二次函数 初高中知识衔接

二次函数
二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象和性质
作图(1)2x y = (2) 2x y -= (3) 322-+=x x y
问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2
的图象之间存在怎样的关系？
22从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2
的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？ 利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系,可以作出函
数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2
的图象（如图2所示），从函数不难发现，只要把
函数y ＝2x 2
的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：
由于y ＝ax 2
＋bx ＋c ＝a (x 2
＋b x a
)＋c ＝a (x 2
＋
b x a
＋
22
4b
a
)＋c －
2
4b
a
2
2
4()24b b ac
a x a a -=+
+
，
所以，y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象
作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：
（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为2
4(,
)
24b ac b a
a
--
，对称轴为直线x ＝－
2b a
；当x ＜2b a
-
时，y 随着x 的增大而减小；当x
＞2b a
-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝
2b a
-
时，函数取最小值y ＝2
44ac b a -． （2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为2
4(,)24b
ac b
a a
--
，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b
a
-时，y 随着
x 的增大而减小；当x ＝2b
a
-
时，函数取最大值y ＝
2
44ac b
a
-．
上述二次函数的性质可以分别通过图3和图4直观地表示出来．因此，在解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
图2
图1
函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图象作图要领：
（1） 确定开口方向：由二次项系数a 决定
（2） 确定对称轴：对称轴方程为a
b x 2-
=
（3） 确定图象与x 轴的交点情况(解的个数)
（4） 确定图象与y 轴的交点情况,令x=0得出y=c ，所以交点坐标为（0，c ） （5） 由以上各要素出草图。

例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到
函数y ＝x 2
的图像，求b ，c 的值．
例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值． 练 习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x
（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）
（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题 （1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．
（2）已知二次函数y ＝x 2
+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；
当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点． 3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．（1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．
4．已知函数y ＝－x 2
－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：
（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．
二次函数的三种表示方式
二次函数可以表示成以下两种形式：
图3
图4
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，x1，x2是函数图象与x轴交点的横坐标．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点
（3，－1），求二次函数的解析式．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
例 3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
练习
1．选择题:
（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确定
（2）函数y＝－1
2
(x＋1)2＋2的顶点坐标是（）
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2) 2．填空：
（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式
可设为y＝
a≠0) ．
（2）二次函数y x轴两交点之间的距离为．3
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
例求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
2．对称变换
例求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x＝－1；（2）直线y＝1．
二、分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．
例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．
例4 如图5所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点
A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC 的面积为y．
（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像；（
3）求函数y的取值范围．
C
P 图5。