第五章对流扩散方程
偏微(10)对流扩散方程
n1
uj
n
a
u j1 u j1
n n
2h
ah 2
ah u j1 2 u j u j1 .9 ) ' (3 2 2 h
n n n
令
可以得到（3.9）式的稳定性条件为
2 a
2
,
h
2
1 2
uj
n1
uj
n
a
u j1 u j1
n n
2h
2 u j1 2 u j u j1 a .7 ) (3 2 2 h
n n n
逼近对流扩散方程（3.1）的截断误差为
O h
2
2
（3.7）与（3.3）的区别在于用
uj
n1
2 a
2
, (3 .4 )
h
2
1 2
(3 .5 )
那么逼近（3.1）式的迎风差分格式为
uj
n
a
u j u j1
n n
u j1 2 u j u j1
n n n
h
h
2
.9 ) (3
可以把（3.9）式写成（3.3）式的形式，即
3 对流扩散方程 对流扩散方程
u t a u x u
2
x
2
, x R , t 0 （ 3 .1 ）
a , 为 常 数 ， 0
如果给定初值
u x , 0 g ( x ), x R （ 3 .2 ）
则（3.1）(3.2)构成了对流扩散方程的初值问题 如果
哈尔滨工业大学 计算传热学 第五章 对流-扩散方程的离散格式-2013
aPP aEE aWW
Fe Fw exp( Pw ) aE , aW exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1
(D)
aP aE aW (Fe Fw )
区别就在函数 aE和aW
aE De
Pe aE De exp( Pe ) 1
aE Pe De
该格式计算量比指数小，且指数格式的解差别很小。
§ 5-3
为了在讨论中引入 PE 记
通用表达式
x
i
J*
i+1 i+1/2
x
1 界面i+ 上的值可以用界面两侧节点值表示 2
J * Bi Ai 1 （y）
系数A和B的性质的讨论 (1)当 i i 1 时，扩散量=0， J *完全由对流造成，即
即
aPP aEE aW W
显然不论那种格式，仅仅是 A(| P |) 表达式的区别。
A( P )
A(|P |)
中心 1 0.5 | P | 迎风 1 混合 [| 0,1 0.5 | P | |] 指数 | P | [exp(| P |) 1]
1.0
迎风
指数 乘方
乘方 | 0, (1 0.1| P |)5 |
中心
混合
P
§ 5-4
原始的假扩散概念
关于假扩散的讨论
一维非稳态对流方程（纯对流,没有扩散）
u t x
显示迎风差分格式
in1 in
t
u
in in 1
x
, o(x, t )
将上式在（i，n）点做Taylar级数展开，保留二阶。
上述若对任何成立，必得
B( P ) A( P ) A( P ) B( P )
第五章对流扩散问题(一维稳态对流扩散问题)
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
a P P a E E a W W
中心节点系数
相邻节点系数
aP aE , a W aP aE a W (Fe Fw )
考虑到连续方程
Fe-Fw=0
满足相邻系 数之和准则
a P aE a W
扩散项和以前的处理方法一样，即有：
(u) e e (u) w w e ( E P ) ( x ) e w ( P E ) ( x ) w
而控制容积界面上的变量值取其相应上风侧网格 节点上的值。即：
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题 5.2 一维稳态对流扩散问题
5.2.1 基本方程与差分方程
du d d ( ) dx dx dx
(x)w
其中，u已知，且满
d u 足： 0 或u 常数 dx
( x ) e
( x ) e ( x ) e
w W
e P x
a P P a E E a W W
aE 1 4 1 2 4 aW 1 3 2 a P 1 3 4 4 2
2P E 3W
De Dw 1 Fe Fw 4
E 200, W 100
E 100 W 200
2 P 0.25E 1.75 W
De D w 1 Fe Fw 1.5
E 200, W 100
E 100 W 200
P 187.5
P 112.5
某问题 结果合理
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解对流扩散方程（Convection-DiffusionEquation，CDE）是描述物理系统中物质扩散和热对流运动的方程。
它源于20世纪30年代真空磁体理论中发现的电子运动方程，在50年代被普及应用于各种工程、物理学和化学领域，如电子、热传输、水力学等，具有不可缺少的重要意义。
一般来说，对流扩散方程可以被描述为：$$frac{partial y}{partial t}=afrac{partial^2 y}{partial x^2}+bfrac{partial y}{partial x}+cfrac{partial y}{partial y}+d$$其中，a、b、c和d是常数，t和x分别代表时间和物理位置。
若把空间坐标投射到它们的平面上，则可以用更具体的形式表述为： $$frac{partial y}{partial t}=afrac{partial^2 y}{partial x^2}+bfrac{partial y}{partial x}+cfrac{partial y}{partial y}+d+frac{partial y}{partial z}$$其中，z是投射后的空间坐标，a、b、c和d也可以改变以适合不同的实际应用场景。
对于对流扩散方程的解析解，有两种基本方法：一种是用不定积分法；另一种是用微分平面法，也称作渐进分析方法。
从一般的原理上来看，不定积分法是把对流扩散方程拆解成多个简单的可求解的微分方程，然后分别求解它们，最后再综合求得总解。
此外，它还可以运用标准积分法来近似求解，特别有利于解复杂的多变量方程。
而渐进分析（Perturbation Analysis）是把复杂的问题划分成几个渐进步骤，每一步把问题简化为可以近似解决的状态，依此不断迭代，最终求得近似解。
这种技术通常用来求解非线性方程，对于对流扩散方程求解也非常有效，能有效地提高准确度和计算速度。
此外，还有其他一些求解方法，比如拉格朗日法（Lagrange Method）、拉普拉斯正则化（Laplace Regularization）以及偏微分方程的泛函理论方法（Functional Theory of Partial Differential Equations）等。
对流扩散方程ppt课件
18
4.6: 隐式格式
为了提高精度，降低稳定性的要求，考虑隐式格式。
Crank nicolson型格式：
u n1 j
u
n j
2
(
u
n j 1
u
n j 1
u n1 j 1
u
n1 j 1
)
a 2h
2h
2
(
u
n j 1
由 于 1 cos h 0,2, 条 件 化 为 ：
2(r 2 ) 2r 2 0和 2(r 2 ) 2r 2 2（r 2 (r 2 )2） 0
9
而 2(r 2) 2r 2 2(r 2 (r 2)2 ) 2(r 2)(1 (r 2)) 0 1 (r 2) 0
2 得到如下差分格式：
6
u n1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
（
a
2）u
n j 1
2u
n j
u
n j 1
2h
2
h2
稳 定 性 分 析 完 全 类 似 于中 心 差 分 格 式 ， 显 然 有
h2
1（a ）2
2h
1 2
7
4.3: 迎风差分格式
在 中心 显 式差 分 格式 的稳 定性 条 件中 ， 当G
un j 1
2u
n j
un j 1
输运方程对流扩散方程
输运方程对流扩散方程输运方程是描述物质传输过程的数学模型，常见的有对流扩散方程。
对流扩散方程是由对流和扩散两种机制共同产生的输运过程来描述的，它的一般形式为：∂c/∂t+∇·(v*c)=∇·(D*∇c)其中，c表示物质的浓度或者响应变量，t表示时间，v表示流体的速度场，D表示物质的扩散系数，∇表示梯度运算符。
对流项描述了物质的对流运动，即物质随着流体的移动而移动。
对于三维坐标系来说，对流项可以表示为∇·(v*c)。
具体来说，对流项的每一项分别表示了物质在x、y和z方向上的携带速度与浓度梯度的乘积。
扩散项描述了物质由浓度高处至浓度低处的扩散现象，即物质自发性地从高浓度区域向低浓度区域传播。
扩散项可以表示为∇·(D*∇c)，其中D是扩散系数，表示物质扩散的速率与浓度梯度的乘积。
对流扩散方程的物理意义是描述了物质在流体中传输的速率与物质浓度梯度之间的关系。
通过对流项，方程能够描述物质随着流体的运动快速传输的现象；而通过扩散项，方程能够描述物质由浓度高处向浓度低处传输的现象。
综合考虑对流和扩散的作用，对流扩散方程能够比较准确地描述物质在流体中的传输过程。
对流扩散方程在科学和工程领域有广泛的应用。
例如，在污染物传输和扩散模拟中，对流扩散方程可用于描述污染物由源区到周围空气或水体的传输过程。
在热传导模拟中，对流扩散方程可用于描述热量由高温区域到低温区域的传导过程。
在物质传递过程中，对流扩散方程也被广泛应用于描绘物质的传输行为。
总结起来，对流扩散方程是一种常见的输运方程，它能够描述物质由流体传输并扩散的过程。
通过对流项和扩散项的综合作用，对流扩散方程能够比较准确地描述物质在流体中的传输行为，所以在科学和工程领域有着广泛的应用。
对流扩散方程clank
对流扩散方程clank标题：对流扩散方程的概述引言概述：对流扩散方程是数学中常见的描述物质传输过程的方程。
它在众多领域中都有广泛的应用，如流体力学、热传导、质量传输等。
本文将从五个大点出发，详细阐述对流扩散方程的相关内容。
正文内容：1. 对流扩散方程的基本概念1.1 对流扩散方程的定义1.2 对流扩散方程的一般形式1.3 对流扩散方程的物理意义2. 对流项与扩散项的影响2.1 对流项的作用2.2 扩散项的作用2.3 对流项与扩散项的相互作用3. 对流扩散方程的解析解与数值解3.1 解析解的求解方法3.2 数值解的求解方法3.3 解析解与数值解的比较4. 对流扩散方程的边界条件和初值条件4.1 边界条件的选择与影响4.2 初值条件的确定与影响4.3 边界条件和初值条件的耦合效应5. 对流扩散方程的应用领域5.1 流体力学中的应用5.2 热传导中的应用5.3 质量传输中的应用总结：对流扩散方程是描述物质传输过程的重要方程，其基本概念包括方程的定义、形式和物理意义。
对流项和扩散项是方程中的两个关键因素，它们分别对物质传输起到对流和扩散的作用，并且相互作用影响着传输过程。
对流扩散方程的求解可以采用解析解和数值解两种方法，它们各有优劣，需要根据具体情况选择。
边界条件和初值条件是方程求解中必要的条件，它们的选择与确定对结果有重要影响。
对流扩散方程在流体力学、热传导和质量传输等领域都有广泛应用，它为我们理解和解决实际问题提供了重要的数学工具。
总之，对流扩散方程是一个复杂而重要的数学方程，它在物质传输过程中起着关键作用。
深入理解和研究对流扩散方程，对于解决实际问题具有重要意义。
对流扩散方程
对流扩散方程ν22u u ua t x x抖 +=抖¶ 网格比λt a x D =D ， ν2t r xD =D 而它们的比值λνν2t a a x x r t x D D D ==D D 是一个无量纲量，称为网格雷诺数，也就是以网格尺寸 x D 为特征长度的雷诺数，通常记作 Re x D 。
（1） 显式中心差分格式ν11111222n nn nn n nj jj j j j j u u u u u u u atxx++-+----++=D D D即()()λ1111122n n nn n n nj jj j j j j u u u u r u u u ++-+-=--+-+ 精度：()O 2 , n j R t x =D D稳定性分析：设 jikx n nj k C eε= ，则()1j ik x xn n j k C e ε-D -= ，()ε1j ik x xn n j k C e+D += ，11jikx n n j k C eε++=代入差分格式()()()()λ122jj jj j j j ik x xik x xikx ikx n n n n kkk kik x x ik x x ikx n n n k k k Ce C eC e C er C e C e C e +D -D ++D -D 骣÷ç=--÷ç桫骣÷ç+-+÷ç桫令 k x α=D ，可求出增长因子()()()ααααλλαααααλ121221sin 2cos 114sin 2sin cos 222n k nk i i i i C G C e e r e e i r r i +--==--+-+=-+-骣骣鼢珑鼢=-+珑鼢珑鼢桫桫所以αααλααααλαααλ22222242222222214sin 2sin cos 22218sin16sin4sincos22221424sin cos sin 222G r r r r r 骣骣鼢珑鼢=-+珑鼢珑鼢桫桫=-++骣÷ç÷=---ç÷ç÷桫因此ααλ222221 124sin cos 022G G r r ［［--我们来考虑函数()αααλ222224sin cos 22f r r =--的极值。
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• 比混合格式复杂，计算量增加，但准确性 提高
• 稳定性：若用中心差分格式不能体现对流 项的物理本质，常会引起数值解的振荡
• 经济性：若用高阶格式，无数值振荡，但 格式复杂，求解相对困难，机时消耗较多
5.2 一维稳态对流扩散问题
d (u)
dx
d dx
d
dx
5.2.1 模型方程的精确解
d (u)
dx
d dx
d
dx
边界条件：
x 0, 0；x L, L
采用迎风思想：从来流上游方向找依赖区
在界面e上,若 ue 0,则e P ;若 ue 0,则e E ; 在界面w上,若 uw 0,则w W ;若 uw 0,则w P
界面流量
• 引入符号 • 对流：
a1, a2 max(a1, a2 )
(u)e Fee P Fe,0 E Fe,0 , (u)w Fww W Fw,0 P Fw,0
• 控制方程变为： dJ 0; 或 J const dx
J
F
0
0 L
exp(Pe) 1
界面上通量
Jw
Fw
W
W P
exp(Pw )
1Hale Waihona Puke JeFeP
P
exp(
E
Pe )
1
Fe exp( exp(Pe
Pe )
) 1
Fw exp(Pw )
1 P
Fe exp(Pe )
1E
Fw exp(Pw exp(Pw )
) 1
W
合并整理结果
aPP aEE aWW
• 系数
aE
Fe exp(Pe )
, 1
aW
Fw exp(Pw ) exp(Pw) 1
aP aE aW (Fe Fw )
2．指数格式评述
• 精确：常物性、稳态、无源、一维。适用 于任何Pe数。
• 非稳态、多维、有源，则失去其精确解的 意义
• 格式系数为指数形式，计算费时，经济性 差，实际很少应用
5.2.5 混合格式
• 1．混合格式提出[Spalding, 1972]
aE
Pe
De exp(Pe ) 1
三条包络线
混合格式
三条包络线
当Pe 2 aE De Pe
当-2 Pe 2 aE De 1 Pe / 2 当Pe 2 aE De 0
aE
De
Pe
,
1
Pe 2
,
0
同理可得
aW
P 25 P 125
适用条件有限
• 当 P 2 时，系数变成负数，会产生振荡
• 适用条件 P 2 这意味着：网格步长必须 很小，或只能处理流速比较小的问题
5.2.3 一阶迎风格式
• 1.积分离散和格式推演
d (u)
dx
d dx
d
dx
( u )e
(u)w
d
dx e
d
dx w
精确解：
0 exp(ux / ) 1 exp(Pe x / L) 1 L 0 exp(uL / ) 1 exp(Pe) 1
Peclet 数
• 对流作用和扩散作用的比较
Pe uL
5.2.2 中心差分格式
• 1. 控制容积积分法离散
d (u)
dx
d dx
d
dx
( u )e
(u)w
• 扩散：
d
dx
e
e (E P ) , ( x)e
d
dx
w
w(P W ) ( x)w
系数表达式
aE
De
Fe,0 ,
aW Dw Fw,0
aP aE aW (Fe Fw )
• 或使用网格Peclet数
aE De 1 Pe,0 , aW Dw 1 Pw,0
aP aE aW (Fe Fw )
5.2.4 指数格式
• 1．指数格式推演，根据精确解表达式
0 exp(ux / ) 1 exp(Pe x / L) 1 L 0 exp(uL / ) 1 exp(Pe) 1
对流-扩散总通量密度
J u d
dx
0 exp(ux / ) 1 exp(Pe x / L) 1 L 0 exp(uL / ) 1 exp(Pe) 1
2. 一阶迎风格式评述
• 符合对流项物理意义，离散系数恒>零，无数值振 荡。得到广泛的应用。
• 迎风思想：二阶迎风、三阶迎风和QUICK格式都 很好地吸取了迎风思想：让信息主要来自流动上 游方向
• 精度差：某些国际学术刊物已对该格式提出限制 • 在对流很强时，扩散效应已经很弱，迎风格式过
渡估算了扩散作用
P F D u x
• 系数表达为
aaEP
De (1 Pe / 2), aE aW (Fe
aW Fw )
DW (1
Pw
/ 2)
2.中心差分格式的问题
• 常导热系数、均匀网格下
P
(1
P
/ 2)E
(1 2
P
/ 2)W
• 例如 Pe Pw 4 情况
E 100,W 50
E 50,W 100
当 10 Pe 0, 当 0 Pe 10,
aE / De 1 0.1Pe 5 Pe aE / De 1 0.1Pe 5
当 Pe 10,
aE / De 0
紧凑形式
aE De 0,
1 0.1 Pe
5
0,
Fe
aW Dw 0,
1 0.1 Pw
5
0,
Fw
2．乘方律格式评述
Dw
Pw
,
1
Pw 2
,
0
2．混合格式评述
• 当 Pe 2 时，与中心差分格式相同 • 当 Pe 2 时，为扩散项=零的迎风格式 • 形式简单，兼有中心差分和迎风格式的优
点，较为适用
5.2.6 乘方律格式
• 1．乘方律格式提出和构成[Patankar]
四条包络线
当 Pe 10,
aE / De Pe
d
dx e
d
dx w
采用分段线性分布
(u)e
P
E
2
(u)w W
P
2
e (E P ) ( x)e
w(P W ) ( x)w
移项整理结果
aPP aEE aWW
• 系数
aE
De
1 2
Fe, aW
DW
1 2
Fw
aP aE aW (Fe Fw )
网格Peclet数
• 网格尺度上的对流、扩散作用比值
第五章 对流扩散方程 的数值方法
对流扩散方程求解难点
• 对流项：流动有方向性，并且有精度、稳 定性和计算耗时方面的要求
• 压力梯度项：压力没有方向性的，采用中 心差分符合物理意义，但会带来误差累积 的问题 [留待第六章解决]
本章先假定速度已知， 讨论对流项离散方法
对流项离散的难点
• 准确性：若用一阶迎风格式，与扩散项采 用的二阶精度的中心差分离散格式不匹配， 使整个方程的离散精度降低