等额本息和等额本金计算公式

等额本息和等额本金计算公式
等额本金:
本金还款和利息还款：
月还款额=当月本金还款+当月利息式1
其中本金还款是真正偿还贷款的。

每月还款之后，贷款的剩余本金就相应减少：
当月剩余本金=上月剩余本金-当月本金还款
直到最后一个月，全部本金偿还完毕。

利息还款是用来偿还剩余本金在本月所产生的利息的。

每月还款中必须将本月本金所产生的利息付清：
当月利息=上月剩余本金×月利率式2
其中月利率=年利率÷12。

据传工商银行等某些银行在进行本金等额还款的计算方法中，月利率用了一个挺孙子的算法，这里暂且不提。

由上面利息偿还公式中可见，月利息是与上月剩余本金成正比的，由于在贷款初期，剩余本金较多，所以可见，贷款初期每月的利息较多，月还款额中偿还利息的份额较重。

随着还款次数的增多，剩余本金将逐渐减少，月还款的利息也相应减少，直到最后一个月，本金全部还清，利息付最后一次，下个月将既无本金又无利息，至此，全部贷款偿还完毕。

两种贷款的偿还原理就如上所述。

上述两个公式是月还款的基本公式，其他公式都可由此导出。

下面我们就基于这两个公式推导一下两种还款方式的具体计算公式。

1. 等额本金还款方式
等额本金还款方式比较简单。

顾名思义，这种方式下，每次还款的本金还款数是一样的。

因此：
当月本金还款=总贷款数÷还款次数
当月利息=上月剩余本金×月利率
=总贷款数×（1－（还款月数-1）÷还款次数）×月利率
当月月还款额=当月本金还款＋当月利息
=总贷款数×（1÷还款次数＋（1－（还款月数-1）÷还款次数）×月利率）
总利息＝所有利息之和
=总贷款数×月利率×（还款次数－（１＋２＋３＋。

＋还款次数－1）÷还款次数）
其中1+2+3+…+还款次数－１是一个等差数列，其和为（1＋还款次数－１）×（还款次数－１）／2＝还款次数×（还款次数－１）／２
:总利息=总贷款数×月利率×（还款次数＋1）÷2
由于等额本金还款每个月的本金还款额是固定的，而每月的利息是递减的，因此，等额本金还款每个月的还款额是不一样的。

开始还得多，而后逐月递减。

等额本息还款方式:
等额本金还款，顾名思义就是每个月的还款额是固定的。

由于还款利息是逐月减少的，因此反过来说，每月还款中的本金还款额是逐月增加的。

首先，我们先进行一番设定：
设：总贷款额＝Ａ
还款次数＝Ｂ
还款月利率＝Ｃ
月还款额＝Ｘ
当月本金还款＝Ｙｎ（ｎ＝还款月数）
先说第一个月，当月本金为全部贷款额＝Ａ，因此：
第一个月的利息＝Ａ×Ｃ
第一个月的本金还款额
Ｙ１＝Ｘ－第一个月的利息
＝Ｘ－Ａ×Ｃ
第一个月剩余本金＝总贷款额－第一个月本金还款额
＝Ａ－（Ｘ－Ａ×Ｃ）
＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ
再说第二个月，当月利息还款额＝上月剩余本金×月利率
第二个月的利息＝（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ
第二个月的本金还款额
Ｙ２＝Ｘ－第二个月的利息
＝Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ
第二个月剩余本金＝第一个月剩余本金－第二个月本金还款额
＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ－（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ）
＝Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ－Ｘ＋（Ａ×（１＋Ｃ）－Ｘ）×Ｃ
＝Ａ×（１＋Ｃ）×（１＋Ｃ）－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］
＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］
(1+C)^2表示(1+C)的2次方
第三个月，
第三个月的利息＝第二个月剩余本金×月利率
第三个月的利息＝（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ第三个月的本金还款额
Ｙ３＝Ｘ－第三个月的利息
＝Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ
第三个月剩余本金＝第二个月剩余本金－第三个月的本金还款额
＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］
－（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ）
＝Ａ×（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］
－（Ｘ－（Ａ×（１＋Ｃ）^２×Ｃ＋［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］）×Ｃ）
＝Ａ×（１＋Ｃ）^２×（１＋Ｃ）
－（Ｘ＋［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ］×（１＋Ｃ））
＝Ａ×（１＋Ｃ）^３－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ＋（１＋Ｃ）^２×Ｘ］
上式可以分成两个部分
第一部分：Ａ×（１＋Ｃ）^３。

第二部分：［Ｘ＋（１＋Ｃ）×Ｘ＋（１＋Ｃ）^２×Ｘ］
＝Ｘ×［１＋（１＋Ｃ）＋（１＋Ｃ）^２］
通过对前三个月的剩余本金公式进行总结，我们可以看到其中的规律：
剩余本金中的第一部分＝总贷款额×（１＋月利率）的ｎ次方，（其中ｎ＝还款月数）
剩余本金中的第二部分是一个等比数列，以（１＋月利率）为比例系数，月还款额为常数系数，项数为还款月数ｎ。

推广到任意月份：
第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ－Ｘ×Ｓｎ（Ｓｎ为（１＋Ｃ）的等比数列的前ｎ项和）
根据等比数列的前ｎ项和公式：
１＋Ｚ＋Ｚ２＋Ｚ３＋．．．＋Ｚｎ－１＝（１－Ｚ^ｎ）／（１－Ｚ）
可以得出
Ｘ×Ｓｎ＝Ｘ×（１－（１＋Ｃ）^ｎ）／（１－（１＋Ｃ））
＝Ｘ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ
所以，第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ－Ｘ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ
由于最后一个月本金将全部还完，所以当ｎ等于还款次数时，剩余本金为零。

设ｎ＝Ｂ（还款次数）
剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^Ｂ－Ｘ×（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）／Ｃ＝０
从而得出
月还款额
Ｘ＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ÷（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
＝总贷款额×月利率×（１＋月利率）^还款次数÷[（?000保 吕 剩 还款次数－１]
将Ｘ值带回到第ｎ月的剩余本金公式中
第ｎ月的剩余本金＝Ａ×（１＋Ｃ）^ｎ－［Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）］×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ
＝Ａ×［（１＋Ｃ）^ｎ－（１＋Ｃ）^Ｂ×（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）］
＝Ａ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^ｎ］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
第ｎ月的利息＝第ｎ－１月的剩余本金×月利率
＝Ａ×Ｃ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^(ｎ－１)］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
第ｎ月的本金还款额＝Ｘ－第ｎ月的利息
＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）－Ａ×Ｃ×［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^(ｎ－１)］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
＝Ａ×Ｃ×（１＋Ｃ）^(ｎ－１)／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
总还款额＝Ｘ×Ｂ
＝Ａ×Ｂ×Ｃ×（１＋Ｃ）^Ｂ÷（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
总利息＝总还款额－总贷款额＝Ｘ×Ｂ－Ａ
＝Ａ×［（Ｂ×Ｃ－１）×（１＋Ｃ）^Ｂ＋１］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）
等额本息还款，每个月的还款额是固定的。

由于还款初期利息较大，因此初期的本金还款额很小。

相对于等额本金方式，还款的总利息要多。

等额本息还款法：
每月应还金额：a*[i*(1+i)^n]/[(1+I)^n-1]
注：a贷款本金i贷款月利率n贷款月数
等额本息还款公式推导设贷款总额为A，银行月利率为β，总期数为m（个月），月还款额设为X，则各个月所欠银行贷款为：第一个月A 第二个月A（1＋β）-X 第三个月（A（1＋β）-X）（1＋β）-X＝A(1＋β)2-X[1+(1+β)] 第四个月（（A（1+β）-X）（1＋β）-X）（1＋β）-X ＝
A(1+β)3-X[1+(1+β)+(1+β)2] … 由此可得第n个月后所欠银行贷款为
A(1+β)n –X[1+(1+β)+(1+β)2+…+(1+β)n-1]= A(1+β)n
–X[(1+β)n-1]/β由于还款总期数为m，也即第m月刚好还完银行所有贷款，因此有 A(1+β)m –X[(1+β)m-1]/β=0 由此求得 X = Aβ(1+β)m /[(1+β)m-1]。