沪科版(2012)初中数学八年级下册 19.2.4 三角形、梯形中位线的应用 教案
沪科版八年级数学下册同步教案 第19章四边形 平行四边形第4课时三角形的中位线
第4课时三角形的中位线【知识与技能】1.理解三角形中位线的概念,掌握它的性质．2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.【过程与方法】经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力．感悟几何学的推理方法.【情感态度】培养学生合情推理意识,形成几何思维分析思路,体会几何学在日常生活中的应用价值.【教学重点】掌握和运用三角形中位线的性质.【教学难点】三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）.一、创设情境,导入新课如图,A、B两点被池塘隔开,现在要测量出A、B两点间的距离 ,但又无法直接去测量,怎么办？这时,在A、B外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果能测量出MN的长度,也就能知道AB的距离了.这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的问题.【教学说明】通过实例引起学生的思考,激发学生探究的兴趣.二、合作探究,探索新知1.已知,直线m1, m2,m3,互相平行,直线AC和直线A1C1分别交直线m1, m2,m3于点A,B,C和A1,B1,C1,且AB=BC,那么A1B1与B1C1相等吗？为什么？（1）学生先测量长度,总结规律：A1B1= B1C1（2）进行证明（3）教师总结：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.【教学说明】让学生先画图,然后进行测量,猜想结论,教师再引导学生进行证明,最后总结结论.2.如图,点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点.（1）观察DE与BC的位置有什么关系？大小有什么关系？（2）猜想：DE∥BC且DE=12 BC.（3）怎样证明？【分析】所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.方法1：如图（1）,过点D作DE′∥BC,DE′交AC于点E′,根据以上结论,点E′应与点E重合∴DE∥BC,过点D作DF∥AC,DF交BC于点F,则点F为BC的中点∴四边形DFCE为平行四边形∴DE∥BC且DE=12BC方法2：如图（2）,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由△ADE≌△CFE,可得AD ∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC,DF=BC,因为DE=12DF,所以DE∥BC且DE=12BC.3.三角形中位线定理三角形两边中点连线平行于第三边,并且等于第三边的一半.【教学说明】先让学生画图,然后观察猜想结论,关于中位线定理的证明方法不止一种,教师可以让学生先自主探索,教师在学生探究的时候可以给予适当的提示,然后让学生进行证明,最后教师再引导学生总结中位线定理,教师强调三角形的中位线有位置和大小两个结论.三、示例讲解,掌握新知例已知：如图（1）,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.【分析】因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点,可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以添加辅助线,连接AC或BD,构造“三角形中位线”的基本图形后,此题便可得证.证明：连结AC（图（2））,△DAC中,∵AH=HD,CG=GD,∴HG∥AC,HG=12AC（三角形中位线性质）.同理EF∥AC,EF=12 AC.∴HG∥EF,且HG=EF.∴四边形EFGH是平行四边形.此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.【教学说明】构建三角形的中位线是重要的作辅助线的方法,教师在讲解时一定要讲清楚为什么这样作辅助线,有什么作用,使学生掌握方法.四、练习反馈,巩固提高1.如图所示,EF是△ABC的中位线,若BC=8cm,则EF=_____cm.2.三角形的三边长分别是3cm,5cm,6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是_____cm.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,则连结两条直角边中点的线段长为_____.4.如图所示,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE=EB,求证：OE∥BC．第4题第5题5.如图,点E,F,G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.【答案】1.4 2.7 3.6.54.∵AE＝BE,∴E是AB的中点.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO＝OC,∴EO是△ABC的中位线.∴OE∥BC5.连接BD,∵H为AD中点,G为AB中点,∴GH为△ABD中位线.∴GH∥BD且GH=12 BD.∵E为CD中点,F为BC中点, ∴FE为△DCB中位线.∴FE∥BD且FG=12 BD,∴HGEF.∴四边形EFGH是平行四边形.【教学说明】学生独立完成练习,加深巩固所学知识.对于第5题,教师可以引导学生先分析怎样做辅助线,然后再进行解答.五、师生互动,课堂小结1.三角形的中位线定理是什么？2.三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？【教学说明】对于三角形的中位线定理要强调从位置和大小两个方面考虑,要注意区分三角形的中位线与中线.完成同步练习册中本课时的练习.本课时所要探究的三角形的中位线定理是学生以前从未接触过的内容.因此,在教学中通过创设有趣的情境问题,激发学生的学习兴趣,注重新旧知识的联系,强调直观与抽象的结合,鼓励学生大胆猜想,大胆探索新颖独特的证明方法和思路,让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程,体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用,同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法.通过本节课的学习,应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系,而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路,从而提高学生分析问题、解决问题的能力.。
沪科版八年级下册数学三角形的中位线定理》
B
C
证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.
A
D
E
F
B
C
练习1
已知: 三角形各边长分别8cm,10cm和12cm.求 以各边中点为顶点的三角形的周长.
A
F
E
B
D
C
练习2
求证: 三角形的一条中位线与第Fra bibliotek边上的 中线互相平分.
A
F
E
B
D
C
练习3
已知:在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是 边AB,CD,AC,BD的中点.
三角形的中位线定理
回顾与思考
平行四边形的性质与判定
性质
判定
边 角 对角线 推论
平行四边形的两组 ①两组对边分别平行的四边形 对边①分别平行 ②两组对边分别相等的四边形 ②分别相等 ③一组对边平行且相等的四边形
平行四边形的①对 角相等②邻角互补 两组对角分别相等的四边形
平行四边形的 对角线互相平分
对角线互相平分四边形
求证: 四边形EGFH是平行四边形.
D
F
C
G
H
A
E
B
练习4
如图，顺次连结四边形ABCD各边中点E、F、 H、M，得到的四边形EFHM是平行四边形吗？ 为什么？
任意四边形ABCD各边中点
A E
的连线都是平行四边形. M
B
F
证明:连接AC.
D
H
C
夹在两条平行线间的平行线段相等
定义：连接三角形两边中点的线段
叫做三角形的中位线.
操作: 画出一个任意三角形，画
出它的一条中位线，试探究这 条中位线和第三边之间的关系。
沪科版八年级数学下册第十九章 19.2.4 三角形的中位线定理 课件
新知导入 动手操作 (1)在横格纸上画直线l1，使得l1与横线垂直，观察l1被个条子横线分成的线 段是否相等？ (2)再画一条直线l1那么 l2被各条横线分成的线段有何关系？
猜想 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截 得的线段也相等. 如何来证明？
新知讲解
已知直线l1 、 l2 、 l3互相平行，直线AC与直线A1C1分别交直线l1 、 l2 、 l3于 点A ， B ， C，和点A1 ， B1 ， C1，且AB=BC，求证A1B1=B1C1
测出MN的长，就可知A、B两点的距离.
如果，M、N两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？ 两次利用中位线，分别取CM和CN的中点.
课堂练习
4.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°, D是斜边AB的中
点，E是BC的中点.
（1）DE⊥BC吗？为什么？
A
解：∵DE∥BC，∠C=90°， ∴DE⊥BC. （2）若AB=10,DE=4, 求△AB分割为三角形,利
A E B
用三角形的中位线可转化两组对边分
H
F
别平行或一组对边平行且相等来证明.
D
G
C
新知讲解
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
AE
∴EF∥AC, EF 1 AC.
2
H
HG∥AC, HG 1 AC.
B F
2
∴ EF∥HG, EF=HG.
证明:过点B1作EF平行AC ，分别交直线L1 、 L2于点EF, ∴四边形ABB1E，BCFB1都是平行四边形
EB1 AB,B1F=BC. AB=BC
EB1 =B1F A1EB1 B1FC1, A1B1E C 1 B1F
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.6 《梯形中位线 》 教案
EBC ADFEBCAD FDA E《梯形中位线 》教案 〖教学目标〗1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线性质.2．能够运用梯形中位线的概念及性质进行有关的计算和证明.3．经历“操作-观察-猜想-验证”的探索过程，进一步感受数学中的化归思想．、 〖教学重点〗梯形中位线及其性质的应用 〖教学难点〗梯形中位线性质的证明 教学过程： 一、知识回顾1.三角形中位线定理：△ABC 中，D 、E 分别为AB 、 AC 边上的中点，则DE//BC DE=1/2BC （位置关系、数量关系） 2.其它衍生结论：△ADE 与△ABC 的周长比为1:2 ，面积比为1:4...... 二、学习新知（一）概念：联结梯形两腰的中点的线段 ，叫梯形中位线如图：梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 为AB 、CD 的中点，则EF 为梯形ABCD 的中位线概念辨析：识别下图中EF 是否为梯形的中位线HFE B C AD（二）学生操作：度量EF 、AD 、BC ，AD+BC ，∠B ∠AEF （三）类比猜测：EF 与AD 、BC 的关系：位置关系 EF//AD//EF 数量关系 EF=1/2(AD+BC) (五）分析证明：(六）得出新知：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半即：梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 为AB 、CD 的中点，则 EF//AD//EF EF=1/2(AD+BC) （七）巩固练习1．一个梯形的上底长4 cm ，下底长6 cm ，则其中位线长为 cm ．2．一个梯形的上底长10 cm ，中位线长16 cm ，则其下底长为 cm ． 3．已知梯形的中位线长为6 cm ，高为8 cm ，则该梯形的面积为________ cm 2 4．已知等腰梯形的周长为80 cm ，中位线与腰长相等，则它的中位线长cm ．三、应用新知例题7、一把梯子部分如图所示,已知：AB//CD//EF//GH ,AC=CE=EG,BD=DF=FH,AB=0.3m ，CD=0.4m,求EF 、GH 的长。
上海教育八年级专项复习之三角形梯形中位线
专项复习之三角形、梯形中位线【知识要点】1．三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。
注意：三角形的中位线有3条。
2．三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。
3．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段注意：（1）不是连结两底中点，是连接两腰的中点；（2）梯形的中线是唯一的4．梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。
【典型例题】例题1．试证明梯形的中位线定理。
已知：梯形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，EF//BC//AD 。
求证：)(21BC AD EF +=。
思考：试证明2、4两个推论。
ABCFED例题2．如图，已知AB//EF//GH//DC，且AE=EG=GD，AB=3，DC=6。
求：EF、GH 的长。
A B思考：求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
例题3．求证：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
总结：顺次连结四边形各边中点所得的四边形常称为中四边形，则任何一个四边形的中四边形是 。
（1）当原四边形对角线 ，它的中四边形是矩形。
（2）当原四边形对角线 ，它的中四边形是菱形。
（3）当原四边形对角线 ，它的中四边形是正方形。
例题4．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：DC GH 21=。
例题5．如图，在ABC ∆中，D 为BC 边上的中点，E 、F 为AB 的三等分点。
求证：GE BG 3=。
ABDCFE例题6．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD ，EF 为中位线，EG=10，GF=4，AB=10。
求梯形的周长和面积。
例题7.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。
求证：MD ⊥MC 。
例1图NM DCB A例题8.如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。
最新沪科版八年级下册数学精品课件19.2(4) 三角形的中位线
E
三角形的中线一样 吗？
• 第四级
• 第五级
B
F
C 三角形中位线
中线 三角形中位线是连接三角
三角形中线
形两边中点的线段．
连接一顶点和它的对边中点的线段.
2019/8/20
4
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思考
• 单击(1此)一处个编三辑角母形版有文几本条样中式位线？你能画出来吗？
• 第二级 A • 第三级 • 第四级 • 第五级
间•的第距二离级，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A、B
外选一• 第点三C级，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D、
• 第四级
E，如果能测• 量第五出级 DE的长度，也就知道AB的距离了。这是
什么道理呢？
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2
单击此处编母版标题样式
合作探究
活动：探究三角形的中位线的定理及应用
单击此处编母版标题样式
• 单击此处1编9辑.母2版文本平样式行四边形 • 第二级 • 第三级 • 第四级 • 第五级 第4课时 三角形的中位线
情景 引入
2019/8/20Biblioteka 合作 探究课堂 小结
1
随堂 训练
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情景引入
如图，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点
•
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例2 （2）上述条件不变，若AO=4，BC=8，则四边
• 形单D击E此M处N的编周辑长母是版文本12样式 .
• 第二级
提• 示第三级 • 第四级 • 第五级
利用三角形中位线性质
定理可知EM=2，MN=4
2019/8/20
13
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上海科学技术出版社初中数学八年级下册 三角形的中位线定理【市一等奖】
《梯形的中位线》教案设计一、教材分析：本节课要研究的是梯形的中位线，它是在学生已经学过三角形中位线基础上进行的，是本章的重点内容之一。
学习并掌握梯形的中位线的概念和性质，将有利于提高学生解决四边形中的一些计算问题、证明问题和实践性问题的能力。
另外，通过本节课的教学，可向学生渗透类比和转化的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
因此，本节课无论是在知识的学习，还是对学生能力的培养上都起着十分重要的作用。
二、教学目标：1、知识目标：使学生初步掌握梯形中位线的概念及其定理。
掌握梯形面积的第二个计算公式。
2、能力目标：使学生会运用梯形中位线定理来解决相关问题；通过直观演示、猜想实践、归纳论证等教学环节，培养学生类比和转化的思想方法，锻炼学生独立的思考能力、缜密的逻辑思维能力和观察归纳的能力。
3、情感目标：培养学生理论联系实际的科学态度。
通过创设愉悦的学习情境，使学生自始至终处于积极思考、大胆置疑、勇于创新、合作学习的氛围中，从而提高学习兴趣和教学效益。
三、教学的重、难点：（1）重点：梯形中位线的概念及其定理；（2）难点：梯形中位线定理的发现和论证的思想方法。
突破难点的关键：在重现知识的发生过程中，运用数学转化的思想和方法，在丰富学生的感性认识的基础上，提高学生的认知水平。
本节课设计的探究活动和分组讨论的教学环节，就是为了使学生能在教师引导下，发现梯形中位线的性质，并合理地添加辅助线证明定理。
四、教学方法和手段：为使几何课上得有趣、生动和高效，结合本节课内容和学生的实际情况，采用引导发现和设疑诱导的教学方法。
在教学过程中，通过创设富有启发性和研究性的问题情景，激发学生对问题的猜想和思考，激发学生探求知识的欲望，自觉地经历从发现问题到解决问题的知识发生的全过程。
并使学生始终处于主动探索新知的积极状态，使其获取新知识的能力得到提高。
为了增强教学的直观性，有利于教学难点的突破，增大课堂容量，提高教学效率，采用了多媒体计算机辅助教学手段。
沪科版八年级数学下册《三角形的中位线定理》说课稿
沪科版八年级数学下册《三角形的中位线定理》说课稿一、引入大家好！今天我给大家介绍的是沪科版八年级数学下册中的《三角形的中位线定理》这一知识点。
中位线是我们在学习三角形时经常会接触到的一个概念，通过本节课的学习，我们将会了解到中位线的定义、性质和应用。
下面，让我们一起来探索吧！二、知识点概述2.1 中位线的定义在一个三角形中，连接任意两边中点的线段称为该三角形的中位线。
对于任意三角形ABC，连接AB的中点D和AC的中点E，就可以得到DE为三角形ABC的中位线。
2.2 中位线的性质1.三角形的三条中位线交于一点，且该点是各中位线中点连接线段的中点。
这个点被称为三角形的重心。
2.三角形的每条中位线上的长度都等于另外两条中位线长度之和的一半。
2.3 中位线的应用中位线定理是解决三角形相关问题的有力工具。
对于一些几何问题，我们可以通过中位线的性质来简化问题的求解过程。
同时，中位线的概念也和其他几何知识相互联系，可以为我们理解和解决其他相关问题提供帮助。
三、教学重点和难点3.1 教学重点1.掌握中位线的定义和性质。
2.理解中位线定理，并能够运用中位线定理解决问题。
3.2 教学难点1.将中位线的性质与实际问题联系起来，灵活运用中位线定理解决问题。
2.培养学生的几何思维能力和推理能力。
四、教学过程4.1 导入问题请同学们思考一个问题：在三角形ABC中，连接AB的中点D和AC的中点E，我们可以得到中位线DE。
此时，我们有哪些有趣的发现和猜想？如果你想测量三角形的面积，你会如何计算？引导学生思考和讨论，激发学生的兴趣和好奇心，为接下来的学习做好铺垫。
4.2 中位线的定义和性质讲解通过示意图，简单介绍和讲解中位线的定义和性质，并结合具体例子进行说明。
鼓励学生积极参与，提出问题和发表自己的观点。
4.3 中位线定理的证明由于时间和难度的限制，我们暂时不进行中位线定理的严格证明，而是希望通过学生对性质的理解和观察，对定理的正确性进行讨论和推理。
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三角形、梯形中位线的应用
教学目标：1、灵活运用中位线定理解决相关问题。
2、在解决有关线段的倍分问题是能考虑运用中位线定理
解决。
3、在解决复杂问题的过程中通过动态图形找出其中的不
变量，培养学生分析问题、解决问题的能力。
重点与难点：1、中位线定理的灵活应用。
2、如何取中点构造中位线。
教学过程：
例1、 已知:如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC.AD=8，BC=20，E 、F
是AB 的三等分点，M 、N 是CD 的三等分点，
且EM ∥BC ∥FN.
求：EM 、FN 的长.
（目的：有关中位线的问题，可以建立方程来解决：
例2、已知:如图,在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD,E 是BC 的中点。
求证：DE ∥AB 且DE= .
（目的：通过观察图形的特征来构造中位线）
例3、已知:如图,在梯形ABCD 中，F 是DC 的中点，过F 作FG ∥AB ，交BC 于G. 求证：GC= .
（目的：多种添线方法中，注意叙述方式，否则就无
法应用中位线定理）
)(21AC AB -D B
A )(21AD BC -G F
B
C
D A
例4、已知如图：在四边形ABCD 中，AC=BD,且相较于点O,E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 分别交AC 、BD 于点G 、H. 求证：OG=OH （目的：有两个中点，又无法构成中位线时，可以考虑再取中 点，构成中位线，取中点时注意结合已知条件）
例5、已知:如图,在四边形ABCD 中，AD=BC, F 、M 分别是CD 、AB 的中点，AD 、MF 的延长线交于点G ，MF 、BC 的延长线交于点E.
求证：∠DGF=∠CEF.
（目的：对前面知识的巩固和运用）
思考：已知在R t ∆ABC 中，AB=BC ，在 R t ∆ADE 中，AD=DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结DM 和BM.
（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上，且与点B 不重合，（如左图）
求证：BM=DM ，B M ⊥DM;
（2）如果将上题中的∆ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，
那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给出证明。
(目的：培养学生的综合能力)
知识总结：见PPt
作业：练习卷 O H
G
E F
B
D A G
E
F
B D
C M E
B C A D M E B C A。