北航2015年微积分(上)作业3满分答案
北航《大学物理(上)》在线作业三
B. 250 K
C. 300 K
D. 350 K
-----------------选择：C
9. 容器内有11 kg二氧化碳和2 kg氢气(两种气体均视为刚性分子的理想气体)，已知混合气体的内能是8.1×106 J．则混合气体的温度（）
A. 273 K
B. 300 K
C. 373 K
D. 400 K
-----------------选择：B
10. 下列关于惯性的说法中正确的是（）
A. 物体只有静止或做匀速直线运动时才有惯性
B. 物体只有受外力作用时才有惯性
C. 物体的运动速度大时惯性大
D. 物体在任何情况下都有惯性
-----------------选择：D
北航《大学物理（上）》在线作业三
单选题 判断题 多选题
一、单选题（共 15 道试题，共 60 分。）
1. 已知水星的半径是地球半径的0.4倍，质量为地球的0.04倍。设在地球上的重力加速度为g，则水星表面上的重力加速度为（）
A. 0.1g
B. 0.25g
C. 4g
D. 多普勒效应已在科学研究、工程技术、交通管理、医疗诊断等各方面有着十分广泛的应用
-----------------选择：ABD
4. 关于分子动理论，下述说法正确的是 [ ]
A. 分子是组成物质的最小微粒
B. 物质是由大量分子组成的
C. 分子永不停息地做无规则运动
D. 分子间有相互作用的引力或斥力
7. 车厢内有一乘客竖直上跳，仍落回原地，列车这时作怎样的运动[ ]
A. 转弯
B. 匀速直线运动
《微积分》上册部分课后习题答案
《微积分》上册部分课后习题答案习题五（A）1．求函数 f x ，使 f ′ x x 23 x ，且 f 1 0 .解：f ′ x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x C 3 2 1 5 23 f 1 0 6 C 0 C 3 2 6 15 23 f x x3 x 26 x 3 2 6 12．一曲线y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为x 3e x ，求 f x . 2 1解：f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x C 4 f 0 2 3 C 2 C 1 1 2 f x x 3e x 1 4 ∫ 23．已知f x 的一个原函数为 e x ，求 f ′ xdx . 2 2解：f x e x ′ 2 xe x∫ f ′ xdx 2 f x C 2 xe x C dx4．一质点作直线运动，如果已知其速度为3t 2 sin t ，初始位移为s0 2 ，求s 和t 的函dt数关系.解：S t 3t 2 sin t S t t 3 cos t CS 0 2 1 C 2 C 1 S t t 3 cos t 15．设ln f x′ 1 ，求f x . 1 x2解：ln f x′ 1 ln f x arctan x C11 x2 f x earctan x C1 Cearctan x C gt 0 1 16．求函数f x ，使f ′ x e 2 x 5 且f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解：f x e x 5 f x ln x 1 arcsin x e 2 x 5 x C 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0C 0 C 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27．求下列函数的不定积分x x2 ∫ ∫ dt（1）dx （2）x a t 1 x2 1 ∫ ∫x m n（3）x dx （4）dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5）∫x 2 1 dx （6）∫ sin x cos x dx 1 cos 2 x ∫ ∫ cos 2 x （7）dx （8）dx sin x cos x 1 cos 2 x ∫ sin （10）cos 2 sin 2 x dx ∫ cos 2 x x（9）2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 ∫ sin ∫e e （11）dx （12）dx 2 x cos x 2 x 1 2 × 8x 3 × 5x 2 x 1 5 x 1（13）∫ 8x dx （14）∫ 10 x dx e x x e-x （15）∫ x dx ∫ （16）e x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x（17）∫ dx 1 x 1 x （18）∫ x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x（19）∫ 1 x4 dx （20）∫ 1 cos 2 x sin2 x dx x3 x 1 x4 x2（21）∫ x 1 x 2 2 dx （22）∫ 1 x 2 dx 1 3 35 ∫ 2 2解：（1）x 2 x 2 dx x 2 x 2 C 3 5 1 d t 1 ∫ 1 2（2）. 1 t 1 2 C a a t 1 2 n nm ∫ x m dx m x m C m ≠ n m ≠ 0 nm n ∫（3）x m dx In x C m n dx x C ∫ m0 2（4）1 ∫ x2 1 dx x 2 arctan x C x 2 x 2 1 x 2 1 x3（5）∫ x 1 2 dx 3 x 2 arctan x C sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x sin x cos x 2（6）∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos xdx sin x cos x C cos 2 x sin 2 x（7）∫ sin x cos x dx cos x sin xdx ∫ sin x cos x C 1 cos 2 x ∫ 2 cos ∫ cos 1 1 1 x（8）2 dx 2 1 dx tan x C x 2 x 2 2 cos 2 x sin 2 x 1 1（9）∫ sin 2 x cos 2 x dx 2 ∫ sin x cos 2 x dx cot x tan x C cos x 1 1 cos 2 x cos x cos 2 x（10）∫ 2 2 dx 2 2 1dx ∫ 1 1 x sin x sin 2 x C 2 4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ∫ ∫ cos 1（11）2 2 dx 2 2 dx 2 tan x C sin x cos x x ∫（12）e x 1 dx e x x C x 5 x 5（13）2 dx 3 dx 2 x 3 8 C ∫ ∫ 8 5 ln 8 x x（14）2 dx dx ∫ 5 ∫ 1 1 1 2 x 1 5 2 x C 5 2 ln 5 5 ln 2（15）e x dx e x ln x C ∫ 1 x ∫ 2x 3e x 6x（16）e x6 x 2 x 3e x dx e x C ln 2 l ln 3 ln 6 1 x 1 x ∫ ∫ 1（17）dx 2 dx 2 arcsin x C 1 x 2 1 x2 x2 1（18）∫ dx 1 x 2 ln x 5 arcsin x C 5 x 2 1 x 2 ∫ 1（19）dx arcsin x C 1 x2 1 cos 2 x 1 1 ∫ 2 cos ∫ 1 x（20）dx 1dx tan x C 2 x 2 cos 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1（21）dx 2 x dx ln x arctan x C x 2 1 x 2 x 1 x2 x x 4 1 x 2 1 2 2 x3（22）∫ 1 x 2 d x x 2 2 ∫ 2 1 x dx 3 2 x 2 arctan x C8．用换元积分法计算下列各题. x4（1）∫ x2 dx ∫ （2）3x 28 dx .。
北京航空航天大学北航2015年春《微积分(上)》在线作业三满分答案
北航《微积分(上)》在线作业三一、单选题：1.函数y=|x-1|+2的极小值点是( ) (满分:6)A. 0B. 1C. 2D. 3正确答案:B2.设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f ＇( 0 ) =( ) (满分:6)A. 0B. 1C. 3D. 2正确答案:C3.下列函数中( )是奇函数(满分:6)A. xsinxB. x+cosxC. x+sinxD. |x|+cosx正确答案:C4.设f(x)=e^(2+x),则当△x→0时，f(x+△x)-f(x)→( ) (满分:6)A. △xB. e2+△xC. e2D. 0正确答案:D5.集合B是由能被3除尽的全部整数组成的，则B可表示成(满分:6)A. {3，6，…，3n}B. {±3，±6，…，±3n}C. {0，±3，±6，…，±3n…}D. {0，±3，±6，…±3n}正确答案:C二、多选题：1.函数的左导数和右导数都存在，是函数在该点可导的充要条件(满分:7)A. 错误B. 正确正确答案:A2.对函数y=2008+x-sinx求导可得y′=1-cosx (满分:7)A. 错误B. 正确正确答案:B3.一元函数可导的充要条件是左右导数都存在且相等。
(满分:7)A. 错误B. 正确正确答案:B4.y=tan2x 是一个增函数(满分:7)A. 错误B. 正确正确答案:A5.函数的微分形式总是保持不变的性质叫微分的一阶形式不变性。
(满分:7)A. 错误B. 正确正确答案:B6.罗尔定理的几何意义是：一条两个端点的纵坐标相等的连续光滑曲线弧上至少有一点C （ξ，f(ξ)），曲线在C点的切线平行于x轴(满分:7)A. 错误B. 正确正确答案:B7.若直线y=3x+b为曲线y=x2+5x+4的切线,则b = 3 (满分:7)A. 错误B. 正确正确答案:B8.隐函数的导数表达式中不可含有y。
北航2015年线性代数作业3满分答案
C、秩(A)= n D、秩(A)= m 答案：A 第 12 题
答案：B 第 13 题
答案：D 第 14 题
答案：D 第 15 题
答案：A
判断题
第 16 题 设α1,α2,α3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，又β1=α1+α2+α3,β2= α2-α3,β3=α2+α3，则β1,β2,β3 也是 Ax=0 的一个基础解系。 答案：正确
A、必有一个为零 B、都小于 n C、一个小于 n，一个等于 n D、都等于 n 答案：B
第 7 题 设 A 为方阵，则 A 的行列式 det(A)=0 是 A 的列向量组线性相关的___。
A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既非充分条件，也非必要条件
答案：C
第 8 题 设α1,α2,α3 是方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 方程组 Ax=0 的基础解系的是___。
第 17 题 设向量组α1,α2,α3 线性无关，则向量组β1=α1-α2，β2=2α1+α2+3α3，β3=3 α1+α2+2α3 也线性无关。 答案：正确
第 18 题 向量组α1=(1,-2,3,4),α2=(-1,0,2,-2),α3=(-1,-2,7,0)线性无关。 答案：错误
第 19 题 若 n 维向量α1,α2,α3 线性相关，则对任意 n 维向量β1,β2，向量组α1,α2,α3, β1,β2 线性相关。 答案：正确
第 20 题 设向量组α1,α2,α3 线性无关，则向量组β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=2α1-3 α2+4α3 也线性无关。 答案：正确
北航高等数学教材上册答案
北航高等数学教材上册答案第一章：极限与数列1.1 极限的概念与性质1. 极限的定义数列极限的定义：数列{an}收敛于A，当且仅当对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an−A|<ε。
2. 极限的性质- 结合律：lim(n→∞)(an+bn)=lim(n→∞)an+lim(n→∞)bn。
- 乘法定理：lim(n→∞)(anbn)=(lim(n→∞)an)⋅(lim(n→∞)bn)。
- 倒数定理：如果lim(n→∞)an=A且A≠0，则lim(n→∞)(1/an)=1/A。
- 夹逼定理：如果对于所有的n，有an≤bn≤cn，且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=A，则lim(n→∞)bn=A。
1.2 数列的极限存在准则1. 上确界与下确界上确界：设E为非空实数集合，如果存在实数M，使得对于集合E中的任意元素x，都有x≤M，称M为E的上确界，记作M=supE。
下确界：设E为非空实数集合，如果存在实数m，使得对于集合E中的任意元素x，都有x≥m，称m为E的下确界，记作m=infE。
2. 单调有界准则单调有界准则：单调有界数列必收敛。
单调有界数列指的是递增数列或递减数列，且存在上界或下界。
第二章：函数与极限2.1 函数的概念与性质1. 函数的定义函数f是集合A到集合B的映射，记作f：A→B，其中集合A称为定义域，集合B称为值域。
对于定义域A中的每个元素x，函数f给出一个唯一的元素y∈B，记作y=f(x)。
2. 函数的性质- 奇偶性：若对于定义域A中的任意元素x，有f(−x)=f(x)，则称函数f为偶函数；若对于定义域A中的任意元素x，有f(−x)=−f(x)，则称函数f为奇函数。
- 周期性：若存在常数T>0，对于定义域A中的任意元素x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f具有周期T。
- 单调性：若对于定义域A中的任意两个元素x1<x2，有f(x1)≤f(x2)，则称函数f在定义域A上单调递增；若对于定义域A中的任意两个元素x1<x2，有f(x1)≥f(x2)，则称函数f在定义域A上单调递减。
北京航空航天大学2015年春学期《高等数学(上)》在线作业三满分答案
北航《高等数学(上)》在线作业三一、单选题：1.题目如图：(满分:2)A.B. 0C. 1D. 2正确答案:A2.。
(满分:2)A. 0B. 1C. —∞D. +∞正确答案:B3.y=x+arctanx的单调增区间为(满分:2)A.B.(-∞+∞)C.(-∞0)D.(01)正确答案:B4.题目如图所示：(满分:2)A.B.C.D.正确答案:B5.以下数列中是无穷大量的为( ) (满分:2)A. 数列{Xn=n}B. 数列{Yn=cos(n)}C. 数列{Zn=sin(n)}D. 数列{Wn=tan(n)}正确答案:A6.如图。
(满分:2)A.B.C.D.正确答案:D7.题目如图所示：(满分:2)A.C.D.正确答案:C8.下列广义积分收敛的是( )。
(满分:2)A.B.C.D.正确答案:D9.。
(满分:2)A.B.C.D.正确答案:B10.题目如图所示：(满分:2)A.B.C.D.正确答案:A11.。
(满分:2)A. 1B. 0C. -1D. 2正确答案:C12.。
(满分:2)A. 0B. 1C. -1D. 2正确答案:B13.题目如图所示：(满分:2)A.B.C.D.正确答案:A14.如图所示。
(满分:2)A. 0B. 2C. 6正确答案:D15.函数y=2008x+cosx-sinx的2008阶导数等于( ) (满分:2)A. 2008B. cosx-sinxC. sinx-cosxD. sinx+cosx正确答案:B三、判断题：1.如图。
(满分:2)A. 错误B. 正确正确答案:A2.函数y=cos2x的4n阶导数为cos2x (满分:2)A. 错误B. 正确正确答案:A3.。
(满分:2)A. 错误B. 正确正确答案:B4.如图。
(满分:2)A. 错误B. 正确正确答案:B5.若函数y=lnx的x从1变到100,则自变量x的增量Dx=99,函数增量Dy=ln100. (满分:2)A. 错误B. 正确正确答案:B6.函数的高阶导数存在,则函数必定连续并且可微(满分:2)A. 错误B. 正确正确答案:B7.题目如图所示：(满分:2)A. 错误B. 正确正确答案:B8.函数y=tan2x+cosx在定义域上既不是增函数也不是减函数(满分:2)A. 错误B. 正确正确答案:B9.函数y=ex-2008当x趋向于无穷大时不是一个无穷大量(满分:2)A. 错误正确答案:A10.初等函数在其定义域上都是可导的连续函数(满分:2)A. 错误B. 正确正确答案:A11.设{Xn}是无穷大量，{Yn}是有界数列，则{XnYn}是无穷大量(满分:2)A. 错误B. 正确正确答案:A12.如图。
北航《微积分(上)》在线作业三及答案
北航《微积分（上）》在线作业三一、单选题（共5道试题，共30分。
）1.曲线y=x^2+x-2在点(1.5,1.75)处的切线方程为( A)A. 16x-4y-17=0B. 16x+4y-31=0C. 2x-8y+11=0D. 2x+8y-17=0满分：6分2.设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则f’(0)=( ) （A ）A. -6B. -2C. 3D. -3满分：6分3.g(x)=1+x,x不等0时，f[g（x）]=(2-x)/x,则f‘(0)=( ) （B ）A. 2B. -2C. 1D. -1满分：6分4.设f(x)=e^(2+x),则当△x→0时，f(x+△x)-f(x)→( D )A. △xB. e2+△xC. e2D. 0满分：6分5.下列函数中（）是偶函数（C ）B. x+cosxC. xsinxD. xcosx满分：二、判断题（共10道试题，共70分。
）1.所有初等函数及其复合而得到的函数都是连续函数。
（B）A. 错误B. 正确满分：7分2.两个函数的所谓复合，实际上就是中间变量介入从自变量到因变量的变化过程. （B）A. 错误B. 正确满分：7分3.设y=f(x)在区间[0,2008]上y′存在且恒大于0，则在区间[0,2008]上y是增函数。
（B）A. 错误B. 正确满分：7分4.幂函数的原函数均是幂函数。
（A）A. 错误B. 正确满分：7分5.函数y=tan2x+cosx的定义域是所有实数（A）A. 错误B. 正确满分：7分6.初等函数都可导（A）A. 错误满分：7分7.若数列收敛，则该数列的极限惟一。
（B）A. 错误B. 正确满分：7分8.单调增加数列不一定有极限（B）A. 错误B. 正确满分：7分9.复合函数求导时先从最内层开始求导。
（A）A. 错误B. 正确满分：7分10.两个无穷大量的和仍是无穷大。
（A）A. 错误B. 正确满分：7分。
2013年北航远程教育《微积分（上）》在线作业答案
2013年北航远程教育《微积分（上）》在线作业答案2013年北航远程教育《微积分（上）》在线作业答案试卷总分：100 测试时间：--一、单选题（共5道试题，共30分。
）1.如果函数f(x)的定义域为(0,1)则下列函数中，定义域为(-1,0)的为：（）A. f(1-x)B. f(1+x)C. f(sinx)D. f(cosx)满分：6分2.g(x)=1+x,x不等0时，f[g（x）]=(2-x)/x,则f‘(0)=( )A. 2B. -2C. 1D. -1满分：6分3.一枚硬币前后掷两次所出现可能结果的全部所组成的集合，可表示为A. {正面，反面}B. {(正面，正面)、(反面，反面)}C. {(正面，反面)、(反面，正面)}D. {(正面，正面)、(反面，正面)、(正面，反面)、(反面，反面)}满分：6分4.f(x)是给定的连续函数，t>0,则t∫f(tx)dx , 积分区间（0->s/t）的值（）A. 依赖于s，不依赖于t和xB. 依赖于s和t，不依赖于xC. 依赖于x和t，不依赖于sD. 依赖于s和x，不依赖于t满分：6分5.函数y=2008x+cosx-sinx的2008阶导数等于（）A. 2008B. cosx-sinxC. sinx-cosxD. sinx+cosx满分：6分二、判断题（共10道试题，共70分。
）1.通常称存在极限的数列为收敛数列，而不存在极限的数列为发散数列.A. 错误B. 正确满分：7分2.驻点或者导数不存在的点必是函数单调区间的分界点。
A. 错误B. 正确满分：7分3.函数y=tan2x+cosx在定义域上既不是增函数也不是减函数A. 错误B. 正确满分：7分4.周期函数有无数个周期A. 错误B. 正确满分：7分5.可导的偶函数的导数为非奇非偶函数.A. 错误B. 正确满分：7分6.若直线y=3x+b为曲线y=x2+5x+4的切线,则b = 3A. 错误B. 正确满分：7分7.称二阶导数的导数为三阶导数，n阶导数的导数为n+1阶导数A. 错误B. 正确满分：7分8.所有可去间断点属于第二类间断点。
北京航空航天大学2015年春学期《信号与系统》在线作业一满分答案
北航《信号与系统》在线作业一一、单选题：1.理想低通滤波器是( )( )。
(满分:3)A. 因果系统B. 物理可实现系统C. 非因果系统D. 响应不超前于激励发生的系统正确答案:C2.理想低通滤波器一定是( )( )。
(满分:3)A. 稳定的物理可实现系统B. 稳定的物理不可实现系统C. 不稳定的物理可实现系统D. 不稳定的物理不可实现系统正确答案:B3.因果系统是物理上( )( )( )系统。
(满分:3)A. 不可实现的B. 可实现的C. 未定义的D. 以上都不对正确答案:B4.哪种滤波器功能是只允许信号中的低频成分通过( )( )。
(满分:3)A. 理想低通滤波器B. 带通滤波器C. 高通滤波器D. 以上全对正确答案:A5.信号〔ε(t)－ε(t－2)〕的拉氏变换的收敛域为( )( )。
(满分:3)A. Re[s]>0B. Re[s]>2C. 全S平面D. 不存在正确答案:C6.激励为零，仅由系统的( )( )引起的响应叫做系统的零输入响应。
(满分:3)A. 初始状态B. 中间状态C. 最终状态D. 以上全不对正确答案:A7.如果一连续时间二阶系统的系统函数H(s)的共轭极点在虚轴上，则它的h(t)应是( )( )。
(满分:3)A. 指数增长信号B. 指数衰减振荡信号C. 常数D. 等幅振荡信号正确答案:D8.欲使信号通过系统后只产生相位变化，则该系统一定是( )( )。
(满分:3)A. 高通滤波网络B. 带通滤波网络C. 全通网络D. 最小相移网络正确答案:C9.已知某连续时间系统的系统函数H（s）= 1/(s+1)，该系统属于什么类型( )( )。
(满分:3)A. 高通滤波器B. 低通滤波器C. 带通滤波器D. 带阻滤波器正确答案:B10.一信号x(t)的最高频率为500Hz，则利用冲激串采样得到的采样信号x(nT)能唯一表示出原信号的最大采样周期为( )( )。
(满分:3)A. 500B. 1000C. 0.05D. 0.001正确答案:D二、多选题：1.偶周期信号的傅氏级数中只有( )( )。
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。