函数的单调性(原创)
函数的简单性质-单调性
求最值
求函数最大值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最大值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最小值。
求函数最小值
在闭区间上，如果函数在某区间内单 调递增，那么该函数在此区间内取得 最小值。同样，如果函数在某区间内 单调递减，那么该函数在此区间内取 得最大值。
对于函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$，其导数为$f'(x) = 3x^{2} - 6x$。要使$f(x)$在区间$( - infty,a)$上是 增函数，需要满足$f'(x) > 0$，即$3x^{2} - 6x > 0$， 解得$x < 0$或$x > 2$。因此，当$a < 0$或$a > 2$ 时，函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$在区间$( infty,a)$上是增函数。
反例应用
在研究经济发展时，需要考虑到各种因素对经济的影响，包括政策、技术、人口等。通过 找到单调性的反例，可以更全面地了解经济发展的实际情况，为政策制定提供更有针对性 的建议。
06 习题与解答
习题
判断函数$f(x) = x^{2} - 2x$在 区间$( - infty,a)$上是减函数的
条件是什么？
单调性与奇偶性的关系
总结词
函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质，而单调性是指函数值随自变量变化的 趋势。虽然奇偶性和单调性是函数的两种不同性质，但它们之间也存在一定的关系。例 如，奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，因此奇函数在对称轴两侧的单调性是一致
的。
详细描述
对于奇函数，如果它在某个区间内单调递增，那么它在该区间内关于原点对称的区间内 也单调递增；同样地，如果奇函数在某个区间内单调递减，那么它在该区间内关于原点 对称的区间内也单调递减。而对于偶函数，由于其图像关于y轴对称，因此偶函数在任
函数的单调知识点总结
函数的单调知识点总结一、函数的增减性1. 函数的单调性定义函数的单调性是指函数在其定义域上的增减性质。
如果对于任意的$x_1, x_2 \in D$, $x_1 <x_2$，有$f(x_1) \le f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域上是单调不减的；如果对于任意的$x_1, x_2 \in D$, $x_1 < x_2$，有$f(x_1) \ge f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域上是单调不增的。
2. 函数的单调性判定对于一个给定函数，要判定其在定义域上的增减性，可以通过对函数的导数进行分析来实现。
通常有以下几种方法：(1) 图像法：通过画出函数的图像，观察函数在定义域上的增减性。
(2) 导数法：计算函数的导数并分析其正负性来判定函数的单调性。
(3) 定义域划分法：对函数的定义域进行适当的划分，分别分析函数在各个子区间上的增减性。
3. 函数的单调性与最值函数的单调性可以帮助我们求解函数的最值。
如果一个函数在其定义域上是单调递增的，则其最小值为$f(x)$的最小值；如果一个函数在其定义域上是单调递减的，则其最大值为$f(x)$的最大值。
二、导数的应用1. 函数的导数导数是描述函数变化率的重要工具，它可以帮助我们研究函数的增减性。
对于可导函数$f(x)$，其导数$f'(x)$的正负性可以描述函数在某点附近的增减性。
具体来说：(1) 若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$x$点附近是单调递增的；(2) 若$f'(x)<0$，则$f(x)$在$x$点附近是单调递减的。
2. 函数单调性与导数对于可导函数$f(x)$，如果$f'(x)>0$，则$f(x)$在其定义域上是单调递增的；如果$f'(x)<0$，则$f(x)$在其定义域上是单调递减的。
这是函数的单调性与导数之间的重要联系，也是求解函数的单调性的重要方法。
高中 函数的单调性
函数的单调性知识点一：函数单调性的定义、判定及证明1.单调性的定义：当x ∈ (－∞,0)，x逐渐增加时，函数值y逐渐减小；而当x ∈ (0，+∞)，x逐渐增加时，函数值y逐渐增加，函数的这两种性质都叫做函数的单调性【注意】函数的单调性是针对函数定义域的某个区间而言的.有些函数在它的整个定义域上不存在单调性，而在定义域的某个区间存在单调性. 如y=x2 ,定义域为R，在R上没有单调性.而在M={x|x>0}上，函数 y=x2递增。
2.增减函数的定义：对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时都有f(x1)< f(x2) ( 或f(x1)>f(x2) ) ，那么称f(x)在这个区间上是增（减）函数.3.利用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤第一步：取值.即设x1、 x2,是指定区间内的任意两个值，且x1< x2；第二步：作差变形.即作差f(x)-f(x)，并通过因式分解、配方、通分、分子有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第三步：定号.确定差的正负，当符号不确定时，要进行分区间讨论；第四步：判断.由定义得出结论.4.判断函数单调性的常见方法（1）定义法（2）直接法运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.直接判断函数的单调性，可用到以下结论：①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反.②函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y=1/f(x)与y=f(x)的单调性相反.③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等.(3)图像法根据函数图像的升、降情况进行判断.【思维拓展】1.一些重要函数的单调性（1）y=x+1/x的单调性：（-∞,-1﹜↗,( -1，0 )↘，（0，1）↘，﹛1，+∞﹚↗ .(2) y=ax+b/x (ab>0) 的单调性：（2.单调性与奇偶性若奇函数f(x)在区间{a,b}上单调递增（减），则f(x)在区间{-b,-a}上单调递增（减）；若偶函数f(x)在区间{a,b}上单调递增（减），则f(x)在区间{-b,-a}上单调递减（增）.知识点二函数单调区间及图像特点1.定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x) 的单调区间。
函数的单调性
4.1、函数的单调性函数的单调性就是函数的一种增减性，主要看y 随x 的变化而发生的一种变化情况，简单的说当y 随x 的增大而增大时，就说y 是在相应的x 的取值范围内是增函数，对应的区间为其增区间；而当y 随x 的增大而减小时，我们就说y 是在相应的x 的取值范围内是减函数，对应的区间为其减区间。
A 、定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I 。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。
如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。
如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。
B 、函数单调性的证明对于某区间内的函数的单调性，一般利用定义来证明，其基本步骤如下： （1）取值：设21,x x 为该区间内的任意两个值，并且21x x <；（2）作差变形：作差)()(21x f x f -，并利用因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差值的符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （4）下结论：根据函数的单调性的定义得出结论。
C 、函数单调性的判断判断函数单调性的常用方法有：（1）定义法：即“取值——变形——定号——下结论”；（2）图像法：先作出函数的图像，在利用图像的形象直观判断函数的单调性；（但应注意极值点及其拐点） （3）复合法：)(x f y =增 增 减 减（4）导数法：求出函数导数后，在令其导数大于零的x 的连续区间为其单调递增区间，令其导数小于零的x 的连续区间为其单调递减区间；4.1.1、函数单调性的判断与证明A 、函数单调性的证明：1、证明函数12)(+-=x x f 在R 上是减函数。
函数的单调性
函数的单调性1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值题型一函数单调性的判断和证明例1判断并证明函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上的单调性．例2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________． 例3. 函数的单调递增区间为 .1.已知函数f (x )＝2－x x ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.2.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( ) A.函数f (x )先增后减B.f (x )是R 上的增函数C.函数f (x )先减后增223y x x =--D.函数f (x )是R 上的减函数3.画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间.题型二 函数单调性的应用角度一：利用函数的单调性求最值例4 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．角度二：利用函数的单调性求解不等式例5 1.(1)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则实数a 的取值范围为________.(2) 已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．2.探究与创新设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：(1)f (xy )＝f (x )＋f (y )；(2)f (2)＝1；(3)在(0，＋∞)上是增函数.如果f (2)＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围.角度三：利用函数的单调性求参数例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2).已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－x ＋1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是________. 题型三 分类讨论二次函数单调性和最值 例7 求函数12)(2--=ax xx f 在闭区间]2,0[上的单调性和最小值．【玩转跟踪】 1．已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值．2．已知函数32)(2+-=x x x f ，当t x [∈，]1+t 时，求)(x f 的最大值与最小值．。
函数单调知识点归纳总结
函数单调知识点归纳总结一、函数单调性的定义1. 单调递增函数对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2恒成立，则有f(x1)<=f(x2)成立，则称函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数。
2. 单调递减函数对于定义域内的任意x1和x2，若x1<x2恒成立，则有f(x1)>=f(x2)成立，则称函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。
二、函数单调性的性质1. 如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒大于0，则函数f(x)是在该定义域上是单调递增函数；如果函数f(x)在定义域内具有一阶导数且导数恒小于0，则函数f(x)是在该定义域上是单调递减函数。
2. 函数的单调性与导数的关系：若函数f(x)在定义域上的一阶导数大于0，则函数f(x)在该定义域上是单调递增函数；若函数f(x)在定义域上的一阶导数小于0，则函数f(x)在该定义域上是单调递减函数。
3. 在具有一阶导数的情况下，如果函数f(x)在定义域上导数恒大于0，则函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+\infty)；如果函数f(x)在定义域上导数恒小于0，则函数f(x)的单调递减区间为(-\infty,+\infty)。
4. 对于具有n阶导数的函数f(x)，通过求解导数的符号变化，可以得到函数f(x)在定义域上的单调性和拐点位置。
三、求解函数的单调区间1. 使用导数符号变化法求解函数的单调区间：首先求出函数f(x)的一阶导数，并求出导数的零点，然后将定义域分成几个子区间，然后再求解导数对应的区间上的符号，得到函数的单调性。
2. 使用导数的恒定性求解函数的单调区间：根据导数的恒定性可以快速求出函数的单调区间，比如函数的导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间为单调递增函数。
四、与单调性相关的知识1. 函数的最值。
在函数的单调性的基础上，可以求解函数的最值，对于单调递增函数来说，函数在定义域上的最小值为f(x1)；对于单调递减函数来说，函数在定义域上的最大值为f(x2)。
单调性函数知识点总结
单调性函数知识点总结一、基本概念1. 单调性在数学中，函数的单调性是指函数的增减性质，即函数在定义域内的增减情况。
如果函数在其定义域内严格递增或者严格递减，那么我们就称这个函数是单调函数。
2. 单调递增和单调递减函数$f(x)$的定义域是一个区间$I$，如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \leq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \geq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递减的。
3. 严格单调递增和严格单调递减如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递减的。
4. 单调性与导数函数的单调性与导数之间有一定的关系。
如果函数在某个区间内单调递增，那么其在这个区间内的导数恒大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，那么其在这个区间内的导数恒小于等于零。
二、判断单调性的方法1. 导数法通过求函数的导数，然后分析导数的正负来判断函数的单调性。
当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。
例如，对于函数$f(x) = x^2$，求导可得$f'(x) = 2x$。
当$x>0$时，导数大于零，即函数单调递增；当$x<0$时，导数小于零，即函数单调递减。
2. 一阶导数和二阶导数法通过分析函数的一阶导数和二阶导数的正负性来判断函数的单调性。
当一阶导数恒大于零且二阶导数恒小于零时，函数单调递增；当一阶导数恒小于零且二阶导数恒大于零时，函数单调递减。
函数的单调性
函数的单调性云南昭通 昭翼高考补习学校 陈培泽解读定义：设函数的定义域为I ，区间D I Í，如果对于任意12,x x D Î且12x x <能推出12()()f x f x <（12()()f x f x >），则称函数()f x 是区间D 上的单调递增（减）函数，D 是函数()f x 的一个单调递增（减）区间。
如果函数()f x 在区间D 上是单调递增（减）函数，则称函数()f x 在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数()f x 的单调区间。
1.函数的单调性是在函数定义域的一个区间上研究函数的一个性质，即单调性，因此单调区间和单调性互相依存，定义域内的一点不具有单调性，所以单调区间用开区间，还是用闭区间表示都是一样的。
2.“函数在区间D 上单调”与“函数的单调区间为D ”是两个不同的概念，前者表示的区间D 是后者区间D 的一个子集。
函数在区间12,D D 上递增（递减）不能用12D D È表示，例如：3(0,)222p pp ，（，）分别是y=sinx 的递增区间，如果表示成3(0,)222p p p U （，），就有1166p p <，但是11sin 66p p>sin 。
所以函数单调区间的子集只能一个一个的写，中间用的顿号分开。
3.函数在区间D 上的单调性可以由12x x -和12()()f x f x -的正负号来确定，同号递增，异号递减。
常见的表达形式有121212()()0()f x f x x x x x -彻-，1212120()()()x x x x f x f x -彻-，1212()[()()]0x x f x f x -->等。
4.用导数法求出函数定义域I 中满足'()0f x >(<0)的区间，即是函数的递增区间（递减区间）；函数在区间D 上递增（递减）则有'()0(0)f x 常，而不是'()0(0)f x ><。
函数的单调性证明
函数的单调性证明函数的单调性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数的增减关系。
在数学证明中，为了证明一个函数的单调性，我们通常需要使用导数的概念和相关的数学性质。
下面将从定义单调性开始，介绍函数单调性的证明方法和常用的技巧。
一、定义和性质在数学中，对于定义在区间上的函数f(x)，我们说它是单调递增的，如果对于区间内的任意两个数a和b，当a小于b时，f(a)小于或等于f(b)，即f(a)<=f(b)。
如果不等号取等号即为单调递增严格的定义。
类似地，函数f(x)是单调递减的，当且仅当对于区间内的任意两个数a和b，当a小于b时，f(a)大于或等于f(b)，即f(a)>=f(b)。
同样，当不等号取等号时，为单调递减严格的定义。
对于一个单调递增的函数f(x)，我们有以下性质：1.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其在该区间上任意一点的左极限总是小于或等于右极限，即f(a-)≤f(a+)≤f(b-)≤f(b+)；2.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其必须在该区间内是有界的；3.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其在该区间上是可积的；4.若函数在区间[a,b]上连续，则其在该区间上的函数值区间是连续的。
二、证明方法在证明函数的单调性时，我们常常使用导数的相关性质。
导数可以表示函数的变化率，而单调性对应于导数的正负性。
具体的证明方法主要有以下几种。
1.利用导数的定义证明利用导数的定义f'(x) = lim(h->0)(f(x+h) - f(x))/h来证明函数的单调性。
首先计算导数f'(x)，然后判断f'(x)在给定区间内的正负性来推断函数的单调性。
2.利用导数的性质证明利用导数的性质来证明函数的单调性，包括导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减，以及导数恒为0表示函数是常数等。
这种方法通常适用于已知函数的导数形式的情况。
3.利用导数的比较性质证明对于两个函数f(x)和g(x)，如果在给定区间内f'(x)>=g'(x)，那么我们可以推断f(x)>=g(x)，即f(x)单调递增；如果f'(x)<=g'(x)，那么我们可以推断f(x)<=g(x)，即f(x)单调递减。
单调性知识点
单调性知识点单调性是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
在本文中，我将会详细介绍单调性的定义、性质、应用以及解题技巧。
一、定义在数学中，单调性是指函数的增减规律。
具体而言，如果对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)<=f(x2)，则称函数f(x)在区间[a,b]上单调不降；如果对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)>=f(x2)，则称函数f(x)在区间[a,b]上单调不增。
如果在区间[a,b]上既有单调不降又有单调不增，则称函数f(x)在该区间上单调不变。
反之，则称函数f(x)在区间[a,b]上不单调。
二、性质1.单调性是一个区间上的性质，不具有函数整体上的性质。
2.如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不降，则f(x)在该区间上的最小值为f(a)，最大值为f(b)；如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不增，则f(x)在该区间上的最小值为f(b)，最大值为f(a)。
3.如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不降，则其反函数f^-1(x)在区间[f(a),f(b)]上单调不降；如果函数f(x)在区间[a,b]上单调不增，则其反函数f^-1(x)在区间[f(b),f(a)]上单调不降。
三、应用1.单调性可用于求函数的最值。
由于单调不降函数在区间上的最小值为f(a)，最大值为f(b)，单调不增函数反之，因此我们可由单调性确定一个函数的最值。
2.单调性可用于函数图像的预测。
由于函数单调不降或单调不增的特性，我们可以根据已知点预测函数图像的整体增减趋势，从而更好地理解该函数。
3.单调性可用于求解不等式。
对于单调不降函数，我们可以根据函数的单调性求得不等式解集的范围，从而更好地解决不等式问题。
四、解题技巧1.建立函数模型。
对于一些具体的问题，我们需要先根据已知条件建立出函数模型。
2.求得函数的导数。
利用导数可求得函数的单调性及最值。
3.求解不等式。
根据函数的单调性及已知条件，求得不等式解集的范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的基本性质
1、单调性与最值
考点分类精讲
考点1 函数单调性的判断与证明
核-心-总-结
增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间
如果对于M 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f(x 1)＜f(x 2)，那么就说f(x)在区间M 上是增函数；
如果对于M 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f(x 1)＞f(x 2)，那么就说f(x)在区间M 上是减函数.
如果函数f(x)在区间M 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M 上具有单调性，M 称为函数f(x)的单调区间. 要点诠释：
[1]“任意”和“都”；
[2]单调区间与定义域的关系----局部性质；
[3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； [4]不能随意合并两个单调区间.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 基本方法：观察图形或依据定义.
考题1 （全国高考题）证明：函数3()1f x x =-+在R 上是增函数
考题2 讨论函数()a
f x x x
=+在（0a >）的单调性，请作出当a =1时函数的图像.
判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论
Ⅰ函数
()
y f x =-与函数
()
y f x =的单调性相反
Ⅱ当
()
f x 恒为正或恒为负时，函数
()
1y f x =
与函数
()
y f x =的单调性相反
Ⅲ在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数。
判断单调函数的常见结论
(1)若是增函数，则为减函数；若
是减函数，则
为增函数；
(2)若
和
均为增（或减）函数，则在和
的公共定义域上
为增（或减) 函数；
(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
若且为减函数，则函数为减函数，
为增函数. (4)
若奇函数在
上是增函数，且有最大值
，则
在
是增函数，且有最小值
；若偶函数在
是减函数，则
在
是增函数.
考题3 求函数()()
20x a f x a x -+=>的单调区间。
解：
()2x a a
f x x x x -+==-+
∵0a >，
a
y x =
得单调递减区间是(),0-∞和()0,+∞，y x =-在R 上单调递减
∴函数()()20x a
f x a x -+=>的单调区间是
(),0-∞和()0,+∞。
复合函数单调性的判断
对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当
),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：
以上规律还可总结为：“同增异减”。
考题4 求函数x x y 20042-=的单调递增区间
利用函数单调性比较函数值的大小
考题 5 如果函数()2f x x bx c =++，对任意实数t 都有()()22f t f t +=-，比较
()()()1,2,4f f f 的大小。
利用函数单调性求参数的范围
考题6 已知()()2
212f x x a x =--+在(],4-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。
()0,1 B (]0,1 C 2
y x ax =+)+∞上递增，则()]2
1,f x x a =-，并且f
考点2 函数的单调区间
核心总结 （1） 区间端点的确认
函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义. 因此，书写函数的单调区间时，若函数在区间端点时，若函数在区间端点处有意义，既可 写成闭区间，也可写成开区间；若函数在区间端点处无意义，则必须写成开区间.
(2) 多个单调区间的写法
当同增（减）单调区间有多个时，区间之间并不一定能写成并集.
考题7 求下列函数的单调区间
（1）()[2,4]);f x x =∈-
（2）()f x =
（3）()f x =
变式训练1 求下列函数的单调区间
（1
）()f x = （2）()3f x x =- （3）1()1x
f x x
-=+
考点3 函数的最值
核-心-总-结
2、函数的最值与函数的连续性相关
若函数f(x)为闭区间[],a b 上的单调连续（关于“连续”这里理解为不断开）函数，则f(x)在[],a b 上必能取得最大和最小值.若f(x)不在区间[],a b 上的单调连续，则不然，如1y x
= 在[1,1]x ∈-既无最大值，也无最小值，因为1
y x
=在0x =处无意义，函数图像时断开的.
考题8 （1）求函数y =
（2）已知
[]()
1,1A b b =>，对于函数
()()2
1112f x x =
-+，若x A ∈时，()f x A ∈，
求b 的值。
考点4 函数单调性的应用
核-心-总-结 研究函数的性质应注意以下几点：
1、 坚持“定义域”优先的原则；在研究函数性质时，要优先考虑函数的定义域.
2、 “整体”和 “局部”之分；函数的单调性是函数在某个区间的性质，它研究的是函数
的局部的性质；而函数的奇偶性，则研究的是函数整个图象的对称性，是确定函数的整体性质，因此在研究奇偶性时，不能把函数的定义域分成几个部分来分别研究. 3、 “任意”性：无论是函数的单调性，还是奇偶性，都强调“任意”性，即单调性中的12,x x 必须是这一局部（区间）内任取的两个值；奇偶性中的等式必须是对于定义域内任意
x 都成立.
考题9 （1）若函数2()f x x mx n =++，对任意实数都有(2)(2)f x f x -=+成立，试比较(1),(2),(4)f f f -的大小，
（2）已知()y f x =在定义域(1,1)-上是增函数，且(1)(12)f t f t -<-，求实数t 的取值范围.
考题10 已知()y f x =在上有意义，且单调递增，并满足(2)1f =，
()()()f xy f x f y =+.
（1）求证：2()2()f x f x =; (2)求(1)f 的值;
(3)若()(3)2f x f x ++≤，求x 的取值范围.
考题11 已知是定义在上(0,)+∞的增函数，且()()()x f f x f y y
=-，(2)1f =，解不等
式：1
()()23
f x f x -≤-
变式 1 设函数()f x 对任意的,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+.当0x >时，
()0f x <，且(1)2f -=，求在[3,3]-上的最大值和最小值.
变式2 定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且2
(1)(1)0f a f a -+-<.若
()f x 是(1,1)-上的减函数，求实数a 的取值范围.。