北京市中考数学二模试卷2套解析版
2022年北京市朝阳区中考数学二模试卷及答案解析
2022年北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个。
1．（2分）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）2021年《中共中央国务院关于完整准确全面贯彻新发展理念做好碳达峰碳中和工作的意见》发布，明确了我国实现碳达峰碳中和的时间表、路线图．文件提出到2030年森林蓄积量达到190亿立方米．将19000000000用科学记数法表示应为（）A．19×109B．1.9×1010C．0.19×1011D．1.9×109 3．（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足a+b＞0，则b的值可以是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（2分）如图，点C，D在直线AB上，OC⊥OD，若∠ACO＝120°，则∠BDO的大小为（）A．120°B．140°C．150°D．160°5．（2分）从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（）A．B．C．D．7．（2分）9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数a与这9个数都不相等．把a和这9个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（）A．这两组数据的平均数一定相同B．这两组数据的方差一定相同C．这两组数据的中位数可能相同D．以上结论都不正确8．（2分）用绳子围成周长为10m的正x边形．记正x边形的边长为ym，内角和为S°．当x在一定范围内变化时，y和S都随着x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．一次函数关系，反比例函数关系C．反比例函数关系，二次函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（2分）分解因式：2m2﹣2n2＝．11．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝70°，PA，PC是⊙O的切线，∠P＝°．13．（2分）如图，OP平分∠MON，过点P的直线与OM，ON分别相交于点A，B，只需添加一个条件即可证明△AOP≌△BOP，这个条件可以是（写出一个即可）．14．（2分）如图所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均是格点，以这三条线段为边的三角形是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象与直线x＝1的交点的纵坐标为2，则该图象与直线y＝﹣2的交点的横坐标为．16．（2分）围棋是一种起源于中国的棋类游戏，在春秋战国时期即有记载，围棋棋盘由横纵各19条等距线段构成，围棋的棋子分黑白两色，下在横纵线段的交叉点上．若一个白子周围所有相邻（有线段连接）的位置都有黑子，白子就被黑子围住了．如图1，围住1个白子需要4个黑子，围住2个白子需要6个黑子，如图2，围住3个白子需要8个或7个黑子．像这样，不借助棋盘边界，只用15个黑子最多可以围住个白子．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）17．（5分）计算：．18．（5分）解分式方程：．19．（5分）解不等式x﹣5＜，并写出它的所有非负整数解．20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，2）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．21．（5分）已知：线段AB．求作：△ABC，使得∠A＝90°，∠C＝30°．作法：①分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线AB的一侧相交于点D；②连接BD并延长，在BD的延长线上取一点C，使得CD＝BD；③连接AC．△ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AD．∵AB＝BD＝AD，∴△ABD是等边三角形（）（填推理的依据）．∴．∠B＝∠ADB＝60°．∵CD＝BD，∴CD＝AD．∴．∠DAC＝∠ACB．∴∠ADB＝∠DAC+∠ACB（）（填推理的依据）＝2∠ACB．∴∠ACB＝30°．∴∠BAC＝90°．22．（6分）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．（1）求证：四边形OMPN是矩形；（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长．23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，DE＝DC．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OA＝4，OE＝2，求cos D．24．（6分）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．d（米）0 1.0 3.0 5.07.0h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）25．（5分）某年级共有300名学生，为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取30名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，相关信息如下：a.30名学生A，B两门课程成绩统计图：b.30名学生A．B两门课程成绩的平均数如下：A课程B课程平均数85.180.6根据以上信息，回答下列问题：（1）在这30名学生中，甲同学A课程成绩接近满分，B课程成绩没有达到平均分．请在图中用“〇”圈出代表甲同学的点；（2）这30名学生A课程成绩的方差为s12，B课程成绩的方差为s22，直接写出s12，s22的大小关系；（3）若该年级学生都参加此次测试，估计A，B两门课程成绩都超过平均分的人数．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且MN⊥DE，垂足为点F．（1）如图1，当点N与点C重合时，求证：MN＝DE；（2）将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，①依题意补全图2；②用等式表示线段MH，HF，FN之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB＝1，且A，B两点中至少有一点在⊙O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′（A′，B′分别为点A，B 的对应点），若线段A′B′上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图1，点A1，B1的坐标分别为（﹣3，0），（﹣2，0），线段A1B1到⊙O的“平移距离”为，点A2，B2的坐标分别为（﹣，），（，），线段A2B2到⊙O的“平移距离”为；（2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d 的最小值；（3）如图2，若点A坐标为（1，），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．2022年北京市朝阳区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个。
2024北京二中初三二模数学试卷和答案
2024北京二中初三二模数 学一、选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ）A. 25(2)3y x =++B. 25(2)3y x =-+C. 25(2)3y x =--D. 25(2)3y x =+-3. 已知O 的半径为 r ，点P 到圆心的距离为d ．如果d r ≥，那么点P （ ）A. 在圆外B. 在圆外或圆上C. 在圆内或圆上D. 在圆内4. 一个多边形的内角和等于1260︒，则它是（ ）A. 五边形B. 七边形C. 九边形D. 十边形5. 正比例函数y=kx 和反比例函数2k 1y x+=-（k 是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是A. B. C. D.6. 若13a a -=-，则221a a +的结果是（ ）A. 7 B. 9 C. ﹣9 D. 117. 如图是30名学生A ，B 两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A 课程成绩的方差为21S ，B 课程成绩的方差为22S ，则21S ，22S 的大小关系为（ ）A. 2212s s <B. 2212s s =C. 2212S s >D. 不确定8. 如图①，底面积为230cm 的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度()cm h 与注水时间()s t 之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为215cm ，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）2cmA. 24B. 12C. 18D. 21二、填空题（本大题共8小题）9. 分解因式：32232x y x y xy -+-= ______10. 如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB ＝3米，AC ＝10米，则旗杆CD 的高度是_________米．11. 若分式67x--的值为正数，则x 满足______12. 请写出一个解为34x y =⎧⎨=-⎩，的二元一次方程组，这个方程组可以是_________．13. 若点P 是△ABC 角平分线的交点，且S △ABC ＝30，C △ABC ＝30，则点P 到边AB 的距离是 _____．14. 如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，AB AC =，72C ∠=︒，若4AB =，则CE 的长度为________．15. 正六边形内接于圆，则它的边所对的圆周角的度数为______．16. 某超市现有n 个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0．为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，则需要至少同时开放_______个收银台．三．解答题（共12小题，满分68分）17. 计算：2cos45°﹣|1|＋（13）﹣118. 解不等式组243(2)312x x x +≤+⎧⎨-<⎩．19. 已知关于x 的一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根是0，求方程的另一个根．20. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交⊙O 于点D ；②连接BD ，以O 为圆心BD 长为半径画圆；③大⊙O 即为所求作．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成如下证明：证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD r∴S 大⊙O ＝πr ）2＝ S 小⊙O ．21. 如图，在ABC 中，点D 为AC 边上一点，连结BD 并延长到点E ，过点E 作EF BC ∥交AC 于点F ，交AB 于点G ．（1）若BD DE =，求证：CD DF =；（2）若7025BG GE ACB E =∠=︒∠=︒，，，求∠A 的度数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()230y ax bx a =+-≠，经过点()1,0A -，()4,5B ．（1）求该抛物线的解析式．（2）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ，当PM PN >时，求点P 的横坐标p x 的取值范围．23. 小彬在今年的篮球联赛中表现优异．下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的技术统计．场次对阵甲队对阵乙队得分篮板失误得分篮板失误第一场2110225172第二场2910231150第三场2414316124第四场261052282平均值a 11223.5132（1）小彬在对阵甲队时的平均每场得分a 的值是______分；（2）小彬在这8场比赛的篮板统计数据中，众数是______，中位数是______；（3）如果规定“综合得分”为：平均每场得分1⨯+平均每场篮板 1.2⨯+平均每场失误()1⨯-，且综合得分越高表现越好．利用这种方式，我们可以计算得出小彬在对阵乙队时的“综合得分”是37.1分．请你比较小彬在对阵哪一个队时表现更好，并说明理由．24. 如图1，直线AB 与直线1l ，2l 分别交于C ，D 两点，点M 在直线k 上，射线DE 平分ADM ∠交直线1l 于点Q ，2AC Q C D Q ∠=∠．（1）证明：12l l ∥；（2）如图2，点P 是CD 上一点，射线QP 交直线2l 于点F ，70ACQ ∠=︒．①若15QFD ∠=︒，求出FQD ∠的度数．②点N 在射线DE 上，满足QCN QFD ∠=∠，连接CN ，请补全图形，探究CND ∠与PQD ∠的等量关系，并写出证明过程．25. 小云在学习过程中遇到一个函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而 ，且10y >；对于函数221y x x =-+，20x -≤<当时，2y 随x 的增大而 ，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而 ．（2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：x 0121322523L y 0116167161954872L综合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象．（3）过点(0，)(0)m m >作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则m 的最大值是_________．26. 小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为21,s 5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为22s ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为23s ．直接写出222123,,s s s 的大小关系．27. 如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，D ，E 分别为AB ，BC 上一点，∠CDE ＝∠A ．（1）如图1，若BC ＝BD ，∠ACB ＝90°，则∠DEC 度数为_________°；（2）如图2，若BC ＝BD ，求证：CD ＝DE ；（3）如图3，过点C 作CH ⊥DE ，垂足为H ，若CD ＝BD ，EH ＝1，求DE －BE 的值．28. 问题探究：（1）如图1，在等边ABC 中，3AB =，点P 是它的外心，则PB ＝ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，3AB =，边BC 上存在点P ，使90APD ∠=︒，求矩形ABCD 面积的最小值；问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD 中，3AB =，90A B ∠=∠=︒，45C ∠=︒，边CD 上存在点P ，使60APB ∠=︒，在此条件下，四边形ABCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1. 【答案】B【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选B．2. 【答案】B【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．【详解】解：抛物线y=5x2先向右平移2个单位得到解析式：y=5（x-2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=5（x-2）2+3．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．3. 【答案】B【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P 在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．【详解】解：∵⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d．如果d≥r，∴P点在圆外或圆上．故选B．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．4. 【答案】Cn-⨯=，然后解方程即【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(2)1801260可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，n-⨯=，(2)1801260n=，解得9故这个多边形为九边形．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握n 边形的内角和为2180()n -⨯︒．5. 【答案】C【分析】首先判断出反比例函数所在象限，再分情况讨论正比例函数y=kx 所过象限，进而选出答案．【详解】反比例函数2k 1y x+=-（k 是常数且k≠0）中，()2k 1-+＜0，图象在第二、四象限，故A 、D 不合题意，当k ＞0时，正比例函数y=kx 的图象在第一、三象限，经过原点，故C 符合；当k ＜0时，正比例函数y=kx 的图象在第二、四象限，经过原点，故B 不符合；．故选C ．6. 【答案】D【分析】根据完全平方的特征对式子进行整理，即(a-1a )2+2，最后整体代入进行计算可得结果.【详解】解：∵13a a -=-，∴221a a +＝（a ﹣1a ）2+2＝（﹣3）2+2＝9+2＝11，故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式．7. 【答案】A【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，由图可知，B 课程成绩的波动大，A 课程成绩的波动小，∴2212s s <；故选：A ．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8. 【答案】A【分析】根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s ，满过“几何体”上方圆柱需()24186s -=，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需()422418s -=，再设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为cm a ，根据圆柱的体积公式得()3015185a ⋅-=⨯，解得6a =，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm ，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据圆柱的体积公式得()()53052418S ⋅-=⨯-，再解方程即可求解．【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为14cm ，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm ，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：()422418s -=，这段高度为：)14113m (c -=，设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，则18303x ⋅=⨯，解得5x =，即匀速注水的水流速度为35cm /s ；“几何体”下方圆柱的高为cm a ，则3015185()a ⋅-=⨯，解得6a =，所以“几何体”上方圆柱的高为)1165m (c -=，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据题意得()()53052418S ⋅-=⨯-，解得24S =，即“几何体”上方圆柱的底面积为224cm ，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键．二、填空题（本大题共8小题）9. 【答案】()2xy x y --【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法和完全平方公式即可作答．【详解】32232x y x y xy -+-()222xy x xy y =--+()2xy x y =--，故答案为：()2xy x y --．10. 【答案】6【分析】由题意得90ABE ACD ∠=∠=︒，则△ABE ∽△ACD ，根据相似三角形的性质得BE AB CD AC =，即可得．【详解】解：如图：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AC ，∴90ABE ACD ∠=∠=︒，∴△ABE ∽△ACD ，∴BE ABCD AC =，∴1.8310CD =，解得：CD ＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．11. 【答案】7x >【分析】本题考查了分式，解不等式，要使得分数为正数，则分子、分母必须同号，据此作答即可．【详解】根据题意有：67x ->0-，∵60-<，∴70x -<，∴7x >，故答案为：7x >．12. 【答案】17x y x y +=-⎧⎨-=⎩【分析】由题意知，可组的二元一次方程组不唯一，加减是最简单的，所以可给出17x y x y +=-⎧⎨-=⎩的形式．【详解】解：∵1x y +=-，7x y -=∴最简单的二元一次方程组可为17x y x y +=-⎧⎨-=⎩故答案为：17x y x y +=-⎧⎨-=⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组．解题的关键在于按照方程组的解给出正确的方程组的形式．13. 【答案】2【分析】由角平分线的性质可得，点P 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 的高相等，利用面积公式即可求解．【详解】解：过点P 作PD ⊥AC 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，∵P 是三角形三条角平分线的交点，∴PD ＝PE ＝PF ，∵S △ABC ＝30，C △ABC ＝30，∴点P 到边AB 的距离23030⨯==2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，作辅助线是解题的关键．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．14. 【答案】6-【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理得到36A ∠=︒，再根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，推出36EAB EBA ∠=∠=︒，进而求出36EBC ∠=︒，则72BEC ∠=︒，即可得到BE BC =，证明ABC BCE ∽，设CE x =，则4AE BE BC x ===-，利用相似三角形的性质建立方程444x x x-=-，解方程即可得到答案．【详解】解：∵AB AC =，72C ∠=︒，∴72ABC C ∠=∠=︒，∴18036A ABC C =︒--=︒∠∠∠，∵AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，∴AE BE =，∴36EAB EBA ∠=∠=︒，∴36EBC ABC EBA A =-=︒=∠∠∠∠，∴18072BEC C EBC C ∠=︒-∠-∠=︒=∠，∴BE BC =，又∵C C ∠=∠，∴ABC BCE ∽，∴BE CE AC BC=，设CE x =，则4AE BE BC AC CE x ===-=-，∴444x x x-=-，∴28164x x x -+=，解得6x =-（不合题意的值舍去），∴6CE =-故答案为：6-．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．15. 【答案】30︒或150︒【分析】画出图形，连接,,,OA OB BE AE ，在 AB 上取点G ，连接,AG BG ，由正六边形的性质得出,60AB BC CD DE AE EF AOB =====∠=︒，由圆周角定理得出3120AEB AOB ∠=∠=︒，由圆内接四边形的性质得出180150AGB AEB ∠=︒-∠=︒，即可得出结论．【详解】解：连接,,,OA OB BE AE ，在 AB 上取点G ，连接,AG BG ，如图所示：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴360,=606AB BC CD DE AE EF AOB ︒=====∠=︒，∴3120AEB AOB ∠=∠=︒，∵四边形AEBG 是圆内接四边形，∴180150AGB AEB ∠=︒-∠=︒，即在正六边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为30︒或150︒；故答案为：30︒或150︒．【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质；熟练掌握正六边形的性质和圆周角定理是解题的关键．16. 【答案】6【分析】设每分钟增加结账人数x 人，每分钟收银员结账y 人，根据题意，得y =2x ，n =60x ．根据为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0的要求，可设开放a 个收银台，则6ay ≥6x +n ，将y 和n 代入，即可求得a 的取值，从而请求解．【详解】解：设每分钟增加结账人数x 人，每分钟收银员结账y 人，根据题意，得2022012312x n y x n y +=⨯⎧⎨+=⨯⎩化简，得y =2x ，n =60x ，∴为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，设开放a 个收银台，则6ay ≥6x +n ，即6a ·2x ≥6x +60x ，12a ≥66，∵x >0，∴．a ≥112，∵a 是正整数，∴．a ≥6，∴需要至少同时开放6个收银台．故答案为：6．【点睛】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，弄清题意，正确设未知数找到相等关系是解题的关键．三．解答题（共12小题，满分68分）17. 【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负整数指数幂以及立方根的概念计算即可求解．【详解】2cos45°﹣|1|＋（13）﹣12133=++-133=++-1=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负整数指数幂以及立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18. 【答案】-2≤ x <1【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可得到答案．【详解】解：243(2)312x x x +≤+⎧⎨-<⎩①②，解不等式①得：2x ≥-，解不等式②得：1x <，∴不等式组的解集为：21x -£<．【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法．19. 【答案】（1）14m -＞ 且0m ≠ （2）另一个根为32【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可．（2）将x =0代入原方程，求出m ，再解方程即可．【小问1详解】解：∵2(21)20mx m x m --+-=是一元二次方程，0m ∴≠ ，∵一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数，240b ac \D=-＞ ，即：[]2(21)4(2)0m m m ----＞ ，整理得：410m +＞ ，14m \-＞ ，综上所述：14m -＞ 且0m ≠．【小问2详解】∵方程有一个根是0，将x =0代入方程得：20m -= ，2m ∴= ，则原方程为：2230x x -= ，解得：1230,2x x == ，∴方程的另一个根为32．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：0D Û＞方程有两个不相等的实数根 ， =0D Û方程有两个相等的实数根，0D Û＜方程没有实数根，0D³Û方程有实数根．熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点．20. 【答案】（1）见解析 （2）见解析【分析】（1）按照题意作图即可；（2）先根据三线合一定理得到CO ⊥AB ，然后证明BD r 即可得到S 大⊙O ＝πr ）2＝2S 小⊙O ．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （三线合一定理）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD r∴S 大⊙O ＝πr ）2＝2S 小⊙O ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键．21. 【答案】（1）见解析 （2）60︒【分析】（1）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可知DBC E ∠=∠，结合已知,BD DE BDC EDF =∠=∠（对顶角相等），可证得BDC EDF ≌ （ASA ），即可根据全等三角形的性质定理证得CD DF =．（2）根据平行线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理解答即可．【小问1详解】证明：∵EF BC∥∴E DBC∠=∠在Rt BDC Rt EDF 和中，DBC E BD DEBDC EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴EDF BDC ≌ （ASA ）∴CD DF =；【小问2详解】解：∵EF BC∥∴25E DBC ∠=∠=︒又∵BG GE=∴25GBE E ∠=∠=︒∴50ABC GBE DBC ∠=∠+∠=︒在ABC中，∵70ACB ∠=︒∴180180507060A ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握并熟练运用相关的性质定理是解题的关键．22. 【答案】（1）2=23y x x --（2）4p x >或2p x <【分析】（1）将点()1,0A -，()4,5B 代入解析式，利用待定系数法求解；（2）先求出直线AB 的解析式，设()223p p p M x ,x x --，()1p p N x ,x +，则223p p P x M x =--，1p PN x =+，根据PM PN >列出不等式，即可求解．【小问1详解】解： 抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -，()4,5B ，∴ 3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴该抛物线的解析式为2=23y x x --．【小问2详解】解：设直线AB 的解析式为y kx t =+．将点()1,0A -，()4,5B 代入，可得045k t k t -+=⎧⎨+=⎩，解得11k t =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为1y x =+．设()223p p p M x ,x x --，()1p p N x ,x +，则223p p P x M x =--，1p PN x =+，PM PN >，∴2231p p p x x x -->+，∴()1310p p x x +⋅-->，10p x +>，∴310p x -->，∴31p x ->或31p x -<-，∴4p x >或2p x <．即点P 的横坐标p x 的取值范围是4p x >或2p x <．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数、二次函数解析式，一次函数和二次函数图象上点的坐标的特征，利用绝对值的性质解不等式等，第2问有一定难度，正确求解不等式是解题的关键．23. 【答案】（1）25 （2）10，11（3）小彬在对阵乙队时表现更好，理由见解析【分析】（1）根据平均数的计算方法求解即可；（2）根据众数，中位数的概念求解即可；（3）根据“综合得分”的计算方法求出小彬在对称甲队时的得分，然后比较求解即可．【小问1详解】()21292426425a =+++÷=∴小彬在对阵甲队时的平均每场得分a 的值是25分，故答案为：25．【小问2详解】在这8场比赛的篮板统计数据中，10出现的次数最多，∴众数是10，从小到大排列为：8，10，10，10，12，14，15，17，∴在中间的两个数为10，12∴中位数为1012112+=，故答案为：10，11；【小问3详解】小彬在对称甲队时的“综合得分”为：()25111 1.22136.2⨯+⨯+⨯-=，∵36.237.1<∴小彬在对阵乙队时表现更好．【点睛】此题考查了平均数，众数，中位数，加权平均数的计算，解题的关键是熟练掌握以上计算方法．24. 【答案】（1）见详解 （2）①20︒；②CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒，证明见解答．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的判定进行解答即可；（2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可；②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论．【小问1详解】证明：如图1，DE 平分ADM ∠，12ADE EDM ADM ∴∠=∠=∠，∵2AC Q C D Q ∠=∠，ACQ ADM ∴∠=∠，12l l ∴∥；【小问2详解】解：①12l l ∥，70ADM ACQ ∴∠=∠=︒，DE 平分ADM ∠，1352ADE EDM ADM ∴∠=∠=∠=︒，EDM QFD FQD ∠=∠+∠ ，351520FQD ∴∠=︒-︒=︒；②证明：CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒，理由如下：如图3，12l l ∥，NCQ CTD ∴∠=∠，QCN QFD ∠=∠ ，CTD QFD ∴∠=∠，NT FQ ∴∥，CND PQD ∴∠=∠；如图4，由①可得1352CDQ CQD ACQ ∠=∠=∠=︒，CND CQN QCN ∠=∠+∠ ，QCN QFD ∠=∠，CND CQN QFD ∴∠=∠+∠，35CND QFD ∴∠=︒+∠，即：35CND QFD ︒∠-∠=，35QFD FQC CQD PQD QDM FQD PQD ∠=∠=∠-∠=∠-∠=︒-∠ ，(35)35CND QFD CND PQD ∴∠-∠=∠-︒-∠=︒，70CND PQD ∴∠+∠=︒，综上所述，CND ∠与FQD ∠满足的等量关系为CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行线的性质与判断，掌握平行线的性质和判断方法是解决问题的关键．25. 【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析； （3）73．【分析】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）观察图象可知，2x =-时，m 的值最大．【小问1详解】当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而减小，且10y >；对于函数221y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而减小，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小；【小问2详解】函数图象如图所示：【小问3详解】观察图象可知，2x =-时，m 的值最大，最大值172(421)63m =⨯⨯++=，故答案为：73．26. 【答案】（1）173；（2）2.9倍；（3）222123s s s >>【分析】（1）利用加权平均数的计算公式进行计算，即可得到答案；（2）利用5月份的平均数除以4月份的平均数，即可得到答案；（3）直接利用点状图和方差的意义进行分析，即可得到答案．【详解】解：（1）平均数：1[(10010)(17010)(25010)]17330⨯⨯+⨯+⨯=（千克）；故答案为：173；（2）17360 2.9÷=倍；故答案为：2.9；（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：222123s s s >>；【点睛】本题考查了方差的意义，平均数，以及数据的分析处理，解题的关键是熟练掌握题意，正确的分析数据的联系．27. 【答案】（1）67.5;（2）证明见解析；（3）DE －BE=2．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质，得出∠A=∠B=45°=∠CDE ，再根据BC=BD ，可得出∠BDC 的度数，然后可得出∠BDE 的度数，最后根据三角形外角的性质可得出∠DEC 的度数；（2）先根据条件得出∠ACD=∠BDE ，BD=AC ，再根据ASA 判定△ADC ≌△BED ，即可得到CD=DE ；（3）先根据条件得出∠DCB=∠CDE ，进而得到CE=DE ，再在DE 上取点F ，使得FD=BE ，进而判定△CDF ≌△DBE （SAS ），得出CF=DE=CE ，再根据CH ⊥EF ，运用三线合一即可得到FH=HE ，最后得出CE-BE=DE-DF=EF=2HE ，即可得出结论．【详解】（1）解：∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°=∠CDE ，又BC=BD ，∴∠BDC=∠BCD=12(180°-∠B)=67.5°，∴∠BDE=∠BDC-∠CDE=67.5°-45°=22.5°，∴∠DEC=∠B+∠BDE=67.5°；故答案为：67.5；（2）证明：∵AC=BC ，∠CDE=∠A ，∴∠A=∠B=∠CDE ，∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE ，∴∠ACD=∠BDE ，又∵BC=BD ，∴BD=AC ，在△ADC 和△BED 中，ACD BDEAC BD A B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC ≌△BED （ASA ），∴CD=DE ；（3）解：∵CD=BD ，∴∠B=∠DCB ，由（2）知：∠CDE=∠B ，∴∠DCB=∠CDE ，∴CE=DE ，如图，在DE 上取点F ，使得FD=BE ，在△CDF 和△DBE 中，DF BECDE B CD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF ≌△DBE （SAS ），∴CF=DE=CE，又∵CH ⊥EF ，∴FH=HE ，∴DE －BE=DE －DF=EF=2HE=2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰三角形．28. 【答案】（1（2）18（3+【分析】（1）画出图形，根据等边三角形的性质和外心的性质即可作答；（2）如图2中，当以AD 为直径的O 与BC 相切时，切点为P ，此时90APD ∠=︒，AD 的长最小,求出AD 的长即可解决问题；（3）存在．如图3中，如图作等边三角形ABM 的外接圆O ，当直线CD 与O 相切与P 时，四边形ABCD 的面积最大，此时满足条件60APB AMB ∠=∠=︒．想办法求出AD 、AB 即可解决问题．【小问1详解】如图，∵在等边ABC 中，3AB =，∴60B BC AB CW AB ∠=︒====，，，∵点P 是等边ABC 的外心，∴23PB PC WC ==，∴2233PB PC WC ====，【小问2详解】如图，当以AD 为直径的O 与BC 相切时，切点为P ，此时90APD ∠=︒，AD 的长最小．连接OP ．∵O 与BC 相切，∴OP BC ⊥，∵在矩形ABCD 中，OA OP OD ==，∴四边形ABPO ，四边形CDOP 都是正方形，∴AB OP=∴3AB CD AO ===，6BC AD ==，∴矩形ABCD 面积的最小值为：18BC AB ⋅=．【小问3详解】存在．如图，在AB 的右边作等边三角形ABM 的外接圆O ，当直线CD 与O 相切与P 时，四边形ABCD 的面积最大，此时根据圆周角定理可知：满足条件60APB AMB ∠=∠=︒．延长MO 交AB 于E ，过点O 作OF AD ⊥于F ，过点P 作PT BC ⊥于T ，连接OP ，PT 交OM 于R ．TP 的延长线交AD 的延长线于点N ，∵90A B ∠=∠=︒∴180A B ∠+∠=︒，∴AD BC ∥，又∵3AB =，45C ∠=︒，∴CD ==．∵ABM 是等边三角形，圆O 外接等边三角形ABM ，∴EM AB ⊥，结合OF AD ⊥、PT BC ⊥、90A B ∠=∠=︒，即四边形AEOF 、四边形AERN 、四边形BERT 、四边形FORN 是矩形，∴32AE EB NR RT ====，AF EO ==，OM OP ==∵45C ∠=︒，AD BC ∥，90N ∠=︒，∴45NDP C ∠=∠=︒，∴45NPD ∠=︒，即DNPN =，∵OP CD ⊥，∴90DPO ∠=︒，∴18045OPR DPO DPN ∠=︒-∠-∠=︒，∴OR PR ===，∴BT AN ==，32DN PN NR PR ==-==∴AD AN DN =-==，32BC BT CT =+=++=，∴2ABCD AD BC S AB +=⋅=四边形．【点睛】本题考查了四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。
2024年北京西城区初三二模数学试卷和答案
北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第1页（共8页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数 学 2024.5考生须知1．本试卷共8页，共两部分，28道题。
满分100分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．右图是某几何体的三视图，该几何体是 （A ）圆柱 （B ）圆锥 （C ）三棱柱（D ）长方体2．新能源革命受到全球瞩目的同时，也成为中国实现“碳达峰碳中和”目标的关键所在．2023年全球可再生能源新增装机510 000 000千瓦，其中中国的贡献超过了50%． 将510 000 000用科学记数法表示应为 （A ）90.5110 （B ）85.110 （C ）95.110 （D ）75110 3．正十二边形的每一个外角的度数为（A ）30°（B ）36°（C ）144°（D ）150°4．如图，直线AB ⊥CD 于点C ，射线CE 在∠BCD 内部，射线CF平分∠ACE ．若∠BCE =40°，则下列结论正确的是 （A ）∠ECF =60° （B ）∠DCF =30° （C ）∠ACF 与∠BCE 互余 （D ）∠ECF 与∠BCF 互补5．不透明的袋子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字4，5，6．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是 （A）12 （B ）13（C ）23（D ）49北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第2页（共8页）6．如图，点C 为线段AB 的中点，∠BAM =∠ABN ，点D ，E 分别在射线AM ，BN 上，∠ACD 与∠BCE 均为锐角．若添加一个条件一定 可以证明△ACD ≌△BCE ，则这个条件不能是 （A ）∠ACD =∠BCE （B ）CD=CE （C ）∠ADC =∠BEC（D ）AD =BE7．某农业合作社在春耕期间采购了A ，B 两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台A 型机器的进价比每台B 型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A ，B 两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．若设每台B 型机器的进价为x 万元，根据题意可列出关于x 的方程为（A ）12.621(20.7)x x （B ）2112.620.7x x （C ）2112.620.7x x（D ）2112.620.7x x8．下面问题中，y 与x 满足的函数关系是二次函数的是①面积为102cm 的矩形中，矩形的长y （cm ）与宽x （cm ）的关系；②底面圆的半径为5cm 的圆柱中，侧面积y 2(cm )与圆柱的高x （cm ）的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x 元出售，可卖出(100)x 件． 利润y （元）与每件售价x （元）的关系． （A ）① （B ）②（C ）③ （D ）①③第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9． 若分式34x 有意义，则x 的取值范围是______． 10．分解因式：2218x y y =______．11．方程组25,24x y x y的解为______． 12．在平面直角坐标系xOy 中，点(3,1)A 关于原点O 的对称点的坐标为______．13．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥BC 于点E ．若BE =3，△BDE 的面积为1.5，则点D 到边AB 的距离为______． 14．如图，AB 与⊙O 相切于点C ．点D ，E 分别在OA ，OB上，四边形ODCE 为正方形．若OA =2，则DE =______．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第3页（共8页）15．如图，(2,)A m ，(3,2)B 两点在反比例函数ky x（x ＞0）的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段OA ，OB 及反比例函数图象上A ，B 两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为______．16．在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选手胜一场得3分，负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选手的成绩记为m （分），则m 的最小值为______；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛环节的平局总数至少为______场． 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：04cos 45(π3) ．18．解不等式组3 2 < 4,2,53x x x x≥并写出它的所有整数解． 19．已知230x x ，求代数式233(1144x x x的值． 20．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA=BC ．求作：点D ，使得点D 在△ABC 内，且12ADB BDC ．下面是小华的解答过程，请补充完整：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：①作线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点E ；②以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，与直线PQ 在△ABC 内交于点D ． 点D 就是所求作的点．（2）完成下面的证明．证明：连接DA ，DB ，DC ．∵ 点D 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ DB = DC （ ）（填推理的依据）， DE ⊥BC ．∴ 12BDE CDE BDC ．∵ ∠ABC =90°，∠DEC =90°， ∴ ∠ABC =∠DEC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第4页（共8页）∴ AB ∥DE ． ∴ ∠ABD =∠BDE ． ∵ ， ∴ ∠ADB =∠ .∴ 12ADB BDE BDC ．21．已知关于x 的一元二次方程2320x x k 有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）若k 为满足条件的最大整数，求此时方程的根．22．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ，FG =CF ，连接AG ．（1）求证：四边形AEFG 是矩形；（2）若∠ABD =30°，AG =2AE =6，求BD 的长．23．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，点E 是 BD的中点，连接AE 交BC 于 点F ，∠ACB =2∠EAB ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若BF =6，3cos 5C，求AB 的长．24．我国快递市场繁荣活跃，某快递公司为提高服务质量，对公司的业务量、公众满意度等数据进行统计分析．公司随机抽取了某日发往相邻城市的快递中的1000件，称重并记录每件快递的重量（单位：kg，精确到0.1）．下面给出了部分信息．a.每件快递重量的频数分布直方图（数据分成11组：0≤x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3，3≤x＜4，4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x＜10，10≤x＜11）；b.在3≤x＜4这一组的数据如下：3.0 3.1 3.1 3.2 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.43.5 3.5 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.9c.这1000件快递重量的平均数、中位数、众数如下：平均数 中位数 众数快递重量3.6 m n（单位：kg）根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）写出m的值；（3）下面四个结论中，① n的值一定在2≤x＜3这一组；②n的值可能在4≤x＜5这一组；③n的值不可能在5≤x＜6这一组；④n的值不可能在8≤x＜9这一组.所有正确结论的序号是 ；（4）该日此快递公司在全市揽收的快递包裹中有3800件发往相邻城市，估计这批快递的重量.北京市西城区九年级模拟测试试卷数学2024.5 第5页（共8页）北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第6页（共8页）25．已知角x （0°≤x ≤90°），探究sin x 与角x 的关系.两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案：方案一：如图，点P 在以点O 为圆心，1为半径的 MN上，∠MON =90°，设∠POM 的度数为x . 作PC ⊥OM 于点C ，则线段 ① 的长度c 即为sin x 的值.方案二：用函数35π1π1π()()()1806180120180x x x F x的值近似代替sin x 的值．计算函数 ()F x 的值，并在平面直角坐标系xOy 中描出坐标为(,())x F x 的点.两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（精确到0.001）. 若()c F x ≤0.001记为√，否则记为×. x 0 102030 40455060708090 c 0 0.174 0.342 ②0.643 0.707 0.766 0.866 0.940 0.985 1 ()F x0.174 0.342 0.500 0.643 0.707 0.766 0.866 0.941 0.987 1.005√或× √√√√√√√√×根据以上信息，解决下列问题： （1）①为 ，②为 ； （2）补全表中的√或×；（3）画出()F x 关于x 的函数图象，并写出sin55°的近似值（精确到0.01）.26．在平面直角坐标系xOy 中，11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c上任意两点．设抛物线的对称轴是x=t ．（1）若对于12x ，21x ，有12y y ，求t 的值；（2）若对于1x ≥2，都有1y c 成立，并且对于21x ，存在2y c ，求t 的取值范围．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α（0°＜α＜30°）．将射线AB绕点A顺时针旋转2α得到射线l，射线l与直线BC的交点为点M．在直线BC上截取MD=AB （点D在点M右侧），将直线DM绕点D顺时针旋转2α所得直线交直线AM于点E．（1）如图1，当点D与点B重合时，补全图形并求此时∠AED的度数；（2）当点D不与点B重合时，依题意补全图2，用等式表示线段ME与BC的数量关系，并证明．图1图2北京市西城区九年级模拟测试试卷数学2024.5 第7页（共8页）北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第8页（共8页）28．如图1，对于⊙O 外的线段PQ （线段PQ 上的各点均在⊙O 外）和直线PQ 上的点R ，给出如下定义：若线段PQ 绕点R 旋转某一角度得到的线段P ′Q ′恰好是⊙O 的弦，则称点R 为线段PQ 关于⊙O 的“割圆点”．图1图2在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．（1）如图2，已知点(1,4)S ，(1,2)T ，(1,2)U ，(0,3)W . 在线段ST ，TU ，UW 中，存在关于⊙O 的“割圆点”的线段是_______，该“割圆点”的坐标是_______； （2）直线y x b 经过点(0,3)W ，与x 轴的交点为点V ．点P ，点Q 都在线段VW 上，且PQ PQ 关于⊙O 的“割圆点”为点R ，写出点R 的横坐标R x 的取值范围；（3）直线l 经过点H ，不重合的四个点A ，B ，C ，D 都在直线l 上，且点H 既是线段AB 关于⊙O 的“割圆点”，又是线段CD 关于⊙O 的“割圆点”．线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，记线段MN 的长为d ，写出d 的取值范围．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第1页（共6页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.5一、选择题（共16分，每题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBADABCC二、填空题（共16分，每题2分）9．4x 10．2(3)(3)y x x11．2,1x y 12．(3,1) 13．1 1415．(1,1)，(2,2) 16．6；4 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17．解： 04cos 45(π3) 2412…………………………………………………………… 4分 1 ． ……………………………………………………………………………… 5分18．解：原不等式组为3 2 < 4,2.53x x x x≥ 解不等式①，得3x ．……………………………………………………………1分 解不等式②，得1x ≥．………………………………………………………… 2分∴ 原不等式组的解集为1 ≤3x ．…………………………………………… 3分 ∴ 原不等式组的所有整数解为1 ，0，1，2．……………………………… 5分19．解： 233(1)144x x x2231(2)x x x3(1)(2)x x232x x． ……………………………………………………………………… 3分∵ 230x x ， ∴ 23x x ．∴ 原式3 ．…………………………………………………………………………5分① ②北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第2页（共6页）20．解：（1）作图见图1．……………………………………………………………………2分（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；……………… 3分 AB=AD ；……………………………………………………………………… 4分ABD ．………………………………………………………………………… 5分21．解：（1）依题意，得234(2)174k k ．…………………………………… 1分∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ 1740k ．………………………………………………………………2分 解得 174k．…………………………………………………………………3分 （2）∵ k 为满足条件的最大整数，∴ 4k ．此时方程为2320x x ．此时方程的根为11x ，22x ．…………………………………………5分22．（1）证明：如图∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB//CD ，AB=CD ．…………………………………………………… 1分 ∴ ∠ABE=∠CDF ．∵ AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ， ∴ ∠AEB=∠CFD=∠AEF=∠EFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF ．图1北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第3页（共6页）∴ AE=CF ．∵ FG =CF ，∴ AE= FG ．∵ ∠AEF=∠EFC ，∴ AE//FG ．∴ 四边形AEFG 是平行四边形．∵ ∠AEF=90°，∴ 四边形AEFG 是矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ △ABE ≌△CDF ，∴ BE= DF ．∵ AG=2AE =6，∴ AE =3．在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∠ABE =30°，AE =3，∴3tan tan 30AE BE ABE4分 ∵ 四边形AEFG 是矩形，AG =6，∴ EF=AG=6．……………………………………………………………… 5分∴26BD BE EF DF BE EF ． ………………………… 6分23．（1）证明：如图3，连接AD ．∵ AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，∴ ∠BDA=90°．∴ 90B DAB ．∵ 点E 是 BD的中点， ∴ BEED ． ∴ 1EAB ．∴ 12DAB EAB EAB ．∵ ∠ACB =2∠EAB ，∴ ∠DAB =∠ACB ．∴ 90B ACB ．∴ ∠BAC=90°．………………………………………………………… 2分∴ AC ⊥AB ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴ AC 是⊙O 的切线．…………………………………………………… 3分 图3北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第4页（共6页）（2）解：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，3cos 5C ． 设AC =3k ，则BC =5k ，AB =4k ．∵ 90B DAB ，90CAD DAB ，∴ B CAD ．∵ 2B EAB ，1CAF CAD ，1EAB ，∴ 2CAF ．∴ CF=AC=3k ．∴ 2BF BC CF k ．∵ BF =6，∴ k =3．∴ 412AB k ．…………………………………………………………… 6分24．解：（1）补全频数分布直方图见图4；……………………………………………… 1分（2）2分（3）②④；………………………………………………………………………… 4分（4）3.6380013680 （kg ）．……………………………………………………5分25．解：（1）PC ，0.5； …………………………………………………………………… 2分（2）√，×；……………………………………………………………………… 4分（3）画图见图5；5分0.82．………………………………………………………………………… 6分 图5北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第5页（共6页）26．解：（1）∵ 对于12x ，21x ，有12y y ，∴ 42a b c a b c ．∴ b a ．∴ 122b t a ．………………………………………………………………2分 （2）由题意可知，抛物线2y ax bxc 与y 轴的交点为(0,)c ．①当a > 0时，抛物线开口向上．∴ 当1x ≥2时，1y 有最小值，没有最大值．∴ 与“对于1x ≥2时，都有1y c ”不符，所以不合题意．∴ a > 0不成立．②当a < 0时，抛物线开口向下，且经过点(0,)c ，(2,)t c ．若抛物线经过点(1,)c ，则12t ； 若抛物线经过点(2,)c ，则1t ．（i ）当12t ≤时， 01t ≤或021t t ≤．∴ 对于21x ，都有2y c ．与“对于21x ，存在2y c ”不符，所以不合题意．（ii ）当112t 时，122t t ． ∴ 对于21x ，存在2y c ，对于1x ≥2，都有1y c ．∴112t 成立． （iii ）当1t ≥时，022t ≤． ∴ 当12x 时，1y c ．与“对于1x ≥2，都有1y c 成立”不符，所以不合题意． 综上所述，112t ．27．解：（1）补全图形见图6．∵ 点D 与点B 重合，MD=AB ，∠BAM ∴ ∠AMD =∠BAM =2α．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∴ 90AMD MAC ．∵ ∠BAC =α，∴ 5α=90AMD BAM BAC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第6页（共6页）解得α=18 ．∵ ∠MDE =2α，∴ 2α+2α4α=72AED AMD MDE ．………………………… 2分（2）补全图形见图7．…………………………………………………………… 3分ME =2BC ．…………………………………………………………………… 4分证明：如图7，在BC 的延长线上截取CF=BC ，连接AF ．以点B 为圆心，BF 为半径作弧，交AF 于点N ，连接BN ．∵ CF=BC ，∠ACB =90°，∴ AB=AF ．∴ ∠BAN =2∠BAC =2α．∵ ∠MDE =2α，∴ ∠MDE =∠BAN ．∴ 在等腰△ABF 中，18090α2BAF F ． ∵ BN=BF ，∴ 390αF ．在Rt △AMC 中，190903αMAC ．∴ 21(903α)+2α90αMDE ．∴ 23 ．∵ 41802 ，1803BNA ，∴ 4BNA ．∵ DM =AB ，∴ △DME ≌△ABN ．∴ ME=BN ．∵ BN=BF ，∴ ME=BF=2BC ．……………………………………………………7分28．解：（1）UW ，(2,1) ；…………………………………………………………………2分（2）2R x ≤或1R x ≥；………………………………………………………… 4分（3）02d或4d ≤．……………………………………………… 7分。
2020-2021学年北京市中考数学第二次模拟试题及答案解析
CBDAE 最新北京市初三二模考试数 学 试 卷考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分，考试时间120分钟； 2．在试卷和答题卡的密封线内准确填写学校名称、班级和姓名； 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答； 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．门头沟位于北京西南部，属太行山余脉，地势险要“东望都邑，西走塞上而通大漠”，自古为兵家必争之地，全区总面积1455平方公里，其中山区占98.5%．将数字1455用科学记数法表示为 A ．1.455×103B ．14.55×102C ．1.455×104D ．0.1455×1042．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下面结论正确的是abcA ．c ＞aB ．10c＞ C ．a b ＜D ．0a c -＜3．窗花是我国传统民间艺术，下列窗花中，是轴对称图形的为A B C D4．在下列运算中，正确的是 A ．235a a a ⋅=B ．()325a a =C ．623a a a ÷=D ．55102a a a +=5．如图，AD BC ∥，点E 在BD 的延长线上，如果155ADE ∠=︒， 那么∠DBC 的度数为 A ．155° B ．50° C ．45°D ．25°6．右图是一个正方体的平面展开图，那么这个正方体“美”字让生更美好A DE OBC E C BDAP的对面所标的字是 A ．让 B ．更 C ．活D ．生7．某小区要建一个地基为多边形的凉亭，如果这个多边形的外角和等于它的内角和，那么这个多边形是 A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三边形8．甲、乙、丙、丁四位同学参加了10次数学测验，他们测验的平均成绩（x ）与方差（2S ）如下表所示，那么这四位同学中，成绩较好，且较稳定的是甲 乙 丙 丁 x85 90 90 85 S 21.01.01.21.8A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是DC 延长线上一点， 如果⊙O 的半径为6，60BCE ∠=︒，那么¼BCD的长为 A ．6π B ．12π C ．2πD ．4π10．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，E 是AB 的中点，动点 P 从点B 开始，沿着边BC ，CD 匀速运动到D ，设点P运动的时间为x ，EP y =，那么能表示y 与x 函数 关系的图象大致是x yO x yO x yO xyO二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．函数12y x =-的自变量x 的取值范围是． 12．分解因式：429ax ay -=．13．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个 更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚x 人，小和尚y 人，可列方程组为．14．请写出一个图象经过点（1，2），且第一象限内的函数值随着自变量的值增大而减小的函数表达式：． 15．小明同学在“计算：23211x x x-+-+”时，他是这样做的：小明的解法从步开始出现错误，错误的原因是． 16．小明同学在做作业时，遇到这样一道几何题：如图，△DEB 和△ABC 都是等边三角形，连接DC 和AE ，求证：AE =DC ．DACE B 123小明冥思苦想许久不得解，只好去问老师，老师给了他如下提示：EACB请问老师的提示中①是，②是．三、解答题（本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27、28题，每小题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：()2120166tan 3012π-⎛⎫--︒++ ⎪⎝⎭．18．已知2240a a +-=，求代数式()()22263a a a a ----的值．19．解不等式组()315112 4.2x x x x -+⎧⎪⎨--⎪⎩＜，≥并直接写出它的所有非负整数解．20．如图，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，30C ∠=︒，AE 为BC 边上的中线．求证：△ABE 是等边三角形．21．一支园林队进行某区域的绿化，在合同期内高效地完成了任务，这是记者与该队工程师的一段对话：FCDEBAOyxAOB ECDPA我们的施工人数由原计划的6人，增加了2人．你们是怎样提前3小时完成了180平方米的绿化任务？如果每人每小时绿化面积相同，请通过这段对话，求每人每小时的绿化面积．22．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点． （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；（2）如果60A ∠=︒，24AB AD ==，求BD 的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数3y x=的图象与 一次函数y kx =的图象的一个交点为A （m ，－3）． （1）求点A 的坐标和一次函数y kx =的表达式； （2）如果点P 在直线OA 上，且满足2PA OA =，直接写出点P 的坐标．24．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A 、C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE PO ⊥交PO 的延长线于点E ． （1）求证：EPD EDO ∠=∠； （2）如果6PC =，3tan 4PDA ∠=，求OE 的长．25．门头沟地处北京西南部，山青水秀，风景如画，静谧清幽．近年来，某村依托丰富的自然资源和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主的多类型休闲旅游项目，农民收入逐步提高．以下是根据该图3图2村公布的“主要经济发展指标”相关数据绘制的统计图表的一部分．根据以上信息解答下列问题：（1）该村2013年农业观光园经营年收入的年增长率约是；（结果精确到1%） （2）补全条形统计图，并在图中标明相应的数据；（结果精确到0.1） （3）请预估该村2016年的农业观光园经营年收入约为万元，你预估的理由是．26．阅读材料，回答问题：小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt △ABC 中，如果90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC a ==，3AC b ==，2AB c ==，那么2sin sin a bA B==． 通过上网查阅资料，他又知“sin901︒=”，因此他得到“在含 30°角的直角三角形中，存在着sin sin sin a b cA B C==的关系．” 这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，BC a =，AC b =，AB c =．请判断此时“sin sin sin a b cA B C==”的关系是否成立？ （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC ，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =． 过点C 作CD AB ⊥于D ．xyO∵ 在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，90ADC BDC ∠=∠=︒， ∴ sin A =，sin B =． ∴ sin a A =，sin bB =． ∴sin sin a bA B=． 同理，过点A 作AH BC ⊥于H ，可证sin sin b cB C =． ∴sin sin sin a b cA B C==． 请将上面的过程补充完整．（3）如图4，在△ABC 中，如果60B ∠=︒，45C ∠=︒，2AB =，那么AC =．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过点A （0，－3），B （4，5）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线的顶点为C ，求点C 的坐标；（3）设点C 向左平移2个单位长度后的点为D ，此抛物线在A ，B 两点之间的部分为图象W （包含A ，B 两点），经过点D 的直线为l ：y mx n =+．如果直线l 与图象W 有且只有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．28．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，点A 关于BE 的对称点为G （G 在矩形ABCD内部），连接BG 并延长交CD 于F ． （1）如图1，当AB AD =时，① 根据题意将图1补全；② 直接写出DF 和GF 之间的数量关系．（2）如图2，当AB AD ≠时，如果点F 恰好为DC 的中点，求ADAB的值． （3）如图3，当AB AD ≠时，如果DC nDF =，写出求ADAB的值的思路（不必写出计算结果）．图4CBAE D C AB E CD A BEDC A B图1 图2 图329．对于关于x 的一次函数y kx b =+（0k ≠），我们称函数[]()().m kx b x m y kx b x m ⎧+⎪=⎨--⎪⎩≤，＞为它的m分函数（其中m 为常数）．例如，32y x =+的4分函数为：当x ≤4时，[]432y x =+；当x ＞4时，[]432y x =--． （1）如果1y x =-+的2分函数为[]2y ，① 当4x =时，[]2y =；② 当[]23y =时，x =． （2）如果1y x =+的－1分函数为[]1y -，求双曲线2y x=与[]1y -的图象的交点坐标； （3）从下面两问中任选一问作答：（温馨提示：两问均2分，不重复计分！）① 设2y x =-+的m 分函数为[]m y ，如果抛物线2y x =与[]m y 的图象有且只有一个公共点，直接写出m 的取值范围．② 如果点A （0，t ）到2y x =-+的0分函数[]0y 的图象的距离小于1，直接写出t 的取值范围．③。
2023年北京市海淀区中考数学二模试卷含答案解析
2023年北京市海淀区中考数学二模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 一个正五棱柱如右图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是( )A.B.C.D.2. 下列运算正确的是( )A. B.C. D.3. 实数在数轴上对应点的位置如图所示若实数满足，则的值可以是( )A. B. C. D.4. 如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )A.B.C.D.5. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是( )A. B. C. D.6. 如果，那么代数式的值是( )A. B. C. D.7. 如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是( )A. B. C. D.8. 小明近期计划阅读一本总页数不低于页的名著，他制定的阅读计划如下：星期一二三四五六日页数若小明按照计划从星期开始连续阅读，天后剩下的页数为，则与的图象可能为( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______ ．10. 分解因式：．11. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是______ ．12. 如图，正方形，点在直线上，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则正方形的边长为______ ．13. 在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上若，写出一个满足条件的的值______ ．14. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱，咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到农科院记录了某批咖啡树种子的发芽情况，结果如下表所示：种子数量发芽数量发芽率据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是______ 填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”．15. 如图，为的弦，为上一点，于点若，，则______ ．16. 四个互不相等的实数，，，在数轴上的对应点分别为，，，，其中，，为整数，．若，则，，中与距离最小的点为______ ；若在，，中，点与点的距离最小，则符合条件的点有______ 个三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。
2022年北京市东城区中考数学二模试卷及答案解析
2022年北京市东城区中考数学二模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）国家速滑馆又称“冰丝带”，是2022年北京冬季奥运会唯一新建的冰上竞赛场馆．它采用全冰面设计，冰面面积达12000平方米，将12000用科学记数法表示应为（）A．0.12×105B．1.2×104C．1.2×105D．12×1032．（2分）如图是某一几何体的展开图，该几何体是（）A．三棱柱B．四棱柱C．圆柱D．圆锥3．（2分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠BOD＝30°，则∠AOC的大小为（）A．120°B．130°C．140°D．150°4．（2分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2分）方程组的解是（）A．B．C．D．6．（2分）下列运算结果正确的是（）A．3a﹣a＝2B．a2•a4＝a8C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣a）2＝﹣a27．（2分）在平面直角坐标系中，将点M（4，5）向左平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的点的坐标是（）A．（1，3）B．（7，7）C．（1，7）D．（7，3）8．（2分）从1980年初次征战冬奥会，到1992年取得首枚冬奥会奖牌，再到2022年北京冬奥会金牌榜前三，中国的冰雪体育事业不断取得突破性成绩．历届冬奥会的比赛项目常被分成两大类：冰项目和雪项目．根据统计图提供的信息，有如下四个结论：①中国队在2022年北京冬奥会上获得的金牌数是参加冬奥会以来最多的一次；②中国队在2022年北京冬奥会上获得的奖牌数是参加冬奥会以来最多的一次；③中国队在冬奥会上的冰上项目奖牌数逐年提高；④中国队在冬奥会上的雪上项目奖牌数在2022年首次超越冰上项目奖牌数．上述结论中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若分式的值为0，则x的值是．10．（2分）分解因式：2x2﹣12x+18＝．11．（2分）写一个当x＞0时，y随x的增大而增大的函数解析式．12．（2分）计算：＝．13．（2分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是cm．14．（2分）不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随机摸出一个，则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为．15．（2分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BCD的值为．16．（2分）在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则丙同学手里拿的卡片的数字是．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题5分，第24题5分，第25-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17．（5分）计算：（﹣1）2022+﹣（）﹣1+sin45°．18．（5分）解不等式6﹣4x≥3x﹣8，并写出其正整数解．19．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC．求作：直线AD，使得AD∥BC．小明的作法如下：①以点A为圆心、适当长为半径画弧，交BA的延长线于点E，交线段AC于点F；②分别以点E，F为圆心、大于EF的长为半径画弧，两弧在∠EAC的内部相交于点D；③画直线AD．直线AD即为所求，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：由作法可知：AD平分∠EAC．∴∠EAD＝∠DAC（）．（填推理的依据）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B．∵∠EAC＝2∠EAD，∴∠EAD＝．∴AD∥BC（）．（填推理的依据）20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）不解方程，判断此方程根的情况；（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣2k2+8k+5的值．21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的边长．22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）经过点A（2，﹣1），直线l：y＝﹣2x+b经过点B（2，﹣2）．（1）求k，b的值；（2）过点P（n，0）（n＞0）作垂直于x轴的直线，与双曲线y＝（k≠0）交于点C，与直线l交于点D．①当n＝2时，判断CD与CP的数量关系；②当CD≤CP时，结合图象，直接写出n的取值范围．23．（6分）如图，在△ABC中，AB＞AC，∠BAC＝90°，在CB上截取CD＝CA，过点D 作DE⊥AB于点E，连接AD，以点A为圆心、AE的长为半径作⊙A．（1）求证：BC是⊙A的切线；（2）若AC＝5，BD＝3，求DE的长．24．（5分）某研究中心建立了自己的科技创新评估体系，并对2021年中国城市的科技创新水平进行了评估．科技创新综合指数由科技创新总量指数和科技创新效率指数组成（以下简称：综合指数、总量指数和效率指数）．该研究中心对2021年中国城市综合指数得分排名前40的城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．综合指数得分的频数分布表（数据分成6组：65.0x≤70.0，70.0≤x＜75.0，75.0≤x ＜80.0，80.0≤x＜85.085.0≤x＜90.0，90.0≤x＜95.0）：综合指数得分频数65.0x≤70.0870.0≤x＜75.01675.0≤x＜80.0880.0≤x＜85.0m85.0≤x＜90.0290.0≤x＜95.01合计40b．综合指数得分在70.0≤x＜75.0这一组的是：70.0，70.4，70.6，70.7，71.0，71.0，71.1，71.2，71.8，71.9，72.5，73.8，74.0，74.4，74.5，74.6．c．40个城市的总量指数与效率指数得分情况统计图：╞（数据来源于网络《2021年中国城市科技创新指数报告》）根据以上信息，回答下列问题：（1）综合指数得分的频数分布表中，m＝；（2）40个城市综合指数得分的中位数为；（3）以下说法正确的是．①某城市创新效率指数得分排名第1，该城市的总量指数得分大约是86.2分；②大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数．25．（6分）小强用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程．（1）建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为米（用含x的代数式表示）；若总篱笆长为y米，请写出总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式；（2）列表：根据函数的表达式，得到了x与y的几组对应值，如表：x12345y106a b 表中a＝，b＝；（3）描点、画出函数图象：如图，在平面直角坐标系xOy中，将表中未描出的点（2，a），补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；（4）解决问题：根据以上信息可得，当x＝时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为米．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝2α，在△ABC的外侧作直线AP（90°﹣a＜∠PAC＜180°﹣2a），作点C关于直线AP的对称点D，连接AD，BD，BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）连接CE，求证：∠ACE＝∠ABE；（3）过点A作AF⊥CE于点F，用等式表示线段BE，2EF，DE之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P（3，0）的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d（G，l），此时点Q称为图形G关于直线l 的最佳射影点．（1）如图1，已知A（2，2），B（3，3），写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d（AB，x轴）＝；（2）已知点C（3，2），⊙C的半径为，求⊙C关于x轴的最佳射影距离d（⊙C，x 轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；（3）直接写出点D（0，）关于直线l的最佳射影距离d（点D，l）的最大值．2022年北京市东城区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
2024年北京昌平区初三二模数学试卷和答案解析
2024年昌平区初中学业水平考试第二次模拟练习数学试卷本试卷共8页，共100分，考试时长为120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题（每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 2024年2月5日至25日，人民网连续第23次开展全国两会调查，调查围绕10个领域设置49个候选热词．本次调查广纳民情民意，吸引约6 150 000人次参与，其中6 150 000用科学记数法可以表示为（ ）A. 56.1510⨯B. 66.1510⨯C. 60.61510⨯D. 70.61510⨯2. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，145,2120∠=︒∠=︒，则34∠+∠=（ ）A. 165︒B. 155︒C. 105︒D. 90︒4. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A. b =B. a b <-C. b a <-D. 0a b +>5. 正多边形的一个外角是60︒，那么这个正多边形是（ ）A. 正四边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十边形6. 已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 1m <B. 1m >C. 1m £D. m 1≥7. 在不透明的袋子里有三个除颜色外其它都相同的小球，两个红球，一个黄球，从中随机同时取出两个小球，其中取到一个红球一个黄球的概率为（ ）A 23 B. 56 C. 12 D. 18. 如图，AB 为半圆O 的直径，C ，D 是直径AB 上两点，且AC BD =，过点D 作AB 的垂线交半圆于点E ，2CD DE =．设AD a =，AC b =，DE c =，给出下面三个结论：①2a b c -=；②c b a c=；③a b +=．所有正确结论的序号是（ ）A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.有意义的x 的取值范围是_______．10. 分解因式：3x 2+6xy+3y 2＝_____．11. 分式方程321x x =-解是__________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若点()1,m 和()4,2在反比例函数(0)k y k x=≠图象上，则m =__________．13. 如图，点P 为O 外一点，过点P 作O 的两条切线，切点分别为A ，B ，点C 为优弧AB 上一点，若80P ∠=︒，则ACB =∠__________°．14. 2024年3月12日，是我国第46个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家.的的园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 __________（结果保留两位小数）．第一批次第二批次第三批次第四批次第五批次种植数量200200200200200成活数量194193192196195成活频率0.9700.9650.9600.9800.97515. 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm ，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为__________cm ． 图1 图216. 某学校为丰富学生的课余生活，组织校园篮球赛，初三年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知第一天（2）班与（4）班比赛，第二天（3）班与（5）班比赛，第三天（4）班与（6）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，那么第三天与（3）班比赛的是__________班，第五天与（1）班比赛的是__________班．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. 112sin 4512-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭18. 解不等式组：38312x x x x -≥⎧⎪⎨->⎪⎩①②．19. 已知220x x +-=，求代数式212111x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的值．20. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AB AD =，对角线AC BD ，交于O ，AC 平分BAD ∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）过点C 作AB 的垂线交其延长线于点E ，若6BD =，3tan 4OAB ∠=，求CE 的长．21. 如图，初三年级准备制作一个长8.5m 的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距3:4:1=，试求横幅字距是多少？22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象是由函数y ＝2x 的图象平移得到，且经过点（1，3）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x ＞1时，对于x 的每一个值，函数y ＝mx （m ≠0）的值大于一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的值，直接写出m 的取值范围．23. 4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．a .初一、初二年级学生得分的折线图b .初三年级学生得分：10，9，6，10，8，7，10，7，3，10c .初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下年级初一初二初三平均数88m 中位数88.5n 根据以上信息，回答下列问题：（1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是__________（填“初一”或“初二”）；（2）统计表中m =__________，n =__________；（3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：__________（写出符合题意的序号）.①平均数；②中位数；③众数；④方差.24. 如图，AB 是O 的直径，点C 在O上，若弦CD 平分ACB ∠，交AB 于点E ，过点C 作O 的切线CF ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：ECF FEC ∠=∠；（2）连接BD ，若30CDB ∠=︒，2BF =，求O 半径的长．25. 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的111．某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．（1）该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；方案二：采用两次漂洗的方式.若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用()020x x <<斤清水，第二次用()20x -斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x 的代数式表示）；通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好.（2）若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________．26. 在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线2(0)y ax bx c a =++>上任意两点，其中12x x <．（1）若抛物线经过点()4,c ，①求抛物线的对称轴；②当124x x +>时，比较1y ，2y 大小，并说明理由；（2）设抛物线的对称轴为直线x t =，若存在实数m ，当t m ≤时，1x m =，21x m =+，都有122y y -≥，直接写出a 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，B C α∠=∠=，点D 是平面内任意一点（不与点A ，B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转2α得到线段AE ，连接BE ，G 为BE 的中点，连接AG ，CD ．的（1）如图1，当点D AC 边上时，①根据题意，补全图1；②直接写出：CD AG=__________；（2）如图2，当点D 在ABC 内部时，（1）问中CD AG 的比值还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下定义：将图形M 绕P 顺时针旋转90︒得到图形N ，当图形M 与图形N 有公共点时，我们称点P 是图形M 的“关联点”．已知()0,2A ，()3,1B ．（1）如图1，点P 是线段AB 的“关联点”，在点1(1,0)P ，()20,1P ，()32,3P中，则满足条件的点是__________；（2）若直线y x b =-+上存在点P ，使点P 为线段AB 的“关联点”，直接写出b 的取值范围；（3）以(),0t 为圆心，1为半径的T e ，若线段AB 上存在点P ，使点P 为T e 的“关联点”，直接写出t的取值范围．在2024年昌平区初中学业水平考试第二次模拟练习数学试卷本试卷共8页，共100分，考试时长为120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题（每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 2024年2月5日至25日，人民网连续第23次开展全国两会调查，调查围绕10个领域设置49个候选热词．本次调查广纳民情民意，吸引约6 150 000人次参与，其中6 150 000用科学记数法可以表示为（ ）A. 56.1510⨯B. 66.1510⨯C. 60.61510⨯D. 70.61510⨯【答案】B【解析】【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：66150000 6.1510=⨯，故选：B ．2. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可．【详解】解：A ．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；B ．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C ．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；D ．该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；故选D ．3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，145,2120∠=︒∠=︒，则34∠+∠=（ ）A. 165︒B. 155︒C. 105︒D. 90︒【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.【详解】解：如图所示，AB CD ∥，光线在空气中也平行，13∠∠∴=，24180∠+∠=︒.145,2120︒∠=︒∠= ，345∴∠=︒，418012060∠=︒-︒=︒.344560105∴∠+∠=︒+︒=︒.故选：C .【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.4. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A. b =B. a b <-C. b a <-D.a b +>【答案】D【解析】【分析】本题考查的是实数与数轴和算术平方根．由数轴可知，32a -<<-，3b >，由此逐一判断各选项即可．【详解】解：由数轴可知，32a -<<-，3b >，A 、 3<=，b ∴>B 、32a -<<- ，3b >，3b ∴-<-，a b ∴>-，故本选项不符合题意；C 、32a -<<- ，3b >，23a ∴<-<，||3b >，||b a ∴>-，故本选项不符合题意；D 、32a -<<- ，3b >，0a b ∴+>，故本选项符合题意；故选：D ．5. 正多边形的一个外角是60︒，那么这个正多边形是（ ）A. 正四边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十边形【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正多边形的外角，根据多边形的外角和为360︒进行求解即可．【详解】解：∵正多边形的一个外角是60︒，∴这个正多边形的边数为360660n ︒==︒，∴这个正多边形为正六边形．故选：B ．6. 已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 1m < B. 1m > C. 1m £ D. m 1≥【答案】C【解析】【分析】本题考查了根的判别式．根据判别式的意义得到2Δ(2)410m =--⨯⨯≥，然后解关于m 的不等式即可．【详解】解：根据题意，得：()22410m ∆=--⨯⨯≥，解得1m £，故选：C ．7. 在不透明的袋子里有三个除颜色外其它都相同的小球，两个红球，一个黄球，从中随机同时取出两个小球，其中取到一个红球一个黄球的概率为（ ）A. 23 B. 56 C. 12 D. 1【答案】A【解析】【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键．根据题意，运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．【详解】解：列表把所有等可能结果表示出来，两个红球分别表示为红1，红2，红1红2黄红1--------红1，红2红1，黄红2红2，红1----------红2，黄黄黄，红1黄，红2---------共有6种等可能结果，其中一个红球一个黄球的结果有4种，∴取到一个红球一个黄球的概率为4263=， 故选：A ．8. 如图，AB 为半圆O 的直径，C ，D 是直径AB 上两点，且AC BD =，过点D 作AB 的垂线交半圆于点E ，2CD DE =．设AD a =，AC b =，DE c =，给出下面三个结论：①2a b c -=；②c b a c=；③a b +=．所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，完全平方公式的变形．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，完全平方公式的变形是解题的关键．由题意知，BD AC b ==，CD AD AC a b =-=-，由2CD DE =，可得2a b c -=，可判断①正误；如图，连接AE BE ，，则90AEB ∠=︒，证明BED EAD ∽，则DE BD AD DE=，即c b a c =，可判断②的正误；由()()()222224248a b a b ab c c c +=-+=+=，可得a b +=，可判断③的正误．【详解】解：由题意知，BD AC b ==，CD AD AC a b =-=-，∵2CD DE =，∴2a b c -=，①正确，故符合要求；如图，连接AE BE ，，∵AB 为半圆O 的直径，∴90AEB ∠=︒，∵90AED BED AED EAD ∠+∠=︒=∠+∠，∴BED EAD ∠=∠，又∵90BDE EDA ∠=︒=∠，∴BED EAD ∽，∴DE BD AD DE=，即c b a c =，②正确，故符合要求；∴2ab c =，∴()()()222224248a b a b ab c c c +=-+=+=，∴a b +=，③正确，故不符合要求；的故选：D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 有意义的x 的取值范围是_______．【答案】x 1≥【解析】必须10x -≥，从而可得答案．有意义，10,x \-³1,x ∴≥故答案为：1x ≥10. 分解因式：3x 2+6xy+3y 2＝_____．【答案】3（x+y ）2．【解析】【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．【详解】3x 2+6xy +3y 2=3（x 2+2xy +y 2）=3（x +y ）2．故答案为3（x +y ）2．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11. 分式方程321x x =-的解是__________．【答案】3x =【解析】【分析】本题考查了解分式方程，正确熟知解分式方程的步骤是解题的关键．解分式方程，先去分母，将其转化为整式方程，再求解，最后要检验是否有增根．【详解】解：去分母得：31)2(x x -=，解得：3x =，当3x =时，10x -≠．所以原方程的解为3x =．故答案为：3x =．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若点()1,m 和()4,2在反比例函数(0)k y k x=≠图象上，则m =__________．【答案】8【解析】【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征．根据比例函数(0)k y k x =≠中的系数=k xy 得到关于m 的方程，求解即可得到答案．【详解】解： 点(1,)m 和(4,2)在反比例函数(0)k y k x=≠图象上，42k m ∴=⨯=，解得8m =，故答案为：8．13. 如图，点P 为O 外一点，过点P 作O 的两条切线，切点分别为A ，B ，点C 为优弧AB 上一点，若80P ∠=︒，则ACB =∠__________°．【答案】50【解析】【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接OA ，OB ，由切线的性质定理得到90∠=∠=︒PAO PBO ，求出360909080100AOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒，由圆周角定理得到1502ACB AOB ∠=∠=︒．【详解】解：连接OA ，OB ，PA ，PB 分别切圆于A 、B ，∴半径OA PA ⊥，半径OB PB ⊥，90PAO PBO ∴∠=∠=︒，80P ∠=︒Q ，360909080100AOB ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，1502ACB AOB ∴∠=∠=︒．故答案为：50．14. 2024年3月12日，是我国的第46个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 __________（结果保留两位小数）．第一批次第二批次第三批次第四批次第五批次种植数量200200200200200成活数量194193192196195成活频率0.9700.9650.9600.9800.975【答案】0.97【解析】【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键．根据1941931921961955200++++⨯，计算求解即可．【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为1941931921961950.975200++++=⨯，故答案为：0.97．15. 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm ，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为__________cm ．图1 图2【答案】3【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点O 作OM CD ⊥，垂足为M ，过点O '作O N AB '⊥，垂足为N ，根据AB CD ∥，得出CDO ABO '∽△△，再根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：如图，过点O 作OM CD ⊥，垂足为M ，过点O '作O N AB '⊥，垂足为N ，∵AB CD ∥，CDO ABO '∴ ∽，∴CD OM AB O N='，1578()OM cm =-= ，1174()O N cm '=-=，∴684A B =，解得：3AB =，故答案为：3．16. 某学校为丰富学生的课余生活，组织校园篮球赛，初三年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知第一天（2）班与（4）班比赛，第二天（3）班与（5）班比赛，第三天（4）班与（6）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，那么第三天与（3）班比赛的是__________班，第五天与（1）班比赛的是__________班．【答案】①. （1） ②. （2）【解析】【分析】本题考查逻辑推理能力．本题对学生的逻辑推理能力要求较高，根据每队都与其他队比赛一场，和已经进行的比赛，进行推断即可．【详解】解：（3）班已知的比赛：第二天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，而第三天已知进行的是（4）班与（6）班比赛，故第三天只有（1）班与（3）班比赛，（4）班与（2）班比赛在第一天，（4）班与（6）班比赛在第三天，第二天已知（3）班与（5）班比赛，故第二天（4）班与（1）班比赛，（2）班与（6）班比赛，同理可得：第四天（1）班与（6）班比赛，（4）班与（5）班比赛，第一天（3）班与（6）班比赛，（1）班与（5）班比赛，故最后一天为（1）班与（2）班比赛，（3）班与（4）班比赛，（5）班与（6）班比赛，如表1第一天第二天第三天第四天第五天场地124-35-46-23-12-场地236-14-13-16-34-场地315-26-25-45-56-同一天场地上的比赛可交换进行．故答案为：（1），（2）.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. 112sin 4512-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式、绝对值、负指数幂、特殊角的三角函数值的运算，熟悉运算法则是解题的关键．根据二次根式、绝对值、负指数幂、特殊角的三角函数值的运算，化简计算即可．【详解】解：原式221=+--21=++1=+．18. 解不等式组：38312x xxx-≥⎧⎪⎨->⎪⎩①②．【答案】4x≥【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组．先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．【详解】解：38312x xxx-≥⎧⎪⎨->⎪⎩①②．解不等式①得，4x≥；解不等式②得，1x>，所以这个不等式的解集为4x≥．19. 已知220x x+-=，求代数式212111x x⎛⎫+÷⎪--⎝⎭的值．【答案】1【解析】【分析】本题考查的是分数的混合运算．将212111x x⎛⎫+÷⎪--⎝⎭化简为22x x+，再整体代入，求值．【详解】解：原式211211xx x+-=÷--(1)(1)12x x xx+-=⋅-22x x+=220x x+-=，22x x ∴+=，∴原式1=.20. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AB AD =，对角线AC BD ，交于O ，AC 平分BAD ∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）过点C 作AB 的垂线交其延长线于点E ，若6BD =，3tan 4OAB ∠=，求CE 的长．【答案】（1）见解析（2）245CE =【解析】【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（1）先证CAB DCA ∠=∠，再证DAC DCA ∠=∠，得CD AD AB ==，然后证四边形ABCD 是平行四边形，即可得出结论；（2）根据菱形的性质结合三角函数得出4AO =，8AC =，求出AB ，在Rt ACE 中，解直角三角形，即可得出结论．【小问1详解】证明：AC 平分BAD ∠，DAC BAC ∴∠=∠，AB CD ∥ ，DCA BAC ∴∠=∠，DAC DCA ∴∠=∠，AD CD ∴=，AB AD = ，AB CD ∴=，AB CD ∥ ，∴四边形ABCD 是平行四边形，AB AD = ，∴四边形ABCD 是菱形；【小问2详解】解： 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，132OB OD BD ===，12AO OC AC ==，Rt AOB △中，3tan 4OB OAB OA ∠==，4AO ∴=，8AC =，∴5AB ==，3sin 5OAB ∠=， 过点C 作AB 的垂线交其延长线于点E ，90CEA ∴∠=︒，Rt ACE △中，3sin 5CE OAB AC ∠==，245CE ∴=．21. 如图，初三年级准备制作一个长8.5m 的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距3:4:1=，试求横幅字距是多少？【答案】0.1m【解析】【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距3:4:1=设边空宽为3m x ，字宽为4m x ，字距为m x .再根据长8.5m的横幅列方程，解方程即可得到答案．【详解】解：因为边空宽：字宽：字距3:4:1=，所以设边空宽为3m x ，字宽为4m x ，字距为m x .由题意可得：23164158.5x x x ⨯+⨯+=，解得0.1x =.答：横幅字距为0.1m ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象是由函数y ＝2x 的图象平移得到，且经过点（1，3）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x ＞1时，对于x 的每一个值，函数y ＝mx （m ≠0）的值大于一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）y =2x +1；（2）m ≥3【解析】【分析】（1）据一次函数平移时k 不变可知k =2，再把点（1，3）代入求出b 的值，进而可得出结论．（2）根据点（1，3）结合图象即可求得．【详解】解：（1）∵一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象由函数y =2x 的图象平移得到，∴k =2．∵一次函数y =2x +b 的图象过点（1，3），∴3=2×1+b ．∴b =1．∴这个一次函数的表达式为y =2x +1．（2）把点（1，3）代入y =mx ，求得m =3，∵当x ＞1时，对于x 的每一个值，函数y =mx （m ≠0）的值大于一次函数y =2x +1的值，∴m ≥3．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换及一次函数和不等式的关系，熟知一次函数平移的性质是解答此题的关键．23. 4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．a .初一、初二年级学生得分的折线图b .初三年级学生得分：10，9，6，10，8，7，10，7，3，10c .初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下年级初一初二初三平均数88m 中位数88.5n 根据以上信息，回答下列问题：（1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是__________（填“初一”或“初二”）；（2）统计表中m =__________，n =__________；（3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：__________（写出符合题意的序号）.①平均数；②中位数；③众数；④方差.【答案】（1）初一（2）8m =，8.5n =（3）①②④【解析】【分析】本题考查折线统计图，平均数、中位数、众数和方差，理解相关统计量意义和计算方法是正确解答的前提．（1）根据方差的意义解答即可；的（2）根据算术平均数的意义可得m 的值；根据中位数的定义可得n 的值；（3）分别根据平均数、中位数、众数和方差的定义和计算方法判断即可．【小问1详解】解：由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稳定的是初一．故答案为：初一；【小问2详解】解：由题意得，()1104968723810m =⨯⨯++++⨯+=， 把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、9，故中位数898.52n +==， 故答案为：8，8.5；【小问3详解】解：将其中的数据6改为9，则数据变为：10，9，9，10，8，7，10，7，3，10数据变化，∴平均数、方差改变，中位数为：9998.52+=≠，∴中位数改变，众数依然是10，∴众数不变．故答案为：①②④．24. 如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，若弦CD 平分ACB ∠，交AB 于点E ，过点C 作O 的切线CF ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：ECF FEC ∠=∠；（2）连接BD ，若30CDB ∠=︒，2BF =，求O 半径的长．【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）连接OD OC ，.证明ODE OCE ∠=∠，OED FCE ∠=∠，又由OED FEC ∠=∠，即可得到FCE FEC ∠=∠；（2）证明OBC △为等边三角形，则60BOC OCB ABC ∠=∠=∠=︒，在Rt COF △中，得到1cos 2OC COF OF ∠==设OC OB r ==，则2OF r =+，则122r r =+，解方程即可得到答案．【小问1详解】证明：连接OD OC ，.CD 平分ACB∠ACD BCD∴∠=∠∴ AD BD=AB 是直径， AD BD=90AOD BOD ∴∠=∠=︒∴在Rt EOD △中，90ODE OED ∠+∠=︒CF 是O 切线90OCF OCE FCE ∴∠=∠+∠=︒OD OC= ODE OCE∴∠=∠OED FCE∴∠=∠OED FEC∠=∠ FCE FEC∴∠=∠【小问2详解】解：连接BD ，AB 直径，∴90ACB ∠=︒，BCBC = 30CDB CAB ∴∠=∠=︒60ABC ∴∠=︒OB OC = ，OBC ∴ 为等边三角形，60BOC OCB ABC ∴∠=∠=∠=︒Rt COF △中，1cos 2OC COF OF ∠==设OC OB r ==，则2OF r =+122r r ∴=+，∴2r =，经检验，2r =是分式方程的解且符合题意，即O 半径的长为2．25. 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的111．某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．（1）该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；方案二：采用两次漂洗的方式.是若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用()020x x <<斤清水，第二次用()20x -斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x 的代数式表示）；通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好.（2）若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________．【答案】（1）121；1105；212021x x ---；二 （2）10；1121【解析】【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键．（1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答：实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断；（2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题．【小问1详解】解：方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的1120121=+；方案二：采用两次漂洗的方式．若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的11114161105⨯=++，若在第一次用(020)x x <<斤清水，第二次用(20)x -斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的211111201(1)(21)2021x x x x x x ⨯==-+-++---151********=>，方案二效果更好；故答案为：121，1105，212021x x ---；二；【小问2详解】解：22(20)(20)(10)100x x x x x -=--=--+，当10x =时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好，第一次用 10斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有污物是原来的111101101121⨯=++故答案为：二，1121．26. 在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线2(0)y ax bx c a =++>上任意两点，其中12x x <．（1）若抛物线经过点()4,c ，①求抛物线的对称轴；②当124x x +>时，比较1y ，2y 的大小，并说明理由；（2）设抛物线的对称轴为直线x t =，若存在实数m ，当t m ≤时，1x m =，21x m =+，都有122y y -≥，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）①2x =；②12y y <，理由见解析（2）2a ≥【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键．（1）①利用抛物线经过点()4,c 和点()0,c ，函数值相等的两点连线的垂直平分线即为对称轴，即可得解；②分当212x x >≥时和当212x x >>时两种情况讨论，证明点()11,M x y 比点()22,N x y 离对称轴更近即可得解；（2）利用1t m m ≤<+，开口向上得出12y y <，从而得到122y y am a b -=++，结合“存在实数m ，当t m ≤时，都有122y y -≥”得到12min 2y y -≥，根据当2b t m a =-=时，12y y -有最小值，得出12min 222b a y y a a b a ⎛⎫-=⋅++=≥ ⎪⎝⎭-，从而得解．【小问1详解】解：①∵抛物线经过点()4,c 和点()0,c ，的。
2023北京东城区初三二模数学试题及参考答案
2023北京东城初三二模数 学2023.5学校_________ 班级_________ 姓名_________ 教育ID 号_________考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID 号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 据报道：中国铁路营业里程从2012年的9.8万公里增长到2022年的15.5万公里，其中高铁从0.9万公里增长到4.2万公里，稳居世界第一．将数字155000用科学记数法表示应为（ ）A. 60.15510⨯ B. 51.5510⨯ C. 61.5510⨯ D. 315510⨯2. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 三棱柱B. 四棱柱C. 圆柱D. 圆锥3. 在平面直角坐标系中，已知点()()3,2,5,2A B ，将线段AB 平移得到线段CD ，若点A 的对应点C 的坐标是()1,2-，则点B 的对应点D 的坐标是（ ）A. ()1,2 B. ()2,1- C. ()9,2 D. ()2,14. 下列正多边形中，一个内角为120︒的是（ ）A. B. C. D.5. 如图，在ABC 中，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点,E BD 和CE 交于点O ，则下列结论不正确的是（ ）A. 12∠=∠B. 1590∠+∠=︒C. 34∠∠=D. 534∠=∠+∠6. 下列运算结果正确的是（ ）A. 22()a a -= B. 623a a a ÷= C. 22(2)4a a -=- D. 34a a +=7. 小红参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分．若将三项得分依次按2:4:4的比例确定最终成绩，则小红的最终比赛成绩为（ ）A. 8.3分B. 8.4分C. 8.5分D. 8.6分8. 两个变量满足的函数关系如图所示．①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x 分钟，离家的距离为y 米；②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x 秒，瓶内水的体积为y 毫升；③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x 天，完成的修路长度为y 米．在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 有意义，则x 的取值范围是___．10. 分解因式：2x 2﹣8=_______11. 的整数：________．12. 如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，连接AC ，AD ．若28BAC ∠=︒，则D ∠=______°13. 如图，在ABC 和DEF 中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，AC DF ∥，AC DF ，只添加一个条件：____________能判定ABC DEF ≌△△．14. 质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：抽检产品数n 1001502002503005001000合格产品数m89134179226271451904合格率m n0.8900.8930.8950.9040.9030.9020.904在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）_____________．15. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF 长2米，它的影长FD 是4米，同一时刻测得OA 是268米，则金字塔的高度BO 是________米．16. 将15个编号为1~15的小球全部放人甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3．（1）写出一种甲盘中小球的编号是_________；（2）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13，则乙盘中小球的个数可以是_________．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 111452-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭︒．18. 解方程组：225x y x y -=⎧⎨+=⎩．19. 已知：如图，点P 和O ．求作：直线PA ，使得PA 与O 相切于点A ．作法：（1）连接OP ，分别以点O 和点P 为圆心，大于12OP 的长为半径作弧，两弧交于,C D 两点；（2）作直线CD ，交OP 于点B ；（3）以点B 为圆心，以OB 长为半径作B ，与O 相交，其中一个交点为点A ；（4）作直线PA ．直线PA 即为所求作．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：由作法可知，点B 为线段OP 的中点．连接OA ．∵OP 为B 的直径，∴OAP ∠=_________︒（_________）（填推理的依据）．∴OA PA ⊥．∵点A 在O 上，∵PA 是O 的切线（_________）（填推理的依据）．20. 先化简，再求值：2241244a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中4a =．21. 如图，在ABC 中，AB AC =，点D 为BC 中点，过点,A C 分别作,BC AD 的平行线，相交于点E ．（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）连接,BE DE ，若4tan ,33CBE CD ∠==，求AB 的长．22. 如图，函数(0)m y x x=>的图像G 与直线112y x =+交于点P ，点P 的纵坐标为4，PA x ⊥轴，垂足为点A ．（1）求m 的值；（2）点M 是图像G 上一点，过点M 作MB AP ⊥于点B ，若12PB BM =，求点M 的坐标．23. 如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且CE DE =，点F 在AB 的延长线上，连接,,OC DF F C ∠=∠．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若2,2OE BE BF ==，求O 半径的长．24. 2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，报告提出要加快建设农业强国．某农业学家在光照、降水量等条件接kg/hm）如下表．近的不同地区对几种不同的玉米进行产量实验，得出的部分数据（单位：2 1hm表示10000平方米，即1公顷．注：2品种A品种B品种C品种D品种E品种F品种G品种H低海拔区98438650799677057506743765175398高海拔区78007267753378676333640058745201（1）请补全条形统计图：（2）8个品种的玉米在低海拔区产量的中位数为_________，不同品种的玉米产量总体趋势在_________（填“低”或“高”）海拔区更加稳定；（3）已知气温和含氧量都会影响玉米的产量，下列三种方案中，选择哪两种方案进行组合可以判断哪一种因素对玉米产量的影响较大，a．将两个不同品种的玉米分别种植在两个温室中，两个温室气温相同，氧气浓度不同，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较；b．将同一品种玉米种植在气温相同，氧气浓度不同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较；c．将同一品种玉米种植在气温不同，氧气浓度相同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较．25. 某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围栏周长为m 米，对于m的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下．请你补全探究过程．（1）建立函数模型：设矩形相邻两边的长分别为,x y ．由矩形的面积为4，得4xy =，即4y x=；由周长为m ，得()2x y m +=，即2my x =-+．满足要求的(),x y 应是两个函数图象在第_________象限内交点的坐标；（2）画出函数图象：函数4(0)y x x =>的图象如图所示，而函数2m y x =-+的图象可由直线y x =-平移得到．请在同一平面直角坐标系xOy 中画出直线y x =-；（3）平移直线y x =-，观察函数图象：当直线平移到与函数4(0)y x x =>的图象有唯一交点()2,2时，直线2m y x =-+与y 轴交点的纵坐标为_________；（4）得出结论：若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长m 的最小值为_________米，此时矩形相邻两边的长分别为_________米、_________米．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴是直线3x =．（1）求出该抛物线的顶点坐标（用含a 的式子表示）；（2）当0a >时，对于任意的正数t ，若点()()123,,32,t y t y -+在该抛物线上，则1y _________2y （填“>”“<”或“=”）；（3）已知点()()0,3,7,3A B ．若该抛物线与线段AB 恰有一个公共点，求a 的取值范围．27. 如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，E 是AB 边上一点（不与A ，B 重合），点F 与点A 关于直线DE 对称，连接DF ．作射线CF ，交直线DE 于点P ，设ADP α∠=．（1）用含α的代数式表示DCP ∠；（2）连接AP AF ，．求证：APF 是等边三角形；（3）过点B 作BG DP ⊥于点G ，过点G 作CD 的平行线，交CP 于点H ．补全图形，猜想线段CH 与PH 之间的数量关系，并加以证明．28. 已知线段PQ 是G 的弦，点K 在直线PQ 上．对于弦PQ 和点K ，给出如下定义：若将弦PQ 绕点K 逆时针旋转()0180αα︒<<︒得到线段P Q ''，恰好也是G 的弦，则称弦PQ 关于点K 中心映射，点K 叫做映射中心，α叫做映射角度．（1）如图1，点G 是等边ABC 的中心，作G 交AB 于点,P Q ．在,,A B C 三点中，弦PQ 关于点_________中心胦射；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，直线334y x =-+与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，OEF ∠的角平分线交y 轴于点D ．若D 与线段EF 相交所得的弦关于点E 中心映射，直接写出D 的半径r 的取值范围；（3）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2，线段MN 是O 的弦．对于每一条弦MN ，都有相应的点H ，使得弦MN 关于点H 中心映射，且映射角度为60︒．设点H 到点O 的距离为d ，直接写出d 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．题号12345678答案B D A C C A B A 二、填空题（本题共16分，每小题2分）题号910111213141516答案2x≥2（x+2）（x﹣2）2（或3）（答案不唯一，写出一个即可）62答案不唯一，如AB DE=0.9134（1）（1，2，3，4，5），（1，2，4，5）或（1，2，3，6）（2）7或5（答案不唯一）三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.11145 2-⎛⎫+--⎪⎝⎭︒．=2211 ++--=218. 解方程组：225 x yx y-=⎧⎨+=⎩．②-①得：3y=3，解得：y=1，把y=1代入①得：x=3，则方程组的解为31 xy=⎧⎨=⎩19. （1）解：如图所示，即为所求；（2）90；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．20. ()()()2222222a a a a a a a ++⎛⎫=-⋅ ⎪+++-⎝⎭()()()222222a a a a +=⨯++-22a =-；当4a =时，原式2142==-．21. （1）证明：∵,AE BC AD CE ∥∥，四边形ADCE 是平行四边形，∵AB AC =，点D 为BC 中点，AD BC ∴⊥，∴90ADC ∠=︒，四边形ADCE 为矩形；（2）解：∵四边形ADCE 为矩形，90BCE ADB ∴∠=∠=︒，DE AC=∵点D 为BC 中点，26,BC CD ∴==在Rt BCE 中，4tan 63CE CE CBE BC ∠===，解得：8,CE =在Rt CDE 中，222CD CE DE +=，∴DE =.∴AC =.故AB 22. （1）∵点P 的纵坐标为4，∴1412x =+，解得6x =，∴()6,4P ，∴46m=∴24m =．（2）∵12PB BM =，∴设PB n =，则2BM n =，∵M 点的坐标为()6+2,4M n n -∴()6+2)(424n n -=，解得11n =，20n =（舍去），∴点M 的坐标为()8,323. （1）证明：连接OD ，如图所示：∵O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且CE DE=∴AB CD ⊥，∴90F EDF ∠+∠=︒，∵OC OD =，∴ODC C F ∠=∠=∠，∴90ODC EDF ∠+∠=︒.∴OD DF⊥∴DF 是O 的切线；（2）解∵2,OE BE =∴3OD OC BE ==.∴在Rt OCE △中，2sin 3OE C OC ==，∵F C ∠=∠，解得：43x =，∴4OD =，∴2sin sin 3F C ==设,BE x =则2,3,3 2.OE x OD x OF x ===+在Rt ODF △中，2sin 3OD F OF ==∴32.323x x =+∴43x =.∴4OD =即O 的半径为4．24. （1）根据表格中F 品种在高海拔地区的产量为64002kg /hm ，补全条形统计图，如图所示：（2）将8个不同品种的玉米在低海拔区产量从大到小排序：9843，8650，7996，7705，7506，7437，6517，5398，中位数为770575067605.52+=；根据条形统计图中高低海拔区的变化趋势可以判断在高海拔地区更加稳定；故答案为：7605.5，高；（3）a 选用了两个不同品种的玉米，没有控制变量，故a 不选，b 、c 选用了相同品种的玉米，而且改变了气温和含氧量，故可以选；故选用b 、c 两种方案．25. （1）解：∵x ，y 是矩形的边长，都是正数，所以点(),x y 在第一象限；（2）图像如图所示：（3）解：将点()2,2代入2my x =-+得：222m=-+，解得：8m =，即4y x =-+，当0x =时，4y =，∴直线2my x =-+与y 轴交点的纵坐标为4y =；（4）解：联立4y x =和2m y x =-+并整理得：21+402x mx -=，∴221441402b ac m ⎛⎫∆---⨯⨯≥ ⎪⎝⎭==时，两个函数有交点，解得：8m ≥，∴周长m 的最小值为8米，可得4+4xy x y =⎧⎨=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，∴矩形相邻两边的长分别为2米、2米；26. （1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴是直线3x =，∴32ba -=，∴6b a =-，当3x =时，931y a b =++()9361a x a =+-+91a =-+，∴抛物线()210y ax bx a =++≠的顶点坐标是()3,91a -+；（2）∵()210y ax bx a =++>，∴抛物线开口向上，∴距离抛物线对称轴越远，函数值越大，点()3,t y -距离对称轴3x =的距离为：33t t --=，点()232,t y -距离对称轴3x =的距离为:32322t t t --=-=，∵0t >，∴2t t >，∴()232,t y -距离对称轴3x =比()3,t y -距离对称轴3x =更远，∴12y y <，故填：<；（3）当0a >时，抛物线开口向上.∵抛物线与线段AB 恰有一个公共点，∴当7x =时的函数值大于或等于3.∴494213a a -+≥，∴27a ≥；当0a <时，抛物线开口向下当抛物线的顶点在线段AB 上时，抛物线与线段AB 有唯一公共点.∴913y a =-+=顶点∴29a =-综上所述：29a =-或27a ≥．27. （1）解：∵点F 与点A 关于直线DE 对称，∴DA DF =，PA PF =FDP ADP α∠=∠=，APD FPD∠=∠∵菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，∴AD AB CD ==，120ADC ∠=︒，∴1202CDF α∠=︒-∵DF AD CD ==，∴()1180302DCP CDF α∠=︒-∠=︒+，（2）证明：∵DFC DPF FDP∠=∠+∠∴DPF DFC FDP∠=∠-∠∵DF DC=∴30DFC DCF α∠=∠=︒+∴3030DPF αα∠=︒+-=︒∴260APF DPA ∠=∠=︒∵,60PA PF APF =∠=︒∴APF 是等边三角形；（3）解：CH PH =，证明如下：连接,PB BD ，∵APF 是等边三角形，∴,60AD AB DAB =∠=︒，∴ABD △是等边三角形，∴PAF FAB DAB FAB∠+∠=∠+∠∴PAB FAD ∠=∠，在APB △和AFD △中，,,,AP AF PAB FAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴.APB AFD ≌，∴PB FD BD ==，∵BG DP⊥∴点G 为PD 中点∵CD GH ∥，∴CH PH=28.（1）根据中心映射的定义， 若将弦PQ 绕点K 逆时针旋转()0180αα︒<<︒得到线段P Q ''，恰好也是G 的弦，则称弦PQ 关于点K 中心映射，点K 叫做映射中心．由于ABC 是等边三角形，因此直线PQ 绕A 点逆时针旋转60α=︒()0180α︒<<︒，可使弦PQ 落在弦P Q ''上．但直线PQ 绕B 点、C 点逆时针旋转α ()0180α︒<<︒后，弦PQ 无法与G 再相交成弦．故只有点A 符合映射中心的条件，如下图．（2）如下图， OEF ∠的角平分线交y 轴于点D ，过D 作DG EF ⊥，垂足为G ．则D 与线段EF 相交所得的弦关于点E 中心映射，此时D 的半径r 的取值范围是DF r DG ≥>．在OEF 中，EF 平分OEF ∠，过D 作x 轴的平行线，与EF 交于H ，则HDE DEO ∠∠＝，又HED DEO ∠∠＝，所以HDE HED ∠∠＝，则HD HE ＝．由DH OE ∥得，FDH △∽△FO E ，所以DFFHFH FEDO HE HD OE＝＝＝即DF FE DO EO ＝，DF FEOF DF OE ＝－。