2020年江苏省高考数学试卷(含解析)
2020年江苏省高考数学试卷 试题+答案详解
E 为 AC 的中点． （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；
1
（2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= BC，
4
设二面角 F—DE—C 的大小为θ，求 sinθ的值．
25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任 取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个 黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn． （1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ．
a1
d 2
q 2
1
aq120
，∴
d
q
4
.
b1 1 q
1
b1 1
12【答案】 4 5
【解析】∵
5x2
y2
y4
1，∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
∴
x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+
4y2 5
2
1 4y2 4 ， 5y2 5 5
当且仅当
1 5y2
4y2 5
，即
x2
3 , y2 10
等差数列 an 的前 n 项和公式为 Pn
na1
nn 1
d 2
d n2 2
a1
d 2
n
，
等比数列bn 的前
n
2020年江苏省高考数学试卷 试题详解
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =_____. 【答案】{}0,2【解析】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =，∴{}0,2AB =. 2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.【答案】3【解析】∵复数()()12z i i =+-,∴2223z i i i i =-+-=+∴复数的实部为3.故答案为3.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2【解析】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19 【解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个. 点数和为5的基本事件有()1,4,()4,1,()2,3,()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 5.如图是一个算法流程图,若输出y 的值为2-,则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()222105x y a a-=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32 【解析】∵双曲线22215x y a -=，∴5b =. 由于双曲线的一条渐近线方程为52y x =，即522b a a =⇒=， ∴22453c a b =+=+=，∴双曲线的离心率为32c a =. 7.已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时()23 f x x =,则()8f -的值是____.【答案】4-【解析】23(8)84f ==,∵()f x 为奇函数，∴(8)(8)4f f -=-=-.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin2α的值是____. 【答案】13【解析】∵22221sin ()(cos sin )(1sin 2)42παααα+=+=+， ∴12(1sin 2)23α+=,∴1sin 23α=. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯,圆柱体积为21()222ππ⋅= ∴所求几何体体积为1232π.10.将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=- 【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 令2()122x k k Z πππ-=+∈,得7()242k x k Z ππ=+∈。
2020年江苏高考数学试题解析
绝密★启用前2020年一般高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式： （1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
一、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 那么_______,=⋂B A 答案：{}1－，2解析：考察简单的集合运算，容易题。
二、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________答案：+∞1（－）2解析：考察函数性质，容易题。
3、设复数i 知足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），那么z 的实部是_________ 答案：1解析：简单考察复数的运算和概念，容易题。
4、依照如下图的伪代码，当输入b a ,别离为2，3时，最后输出的m 的值是________答案：3解析：考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。
五、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率是______★此卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________9第题图答案：13解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。
六、某教师从礼拜一到礼拜五收到信件数别离是10，6，8，5，6，那么该组数据的方差___2=s 答案：165解析：考察方差的计算，能够先把这组数都减去6再求方差，165，容易题。
7、已知,2)4tan(=+πx 那么xx2tan tan 的值为__________答案：49解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。
22tan()11tan tan 1tan 44tan tan(),2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x xππππ+-+-===++（－）＝＝＝－八、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，那么线段PQ长的最小值是________ 答案：4解析：考察函数与方程，两点间距离公式和大体不等式，中档题。
2020年江苏卷数学高考试题(详细解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = ▲．答案：{02}，解析：因为A ，B 的公共元素有0，2，由交集的定义可知{02}，A B = 2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是▲．答案：3解析：(1i)(2i)12(1)(12)i =3+i z =+-=⨯--+-+，故z 的实部为33．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是▲．答案：2解析：由平均数的定义可得42(3)5645a a ++-++=，解得2a =4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是▲．答案：19解析：点数和为5可能的情况有，{1，4}，{2，3}，{3，2}，{4，1}，共有4种，样本空间中样本点的个数为36，故点数和为5的概率是41369=5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是▲．答案：3-解析：因为20x >，而输出的y 的值为负数，故输出的是1x +，即12x +=-，故3x =-6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =，则该双曲线的离心率是▲．答案：32解析：设题中双曲线的焦距为2c ，虚半轴长为b ，则由双曲线的一条渐近线方程可得52b a =，故此双曲心的离心率32c e a ===7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是▲．答案：4-解析：因为y =f (x )是奇函数，所以23(8)(8)84f f -=-=-=-8．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是▲．答案：13解析：因为sin sin cos cos sin (sin cos )4442πππααααα⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，所以22112sin (sin cos )(1sin 2)4223παααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.所以1sin 23α=.9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是▲cm 3.答案：2π-解析：正六棱柱的底面面积为cm ，高为2cm ，故正棱柱的体积为cm 3，圆柱的体积为20.522ππ⨯⨯=，故此六角螺帽毛坯的体积是（2π-）cm 310．将函数πsin(32)4y x =+的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是▲．答案：524πx =-解析：将函数πsin(324y x =+的图象向右平移π6个单位长度，得到函数3sin 2()3sin 26412πππy x x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，由2122ππx kπ-=+（k ∈Z ）可得7224kππx =+，当1k =-时，对称轴离y 轴最近，此时对称轴方程为524πx =-11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和*221()n n S n n n =-+-∈N ，则d +q 的值是▲．答案：4解析：1111a b S +==，当2n ≥时，22111(21)[(1)(1)21]2(1)2n n n n n n n a b S S n n n n n ---+=-=-+-----+-=-+.当n=1时，上式也成立，对任意正整数n ，都有12(1)2n n n a b n -+=-+，因为1(1)n a a n d =+-，11n n b b q -=，。
2020年江苏卷数学高考试题(精编解析版)
0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm3 ．
（第 9 题）
【答案】12 3 2
【解】V 6 1 2 2 3 2 ( 1 )2 2 12 3 .
2
2
2
2
10．将 函 数 y 3sin(2x ) 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 . 则 平 移 后 的 图 象 中 与 y 轴 最 近 的
【答案】4
【解】 n 1 时， a1 b1 1 ， n 2 时， an bn 2n 2 2n1 ， a1 b1 适用上式，所以
an bn 2n 2 2n1 dn a1 d b1qn1 ，对 n N 恒成立，所以 d 2, q 2 ，所以 d q 4 .
12．在已知 5x2 y 2 y 4 1(x, y R) ，则 x2 y 2 的最小值是 ▲ ．
输出y
【答案】 2 4． 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，
结束 （第 5 题）
则点数和为 5 的概率是 ▲ ．
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【答案】 1 9
5． 右图是一个算法流程图，若输出 y 的值为 2 ，则输入 x 的值是 ▲ ．
2 y (d 1)2 (36 d 2 ) ，0 d 6 ， y 2(d 1)(2d 9)(d 4) 0 ， d 4 ，所以 S 在 d 4 时取得最
【答案】 -3
6．
在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
x2 a2
y2 5
1(a 0)
的一条渐近线方程为
y
5x， 2
则双曲线的离心率是 ▲ ．
【答案】 2 3
2020年江苏省高考数学试卷(含答案详解)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知(0)2P ，A ，B 是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
2020江苏高考数学试题答案解析
4
3
1
【答案】
3
直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【解析】 Q sin2 ( ) ( 2 cos 2 sin )2 1 (1 sin 2)
4
2
2
2
1 (1 sin 2 ) 2 sin 2 1
2
3
3
1
故答案为：
3
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，
12 2
24 2
当 k 1时 x 5 24
故答案为： x 5 24
11.设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列．已知数列{an+bn}的前 n 项和
Sn n2 n 2n 1(n N ) ，则 d+q 的值是_______．
【答案】 4
结合等差数列和等比数列前 n 项和公式的特点，分别求得an,bn 的公差和公比，由此求得 d q . 【解析】设等差数列an 的公差为 d ，等比数列bn 的公比为 q，根据题意 q 1.
1 5y2
+ 4y2 5
，利用基本不等式即可求解.
【解析】∵ 5x2 y2 y4 1
∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
∴ x2
y2
1 y4 5y2
y2
1 5y2
+ 4y2 5
2
1 4y2 5y2 5
4 5
，当且仅当
1 5y2
4y2 5
，即 x2
3 , y2 10
1 时取等号. 2
∴
x2
y2
的最小值为
.
故答案为： 3 2
2020年江苏省高考数学试卷(含答案详解)
36 上的两个动点，满足 PA
PB ，
则△PAB 面积的最大值是__________．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点．
40
米.
（1）求桥 AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于 OO 的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上(不包括端点).
桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价 3 k (万元)(k>0).问 OE 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价 2
8.已知 sin2 ( ) = 2 ，则 sin 2 的值是____.
4
3
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，
高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
10.将函数
y=
3sin(2
x﹢π 4
)
的图象向右平移
13.在△ABC 中， AB 4，AC 3，∠BAC=90，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若
PA
mPB
(
3 2
m)PC
（m
为常数），则
CD
的长度是________．
14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P(
3 ，0) ，A，B 是圆 C：x2 2
(y 1)2 2
A(1,
π) 3
在直线 l
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4 12． 5
【解析】 【分析】
x2 1 y4
x2 y2 1 y4 y2
1
4y2 +
根据题设条件可得
5y2 ，可得
5y2
5y2 5 ，利用基本不等式即可
求解.
【详解】
∵ 5x2 y2 y4 1
∴
y
0
且
x2
1 y4 5y2
x2 y2 1 y4 y2
1
4y2 +
2
∴
5y2
5y2 5
故答案为：
.
【点睛】
本题考查了交集及其运算，是基础题型．
2．3
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
【详解】
∵复数 z 1 i2 i
∴ z 2 i 2i i2 3 i ∴复数的实部为 3.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查复数的基本概念，是基础题．
3．2
【解析】
【分析】
根据题意可得基本事件数总为 6 6 36 个.
1, 4 4,1 2,3 3, 2
点数和为 5 的基本事件有
，
，
，
共 4 个.
P 4 1 ∴出现向上的点数和为 5 的概率为 36 9 .
1 故答案为： 9 .
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
5． 3
D m, n
2,
2
，
求证：
n
m
7．
20．已知数列
an
(n N*)
的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn．设 λ 与 k 是常数，若对一切
1
1
1
正整数 n，均有 Sn1k Sn k an1k 成立，则称此数列为“λ~k”数列．
（1）若等差数列an是“λ~1”数列，求 λ 的值；
（2）若数列 an 是“
（1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ．
答案
0, 2
1． 【解析】
【分析】
根据集合的交集即可计算.
【详解】
A 1, 0,1, 2 B 0, 2,3
∵
,
AI
∴
B 0, 2
0, 2
【详解】
y 3sin[2(x ) ] 3sin(2x )
64
12
2x k (k Z ) x 7 k (k Z )
12 2
24 2
当
k
1 时
x
5 24
x 5
故答案为：
24
【点睛】
本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
11． 4
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，判断出 y x 1，由此求得 x 的值.
【详解】
由于 2x 0 ，所以 y x 1 2 ，解得 x 3 .
故答案为： 3
【点睛】
本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.
3 6． 2
【解析】 【分析】
根据渐近线方程求得 a ，由此求得 c ，进而求得双曲线的离心率.
（1）求证：EF∥平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1． 16．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a 3, c 2, B 45 ．
（1）求 sin C 的值；
（2）在边
BC
上取一点
D，使得
cos
ADC
4 5
，求
tan
DAC
的值．
17．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平
【解析】
【分析】
结合等差数列和等比数列前
n
项和公式的特点，分别求得
an
,
bn
的公差和公比，由此求
得d q.
【详解】
设等差数列
an
的公差为
d
，等比数列
bn
的公比为
q
，根据题意
q
1
.
等差数列
an
的前
n
项和公式为
Pn
na1
nn 1
d 2
d 2
n2
a1
d 2
n
，
等比数列
bn
的前
n
Qn
项和公式为
【详解】
Q
sin
2
(
)
(
2 cos
2 sin )2 1 (1 sin 2 )
4
2
2
2
1 (1 sin 2 ) 2 sin 2 1
2
3
3
1 故答案为： 3
【点睛】
本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
12 3
9．
2
【解析】
【分析】
先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.
1 4y2 4
1 4y2
5y2 5 5 ，当且仅当 5y2 5 ，即
x2 3 , y2 1
10
2 时取等号.
4
∴ x2 y2 的最小值为 5 .
4 故答案为： 5 .
【点睛】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌 握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看 和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立
根据平均数的公式进行求解即可．
【详解】
∵数据 4, 2a,3 a,5, 6 的平均数为 4
∴ 4 2a 3 a 5 6 20 ，即 a 2 .
故答案为：2. 【点睛】 本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．
1 4． 9
【解析】
【分析】 分别求出基本事件总数，点数和为 5 的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】
P( 3 ，0)
x2 ( y 1 )2 36
14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 2 ，A，B 是圆 C：
2
上的
两个动点，满足 PA PB ，则△PAB 面积的最大值是__________．
评卷人 得分
二、解答题
15．在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中 点．
【详解】
双曲线
x2 a2
y2 5
1 ，故 b
y 5 .由于双曲线的一条渐近线方程为
5x 2 ，即
b a
5 2
a
2
，所以 c
a2 b2
45
3 ，所以双曲线的离心率为
c a
3 2
.
3 故答案为： 2
【点睛】 本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
7． 4
【解析】 【分析】
线 MN 上，桥 AB 与 MN 平行， OO 为铅垂线( O 在 AB 上).经测量，左侧曲线 AO 上
任一点
D
到
MN
的距离
h1
(米)与
D
到
OO
的距离
a(米)之间满足关系式
h1
1 40
a2
；右
侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 h2 (米)与 F 到 OO 的距离 b(米)之间满足关系式
（2）求矩阵
M
的逆矩阵
M
1
．
22．在极坐标系中，已知点
A(1,
π )
3
在直线 l
:
cos
2 上，点
B(2 ,
π )
6
在圆
C : 4sin 上（其中 0 ， 0 2 ）．
（1）求 1 ， 2 的值
（2）求出直线 l 与圆 C 的公共点的极坐标．
23．设 x R ，解不等式 2 | x 1| | x | 4 ．
12．已知 5x2 y2 y4 1(x, y R) ，则 x2 y2 的最小值是_______．
13．在△ABC 中， AB 4，A，C∠，3 BAC=90 D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得
PA
mPB
(
3
m)PC
AP=9，若
2
（m 为常数），则 CD 的长度是________．
b1
1 qn 1 q
b1 qn b1 1q 1q ，
依题意
Sn
Pn
n2 Qn ，即
n
2n
1
d 2
n2
a1
d 2
n
b1 1 q
qn
b1 1 q
，
d
2
1
通过对比系数可知
a1
d 2
1
q 2
b1 1 q
1
d 2 aq120 b1 1
，故
d
q
4
.
故答案为： 4
【点睛】
本小题主要考查等差数列和等比数列的前 n 项和公式，属于中档题.
h2
1 b3 800
6bΒιβλιοθήκη .已知点B到 OO 的距离为
40
米.
（1）求桥 AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于 OO 的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 3 k
在 AB 上(不包括端点).桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价 2 (万元)(k>0).问 OE 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低?