4.1(Poisson定理与中心极限定理)

独立随机变量序列
累加和的 中心极限定理
中心极限定理
概率论中，有关论证随机变量和的 极限分布是正态分布的那些定理.
是统计学和误差分析的理论基础， 指出了大量随机变量之和近似服从 正态分布的条件.也是概率论的首 席定理.
定理 4.1.2（林德贝格－勒维）中心极限定理 设 {n } 是独立同分布的随机变量序列， E i ,
1 Xn a n
解：

i 1
n
i
na
n | i na | n 1 n i 1 P | X n a | 0.1 P | i na | 0.1 P n 2 i 1 0.2 n n 2 1
解：
1) X 的取值只可能为 3,
4,
5 即:
Ck21 P{X k} 3 , k 3,4,5 C5
X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6
2) EX=3 0.1+4 0.3+5 0.6=4.5
DX EX2 (EX)2 20.7 20.25 0.45
设 X 为第 i 次取到的最大号码(i=1,2,…,2000),显然 X 相互独立且与 X 同分布,根据中心极限定理,有:
E np 8, D np(1 p) 2.8
根据中心极限定理有：
28 08 P{0 2} ( ) ( ) 2.8 2.8 ( 2.14) ( 2.86) 0.0141
例、从编号为 1,2,3,4,5 的球中一次任取三个球, X 表示取 出的球的最大号码. 1) 写出 X 的分布律； 2）若重复取球 2000 次, 利用中心极限定理求各次取到 球的最大号码之和不超过 8000 的概率.
i 1
900 100 10 P 100 100
i 100 10 1200 100 10 i 1 100 100 100 100
100
(2) (1) (2) [1 (1)] 0.8185. Nhomakorabea
2
要使 P{| X n a | 0.1} 0.95 ，即 (
n
2
) 0.975 ， n
15.3664
取 n=16
例、据调查顾客在淘宝网上购买小件物品的消费额（单位： 元）服从 [50，150]上的均匀分布。而要想依靠在淘宝开 一个网店来谋生，每月网店的销售额不能少于 3000 元。假 设顾客各次光顾网店的消费额是相互独立的。试用中心极限 定理估计一个网店每月要成功销售多少次物品才能以 90%的 把握来保证当月的生计？
1.645
解得：n = 81.18
例、某一工厂生产的产品成箱包装，每箱的重量 是随机的， 假设每箱平均重为 50 kg, 标准差为 4 kg, 若用最大载重量 5 吨的汽车承运，试用中心 极限定理说明每车最多可以装多少箱， 才能保障 不超载的概率大于 0.9772. ((2) 0.9772)
由 (
b 120 48
) 0.999
， 解出 b 120 3.0902 48 141.4095
即至少供电 142 千瓦.
例、某厂有400台同类机器，每台机器发生故障的 概率都是0.02，假设各台机器工作是相互独立的， 求最多有2台机器发生故障的概率.
解： 设发生故障的机器台数，则 ~ B(400,0.02)
i i
P{ X i 8000}
i 1 2000
2000
P{
X
i 1
i
2000* 4.5
8000 2000* 4.5
2000* 0.45 2000* 0.45 1000 1000 ( ) 1 ( )0 30 30
}
例、在天平上重复称重一重物，假设各次称重结果相互独 立，称重结果的期望值为 a ，方差为 0.04，若以 X n 表示 n 次称重结果的算术平均值，为使 P{| X n a | 0.1} 0.95 ，请 用中心极限定理估计至少要称重多少次？
b np a np ) ( ) 这时，P{a b} ( np(1 p) np(1 p)
例 4.1.3 某车间有 200 台独立工作的车床， 各台车床开工的概率都是 0.6，开工时每台 车床耗电 1 kw ， 问供电所至少要供给此车间 多少电力（ kw ），才能以 99.9％的概率保证 车间不会因供电不足而影响生产.
1 2

x

e
dt
即若 {n } 是独立同分布的随机变量序列，

则
i 1
n
i
n
n
依分布收敛于 N (0,1) .
2 ~ N ( n , n ) i n
或近似地有 i 1
例 4.1.2
设生产线上每件产品的组装时间服从指数分
布，统计资料又表明，各件产品组装时间相互独立，其 平均组装时间为 10 分钟. （ 1） 试求组装 100 件成品需要 15 小时至 20 小时的概率. （2）以不低于 95％的概率，求在 16 小时内最多可组装 多少件成品？
解： i 为第 i 次卖出物品的销售额
i ~U(50，150), Ei 100, Di 10000 / 12
1 2 ... n , E 100n, E 10000n / 12
3000-100n 3000-100n -E P{ 3000} P 1- 0.9 10000n/12 10000n/12 D
， 解：设 i 为第 i 件成品的组装时间（分钟）
则i ~ E( ). 其中E 1 10, D 1 100 i i 2

(1)根据中心极限定理，
100

i 1
100

i
~ N (100 10, 100 100)
P{15 60 i 20 60}
解: 记 n 为实际开工车床数，则 n ~ B(200, 0.6)
E n 120, Dn 48
欲求 b( kw ) ，使 P{0 n b} 0.999
P{0 n b} ( b 120 48 ) ( 0 120 48 ) ( b 120 48 )
lim P { k } P { k } n 即 n ，此时常称 n 在分布意
义下收敛于 ，记为 n ( n ) .
L.
适 用 范 围 ： n较 大 ， pn较 小 ， n pn适 中
用EXCEL计算的结果
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B(10,0.1) 0.348678 0.38742 0.19371 0.057396 0.01116 0.001488 0.000138 8.75E-06 3.65E-07 9E-09 1E-10 B(100,0.01) 0.36603234 0.36972964 0.18486482 0.06099917 0.01494171 0.00289779 0.00046345 6.2863E-05 7.3817E-06 7.622E-07 7.006E-08 5.7901E-09 4.3377E-10 B(1000,0.001) B(10000,0.0001) P(1) 0.367695425 0.367861046 0.36787944 0.368063488 0.367897836 0.36787944 0.184031744 0.183948918 0.18393972 0.061282509 0.061310174 0.06131324 0.015289955 0.015324478 0.01532831 0.003048808 0.003063976 0.00306566 0.0005061 0.000510458 0.00051094 7.19381E-05 7.28862E-05 7.2992E-05 8.93826E-06 9.1053E-06 9.124E-06 9.86181E-07 1.01099E-06 1.0138E-06 9.78284E-08 1.01018E-07 1.0138E-07 8.81337E-09 9.17522E-09 9.2162E-09 7.27095E-10 7.63837E-10 7.6801E-10
的概率为 0.3，得八分、七分、六分的概率分 别为 0.1，0.05，0.05，现射击 100 次，求总 分介于 900 分与 930 分之间的概率.
解：设 i 为射手第 i 次射击得分数，则其分布律为
i
p 10 0.5 9 0.3 8 0.1 7 0.05 6 0.05
Ei 10 0.5 9 0.3 8 0.1 7 0.05 6 0.05 9.15
2 X EX 50, DX 4 解： 设 i 每箱的重量，则 i i
P{ X i 5000} 0.9772
i 1
n
P{
X
i 1
n
i
50n
2
n 4

5000 50n 4 n
} 0.9772
即
5000 50n 4 n
2
得n 98箱
例
某射手射靶得十分的概率为 0.5，得九分
15 915 15 15 P{ } 2 ( ) 1 2 0.9115 1 0.8230 10 10 10 10
定理 4.1.3 (棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理) 在 n 重伯努利试验中， 事件 A 在每次试验中出现 的概率为 p(0 p 1) ，记 n 为 n 次试验中事件 A 出现的次数，则对任意实数 x ，有