2019版一轮优化探究理数练习：第二章第七节对数与对数函数含解析

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高三一轮复习精题组对数与对数函数(有详细答案)

§2.6 对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. ( √)(2)2log510＋log50.25＝5. ( ×)(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. ( √)(4)log2x2＝2log2x. ( ×)(5)当x>1时，log a x>0. ( ×)(6)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b. ( ×) 2．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c.3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D 解析 2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy )．故选D.4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案 (－12，＋∞)解析函数f (x )的定义域为(－12，＋∞)，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－12，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. ∴f (log 18x )>0⇒log 18x <－13或log 18x >13⇒x >2或0<x <12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).题型一对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x－2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f (log 312)的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))；f (log 312)可利用对数恒等式进行计算．答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x＝3，即2x＝3，2－x ＝33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f (log 312)＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 312)＝2＋3＝5.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．答案124解析因为2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124. 题型二对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 213)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的．答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)log 213＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 213)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)<f (log 213)<f (log 47)，即c <b <a .思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c 0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 答案 (1)A (2)2 2解析 (1)b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .(2)f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1b ＝a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2.题型三对数函数的应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪 f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x－1)．(1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间[12，2]上的值域．解 (1)由4x－1>0，解得x >0，因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在[12，2]上的值域为[0，log 415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .方法一在同一坐标系中分别作出函数y ＝log2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.(3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减；因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2，所以0<log π3<20.2<log 39，所以b >a >c ，选A. 答案 (1)C (2)C (3)A温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．失误与防范1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值A 组专项基础训练一、选择题 1．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <1或1<x <2}C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}答案 D解析要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x >0lg x ≠0，解得0<x <1或1<x ≤2，∴定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}． 2．函数y ＝lg|x －1|的图象是( )答案 A解析 ∵y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1lg (1－x )，x <1.∴A 项符合题意．3．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 21-，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1.∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e21-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .4．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C⇒a >1或－1<a <0.5．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞)答案 D解析由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D. 二、填空题 6．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________________．答案 {x |－1<x ≤0或x >2}解析当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2.综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x >2.8．若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1. 当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a>1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.B 组专项能力提升1．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 () A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.2．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有()A ．f (13)<f (2)<f (12) B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13) 答案 C解析由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)． 3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.4．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a 1. (3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f (a ＋b 2)所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.(1)解由f (x )＝1得，lg x ＝±1，所以x ＝10或110. (2)证明结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b 2>21b ·b 2＝1(因1b≠b )． (3)证明由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b 2＋b 2＋2－4b ＝0， g (b )＝1b 2＋b 2＋2－4b ，因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.5．已知函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 21t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 21t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，故函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，a 2]上单调递增．又因为函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，2－2a ＋a ≥0，即22≤a ≤2(2＋1)．。

2023年高考数学一轮复习第二章函数7对数与对数函数练习含解析

对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a Na ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c b log c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a x a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，当x >1时，y <0；当0<x <1时，y <0y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝n mlog a b . 2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．( × )(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．( √ ) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点．答案 (3,2) 解析 ∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝. 答案 4解析 (log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝. 答案 12或2解析当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10B ．10C ．20D ．100 答案 A解析 2a ＝5b＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝.答案 2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋()212log 2＝log 535150×14＋12log 2 ＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 教师备选计算：1－log 632＋log 62·log 618log 64＝.答案 1 解析原式＝ 1－2log 63＋log 632＋log 663·log 66×3log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 632log 64＝21－log 632log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1 (1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＋b ＝.答案 6解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a，所以b 2b＝2b b ，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 所以a ＋b ＝6.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝. 答案 4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2) ＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2 ＝3(lg5＋lg2)＋1 ＝4.题型二对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －11.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 解析若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x＋ln x 2的值为( ) A ．e 2＋ln2 B ．e ＋ln2 C ．2 D ．4答案 C解析根据题意，已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，函数f (x )＝e x＋x －2的零点为函数y ＝e x的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x 1，1e x )，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为函数y ＝ln x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x 2，ln x 2)，又由函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，而直线y ＝2－x 也关于直线y ＝x 对称，则点(x 1，1e x )和(x 2，ln x 2)也关于直线y ＝x 对称，则有x 1＝ln x 2，则有1e x ＋ln x 2＝1e x ＋x 1＝2. 思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝log a x ＋b 的图象如图所示，那么函数g (x )＝a x＋b 的图象可能为( )答案 D解析结合已知函数的图象可知，f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意． (2)(2022·广州调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2ex -＝ln(x 2＋1)，3ex -＝lg x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3答案 D解析画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3. 题型三对数函数的性质及应用命题点1 比较指数式、对数式大小例3 (1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则( ) A ．b <a <c B ．c <a log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2， ∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则( ) A ．b <c <a B ．a <c log 62>log 122，即1a >1b >1c，所以a 0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1， ∴⎩⎨⎧a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎨⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3 对数性质的应用例5 (2020·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( )A ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增B ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递减 C ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增 D ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减答案 D解析 f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠±12. 又f (－x )＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1| ＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln－2x －11－2x＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减．教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a答案 B解析 ∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1，c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg3lg2×lg5lg9＝lg3lg2×lg52lg3＝lg52lg2＝lg5lg4＝log 45>1， ∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3 (1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c 1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意，故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2；当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4，则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2，即1a 2≥2,0<a ≤22，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. (3)(2022·潍坊模拟)已知f (x )＝1＋log 3x (1≤x ≤9)，设函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)，则g (x )max －g (x )min ＝. 答案 5解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴g (x )的定义域为[1,3]，g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 3x )2＋1＋log 3x 2＝(log 3x )2＋4log 3x ＋2，设t ＝log 3x ，则0≤t ≤1，则y ＝t 2＋4t ＋2＝(t ＋2)2－2，在[0,1]上单调递增， ∴当t ＝0即x ＝1时，g (x )min ＝2，当t ＝1即x ＝3时，g (x )max ＝7， ∴g (x )max －g (x )min ＝5.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b解析 a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ，所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于( ) A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案 A解析函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .3．(2022·昆明模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1＝10lgII 0(单位：分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I 的取值范围是( )A ．(－∞，10－7) B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5)答案 C解析由题意可得，0≤10·lg II 0<50，即0≤lg I －lg(1×10－12)<5，所以－12≤lg I <－7，解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)．4．设函数f (x )＝()212log ,0,log ,0.x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析由题意得2120,log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220,log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩解得a >1或－1<a <0.5.(多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1B ．0<c <1C ．0<a <1D ．c >1 答案 BC解析由图象可知函数为减函数，∴0<a <1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c ，由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.6．(多选)已知函数f (x )＝ln(e 2x＋1)－x ，则( ) A ．f (ln2)＝ln 52B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增D ．f (x )的最小值为ln2 答案 ACD 解析 f (ln2)＝ln(e 2ln2＋1)－ln2＝ln 52，故A 项正确；f (x )＝ln(e 2x ＋1)－x ＝ln(e 2x ＋1)－lne x＝ln e 2x＋1ex＝ln(e x ＋e －x)，所以f (－x )＝ln(e x ＋e －x)，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故B 项错误；当x >0时，y ＝e x ＋e －x在(0，＋∞)上单调递增，因此y ＝ln(e x＋e －x)在(0，＋∞)上单调递增，故C 项正确；由于f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (0)＝ln2，故D 项正确． 7．(2022·海口模拟)log 327＋lg25＋lg4＋27log 7＋138的值等于．答案152解析原式＝323log 3＋lg52＋lg22＋2＋1332⨯＝32＋2lg5＋2lg2＋2＋2 ＝32＋2(lg5＋lg2)＋2＋2 ＝32＋2＋2＋2 ＝152. 8．函数f (x )＝log 2x ·()2log 2x 的最小值为．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.9．设f (x )＝log 2(a x－b x)，且f (1)＝1，f (2)＝log 212. (1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值．解 (1)因为f (x )＝log 2(a x－b x)，且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2a －b ＝1，log 2a 2－b 2＝log 212，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x－2x)，令t ＝4x－2x，则t ＝4x －2x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －122－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x≤4，所以94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增，所以y max ＝log 212＝2＋log 23，即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)f (x )是奇函数，证明如下：因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0， log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x>0，2x (1－x )>0，解得0<x <1，故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋bab<1，∴ab <a ＋b <0. 12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x＝3y＝log 4z ，则( ) A ．z >x >y B ．z >y >x C ．x >y ，x >z D ．z >x ，z >y答案 D解析设2x＝3y＝log 4z ＝k >0，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k，根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ， 4k>log 3k ，即z >x ，z >y .13．(2022·沈阳模拟)函数f (x )＝|log 3x |，若正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，且f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n －m 等于( ) A.83B.809C.154D.25516 答案 A解析 ∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，∴0<m <1<n ，且|log 3m |＝|log 3n |， ∴log 3m ＝－log 3n ，∴log 3m ＋log 3n ＝0，解得mn ＝1，又∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，易知f (m 2)＝－log 3m 2＝2，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝3，∴n －m ＝83.14．(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－ax ＋12有最小值，则实数a 的取值范围是．答案 (1，2)解析令u ＝x 2－ax ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋12－a24，则u 有最小值12－a24，欲使函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－ax ＋12有最小值，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，12－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．15．(2022·丽水模拟)已知log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (a >0且a ≠1)，则a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，1解析 ∵log a (a ＋1)－log (a ＋1)a ＝lg a ＋1lg a －lg alg a ＋1＝lg 2a ＋1－lg 2a lg a lg a ＋1＝[lg a ＋1－lg a ][lg a ＋1＋lg a ]lg a lg a ＋1当a >1时，lg(a ＋1)>lg a >0， ∴log a (a ＋1)>log (a ＋1)a ，不符合题意；当0<a <1时，lg a <0，lg(a ＋1)>0， lg(a ＋1)－lg a ＝lga ＋1a>lg 1＝0， lg(a ＋1)＋lg a ＝lg [a (a ＋1)]＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14， ∴log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (0<a <1)即为lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14>0，由于y ＝lg x (x >0)单调递增，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14>1. 又0<a <1，解得－1＋52<a <1，综上有a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，1.16．已知函数f (x )＝log 2(2x＋k )(k ∈R )． (1)当k ＝－4时，解不等式f (x )>2；(2)若函数f (x )的图象过点P (0,1)，且关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根，求实数m 的取值范围．解 (1)当k ＝－4时，f (x )＝log 2(2x－4)．由f (x )>2，得log 2(2x－4)>2，得2x－4>4，得2x >8，解得x >3.故不等式f (x )>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f (x )＝log 2(2x＋k )(k ∈R )的图象过点P (0,1)，所以f (0)＝1，即log 2(1＋k )＝1，解得k ＝1.所以f (x )＝log 2(2x＋1)．因为关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根，即log 2(2x＋1)＝x －2m 有实根．所以方程－2m ＝log 2(2x＋1)－x 有实根．令g (x )＝log 2(2x＋1)－x ，则g (x )＝log 2(2x ＋1)－x ＝log 2(2x＋1)－log 22x＝log 22x＋12x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x . 因为1＋12x >1，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x >0，所以g (x )的值域为(0，＋∞)．所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。

2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用26对数与对数函数课后作业理.doc

2. 6对数与对数函数E课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1.（2018 •安阳检测）若点方）在y=lgx图象上,日H1,则下列点也在此图象上的是（）B.(10臼，1 —方)D. (/2Z?)答案D解析当x=a吋，y=lg / = 21g a=2b,所以点（『2方）在函数y=lg x图象上.故选2.已知函数f{x) = 2+log2%,炸[1,2],则函数尸的值域为()r「ill 「13] r nA.[4,5]B. 4, —C. 4, —D. [4,7]答案B解析y=f{x) + A/) = 2 +1 og：^+ 2 +1 og2/=4 + 31 og：^,注意到为使得y= f(x) + f(x)有意义，必有1 W#W2,得1W斥、弦，从而4故选B.3.（2018・太原调研）已知函数fg =份一噪乳若实数总是方程心）=0的解，且O<Xi<Ao,则fix｝（）A.恒为负值B.等于0C.恒为正值D.不大于0答案C解析作出y=[—)和歹= log 2Jr 的图象，如图.由图可知有0<心时,/ 1 \(I"丿 >1屈2乂1・即(*)— log 2JCi >0.•••*文1)〉0・故选C.2 Y4. (2017 •河南二模)函数肓二-的图象大致为()y\1\2 J ____ —L\i i 「詁/: r \:1 咒-1:\:1兀-1:/\ ：1 X -1：：1 X\ \1AB C D答案B9 y——9 v解析函数y=星厂「的定义域为{x|^0M^±l},故排除A ；・・・f( —0=百匚4・・・排除C ；当x=2吋，尸帀亍0,故排除D.故选B.5. (2015 •湖南高考)设函数/V)=ln (1+0—In (1 —劝，则£(劝是( )A. 奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)±是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0, 1)±是减函数答案A解析解法一：函数f(x)的定义域为(―1, 1),任取X E L (—1, 1), f( —x)=ln (1—x)119-In + 则 f(x)是奇函数.当 (0, 1)时，f d)=L+—=_>0,1 ~rx 1 — x x所以f(x)在(0,1)上是增函数.综上，故选A.解法二：同解法一知fd)是奇函数.2x—/'(%),当人€ (0, 1)时，f(x) =ln---- ] ] J —=ln 1)9•・•尸y^g(0, 1))是增函数，y=ln x 也是增函数在(0,1)上是增函数.综上，故选A.实数白的取值范围是()B. -1, |1C. _1,答案B故选B.7. (2017 •安徽安庆二模)已知函数y=f&)是定义在R 上的偶函数，当, 0] 时,/*(力为减函数，若 a=A20,3), Z?=f(logl 4), c=Alog 25),则 a, b, q 的大小关系是()A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. a>c>b答案B解析函数y=g 是定义在R 上的偶函数，当用(一8, 0]时，/V)为减函数，・・・f3 在[0, +oo)上为增函数，V/?=Alog^ 4)=A-2)=A2), l<203<2<log25, :.c>b>a f 故选28. (2017 •广东模拟)已知函数 f(x) = (e z —e _1) x, f(log5”)+f(logj_ x)W2f(l),则 x5的取值范围是()B. [1,5]1 C.石，5 _5答案C解析 VA%) = (e."(_*)=(e gR),・••函数 f(0 是偶函数.、：f U) = (e-e _v )+^(e r +e _t )>0 在(0, +8)上恒成立.6. (2018 •包头模拟)己知函数fd)=log 丄2(x-ax —a)在(一8, —*上是增函数，则A. [ — 1, +°°) 解析 f\x) =logl {x —ax — a) m—*上是增函数，说明内层函数心=—ax — a在(一°°，一*上是减函数且〃(劝＞0©I成立，只需对称轴”=空3—m 且〃(力min =—8, u [5, +8)D. >0,・••解得日w —1,・・・函数fd)在(0, +8)上单调递增.•.•f(log5X )+f(log 丄力 W2f(l),5 .•・2f(log50 W2f(l),即 f(log50 Wf(l), I logs” Wl, .•gwxW5.故选 C.□9. (2017 •河北五校质监)函数尸log,x+3) — 1 (日〉0,且玄工1)的图象恒过定点若 2 1点/在直线〃zv+/?y+2 = 0上，其中/〃>0,刀>0,贝9-+-的最小值为()in n厂 5 9A. 2y]2B. 4C.~D.-答案D解析由函数y=log,x+3)—l@>0,且mHl)的解析式知：当x=_2时，y= —1,所以点力的坐标为(一2, —1),又因为点力在直线〃圧+妙+2 = 0上，所以一2刃一/?+2 = 0,即, 「严宀■ 2 , 1 2刃十 n , 2/77+ n t n in t L 5 . 9 亠 —亠 2m+n=2, 又刃>0, /7>0, 所以一+—= ------- + —=2+~+-+->-+2=-, 当月•仅当 m= nm n m In m n 2 2 2 2 2 1 Q 飞时等号成立，所以計禪最小值栩，故选D.10. （2017 •江西红色七校二模）己知函数f （x ） =ln 芒？若才孟72016,I 1 2 y| 2七丄=刁=8,当且仅当a= b=2时取等号.・・・/+/的最小值为&故选B.二、填空题11. （2018 •禅城区月考）已知函数f （y ） = |lg x\r 若0"<b,且f@） = f （〃），则2日+方的取值范围是 _______ .答案［2迈，+8）解析画出y=|lg ”的图象如图：(2e +42017 2016e2017 =504（臼+方），则/+方2的最小值为（） A. 6答案B. 8C. 9D. 12解析 */ f(x) +f(e —A ) =lnex , e e~x 2 z , x ( e ----- +ln --------------- =ln e w =2, /.504(<3+Z?)= e — x x2017PM<2017丿 'e )/、2017/2016e + …+ * 2017 + 僚)]=5 X (2X20⑹ ：.a+b=A,+ 2015e 2017/2016e + 42017 2e 2017 +'：0<a<b9且f（a） = f\b）,A I lg a| = |lg 川且0<Xl, b>\,A-lg 曰=lg b, :. ab= 1,：・2Q+ bM2r\0h=2pL当2a=b 时等号成立, ：・2a+b22pi.12. 函数 f3=logc[d log^/2(2x)的最小值为答案解析显然 ^>0,二 f(x) =log2© ・ log^(2力=*log2/• log2(4#) =#log2X ・(log 24 + 21og2X )=log2*+(log2X )2 = (log2x+*)—碁一+，当且仅当 *=当时，取“=”，故 f(x)min丄 4*13. (2017 •山西质检)己知函数f(0 = '|2卄1|, K1, 若 f(xj = f(x\ = f(x\(X\, X2, X3 互不相等)，且 X\ + x 2 + x3,log2 x —m , x>\,则由图知点(如0), (X2.0)关于直线x=—*对称，所以xi + x 2= — l.又1〈山+出+皿<8, 所以2<X 3<9.由/U)=/U)=/U)(屈，%2,出互不相等)，结合图象可知点力的坐标为(9, 3), 代入函数解析式，得 3 = log,9的収值范围为(1,8),则实数刃的值为 ___________答案1 解析—刃)，解得刃=1.14.(2017 •辽宁沈阳一模)已知函数f\x) = | log：^|,实数/〃，z?满足0〈〃K〃，且f\ni)= fS,若fd)在［兄勿上的最大值为2,贝. m答案9解析V f(x) = | log3x|,实数刃，刀满足0</zX/2,且f(/») =f(/?),.•・/»<IS —log3/〃=log3/7,・*. mn= 1.V/U)在区间［/,门］上的最大值为2,函数fd)在［力1)上是减函数，在仃，刀］上是增函数，— log：^=2 或log3/?=2.若一log3〃/=2,则刃=+，从而刀=3,此时10助刀=1,符合题意，则仝=34~+=9.O III O若1 Og：i/7=2,则77=9,从而加=2,此吋一log/ = 4,不符合题意.三、解答题15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且A0) =0,当Q0时，A%)=logl2(1)求函数fd)的解析式；(2)解不等式A/-l)>-2.解(1)当2、<0 时，—JC>0,则/(—J?)=log± ( —JT).因为函数/(工)是偶函数，所以= = log* (—力)9所以函数/的解析式为log±f(T)=<0,T = 0,logi ( —JT) 9工<0.Q(2)因为/(4) = log±4=-2,/(jr)是偶函数, 所以不等式f(T2-l)>-2转化为/(|JT2-1|)>/（4）.又因为函数/Q）在（0,+oo）上是减函数, 所以I JT2— 1 I ＜4 ,解得一岛＜文＜岛,即不等式的解集为（-V5.V5）.16.设圧[2, 8]时，函数=#log"（切• log,//）（日＞0且日Hl）的最大值是1,最小值是一右求爲的值.解由题意知/（jr） = -^-（log u j： + l） • （log^jr+ 2）= yE(log a T)2 + 31og a j? + 2] = y (log a jr + y)1 3当/O）取最小值一g时，logz =—亍・又•••工€[2,8],・・・°€（0,1）・•・丁（工）是关于log^的二次函数，•'•函数/（力）的最大值必在工=2或JT =8时取得.1 8" *若y(10g a2 + y)2-y=l,则0 = 2一匕此时*乂)取得最小值时，工=(2-寺)一寻=施$[2,8],舍去.若*(loga8 + ~|") —寺=1,则° = *，此时/(工)取得最小值时，工=(*) 2 =2吃€[2,8],符合题意9 •：a = ・。

【名师一号】2019高考数学(人教版a版)一轮配套题库：2-7对数与对数函数

第七节对数与对数函数时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知集合A ＝{x|0<log 4x<1}，B ＝{x|x≤2}，则A∩B＝( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]解析经计算A ＝{x|1<x<4}，B ＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．答案 D2．(2018·天津模拟)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a>b>cB ．a>c>bC ．b>a>cD ．c>a>b解析 a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96，∵log 412.96>log 43.6>log 43.2，∴a>c>b ，故选B.答案 B3．若点(a ，b)在y ＝lgx 的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( )A ．(1a，b) B ．(10a,1－b) C ．(10a ，b ＋1) D ．(a 2,2b) 解析 ∵点(a ，b)在函数y ＝lgx 的图象上，∴b ＝lga ，则2b ＝2lga ＝lga 2，故点(a 2,2b)也在函数y ＝lgx 的图象上．答案 D4．(2018·湖北武昌调研)已知指数函数y ＝f(x)、对数函数y ＝g(x)和幂函数y ＝h(x)的图象都经过点P(12，2)，如果f(x 1)＝g(x 2)＝h(x 3)＝4，那么x 1＋x 2＋x 3＝( )A.76B.66C.54D.32 解析答案 D5．(2018·辽宁卷)已知函数f(x)＝ln(1＋9x 2－3x)＋1，则f(lg2)＋f(lg 12)＝( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2解析由于f(x)＋f(－x)＝ln(1＋9x 2－3x)＋1＋ln(1＋9x 2＋3x)＋1＝2，所以f(lg2)＋f(lg 12)＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2，故选D.答案 D6．(2018·西安模拟)已知f(x)＝log 12(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．(－∞，4)C ．(－4,4]D ．[－4,4] 解析 ∵y ＝x 2－ax ＋3a ＝(x －a 2)2＋3a －a 24在[a 2，＋∞)上单调递增，故a 2≤2⇒a≤4，令g(x)＝x 2－ax ＋3a ，g(x)min ＝g(2)＝22－2a ＋3a>0⇒a>－4，故选C.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．lg 427－lg8 23 ＋lg75＝________.解析原式＝lg4＋12lg2－lg7－23lg8＋lg7＋ 12lg5＝2lg2＋12(lg2＋lg5)－2lg2＝12. 答案 128．若log a (a 2＋1)<log a 2a<0，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵a 2＋1>1，log a (a 2＋1)<0，∴0<a<1.又log a 2a<0，∴2a>1，∴a>12. ∴实数a 的取值范围是(12，1)．答案 (12，1) 9．已知f(x)＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f(m)＋f(2n)＝3.则m ＋n 的最小值是________．解析 ∵log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝log 2[(m －2)(2n －2)]＝3，∴(m －2)(2n －2)＝23＝8，且m －2>0,2n －2>0，∴4＝(m －2)(n －1)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2＋n －122. ∴m ＋n≥7，故填7.答案 7三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．说明函数y ＝log 2|x ＋1|的图象，可由函数y ＝log 2x 的图象经过怎样的变换而得到．并由图象指出函数的单调区间．解作出函数y ＝log 2x 的图象，再作其关于y 轴对称的图形得到函数y ＝log 2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．11．已知函数f(x)＝log 12(a 2－3a ＋3)x.(1)判断函数的奇偶性；(2)若y ＝f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解 (1)函数f(x)＝log 12(a 2－3a ＋3)x 的定义域为R.又f(－x)＝log 12(a 2－3a ＋3)－x＝－log 12(a 2－3a ＋3)x ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．(2)若函数f(x)＝log 12(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则y ＝(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为增函数，由指数函数的单调性，有a2－3a＋3>1，解得a<1或a>2.所以a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．12．(2018·广西桂林一模)已知函数f(x)＝log a(a x－1)(a>0，且a≠1)．求证：(1)函数f(x)的图象在y轴的一侧；(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.证明(1)由a x－1>0得a x>1，∴当a>1时，x>0，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，此时函数f(x)的图象在y轴右侧；当0<a<1时，x<0，函数f(x)的定义域为(－∞，0)，此时函数f(x)的图象在y轴左侧．∴函数f(x)的图象在y轴的一侧．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)图象上任意两点，且x1<x2，则直线AB的斜率k＝y1－y2，x1－x2。

2019届高考(文科)江苏版一轮复习：第2章 7 第7讲对数与对数函数

[解析] 对①，根据 y＝log0.5x 为单调减函数易知正确．对②，由 log34>log33＝1＝log55>log65 可知正确． 4 6 6 对③，由 log34＝1＋log3 >1＋log3 >1＋log5 ＝log56 可知正 3 5 5 确．对④，由 π>e>1 得，logeπ>1>logπe 可知错误．
2．对数的运算法则如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么：
logaM＋logaN ； ①loga(M· N)＝________________
M logaM－log aN ②log a ＝_____________ __ ___； N
nlogaM ③logaMn＝____________ (n∈R)；
对数式的化简与求值
4 3 － 3 (1)若 a＝log43，则 2a＋2 a＝________ ．
1 1 10 (2)设 2 ＝5 ＝m，且＋＝2，则 m＝________． a b
a b
（1－log63）2＋log62·log618 1 (3) ＝________ ． log64
【解析】＝ 3＋
n ④logamM ＝ logaM. m
n
3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1
图象
定义域值域
(0，＋∞) __________
R
a>1 定点单调性
0<a<1
(1，0) 过点__________
在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是
增函数 __________
当 x>1 时，y>0；当 0<x<1 时，y<0

【苏教版】一轮优化探究理数练习：第二章第七节对数与对数函数(含解析)

一、填空题1、×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)的结果为________。

解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(3＋5＋3－5)2＝18＋lg 10＝19.答案：192、设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________. 解析：由题意得，f (－2)＝－f (2)＝－log 3(1＋2)＝－1.答案：－13、设a ＝log 32，b ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系为________。

解析：a ＝log 32＝ln 2ln 3<ln 2＝b ，又12＝15<12， a ＝log 32>log 33＝12，因此c <a 1，g (x )＝log 2x ，则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为________。

解析：如图，函数g (x )的图象与函数f (x )的图象交于两点，且均在函数y ＝8x －8(x ≤1)的图象上。

答案：25、设m 为常数，如果函数y ＝lg(mx 2－4x ＋m －3)的值域为R ，则m 的取值范围是________。

解析：因为函数值域为R ，所以mx 2－4x ＋m －3能取到所有大于0的数，即满足⎩⎨⎧m >0，Δ＝(－4)2－4m (m －3)≥0或m ＝0.解得0≤m ≤4. 答案：[0,4]6、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 3 x (x >0)2x (x ≤0)，则f (f (19))＝________. 解析：f (19)＝log 3 19＝－2，f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14.答案：147、将函数y ＝log 3 x 的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m (m >0)倍，得到图象C ，若将y ＝log 3 x 的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m ＝________.解析：将y ＝log 3 x 的图象向上平移2个单位，得到y ＝2＋log 3 x ＝log 3 (9x )的图象，∴m ＝19.答案：198、设f (x )＝lg (21－x＋a )是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________。

2019届高考数学一轮必备考情分析学案：2.5《对数与对数函数》(含解析)

2.5对数与对数函数考情分析1．考查对数函数的定义域与值域． 2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质． 4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系．基础知识 1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N(a ＞0且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)几种常见对数2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质①alog a N ＝N ；②log a a N＝N(a ＞0且a≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d.(3)对数的运算法则如果a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN)＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)；④log am M n＝n m log a M.3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．注意事项1.对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．2.解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．3.画对数函数4.对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较．典型例题题型一对数式的化简与求值【例1】计算：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）2(lg 2)lg 2lg 50lg25+⋅+；（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+ 解：（1）原式12133(1)246324(113228⨯-⨯-⨯⨯=-+-⨯213332113222118811⨯=+-+-⨯=-=（2）原式22(lg 2)(1lg 5)lg 2lg 5(lg 2lg 51)lg 22lg 5=+++=+++ (11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2=++=+=（3）原式lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 2lg 3lg 3()()()()lg 3lg 9lg 4lg8lg 32lg 32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅= 【变式1】已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值解：∵11223x x-+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=，∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=，又∵331112222()(1)3(71)18x x x x x x ---+=+⋅-+=⋅-=， ∴223322247231833x x x x--+--==-+-题型二对数值的大小比较【例2】►已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f(log 47)，b ＝f(log 123)，c ＝f(0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f(log 123)＝f(－log 49)＝f(log 49)，log 47＜log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125＞532＝2＞log 49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f(0.2－0.6)＜f(log 123)＜f(log 47)，即c ＜b ＜a ，故选B.答案 B【变式2】设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )．A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析法一 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，综上c ＜a ＜b ，故选C.法二 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，1＜log 2e ＜log 23＜2，∴12＜1log 23＜1log 2e ＜1；c ＝5－12＝15＜14＝12，所以c ＜a ＜b ，故选C. 答案 C题型三对数函数性质的应用【例3】►已知函数f(x)＝log a (2－ax)，是否存在实数a ，使函数f(x)在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．. 解 ∵a ＞0，且a≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f(x)＝log a (2－ax)在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值范围是(1,2)．【变式3】已知f(x)＝log 4(4x－1) (1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x－1>0解得x>0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f(x 1)<f(x 2)，f(x)在(0，＋∞)上递增．(3)f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f(2)＝log 415，因此f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．重难点突破【例1】设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________.【例2】► (2018辽宁改编)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是________．巩固提高1． 2 log 510＋log 50.25＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．4 解析原式＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案 C2．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C3．(2018·黄冈中学月考)函数f(x)＝log 2(3x＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析设y ＝f(x)，t ＝3x＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x＋1，x ∈R.由y ＝log 2t ，t>1知函数f(x)的值域为(0，＋∞)．答案 A4．(2018汕尾模拟)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( )．A ．(－∞，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D ．[1,2)解析法一当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D. 法二 f(x)＝|ln(2－x)|的图象如图所示．由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D. 答案 D5．若log a 23>1，则a 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1。

高三数学(理)一轮复习讲解与练习2.7对数与对数函数(含答案解析)

第七节对数与对数函数[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质与运算 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)： ①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N . (2)对数的换底公式：log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ，②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．[探究] 1.试结合换底公式探究log a b 与log b a ， log a m b n 与log a b 之间的关系？提示：log a b ＝1log b a ；log a m b n ＝nmlog a b . 3．对数函数的图象与性质[探究] 2.对数log a b 为正数、负数的条件分别是什么？提示：当⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >1，或⎩⎨⎧0<a <1，01，01时，log a b 为负数．3．如何确定图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系？你能得到什么规律？提示：图中直线y ＝1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴0<c <d <1<a 0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[自测·牛刀小试]1．(2012·安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．4解析：选D ∵log 29＝2log 23，log 34＝2log 32， ∴原式＝4log 23×log 32＝4.2．(教材习题改编)函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >34B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x <1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x ≤1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34≤x ≤1 解析：选C 要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，则需log 0.5(4x －3)≥0，即0<4x －3≤1∴34<x ≤1. 3．(教材习题改编)不等式log 0.3(2x －1)<log 0.3(－x ＋5)的解集为________．解析：∵函数y ＝log 0.3x 为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<2x －1，0<－x ＋5，2x －1>－x ＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <5，x >2.∴2<x <5.∴不等式的解集为{x |2<x <5}．答案：{x |2<x <5}4．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，若g ⎝⎛⎭⎫1a －1＝14，则a 等于________．解析：函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x ，即 g (x )＝2x ，又∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝14，∴211a -＝14，即1a －1＝－2. ∴a －1＝－12，即a ＝12.答案：125．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.解析：由2a ＝5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1b ＝2，即1log 2m ＋1log 5m ＝2， ∴1lg m ＝2，即m ＝10. 答案：10[例1] (1)计算： ①log 34273log 5[412log 210－(33)23－7log 72]；②2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－2lg 2＋1. (2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n .[自主解答] (1)①原式＝log 33343·log 5[2log 210－(332)23－7log 72]＝⎝⎛⎭⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2)＝⎝⎛⎭⎫34－1·log 55＝－14. ②原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2－2lg 2＋1＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1| ＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1. (2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n ＝3.∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12.保持本例(2)条件不变，求log a 24的值．解：log a 24＝log a 3＋log a 8＝log a 3＋3log a 2＝n ＋3m .———————————————————对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.1．求解下列各题：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________； (2)若3a ＝2，则2log 36－log 316＝________；(3)已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为________．解析：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. (2)因为3a ＝2，所以a ＝log 32. 故2log 36－log 316 ＝2(log 33＋log 32)－log 324＝2(1＋a )－4log 32＝2＋2a －4a ＝2－2a . (3)由已知可得log m x ＝124，log m y ＝140，log m (xyz )＝112，于是log m z ＝log m (xyz )－log m x －log m y ＝112－124－140＝160，故log z m ＝60.答案：(1)12 (2)2－2a (3)60[例2] 已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －11.又由图象知函数图象与y 轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1<f (0)<0，所以－1<log a b <0，故a －1<b <1，因此0<a －1<b <1.[答案] A ——————————————————— 由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于0解析：选B 由题意知，x 0是函数y ＝⎝⎛⎭⎫15x 和y ＝log 3x 的图象交点的横坐标，因为0<x 1<x 0，由图知，⎝⎛⎭⎫15x1>log 3x 1，所以f (x 1)的值恒为正数．3．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：选A 如图，在同一坐标系中，作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝2x，y ＝log 2x 和log 12x 的图象．由图象可知a 0且a ≠1，设t ＝3－ax ，则t ＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t 最小值为3－2a .当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0，即a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t ＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )在R 上为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数．∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32，故不存在．若将本例中“3－ax ”改为“a x －1”，试讨论f (x )的单调性．解：要使函数f (x )＝log a (a x －1)有意义，则a x －1>0.当a >1时，由a x －1>0，得x >0；当0<a <1时，由a x －1>0，得x <0. ∴当a >1时，函数的定义域为{x |x >0}；当0<a <1时，函数的定义域为{x |x <0}．任取x 1<x 2∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则 f (x 1)－f (x 2)＝log a (ax 1－1)－log a (a x 2－1) ＝log a a x 1－1a x 2－1.当a >1时，0<ax 1－1<ax 2－1，∴0<a x 1－1a x 2－1<1.∴log a a x 1－1a x 2－1<0，即f (x 1)<f (x 2)；当0<a <1时，ax 1－1>ax 2－1>0，∴a x 1－1a x 2－1>1.∴log a a x 1－1a x 2－1<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)为单调增函数．——————————————————— 利用对数函数的性质研究对数型函数利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．4．(2012·上海高考改编)已知函数f (x )＝lg(x ＋1) (1)若0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围；(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的解析式．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1<x <1.由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2xx ＋1<1得1<2－2x x ＋1<10.因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13. (2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．即函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的解析式为 g (x )＝lg(3－x )，x ∈[1,2]．4种方法——解决对数运算问题的方法(1)将真数化为底数(或已知对数的数)的幂的积，再展开； (2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.3个基本点——对数函数图象的三个基本点 (1)当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．(3)底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系． 2个应用——对数函数单调性的应用 (1)比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． (2)解对数不等式：形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式.数学思想——利用数形结合思想，求解对数不等式问题中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合．“数”与“形”反映了事物两个方面的属性．我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数辅形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．[典例] (2012·新课标全国卷)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] ∵0<x ≤12，∴4x >1又4x <log a x ，∴a ∈(0,1)则函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图所示．∴只需满足log a 12>2即可，解之得a >22，∴22<a <1. [答案] B[题后悟道]1．解决本题的关键是在同一个坐标系内正确画出函数y ＝4x 及y ＝log a x 的图象． 2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循以下三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转化必须是等价的，否则解题将会出现漏解．(2)双向性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，避免代数问题进行几何分析时出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围．[变式训练]1．不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，则a 的取值范围为( ) A ．[165，94 ] B ．[165，94 ]C ．(1，165 ]D ．(1，94 ]解析：选B 不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a >1，其整数解集为{2,3,4}，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧log a 4>(4－1)2，log a 5≤(5－1)2，得165≤a <94.2．不等式ln x ＋x <1的解集为________．解析：ln x ＋x <1⇔ln x <1－x ，于是作出函数y ＝ln x ，y ＝1－x 的图象，如图所示，于是可得不等式ln x ＋x <1的解集为{x |0<x <1}．答案：{x |0<x <1}1．已知函数f (x )＝lg1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A.1b B ．－1bC ．－bD ．b解析：选C 易知f (x )的定义域为(－1,1)，则f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． ∴f (－a )＝－f (a )＝－b .2．(2013·福州模拟)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )解析：选A ∵y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)， x >1，lg (1－x )， x <1，∴A 项符合题意．3．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3) C ．f (－2)<f (1)<f (3) D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：选B 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，f (1)<f (2)<f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)<f (－2)<f (3)．4．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n解析：选B 当a >1时，a 2＋1>2×a ×1＝2a ＝a ＋a >a －1>0，因此有log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即有m >p >n .5．(2013·丹东模拟)函数y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：选C y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x ＝log 2x 2＋1x ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥log 22＝1(x >0)． 6．(2013·黄冈模拟)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为( )A.12，2 B.12，4 C.22， 2 D.14，4 解析：选A f (x )＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，－log2x ，0<x <1，根据f (m )＝f (n )(m <n )及f (x )的单调性，知mn ＝1且0<m <1，n >1. 又f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，由图象知：f (m 2)>f (m )＝f (n )， ∴f (x )max ＝f (m 2)，x ∈[m 2，n ]．故f (m 2)＝2，易得n ＝2，m ＝12.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝lg x ．若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________. 解析：∵f (x )＝lg x ，f (ab )＝1.∴lg(ab )＝1.∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2lg a ＋2lg b ＝2lg(ab )＝2.答案：28．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：(1)当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2.(2)当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a ＝12.由(1)(2)知a ＝2或a ＝12.答案：2或129．若不等式x 2－log a x <0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2－log a x <0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立， ∴0<a <1，且14<log a 12.∴⎩⎨⎧0<a <1，a 14>12，解得116<a <1.答案：⎝⎛⎭⎫116，1 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．解：∵f (x )＝log a x ，当0<a <1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝log a 13＋log a 2＝log a 23>0，当a >1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝－log a 13－log a 2＝－log a 23>0， ∴⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13>|f (2)|总成立．则y ＝|f (x )|的图象如图．要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)． 11．设函数y ＝f (x )且lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )． (1)求f (x )的解析式及定义域； (2)求f (x )的值域； (3)讨论f (x )的单调性．解：(1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]， ∴lg y ＝3x ·(3－x )．∴f (x )＝103x (3－x )且⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，3－x >0，⇒0<x <3. (2)∵f (x )＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝⎛⎭⎫x －322＋274，则f (x )＝10u ，当x ＝32∈(0,3)时，u max ＝274， ∴u ∈⎝⎛⎦⎤0，274.∴f (x )∈(1,10274]． (3)当0<x ≤32时，u ＝－3⎝⎛⎭⎫x －322＋274是增函数，而y ＝10u 为增函数，∴在⎝⎛⎦⎤0，32上，f (x )是增函数，在⎣⎡⎭⎫32，3上，f (x )是减函数． 12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解：(1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )，∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log ax ＋11－x≥m . 设F (x )＝log a 1＋x1－x，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．∵F (x )＝log a1＋x1－x＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －1在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0，故m ≤0即为所求．1．化简下列各式：(1)lg 70－lg 56－3lg 12；(2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋14lg 16.解：(1)原式＝lg(7×10)－lg(7×8)－lg 18＝lg 7＋1－lg 7－lg 8＋lg 8＝1.(2)原式＝2lg 2＋lg 31＋12lg 0.62＋14lg 24＝2lg 2＋lg 31＋lg 2×310＋lg 2＝2lg 2＋lg 31＋lg 2＋lg 3－lg 10＋lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＝1. 2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 3 43，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选B 由对数函数的性质知c ＝log 3 43＝log 1334，由对数函数的单调性知log 1334<log 1323<log 1312，即c 0对x ∈R 恒成立． ∴u min ＝3－a 2>0，∴－3<a <3(或由x 2－2ax ＋3>0的解为R ，得 Δ＝4a 2－12<0，求出－3<a <3)． (2)命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧g (x )在(－∞，1]上为减函数，g (x )>0对x ∈(－∞，1]恒成立 ⇔⎩⎨⎧a ≥1，g (1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ＜2.即所求a 的取值范围是[1,2)．4．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋2kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝m 有解，求m 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )， ∴log 4(4x ＋1)＋2kx ＝log 4(4－x ＋1)－2kx ，即log 44x ＋14－x ＋1＝－4kx .∴log 4 4x ＝－4kx ，即x ＝－4kx ，即(1＋4k )x ＝0，对一切x ∈R 恒成立．∴k ＝－14.(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x ＋1)－12x＝log 4 4x ＋12x ＝log 4⎝⎛⎭⎫2x ＋12x ， ∵2x ＋12x ≥2，∴m ≥log 42＝12.故要使方程f (x )＝m 有解，m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。

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一、填空题
1．×log 218
＋2lg(3＋5＋3－5)的结果为________．解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(3＋5＋3－5)2
＝18＋lg 10＝19.
答案：19
2．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________.解析：由题意得，
f (－2)＝－f (2)＝－lo
g 3(1＋2)＝－1.
答案：－1
3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，
则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：a ＝log 32＝ln 2ln 3<ln 2＝b ，又12＝15<12，a ＝log 32>log 33＝12
，因此c <a 1，g (x )＝log 2x ，则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为________．
解析：如图，函数g (x )的图象与函数f (x )的图象交于两点，且均在
函数y ＝8x －8(x ≤1)的图象上．
答案：2
5．设m 为常数，如果函数y ＝lg(mx 2－4x ＋m －3)的值域为R ，则m 的取值范围是________．解析：因为函数值域为R ，所以mx 2－4x ＋m －3能取到所有大于0的数，即满足m >0，
Δ＝(－4)2－4m (m －3)≥0或m ＝0.解得0≤m ≤4.
答案：[0,4]
6．已知函数f (x )log 3x (x >0)
2x (x ≤0)，则f (f (19
))＝________.
解析：f (19)＝log 319
＝－2，f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14
.答案：14
7．将函数y ＝log 3x 的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m (m >0)倍，得到图象C ，若将y ＝log 3x 的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m ＝________.
解析：将y ＝log 3x 的图象向上平移2个单位，
得到y ＝2＋log 3x ＝log 3(9x )的图象，∴m ＝19
.答案：19
8．设f (x )＝lg (21－x
＋a )是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________．解析：由f (x )是奇函数得f (－x )＋f (x )＝0，即lg 2＋a ＋ax 1＋x ＋lg 2＋a －ax 1－x
＝0，(2＋a ＋ax )(2＋a －ax )＝(1＋x )(1－x )，(2＋a )2－a 2x 2＝1－x 2，因此(2＋a )2＝1且a 2＝1，故a ＝－1，
f (x )＝l
g 1＋x 1－x ，令f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，则有0<1＋x 1－x
<1，即－1<x <0，因此使f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)．答案：(－1,0)
9．已知函数f (x )a －2)x －1，
x ≤1，
a x ，x >1.若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．
解析：－2>0，
>1，
a 1≥(a －2)·1－1，
解得2<a ≤3.答案：(2,3]
二、解答题
10．对于正实数a ，函数y ＝x ＋a x 在(34
，＋∞)上为增函数，求函数f (x )＝log a (3x 2－4x )的单调递减区间．
解析：∵y ＝x ＋a x 在(34，＋∞)上为增函数，。