1.2 布喇菲格子 原胞和晶胞 1.3 密堆积

Cl-的坐标为
1 1 1 , ,， 2 2 2
Cs+的坐标为
(0,0,0)
第三节 密堆积
密堆积、配位数和致密度
1.密堆积(close-packed) 如果晶体由完全相同的一种粒子组成,而粒子被看作小 球,这些全同的小球最紧密的堆积称为密堆积. 2.配位数(coordination number) 在布拉菲格子中，离某一格点最近的格点,称为该格点 的最近邻(nearest neighbour),格点周围最近邻数称为 该格子的配位数.常用符号 z 表示。 它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列 越紧密，配位数越大。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
则以 a1 , a2 , a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最 小重复单元，即原胞 原胞的体积为 a1 (a2 a3 )
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如 何选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包 含一个格点。 2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
氯化钠结构属面心立方。 氯化钠的原胞选取方法与面心立方简单格子的选 取方法相同。 每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点 基元由一个Cl-和一个Na+组成。 Cl-的坐标为
1 1 1 , , ， 2 2 2
Na+的坐标为
(0,0,0)
(c)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位 移1/2的长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格 子，其布拉维晶格为简立方，氯化铯结构属简立方。 每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含1个格点。 基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
简单晶格
复式晶格
氯化钠
氯化铯
Cl
Cs
注意：即使是由同一种原子 组成的晶格，它也不一定是 简单晶格。如：金刚石结构 就是复式格子 金刚石
四、 原胞(primitive cell)
1. 定义 原胞是晶体中体积最小的周期性重复单元。整个 晶格可看成是由无限多个原胞无间隙地紧密排列而成。
a2 a1
第二节、布拉菲格子
原胞和晶胞
1.
晶体结构的周期性
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图 三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内作周期 性分布
1).基元、布拉菲空间点阵、格点和晶格
( a)
(b)
( c)
(1)基元：晶体的基本结构单元称为基元。 基元是晶体结构中最小的重复单元，基元在空间周期性 重复排列就形成晶体结构。 任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，而每一 个基元中不同原子周围情况则不相同。
(r Rn ) (r )
4). 由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反映晶 格的周期性，而不能反映晶格的对称性。
3.维格纳-塞茨(Wigner-Seitz)原胞 选取：以晶格中某一个格点为中心，作这一格点与所 有近邻格点连线的垂直平分面(或中垂线)，由这些垂 直平分面(或中垂线)所围成的以该格点为中心的最小 体积(或面积)即为WS原胞。 WS原胞的取法与倒格 子空间中构成简约布里 渊区(Brillouin zone)的 方法相同
晶体结构=布拉菲格子+基元
2)简单晶格和复式晶格(complex crystal lattice)
简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成， 且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成 的网格称为简单晶格。 复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成， 且同种原子各构成和格点相同的网格，称为子晶格， 它们相对位移而形成复式晶格。复式晶格可看成是由 若干个相同的简在平行六面体的顶角上；晶胞不 仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部也可有格点。
5.几种晶格的实例 立方晶系(cubic)
a b b c c a
a b c a
取 i , j , k 为坐标轴的单位矢量, 则有 a ai , b aj , c ak c b 3 晶胞的体积: V a a 对于立方晶系又可以分为以下几种情况(简单、体 心、面心)： (a)简立方(simple cubic,简称SC)
3). 和原胞的比较 原胞只含有一个格点，是体积最小的周期性重复单 元；晶胞可含有一个或多个格点，体积可是原胞的一 倍或数倍。 基矢：原胞的基矢一般用 a1 , a2 , a3 表示。 晶胞的基矢一般用 a , b , c 表示。 体积： 原胞
v a1 a2 a3 Ω
晶胞 v a b c n Ω
(1)六角密积(hexagonal close-packed structure, HCP) 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙 第二层：占据互不相邻的三个空位 第三层：在第一层球的正上方形成 ABABAB· · · · · · 排列方式 六角密积每个格子有12个最近邻 配位数 Z=12
AB
(2)立方密堆积
ak
V a
3
晶胞体积
aj
ai
4 v N πR 3 3
晶胞中原子所占体积
1 1 1 N ni n f ne nc 2 4 8
内部原子 数 面上原 子数 棱上原 子数
N是晶胞中原子个数 顶角上原子 数
1 1 1 N ni n f ne nc 2 4 8
1 1 N 6 8 4 2 8
第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙 第二层：占据1，3，5空位中心。 第三层：占据2,4,6空位中心,按 ABCABCABC· · · · · · 方式排列，形成 面心立方结构,称为立方密积。 立方密积有12个最近邻 配位数为12
AB
(3).配位数的可能值 配位数的可能值为：12(密堆积)，8(氯化铯型结 构)，6(型结构)，4(金刚石型结构)，3(石墨层状结 构)，2(链状结构)。
4.晶胞(unit cell) 1).定义：由于原胞选取时，必须满足晶格的最小周期 性单元的要求，所以很多情况下原胞不能反映出晶格的 对称性。因而，在晶体学中，习惯用晶系基矢 a, b , c 构成的平行六面体作为周期性重复排列的最小单元，我 们把这种晶体学中选取的单元称为晶胞，也叫单胞。 2). 晶格常数(lattice constant) 晶胞的边长称为晶格常数。
(2)布拉菲空间点阵：晶体的内部结构可以看成是由一 些相同的点子在空间有规则地做周期性无限分布，这 些点子的总体称为布拉菲点阵。 (3)晶格 沿三个方向通过点阵中的结点做平行的直线 族，把节点包括无遗，这个点阵构成一个三维网络， 称为晶格。也称为布喇拉格子。
(4)格点 晶格中的点子称为格点。格点代表着晶体结构 中相同的位置。 一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的 位置，也可以代表基元中任意的点子。
Cl
Cs
氯化铯
氯化钠
3.致密度：
如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在 的位置上，球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球 相切，我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体 积之比称为致密度(堆积比率或最大空间利用率)。
例1：求面心立方的致密度.
设晶格常量为a,原子半径为R,则
4 R 2a
a a = ( j k) [k j i ] 2 4 3 a = Ω a1 4
2
1 3 a2 a3 a 4
(c)体心立方(body-centered cubic,简称：bcc)
a a1 i j k 2 a a2 i j k 2 a a3 i j k 2
a1 ai
晶胞包含1个格点。 原胞的体积与晶胞体积 3 相同 Ωa
c
a2 aj
b
a
a3 ak
(b)面心立方(face-centered cubic,简称fcc )
a a1 j k 2 a a2 i k 2 a a3 i j 2


ak
a1

aj
a2 a3
ak
所以面心立方的致密度为： v 致 密 度: V
4 2 4 π 3 4
3
aj
ai
V a3 4 v N πR 3 3
4 R 2a
2 π 6
体心立方：
3 8
六角密积：
2 π 6
简立方：
π 6
3 金刚石晶体： 16
a4
a3 a6
a8 a5 a7
维格纳--塞茨原胞
对于三维晶格，以一个节点为顶点，以三个不 同方向的周期为边长的平行六面体可以做为晶格的 一个重复单元。体积最小的重复单元就是原胞。 这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性 平移，就可以充满整个晶格，形成晶体。
a3 a 2 a1
a3 a 2 a1
如图:对于三维晶格
ai
平均每个晶胞包含4个格点。
原胞的体积
晶胞的体积
1 3 Ω a1 a2 a3 a 4
V 4
计算推导：
Ω a1 a2 a3
a a a ( j k ) [ (i k ) (i j )] 2 2 2 2 a a = ( j k ) [i j k i k j ] 2 4
ak


a1
a2
aj


ai
a3


平均每个晶胞包含2个格点。 1 3 原胞的体积 Ω a1 a2 a3 a 2 晶胞的体积 V 2
复式格子(complex crystal lattice)
(a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
c
c
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位 移1/4的长度套构而成,其晶胞为面心立方。由面心立 方晶胞的中心到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连 线的中点各加一个原子就得到了金刚石晶格结构。