三角函数诱导公式讲义
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三角函数的诱导公式
一、学习目标：
1．熟练掌握诱导公式，利用诱导公式进行求值，化简，证明．
2．了解从未知到已知，从复杂到简单的转化过程，提高分析和解决问题的能力．
二、知识要点：
诱导公式（一）
tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπα
απααπ=+=+=+k k k
结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等
②把求任意角的三角函数值问题转化为求0～π2角的三角函数值问题。
诱导公式（二）
tan )tan(cos )cos( sin )sin(ααπα
απααπ=+-=+-=+
结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角时）
②把求（απ+）的三角函数值转化为求α的三角函数值。
诱导公式（三）
tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-
结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角）
②把求（α-）的三角函数值转化为求α的三角函数值
诱导公式（四）
tan )tan(cos )cos( sin )sin(ααπααπααπ-=--=-=-
诱导公式（五） sin )2cos( cos )2sin(
ααπ
ααπ=-=-
诱导公式（六） sin )2cos( cos )2sin(ααπ
ααπ-=+=+ 方法点拨：
①可以是任意角；公式中的α
②前四组诱导公式可以概括为：
符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名
的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k ③公式（五）和公式（六）总结为一句话：函数正变余，符号看象限
三、基础自测：
1、求下列各三角函数值:
①cos225° ②tan （-π）
2、sin480°的值为( )
A 、2
1- B 、23- C 、21 D 、23 3、cos330°等于( )
A 、21
B 、2
1- C 、23 D 、23- 四、典型例题分析：
例1、求值（1）10sin()3π- = __________． （2）29cos()6
π= __________． （3）0tan(855)-= _______ ___． （4）16sin()3
π-= __________．
变式练习1：求下列函数值：
︒︒-580tan )4( ,670sin )3( ),4
31sin()2( ,665cos )1(ππ
的值。
求：已知、例)
sin(2)4cos()3sin()2cos( ,
3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+
变式练习2： 若1sin()22
π
α-=-，则tan(2)πα-=________． 变式练习3： 已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan ＝ ．
五、巩固练习：
1、对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ）
A ．α一定是锐角
B ．0≤α＜2π
C ．α一定是正角
D ．α是使公式有意义的任意角
2、⎪⎭
⎫ ⎝⎛-π619sin 的值等于（ ） A ．
21 B ． 21- C ． 23 D ． 2
3-
3、若(),2,5
3cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 5
4- 4、下列各式不正确的是 （ ）
A ． sin （α＋180°）=－sin α
B ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）
C ． sin （－α－360°）=－sin α
D ．cos （－α－β）=cos （α＋β）
5、sin 34π·cos 625π·tan 4
5π的值是 A ．－43 B ．43 C ．－43 D ．4
3 6、)2cos()2sin(21++-ππ等于 （ ）
A ．sin2－cos2
B ．cos2－sin2
C ．±（sin2－cos2）
D ．sin2+cos2
7、已知()2
1sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为 （ ） A ． 332 B ． －2 C ． 332- D ． 3
32± 8、如果A 为锐角，2
1)sin(-=+A π，那么=-)cos(A π （ ） A 、21-
B 、21
C 、23-
D 、23 9、已知a = 200sin ，则 160tan 等于 （ ）
A 、21a a --
B 、21a a
- C 、a a 21-- D 、a a 2
1- 10、tan600°的值是 （ ）
A ．33-
B ．33
C ．3-
D ．3
11、α是第四象限角,13
12cos =α,则sinα等于( ) A.135 B.135- C.125 D.125-
二、填空题
1、tan2010°的值为 ．
2、已知5
3sin -=α，且α是第四象限的角，则)2cos(απ-的值是 ． 3、计算：cos （－2640°）+sin1665°＝ ．
4、计算：)4
25tan(325cos 625sin πππ-++＝ ． 5、化简：)
(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝______ ___． 6、若a =αtan ，则()()απαπ+--3cos 5sin ＝ ____ ____．
7、如果51cos =α,且α是第四象限角,那么)2
cos πα+(＝_________________. 8、已知552sin =
α,2π≤α≤π,则tanα＝______________.
9=__________．
10、若α是三角形的一个内角，且2
1)23cos(=+απ，则α＝ 。
11、已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin f 的值为 。
12、化简：
20sin 1160sin 160cos 20sin 212--+。
诱导公式讲义
诱导公式复习语录天下：One needs 3 things to be truly happy living in the wor ld: some thing to do, some one to love, some thing to hope for.1.基本公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝ cos（2kπ＋α）＝tan（2kπ＋α）＝ cot（2kπ＋α）＝公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝ cos（π＋α）＝tan（π＋α）＝ cot（π＋α）＝公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝ cos（－α）＝tan（－α）＝ cot（－α）＝公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝ cos（π－α）＝tan（π－α）＝ cot（π－α）＝公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝ cos（2π－α）＝tan（2π－α）＝ cot（2π－α）＝公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝ cos（π/2＋α）＝tan（π/2＋α）＝ cot（π/2＋α）＝sin（π/2－α）＝ cos（π/2－α）＝tan（π/2－α）＝ cot（π/2－α）＝sin（3π/2＋α）＝ cos（3π/2＋α）＝tan（3π/2＋α）＝ cot（3π/2＋α）＝sin（3π/2－α）＝ cos（3π/2－α）＝tan（3π/2－α）＝ cot（3π/2－α）＝(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k ∈Z)的三角函数值，①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos;cos →sin;tan →cot,co t →tan.（奇变偶不变）然后在前面加上(把α看成锐角时)原函数值的符号。
高中三角函数诱导公式知识点
⾼中三⾓函数诱导公式知识点三⾓函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。
它们的本质是任何⾓的集合与⼀个⽐值的集合的变量之间的映射，那么接下来给⼤家分享⼀些关于⾼中三⾓函数诱导公式知识点，希望对⼤家有所帮助。
⾼中三⾓函数诱导公式知识1公式⼀：设α为任意⾓，终边相同的⾓的同⼀三⾓函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式⼆：设α为任意⾓，π+α的三⾓函数值与α的三⾓函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意⾓α与 -α的三⾓函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利⽤公式⼆和公式三可以得到π-α与α的三⾓函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利⽤公式⼀和公式三可以得到2π-α与α的三⾓函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα⾼中数学三⾓函数的诱导公式学习⽅法⼆推算公式：3π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα⾼⼀数学学习⽅法总结1.先看专题⼀，整数指数幂的有关概念和运算性质，以及⼀些常⽤公式，这公式不但在初中要求熟练掌握，⾼中的课程也是经常要⽤到的。
三角函数诱导公式及推导
三角函数诱导公式：所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用公式：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z）cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z）tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）cot（2kπ+α）=cotα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）= －sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）= tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）= cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）= sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）=－sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）=－tanαcot（2π-α）=－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2+α）=－tanαcot（π/2－α）=tanα推算公式：3π/2 ±α与α的三角函数值之间的关系：sin（3π/2+α）=－cosαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2+α）=－cotαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2+α）=－tanαcot（3π/2－α）=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
三角函数诱导公式全集
三角函数诱导公式全集三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=-sinαcos（π+α）=-cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα(k∈Z)cos（2kπ+α）=cosα(k∈Z)tan（2kπ+α）=tanα(k∈Z)cot（2kπ+α）=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=-sinαtan（π/2+α）=-cotαcot（π/2+α）=-tanαsin（π/2-α）=cosαcos（π/2-α）=sinαtan（π/2-α）=cotαcot（π/2-α）=tanαsin（3π/2+α）=-cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=-cotαcot（3π/2+α）=-tanαsin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinαtan（3π/2-α）=cotαcot（3π/2-α）=tanα（以上k∈Z）注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
【精品】高中数学 必修4_三角函数的诱导公式_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】 要点一：诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解． 【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具． 举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1． 例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】 求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】 已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=． 两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=． 类型二：利用诱导公式化简 例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三： 【变式1】化简 （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】 常见的一些关于参数k 的结论： （1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈； （2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈； （3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈； （4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈． 类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】 证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立． 举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】 【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=； （3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证． （2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证． （3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证． 【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-． 证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证． 类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值． 【解析】 （1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=． （3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-． 【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三： 【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（ ）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（ ）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（ ） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是 ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。
三角函数的诱导公式说课稿
三角函数的诱导公式说课稿2篇三角函数的诱导公式说课稿（一）大家好，我是今天的授课者，今天我要给大家讲解的主题是三角函数的诱导公式。
三角函数是数学中常用的一类函数，它们的诱导公式是非常重要的推导工具。
下面我们就来深入了解一下。
首先，我们先明确一下什么是三角函数。
在数学中，三角函数是指描述角度与边的关系的函数。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们分别表示一个角的正弦、余弦和正切值。
三角函数在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
接下来，让我们来了解一下三角函数的诱导公式。
所谓诱导公式，就是通过已知的三角函数的值，推导其他三角函数的值的公式。
在这里，我们主要讲解正弦函数和余弦函数的诱导公式。
首先是正弦函数的诱导公式。
我们知道，正弦函数表示一个角的正弦值，可以表示为sin(x)。
根据正弦函数的定义，我们可以得到以下公式：1. sin(x) = y / r其中，x表示角的弧度，y表示对边的长度，r表示斜边的长度。
根据勾股定理，我们还可以得到以下公式：2. r^2 = x^2 + y^2接下来，我们将公式1和公式2联立起来，进行一系列的代换和化简，就可以得到正弦函数的诱导公式：3. sin(x) = y / r = sqrt(1 - cos^2(x))其中，cos(x)表示角的余弦值。
这个公式告诉我们，当我们知道一个角的余弦值时，可以通过这个公式来求得该角的正弦值。
接下来是余弦函数的诱导公式。
余弦函数表示一个角的余弦值，可以表示为cos(x)。
根据余弦函数的定义，我们可以得到以下公式：4. cos(x) = x / r根据勾股定理，我们还可以得到以下公式：5. r^2 = x^2 + y^2将公式4和公式5联立起来，进行一系列的代换和化简，就可以得到余弦函数的诱导公式：6. cos(x) = x / r = sqrt(1 - sin^2(x))这个公式告诉我们，当我们知道一个角的正弦值时，可以通过这个公式来求得该角的余弦值。
三角函数诱导公式讲义
学乐教育学生姓名 ____________________ 就读年级 ____________________ 授课日期 ____________________ 教研院审核___________________三角函数的诱导公式一、学习目标：1．熟练掌握诱导公式，利用诱导公式进行求值，化简，证明．2．了解从未知到已知，从复杂到简单的转化过程，提高分析和解决问题的能力．二、知识要点：诱导公式（一）tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπααπααπ=+=+=+k k k结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等②把求任意角的三角函数值问题转化为求0～π2角的三角函数值问题。
诱导公式（二）tan )tan(cos )cos( sin )sin(ααπααπααπ=+-=+-=+结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角时）②把求（απ+）的三角函数值转化为求α的三角函数值。
诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角）②把求（α-）的三角函数值转化为求α的三角函数值诱导公式（四）tan )tan(cos )cos( sin )sin(ααπααπααπ-=--=-=-诱导公式（五）sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=- 诱导公式（六）sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 方法点拨：①可以是任意角；公式中的α ②前四组诱导公式可以概括为： 符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,,, ),Z (2-+-∈+k k ③公式（五）和公式（六）总结为一句话：函数正变余，符号看象限三、基础自测：1、求下列各三角函数值:①cos225° ②tan （-π）2、sin480°的值为( ) A 、21-B 、23-C 、21D 、233、cos330°等于( ) A 、21 B 、21- C 、23 D 、23-四、典型例题分析：例1、求值（1）10sin()3π-= __________． （2）29cos()6π= __________． （3）0tan(855)-= _______ ___． （4）16sin()3π-= __________．变式练习1：求下列函数值：︒︒-580tan )4( ,670sin )3( ),431sin()2( ,665cos )1(ππ的值。
三角函数的诱导公式经典讲义
三角函数的诱导公式经典讲义三角函数的诱导公式是我们在学习和应用三角函数时经常用到的一个重要工具。
它能够帮助我们把一个三角函数表达式转化为其他三角函数的表达式，从而简化计算和推导过程。
本文将详细介绍三角函数的诱导公式的原理、推导过程以及常用应用。
一、诱导公式的原理诱导公式是基于三角函数的正负号周期性性质而得出的。
周期性是指三角函数在不同的角度上取值相同，而正负号则决定了函数的正负。
根据这些性质，我们可以利用一个固定的三角函数表达式来推导出其他角度上的三角函数表达式。
具体来说，我们可以通过利用已知的正弦函数和余弦函数的周期性关系，推导出其他三角函数的表达式。
例如，我们可以利用正弦函数的周期性关系：sin(x + 2π) = sin(x)，再结合勾股定理，推导出余弦函数的表达式：cos(x) = sin(x + π/2)。
这就是三角函数的诱导公式的基本思路。
二、常用的诱导公式1.正弦函数的诱导公式sin(x ± π/2) = ±cos(x)sin(x ± π) = ±sin(x)sin(x ± 2π) = sin(x)2.余弦函数的诱导公式cos(x ± π/2) = ±sin(x) cos(x ± π) = -cos(x) cos(x ± 2π) = cos(x) 3.正切函数的诱导公式tan(x ± π/2) = ±cot(x) tan(x ± π) = tan(x)tan(x ± 2π) = tan(x) 4.余切函数的诱导公式cot(x ± π/2) = ±tan(x) cot(x ± π) = -cot(x) cot(x ± 2π) = cot(x) 5.正割函数的诱导公式sec(x ± π/2) = ±csc(x) sec(x ± π) = -sec(x) sec(x ± 2π) = sec(x) 6.余割函数的诱导公式csc(x ± π/2) = ±sec(x) csc(x ± π) = -csc(x) csc(x ± 2π) = csc(x)三、诱导公式的推导过程下面我们以正弦函数和余弦函数的诱导公式为例，介绍具体的推导过程。
2025数学大一轮复习讲义人教版 第四章 同角三角函数基本关系式及诱导公式
(2)(2023·全国乙卷)若 θ∈0，π2，tan θ＝12，则 sin θ－cos θ＝
－
5 5
.
因为 θ∈0，π2，则 sin θ>0，cos θ>0， 又因为 tan θ＝csoins θθ＝12，则 cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，
自主诊断
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是
A.sin(－x)＝sin x
B.sin32π－x＝cos x
√C.cosπ2＋x＝－sin x
√D.cos(x－π)＝－cos x
自主诊断
sin(－x)＝－sin x，故A不成立； sin32π－x＝－cos x，故 B 不成立； cosπ2＋x＝－sin x，故 C 成立； cos(x－π)＝－cos x，故D成立.
第四章
§4.2 同角三角函数基 本关系式及诱导公式
课标要求
1.理解同角三角函数的基本关系式 sin2α＋cos2α＝1，csoins αα＝ tan αα≠π2＋kπ，k∈Z. 2.掌握诱导公式，并会简单应用.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
余弦 _s_in__α_ _－__si_n__α_ sin α －sin α
正切
口诀
奇变偶不 变，符号 看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z.
三角函数的诱导公式(优秀经典公开课比赛课件)
任意负角的 三角函数
任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
0～2π 的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
布置作业
P29习题1.3 A组 第一题 （1）（3）（5） 第三题 （1）（2）
1.3三角函数的诱导公式二、三、四
学习目标：
1.借助单位圆推导诱导公式二、三、四； 2.记住诱导公式一~四，并能运用诱导公式进行 求值与化简.
复习回顾
1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
sin y
y
α 的终边
cos x
P(x，y)
Ox
tan y (x 0)
x
2. 2kπ ＋α （k∈Z）与α 的三角函数之间的关系 是什么？
25π＋cos
35π＋cos
45π－tan
2π 3
－tan
π； 3
解析：(1)原式＝cos
π5＋cos
25π＋cos(π－25π)＋cos(π－π5)－tan(π－π3)－tan
π 3
＝cos
π5＋cos
25π－cos
25π－cos
π5－(－tan
π3)－tan
π 3
＝tan
π3－tan
π 3
＝0.
利用诱导公式求任意角三角函数的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化； (2)“大化小”——用公式一将角化为 0°到 360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
1．求下列三角函数式的值：
cos
π5＋cos
解析：因为 sin(π－α)＝sin α＝ 55，
所以