说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系。
信号与系统2-2冲激响应与阶跃响应课件
8
举例
已知线性非时变系统的冲激响应 h(t) et (t)，激励信号为
f (t) (t) 。试求系统的零状态响应。
解：系统零状态响应为：yzs (t) h(t) f (t) et (t) (t)
h( )
f ( )
1
0
t
0
将f(t)反折，再扫描可
yzs (t)
t e d
0
e
t 0
1
3t f1( ) f2 (t )d
1 1 1d 1 (4 t)
3t 2
2
即为重叠部分的面积。
当 3 t 1 即 t 4时：
f2 (t ) 和 f1( )没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) f1(t) f2 (t) 0
7
例 2.7
f1( )
A
2t 0 t1 f1( )
A
2 t0 1 t f1( )
(1 et ) (t)
确定积分上下限。
9
课堂练习题
自测题2.3 自测题2.4 自测题2.5
10
几条结论
f (t) f1(t) f2 (t)
f(t)的开始时间等于f1(t)和f2(t)的开始时间之和； f(t)的结束 时间等于f1(t)和f2(t)的结束时间之和。 f(t)的持续时间等于 f1(t)和f2(t)的持续时间之和。
h(t) 2e2t (t) (t)
计算机例题C2.3
已知系统的冲激响应为h(t) 3 (t) e2t (t)，求阶跃响应。
h=sym('3*Dirac(t)-exp(-2*t)*Heaviside(t)'); g=int(h); g=simple(g)
g=1/2*Heaviside(t)*(5+exp(-2*t)) 阶跃响应为
§2.1 系统的冲激响应
t pe t sin( t) t pe t cos( t)
(B1t p B2t p1 Bpt Bp1)e t cos( t) (D1t p D2t p1 Dpt Dp1)e t sin( t)
信号与系统
线性时不变系统经典求解
例：求微分方程的完全解
d2 dt 2
y(t) 6 d dt
线性时不变系统经典求解
激励函数e(t)
响应函数 r(t) 的特解
E
tp e t cos( t) 或 sin( t)
e t cos( t) e t sin( t)
B
B1t p B2t p1 Bpt Bp1
Bt k e t
当 是 k 重特征根时
B1 cos( t) B2 sin( t)
eat[B1cos(ω t) B2sin(ω t)] 当a＋jb不是特征根 teat[B1cos(ω t) B2sin(ω t)] 当a＋jb是特征根
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
C0
dn r(t) dtn
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d
r(t) dt
Cn r (t )
E0
dm d
e(t) tm
E1
dm1 e(t) d t m1
Em1
d
e(t) dt
Em e(t )
响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)
令 e(t)=(t)
则 r(t)=h(t)
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为 单位阶跃响应，简称阶跃响应。
u(t)
g (t )
H
系统方程的右端包含阶跃函数 ，所以除了齐 次解外，还有特解项。
我们也可以根据线性时不变系统特性， 利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。
信号与系统4-3冲激序列响应与阶跃序列响应课件
k =0 时
f1(k)
1
2 1 0 1 2 k
f2 (k )
3
f1(i)
2
1
1
0 12 3 k
2 1 0 1 2
i
0
f 2 (i)
3
3
5
2
y(k) 6
1
3
2 1 0 1 2 3 i
1 0
k 2 k 2 k 1 k 0,1, 2 k 3 k 4 k 4
9
有限长序列卷积和的规律
两个有限长度序列f(k)和h(k)的卷积y(k)长度也是 有限的。
定义：
f1(k) f2 (k) f1(i) f2 (k i) i
f2 (i) f1(k i) i
称离散卷积或卷积和
f (k)
1 0 1 2 3
f (i) (k i)
i
k
5
任意激励信号的零状态响应
A(k(k-(nk-i))
任意信号：
f (k) f (i) (k i) i f (k) (k)
3 13
[1 2k 1 3k ] (k)
2
2
4
4.6 离散卷积
卷积和的意义
任意离散信号可分解为(k)的线性组合：
f(k)=······+f(-1)(k+1)+ f(0)(k)+ f(1)(k-1)+
······+ f(i)(k-i)+······
f (i) (k i) f (k) (k) i
10
卷积和的计算
不进位乘法法
对于两个有限序列，可以利用一种“不进位乘法”较快地求出卷积结果。
例：求
y(k)= f1(k) f2(k)
实验1阶跃响应与冲激响应
实验1 阶跃响应与冲激响应一、实验目的1.观察和测量RLC串联电路的阶跃响应与冲激响应的波形和有关参数，并研究其电路元件参数变化对响应状态的影响；2.掌握有关信号时域的测量方法。
二、几个概念与解释1、系统的定义：系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
从数学角度，也可理解为：系统也可定义为实现某种功能的运算。
2、响应：将输入信号（又称激励）作用于系统，得到的输出信号就称为响应。
3、零输入响应：没有外加激励信号的作用，只是由初始状态（初始时刻系统的储能）所产生的响应。
4、零状态响应：不考虑初始状态系统的储能作用（初始状态为零）由系统的外部激励信号所产生的作用。
5、冲激响应：将冲激信号作用于系统得到的输出信号就叫冲激响应。
6、阶跃响应：将阶跃信号作用于系统得到的输出信号就叫阶跃响应。
7、单位冲激响应：单位冲激信号作为激励，在系统中产生的零状态响应，就称为单位冲激响应。
8、单位阶跃响应：单位阶跃信号作为激励，在系统中产生的零状态响应，称为单位阶跃响应。
四、实验原理说明实验如图1-1所示为RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应的电路连接图图1-1（a ）为阶跃响应电路连接示意图图1-1（b ）为冲激响应电路连接示意图图1-1 (a) 阶跃响应电路连接示意图图1-1 (b) 冲激响应电路连接示意图其响应有以下三种状态：（1） 当电阻R ＞2 L C 时，称过阻尼状态；（2） 当电阻R = 2 L C时，称临界状态； （3） 当电阻R ＜2 L C 时，称欠阻尼状态。
以上两个电路的输出信号可以工作在：欠阻尼、临界和过阻尼三种状态下，可根据不同的需要进行选择。
根据电路中的参数计算出临界状态状态下的电阻值为R = 2 L C当：R =630.5Ω时，输出处于临界状态。
冲激信号是阶跃信号的导数，所以对线性时不变电路冲激响应也是阶跃响应的导数。
为了便于用示波器观察响应波形，实验用中用周期方波代替阶跃信号。
冲激响应和阶跃响应的关系和意义
冲激响应和阶跃响应的关系和意义冲激响应和阶跃响应，这两个词听上去可能有点儿高大上，但实际上它们跟我们的生活有着千丝万缕的联系，简直就像是老朋友一样。
想象一下，你在街上走，突然有人从后面推了你一把。
这一下子，就是一个冲击，这个冲击就是冲激响应。
你一瞬间的反应，身体的感觉，那种“哎呀”瞬间传遍全身，反应速度极快。
这就是冲激响应的魅力。
它告诉我们，系统在瞬间受到刺激后是怎么反应的，像一根劲爆的鞭子，啪啪作响，充满力量。
然后，我们再来聊聊阶跃响应。
你可以把它想象成你收到了一份意外的快递。
快递一到，你打开箱子，里面是你期待已久的东西。
那种惊喜、兴奋，这种感受慢慢升温，就像是在烤箱里慢慢加热的蛋糕。
阶跃响应就是在这个快递到来后，系统如何逐步适应这个变化的过程。
最开始的震惊，逐渐转变为开心，再到最后的满足。
这是一种逐步稳定的状态，系统从一个阶段慢慢走向另一个阶段，仿佛是人们在生活中的成长。
有趣的是，冲激响应和阶跃响应之间有一种奇妙的联系，就像一对好搭档。
冲激响应是瞬时的，而阶跃响应则是持续的。
就像一个瞬间的灵感可以引发长久的创作灵感，冲击的那一瞬间会让你进入一种新的状态，阶跃响应就是你在这个新状态中慢慢适应和变化。
很多时候，冲激响应就像是生活中的一次小波动，而阶跃响应则是这波动引发的长远影响。
想想看，当你接到一个突如其来的好消息时，你的内心波澜起伏，之后的日子里，你的生活也因为这个消息而逐渐发生改变，这就是二者之间的关系。
而这两者的意义，简单来说就是帮助我们理解系统的行为。
无论是物理系统还是人类的心理状态，它们都在不同的情境下反映出一种反应模式。
就像我们的生活，总有突发状况，像雷阵雨一样来袭。
冲击过后，生活也许会变得不一样，经过一段时间的调整，慢慢适应新的环境，找回平静。
这就是冲激响应和阶跃响应的双重角色，既有瞬间的冲击，也有持续的变化。
再说说它们在工程和科学中的应用。
比如说，工程师在设计桥梁的时候，他们需要考虑冲激响应，因为桥梁可能会受到突然的风压、车辆的冲击等。
信号与系统冲激响应和阶跃响应
r t
t2
t
t
a t a t
b
bu
t t
c
u
t
rt aut
h 0 1 ,h '0 2
代入h(t),得
hh'00A A113AA2212
h(t)1ete3t u(t)
A A121212
2
X
12
第
用奇异函数项相平衡法求待定系数 页
h ( t ) A 1 e t A 2 e 3 tu ( t )
RC (t)A (t)
1 RCA1 A
RC
X
波形
htvC(t)R 1C eR 1C tu(t)
vC (t) h(t) 1 RC
iC(t)
CdvC(t) dt
O
注意！
iC (t)
R12CeR1Ctu(t)
1 (t)
R
1
O R
电容器的电流在
t =0时有一冲激， 这就是电容电压突
1 R 2C
变的原因 。
•当nm时 ， ht中 应 包 t含 ；
•当nm时 ， ht应 包含 t及 其 各 阶 导 数 。 X
10
第
例2-5-2 页
求系统 d d 2r t(2 t)4d d r(tt)3 r(t)的 冲d d e 激(tt响) 应2 e 。(t) 解：
将e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d 2 d h t( 2 t) 4d d h (tt)3 h (t)d d ( tt)2 (t)
CtR1CeR1Ctut
X
6
方法2：奇异函数项相平衡原理
第 页
已知方程 冲激响应 求导 代入原方程
RC dvdCt(t)vC(t)(t) t vC(t)Ae RCu(t)
冲激响应和阶跃响应关系
冲激响应和阶跃响应关系嘿，朋友们！今天咱来唠唠冲激响应和阶跃响应的关系，这可有意思啦！你看啊，冲激响应就像是短跑比赛里的那声发令枪响，“砰”的一下，系统立刻就有了反应。
它能让我们快速地看到系统在瞬间受到刺激后的表现，那叫一个干脆利落！而阶跃响应呢，就像是慢慢爬坡，一步一步地展现出系统在持续刺激下的变化过程。
比如说，咱可以把系统想象成一个调皮的小孩子。
冲激响应就是突然吓他一下，他会猛地一跳，马上给出一个很直接的反应。
而阶跃响应呢，就像是慢慢给他增加任务，他会一点一点地调整自己去适应，表现出一个逐渐变化的过程。
这两者的关系那可是相当紧密啊！冲激响应就像是系统的“急性子”一面，能让我们快速了解它的瞬间反应能力。
而阶跃响应则像是系统的“慢性子”一面，展示出它在持续压力下的稳定程度。
它们就像是一对好兄弟，互相补充，让我们能更全面地认识这个系统。
你想想，如果只有冲激响应，那我们就只能看到系统一瞬间的表现，就好像只看到了闪电，却不知道后续的雷声会怎样。
而有了阶跃响应，就像我们能一直听到雷声的变化，从而更深入地了解整个天气情况。
那它们在实际应用中又有啥用呢？哎呀呀，用处可大了去啦！比如在电子电路设计里，通过研究冲激响应和阶跃响应，工程师们就能更好地优化电路，让它工作得更稳定、更高效。
在控制系统中，了解它们可以帮助我们更好地调整参数，让系统按照我们的期望去运行。
再比如在通信领域，冲激响应和阶跃响应能让我们知道信号在传输过程中会发生什么变化，从而采取相应的措施来保证信号的质量。
这不就像我们走路，要知道路上哪里有坑洼，才能更好地选择走哪条路嘛！总之啊，冲激响应和阶跃响应是非常重要的概念，它们就像系统的两面镜子，让我们能从不同角度看清系统的本质。
咱可得好好掌握它们的关系，这样才能在各种领域中游刃有余啊！它们可不是什么高深莫测的东西，只要咱用心去理解，就一定能搞明白！难道不是吗？。
§2.5 冲激响应和阶跃响应
解形式； 解形式；
2）求h(t)及各阶导数； 及各阶导数； 3）将h(t)及各阶导数代入微分方程的左端，使微分方 及各阶导数代入微分方程的左端，
程左、右两端奇异函数相平衡，从而求出待定系数。 程左、右两端奇异函数相平衡，从而求出待定系数。 这里，绕过了求h(n)(0+)的问题。 的问题。 这里，
令h(n)(t)的系数为1，则方程变为： (t)的系数为 的系数为1 则方程变为： h( n ) ( t ) + an−1 h( n−1 ) ( t ) + K + a1 h' ( t ) + a0 h( t )
= bmδ ( m ) ( t ) + bm−1δ ( m−1 ) ( t ) +K+ b1δ ' ( t ) + b0δ ( t )
响应及其各 阶导数( 阶导数(最 高阶为n 高阶为n次)
令 e(t)=δ(t) 则 r(t)=h(t)
激励及其各 阶导数( 阶导数(最 高阶为m 高阶为m次)
C0h(n) ( t ) + C1h(n−1) ( t ) +K+ Cn−1h(1) ( t ) + Cnh( t )
= E0δ (m) ( t ) + E1δ (m−1) ( t ) +K+ Em−1δ (1) ( t ) + Emδ ( t )
及其各阶导数，其解的形式为： •当n > m 时，h(t )不含 δ(t ) 及其各阶导数，其解的形式为： n αi t h(t) = ∑Ae u(t) i i=1 其解的形式为： •当n = m 时，h (t ) 中应包含 δ (t ) ，其解的形式为：
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说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及
三者之间的联系。
系统零状态响应（Zero-state response），冲激响应（Impulse response），以及阶跃响应（Step response）是描述系统动态特性的重要概念。
在信号和系统理论中，这些概念被广泛应用于分析和设计各种信号处理系统。
本文将逐步解释并探讨这些概念的定义以及它们之间的联系。
首先，我们来定义系统的零状态响应。
系统零状态响应是指在系统没有输入信号时，系统的输出信号。
零状态表示系统没有任何初始条件，只考虑输入信号对系统的影响。
数学上，系统的零状态响应可以用一个函数h(t) 表示，其中t 表示时间。
零状态响应可以通过系统的传递函数（Transfer Function）和输入信号的傅里叶变换（Fourier Transform）来计算。
其次，我们来定义系统的冲激响应。
冲激响应是指系统对一个冲激信号的输出响应。
冲激信号是一个极窄的脉冲信号，其幅度为1，持续时间非常短。
冲激信号在数学上通常表示为δ(t)，其中t 表示时间。
在频域中，冲激信号的傅里叶变换为常数函数。
系统的冲激响应可以通过将冲激信号输入系统，并观察输出信号来获得。
数学上，冲激响应可以用一个函数g(t) 表示，其中t 表示时间。
最后，我们来定义系统的阶跃响应。
阶跃响应是指系统对一个阶跃信号的输出响应。
阶跃信号是一个不能突变的信号，其幅度在某时刻突变。
在数
学上，阶跃信号通常表示为u(t)，其中t 表示时间。
阶跃信号的傅里叶变换为1/(jω) ，其中ω表示频率。
系统的阶跃响应可以通过将阶跃信号输入系统，并观察输出信号来获得。
数学上，阶跃响应可以用一个函数s(t) 表示，其中t 表示时间。
在信号和系统理论中，这些响应函数之间有着密切的联系。
具体而言，冲激响应和阶跃响应可以通过积分和微积分的关系相互转化。
首先，我们来考虑冲激响应和阶跃响应之间的关系。
给定一个系统的冲激响应g(t)，我们可以通过对g(t) 进行积分来获得系统的阶跃响应s(t)。
利用傅里叶变换的性质，我们可以将这一关系表达为：
s(t) = ∫[g(τ)dτ] (从0到t)
换句话说，系统的阶跃响应等于系统的冲激响应在时间轴上的积分。
这意味着系统对连续输入信号的响应可以通过将其分解为一系列冲激信号，并对每个冲激信号的响应进行积分来获得。
接下来，我们考虑冲激响应和零状态响应之间的关系。
给定一个系统的冲激响应g(t) 和一个输入信号x(t)，我们可以通过卷积运算来计算系统的零状态响应y(t)。
卷积运算可以通过对输入信号和冲激响应进行积分来实现，具体关系可以表示为：
y(t) = x(t) * g(t) = ∫[x(τ)g(t-τ)dτ] (从负无穷到正无穷)
换句话说，系统的零状态响应等于输入信号和冲激响应的卷积运算。
这意味着系统对输入信号的响应可以通过将输入信号与系统的冲激响应进行卷积运算来获得。
最后，我们来考虑阶跃响应和零状态响应之间的关系。
给定一个系统的阶跃响应s(t) 和一个输入信号x(t)，我们可以通过积分运算来计算系统的零状态响应y(t)。
具体关系可以表示为：
y(t) = ∫[u(τ)x(t-τ)dτ] (从负无穷到t)
换句话说，系统的零状态响应等于输入信号和阶跃响应的积分运算。
这意味着系统对输入信号的响应可以通过将输入信号与系统的阶跃响应进行积分运算来获得。
综上所述，系统的零状态响应、冲激响应和阶跃响应是描述系统动态特性的重要概念。
零状态响应表示系统在没有初始条件的情况下对输入信号的响应，冲激响应表示系统对冲激信号的输出响应，而阶跃响应表示系统对阶跃信号的输出响应。
这些响应函数之间存在着密切的联系，通过积分和
卷积运算可以相互转化。
这些概念的理解和应用对于信号处理系统的分析和设计具有重要意义。