中心极限定理
中心极限定理
2 设二维随机变量X,Y)的密度函数为 、 ( 1 p( x,y) = [ϕ1( x,y) +ϕ2 ( x,y)] 2 ,且它们 其中 1( x,y)和ϕ2( x,y)都是二维正态密度函数 ϕ 1 1 对应的二维随机变量的 相关系数为 和− .它们的 3 3 边际密度函数所对应的 随机变量的数学期望都 0 是，
1. 方差都是 (1)求随机变量 和Y的密度函数 X ( x)和pY ( y), 及X和Y X p
. 的相关系数
(2)问X和Y是否独立？ 是否独立？
第四章 1 求特征函数；已知特 . 、求特征函数； 征函数求密度函数
( 4 特征函数的基本性质P201性质 .1.1− 4.1.5) 2、大数定律的一般形式 会判断 .v.序列是否 ； r ( 律 服从大数定律马尔可夫与辛钦大数定 )
解：
i 1 若学生答对第题 ， Xi = i ， 0 若学生答错第题 于是 i 相互独立，且服从二点 ： X 相互独立， 分布： 分布 i i P( Xi = 1) = pi = 1− , P( Xi = 0) = 1− pi = , 100 100 i = 1,2,L,99
Bn =
E Xi − pi
* n
记Bn =
2
∑σ
i =1
n
2 i
Var(Yn ) = ∑σ i
n i =1
n
n Yn − EYn Yn − ∑µi Xi − µi Y = i =1 =∑ = Var(Yn ) Bn i =1 B
n
1 n 2 lim 2 2 ∑∫ ( x-µi ) pi ( x)dx = 0 | x− µi |>τBn n→+∞τ B n i =1 林德贝格条件
P153 6、 14 P164 2、(1)、(1)、 、 8 9 13 18 P182 10、 、 、 、 14 24 38 41 P197 2、、、 4 7 10
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。
中心极限定理
中心极限定理
(3)与参数估计的关系：
E（xi） X 样本n : x1 , x2 , xn , 取自总体,故 ， D xi）= 2 （ n E（ xi） nX n i 1 样本和 xi ， n i 1 D （ xi）=n 2 i 1 根据中心极限定理推论，有：lim P(z1 <
X 周围1个标准差( n )范围内分布着68.26%的 x 2个标准差( n )范围内分布着95.46%的 x 3个……. ……… t 个标准差( n )范围内分布着F(t)的 x
其它条件不变时，置信度F(t)越大，则 t 越大，反之亦然 给定F(t)，样本规模越大， t 越小 给定t ，样本规模越大， F(t)越小
n N
x
i 1 z2 2
n
i
nX <z2 )=
n dz
1 2
Z2
Z1
e
z2 2
dz
即：
xX lim P(z1 < n N n
<z2 )=
1 2
Z2
Z1
e
据此可知，样本平均数服从均值为x，方差为 2 n 的正态分布， 从而可以对X 作出区间估计。
中心极限定理
(4)根据中心极限定理有： 样本平均数的平均数等于总体平均数：x X
p( E ( ) s) 0.6826 （s = p( E ( ) 1.96s) 0.9500 p( E ( ) 2s) 0.9544 p( E ( ) 2.58s) 0.9900 p( E ( ) 3s) 0.9973 n）
(1)定理（推论）：
E ( ) P(z1 < <z2 )= D ） （
中心极限定理
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1
x 2 3 4 5 6 7 8
记 则
Xk
1, 小球碰第 1, 小球碰第
k 1
( k 1, 2, ,15) n 15 k 层钉后向左落下 0, 2 1 近似 15 2 15 n 2 X N 0 1n 5 N( n , , ) ) 大数定律和中心极限定理 k
即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9．
大数定律和中心极限定理
例2．一批种子, 其中良种占1/6, 在其中任选6000粒, 试问在这
些种子中, 良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率. 解：设X表示取6000粒种子中的良种粒数, 则X~B(6000, 1/6), E(X)=6000×(1/6)=1000, D(X)=6000×(1/6)×(5/6).
Y20~N(10, 20/12)
P{Y20≤9.1} = P{Y20-10≤9.1-10}
Y20 10 Y20 10 9.1 10 P 0.7 P 20 /12 20 /12 20 /12
(0.7) 0.2420.
n X k n t2 x 1 2 k 1 lim Fn ( x ) lim P x e dt . n n n 2
大数定律和中心极限定理
n
中心极限定理的意义
对于均值为 ,方差 2 0 的独立同分布的 r.v. 列 有
2
证: 由于服从二项分布的随机变量和n 可看作n个相互独立服从 参数为p的(0-1)分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和，即
n X i , 其中E( X k ) p, D( X k ) pq, k 1, 2,, n, q 1 p.
中心极限定理 n趋近无穷 标准正态
中心极限定理是概率论中一个非常重要的定理，它告诉我们在一定条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
这个定理对于统计推断和假设检验有着重要的意义，因此被广泛应用于各个领域。
1. 中心极限定理的概念中心极限定理是指在一定条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
无论总体的分布是什么样子，只要样本容量足够大，样本均值的分布都会接近正态分布。
这个定理对于统计学来说非常重要，因为它告诉我们在很多情况下，我们可以使用正态分布来近似描述样本均值的分布。
2. 为什么中心极限定理成立中心极限定理之所以成立，是因为当样本容量足够大时，样本均值的分布受到多个随机因素的影响，而这些随机因素的总和近似呈现出正态分布的特征。
这也是为什么无论总体的分布是什么样子，只要样本容量足够大，样本均值的分布都会近似于正态分布的原因。
3. 中心极限定理的应用中心极限定理在统计学中有着广泛的应用。
在假设检验中，我们经常需要根据样本均值对总体均值做出推断。
而根据中心极限定理，我们可以知道当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，这样我们就可以使用正态分布的性质来进行推断和计算。
4. n趋近无穷的意义在中心极限定理中，n代表样本容量，当n趋近无穷时，样本均值的分布就会趋近于正态分布。
这也说明了中心极限定理的一个重要特点，即样本容量越大，样本均值的分布越接近正态分布。
当我们需要进行统计推断时，可以通过增大样本容量来让样本均值的分布更接近于正态分布，从而使得推断结果更加可靠。
5. 标准正态分布的意义标准正态分布是统计学中一个非常重要的分布，它的概率密度函数是一个钟形曲线，均值为0，标准差为1。
在实际的统计推断和假设检验中，很多情况下都需要使用标准正态分布来进行计算和推断。
而根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，因此我们可以使用标准正态分布的性质来进行推断和计算，这对于统计学的应用具有重要的意义。
中心极限定理
n X i n 1 -t 2 2 i 1 x e dt lim Fn ( x ) lim P x - n n 2 n ( x )
注 1、定理表明，独立同分布的随机变量之和 X k ,
k 1
n
当n充分大时，随机变量之和与其标准化变量分别有 X k ~ N ( n , n ) ;
2 nk 1 ~ N (0,1). n
n
2、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为 近似地 X 近似地 2 X ~ N ( , n) 或 ~ N (0,1) n 1 n 其中X X k n k 1
3、虽然在一般情况下，我们很难求出 X k 的分
第二节
中心极限定理
中心极限定理
例题
课堂练习
中心极限定理的客观背景： 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差， 就受着许多随机因 素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因 素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小 的.那么弹着点服从怎样分布哪 ？
一、中心极限定理
定理1（列维—林德伯格定理）
设随机变量X 1 , X 2 , X n , 相互独立，服从同一分 布，且具有数学期望和方差 : E ( X k ) , D( X k ) 2 ( k 1,2n ,)，则随机变量之和 X k的标准化变量 k 1 X n k Yn k 1 的分布函数Fn ( x )对于任意x满足 n
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见.
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
统计学中的中心极限定理简介
统计学中的中心极限定理简介统计学是研究数据收集、分析、解释和展示的科学。
在统计学中，有一个非常重要的概念被称为中心极限定理。
中心极限定理不仅为统计推断提供了理论基础，而且在实际应用中也起到了极其重要的作用。
无论是在自然科学、社会科学，还是在工程技术等多个领域，中心极限定理的应用无处不在。
本文将对中心极限定理进行详细介绍，探讨其含义、重要性、应用及相关实例。
中心极限定理的基本概念中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）是指在一定条件下，当样本容量足够大时，不论原始总体分布的形状如何，样本均值的分布趋近于正态分布。
这一定理为我们理解大量独立随机变量之和或者平均值提供了理论依据。
定义及数学表述若(X_1, X_2, , X_n)是来自同一总体的独立同分布随机变量，且它们的期望为()和方差为(^2)，则当样本容量(n)趋近于无穷时，样本均值({X} = _{i=1}^{n} X_i)的标准化形式：[ Z = ]将趋向于标准正态分布，即(N(0, 1))。
换句话说，对于大样本而言，样本均值的分布近似于正态分布，而这正是中心极限定理所要表达的核心内容。
中心极限定理的重要性中心极限定理的重要性体现在以下几个方面。
1. 理论基础作为统计推断的一部分，许多统计方法（如假设检验、置信区间等）都依赖于样本均值的正态性假设。
中心极限定理提供了在什么条件下可以使用正态分布的方法，使得这些统计方法具有更广泛的适用性。
2. 实际应用在实际工作中，我们通常会处理来自不同类型总体的数据。
中心极限定理使得即使底层数据不服从正态分布，我们依然可以使用基于正态分布的方法进行分析，这大大提高了数据分析过程的便利性。
3. 数据分析工具的发展许多现代数据分析工具和软件包都使用了中心极限定理作为其基础，帮助用户进行更精确的数据分析。
例如，在执行回归分析时，许多测试统计量依赖于中心极限定理，使得结果更具可信度。
中心极限定理的条件虽然中心极限定理适用于许多情况，但其成立需要满足一定条件：独立性：样本观测值必须是独立的。
中心极限定理
概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 D ξ σ (3)期望和方差都存在： Eξ i μ, i ( i 1,2,..., n,...) 2 (4)方差 σ 0 n n μ ξ i i 1 则对一切 x, 有 lim P 0 ( x ) x n nσ
当随机变量序列 ξ1 , ξ2 ,..., ξn ,... 满足定理 的条件时, 由极限
解 设箱内第 i 袋味精 的净重为 X克 i ( i 1,2,...,200) X1 , X 2 ,..., X 200 独立,同分布;
2
2
EX i 100 μ DX i 10 σ 200 200 P X i 20500 1 P X i 20500 i 1 i 1 200 X i 200 μ 20500 200 μ i 1 1 P 200 σ 200 σ 20500 200 μ 5 500 1 0 1 1 0 0 2 200σ 10 200
12
P X i 1202 1 P X i 1202 i 1 i 1 1200 X i1200 μ 12021200 μ i 1 1 P 1200 σ 1200 σ
解 设第 i个零件 的重量为 X公斤 ( i 1,2,...,1200) i X1 , X 2 ,..., X1200 独立,同分布; EX i 1 μ 2 2 0.1 1200 1200 DX i
ξ i nμ i lim P 1 n nσ
n
x 0 ( x )
当n充分大时,有
n 1 ξ μ ξ n μ i n i 1 i i 1 P 0 ( x ) P x 0 ( x ) x σ nσ n n nμ ξ i x nμ x nμ i 1 n P ξ i x P 0 nσ nσ i 1 nσ
n
例 用机器包装味精, 每袋味精的净重为随机变量, 期望值为100克,标准差为10克, 一箱内装有200袋 味精, 求一箱味精净重大于20500克的概 率. 的净重为 X i 克. 解 设箱内第 i袋味精 ( i 1,2,...,200) X1 , X 2 ,..., X 200 独立,同分布; ... X 200 2 2 X X 1 2 EX i 100 μ DX i 10
设一列随机变量 ξ1 , ξ2 ,..., ξn ,... 满足： (1) 相互独立; (2)服从同样的分布; 2 (3)期望和方差都存在： Eξ i μ, Dξ i σ (4)方差不等于0. 则
n
( i 1,2,..., n,...)
ξ μ nμ i 1 i 1 i 1
1 0 3.54 1 0.99980 0.0002
X1
X2
... X 200
例 用机床加工大小相同的零件, 标准重1公斤, 由于随机误差, 每个零件的重量 在 0.95, 1.05 上 均匀分布, 求制造1200个零件, 总重量大于1202 公斤的概率.
解 设第 i个零件 的重量为 X i 公斤.( i 1,2,...,1200) X1 , X 2 ,..., X1200 独立,同分布; EX i 1 μ 2 2 0.1 1200 1200 DX i
P X i 1202 1 P X i 1202 i 1 i 1 1200 X i 1200 μ 12021200 μ i 1 1 P 1200 σ 1200 σ 1 20 2 120 0 μ 2 1 0 1 0 0.1 1200σ 10 12 12 1 0 2 1 0.97725 0.02275
ξ nμ
i 1 i
n
i 1
~ 近似
nσ
N (0,1) ~ 近似
ξ i nμ P i 1 x 0 ( x ) nσ
n
定理3.11 (独立同分布 中心极限定理) 设随机变量序列 ξ1 , ξ2 ,..., ξn ,... 满足：
(1) 相互独立; (2)服从同样的分布;
n
n
~ 近似
2 n σ n μ , N
2 2 D ξ i Dξ i σ nσ i 1 i 1 i 1
n n
设一列随机变量 ξ1 , ξ2 ,..., ξn ,... 满足： (1) 相互独立; (2)服从同样的分布; 2 D ξ σ (3)期望和方差都存在： Eξ i μ, i ( i 1,2,..., n,...) (4)方差不等于0. n 2 ξ i N nμ, nσ 则