4μμλμλμμλμλμμλμλμ， =n U ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--n J nJ n nu u u u 1232 ， =F ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++++))(2(00))(2(1111n J n J n n u u u u μλμλ 则有F BU AU n n +=+1下面讨论Crank-Nicolson 型格式的截断误差和精度。