物理学教程(第二版)马文蔚等编著第十五次课

v v Φe = ∫ E ⋅ d S = ∫ E cos θ d S
S S
n
θ
E n
规定：取闭合面外法线 规定： 方向为正向。 方向为正向。 电场线穿出闭合面为 正通量， 正通量， 电场线穿入闭合面为 负通量。 负通量。
电力线、 §3.电力线、电通量 / 三、电通量 电力线
θ E
0 ≤θ < π / 2
Φ e = E ∫ dS
s
七、选取高斯面原则
v v 1 Φe = ∫ E ⋅ dS =
S
1.要求电场具有对称性。 要求电场具有对称性。 要求电场具有对称性 2.高斯面要经过所求的场点。 高斯面要经过所求的场点。 高斯面要经过所求的场点
ε0
∑q
i =1
n
i
3.高斯面应选取规则形状。 高斯面应选取规则形状。 高斯面应选取规则形状 4.面上各点的场强大小相等，方向与高斯 面上各点的场强大小相等， 面上各点的场强大小相等 面法线方向一致。 面法线方向一致。 E // dS , cosθ = 1
q
o r
3
R n
E
4 3 r πr = 3 q ∑q = 4 33 高斯面 R πR 3 大小相等， 球面上各点的场强 E 大小相等，方向与法 线相同。 线相同。 E // dS , cosθ = 1 q
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
q
rq E 4πr = 3 ε0R
2 3
o
电力线、 §3.电力线、电通量 / 三、电通量 电力线
3.穿过任意曲面的电通量 穿过任意曲面的电通量
v v dS = dS ⋅ en
v v dΦe = E ⋅ dS
Φe = ∫ d Φe =
v en
v E
v dS
θ
v E
∫s E cos θ d S
v v E ⋅ dS
Φe =
∫s
4.穿过闭合曲面的电通量 穿过闭合曲面的电通量 v v dΦe = E ⋅ dS π / 2 <θ ≤ π
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
的静电场中， 例1 在点电荷 + q 和 − q 的静电场中，做如下 的三个闭合面 1 , S 2 , S 3 , 求通过各闭合面的电通 S 量 .
v v q Φe1 = ∫ E ⋅ d S =
S1
+q
−q
ε0
S1 S2
S3
Φe 2 = 0
Φe 3 =
v en
o
M
θ
v en
v en
z
Q
v E R x
v v Φe左 = ∫ E ⋅ dS = ES左 cosπ = − ES左 s左 v v Φe右 = ∫ E ⋅ dS = ES右 cosθ = ES左 s右 Φe = Φe前 + Φe后 + Φe左 + Φe右 + Φe下 = 0
高斯定理
高斯（Carl Friedrich Gauss 高斯（ 1777-1855） 德国数学家和物理学家。 1777-1855） 德国数学家和物理学家。 1777年 30日生于德国布伦瑞克 日生于德国布伦瑞克， 1777年4月30日生于德国布伦瑞克， 幼时家境贫困，聪敏异常， 幼时家境贫困，聪敏异常，受一贵族 资助才进学校受教育。1795-1799年 资助才进学校受教育。1795-1799年 在哥廷根大学学习，1799年获博士学 在哥廷根大学学习，1799年获博士学 1833年和物理学家W.E.韦伯共同 年和物理学家W.E. 位。1833年和物理学家W.E.韦伯共同 建立地磁观测台， 建立地磁观测台，组织磁学学会以联 系全世界的地磁台站网。1855年 系全世界的地磁台站网。1855年2月 23日在哥廷根逝世 日在哥廷根逝世。 23日在哥廷根逝世。 高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、 高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学 数学并将数学应用于物理学 和大地测量学等领域的研究 他一生中共发表323 等领域的研究。 323篇 和大地测量学等领域的研究。他一生中共发表323篇（种） 著作，提出404项科学创见（发表178 ），在各领域的主 404项科学创见 178项 著作，提出404项科学创见（发表178项），在各领域的主 要成就有. 要成就有.
1.均匀电场 1.均匀电场 S与电场强度方向垂直 S与电场强度方向垂直
2.均匀电场， 法线方向与电 2.均匀电场，S 法线方向与电 均匀电场 场强度方向成θ角
S
r E
φ
S⊥
r en
θ θ
S
E
Φe = ES
r r Φe = ES cosθ = E ⋅ S
电力线、 §3.电力线、电通量 / 三、电通量 电力线
r r 左边 Φ e = ∫s E ⋅ dS
=0
E
§4.高斯定理 / 二、定理证明 高斯定理
五、明确几点
i =1 1.高斯面为闭合面 高斯面为闭合面; 高斯面为闭合面 2.电通量 φ 只与面内电荷有关，与面外电 电通量 只与面内电荷有关， 荷无关,与曲面形状无关 荷无关 与曲面形状无关. 与曲面形状无关 S
E1
2.在没有电荷处两条 在没有电荷处两条 电场线不能相交。 电场线不能相交。
电力线、 §3.电力线、电通量 / 二、电力线性质 电力线
×
E2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、电场强度通量
垂直通过电场中某一面的电场线条数称为通过该面的电 垂直通过电场中某一面的电场线条数称为通过该面的电 通量。 表示。 通量。用Φe表示。
电通量的计算:
dφ E= dS⊥
E
dS⊥
电力线、 §3.电力线、电通量 / 一、电力线 电力线
3.电场线的形状 电场线的形状 正电荷 负电荷
电力线、 §3.电力线、电通量 / 一、电力线 电力线
一对等量异号电荷的电场线
电力线、 §3.电力线、电通量 / 一、电力线 电力线
一对等量正点电荷的电力线
电力线、 §3.电力线、电通量 / 一、电力线 电力线
E∫
s
∑q ds =
ε0
写成
∑q E= ε ∫ ds
0 s
§4.高斯定理 / 四、选取高斯面原则 高斯定理
八、解题方法及应用举例
v v 1 Φe = ∫ E ⋅ dS =
S
ε0
∑q
i =1
n
i
1.对电场进行对称性分析。 对电场进行对称性分析。 对电场进行对称性分析 2.选取高斯面。 选取高斯面。 选取高斯面 3.确定面内电荷代数和 ∑ q 。 确定面内电荷代数和 4.应用定理列方程求解。 应用定理列方程求解。 应用定理列方程求解
第四节
电场强度通量 高斯定理
一、电场线
为形象描绘静电场而引入的一组空间曲线。
1.规定 规定
•方向：电场线上某点 方向： 方向 的切线方向为该点的场 强方向。 强方向。
EA
EB
A
dφ
B
•大小：通过电场中某点,垂直穿过单位面积的 大小：通过电场中某点 垂直穿过单位面积的 大小 电场线条数等于该点的电场强度E。 电场线条数等于该点的电场强度 。
−q
ε0
例2
均匀带电球壳的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 Q 的薄 球壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度. 解（1） 0 < r < R ）
r
s2
v v ∫ E ⋅ dS = 0
S1
+ + +
+
S1 +
v E =0
+ + +
O R
r ++
+
+
（2） r > R ）
v v Q ∫ E ⋅ dS =
v v 1 Φe = ∫ E ⋅ dS =
ε0
∑q
n
i
3. E 为高斯面上某点的场强，是由空间所 为高斯面上某点的场强， 有电荷产生的，与面内面外电荷都有关。 有电荷产生的，与面内面外电荷都有关。 4. φ = 0，不一定面内无电荷，有可能面内 ，不一定面内无电荷， 电荷等量异号。 电荷等量异号。 5. 高斯定理说明静电场是有源场。 高斯定理说明静电场是有源场。
例1
如图所示 ，有一
y
个三棱柱体放置在电场强度
v v −1 E = 200 i N ⋅ C 的匀强电
v E
场中 . 求通过此三棱柱体的 电场强度通量 .
o
z
x
解
Φe = Φe前 + Φe后
N
y
+ Φe左 + Φe右 + Φe下
Φe前 = Φe后 = Φe下
=∫ s v v E ⋅ dS = 0
P
一.以点电荷为例： .以点电荷为例：
E= q 4 π ε 0r
2
ds
n
q
r
球面上各点E大小相等 球面上各点 大小相等，
E//dS ,cosθ =1,
v v Φe = ∫ E ⋅ dS = ∫
S
E n
q 4π ε 0r
2
S
dS 高斯面
q q q 2 Φe = 4πr = Φe = ds = 2 2 ∫s ε0 ε0 4πε 0 r 4πε 0 r
S2
ε0 Q 2 4π r E = ε0
E=
Q 4π ε 0r
2
Q 2 4π ε0R
E
o
R
r
例3：半径 R、带电量为 q 的均匀带电球 ： 、 体，计算球体内、外的电场强度。 计算球体内、外的电场强度。 解：1.球体外部 r > R 球体外部 的球面； 作半径为 r 的球面； 面内电荷代数和为 ∑q = q 球面上各点的场强 E 大小 相等，方向与法线同向。 相等，方向与法线同向。 E // dS , cosθ = 1