相似三角形复习2—K字型
k字形三角形相似例题
k字形三角形相似例题【原创实用版】目录1.题目背景及要求2.K 字形三角形的定义和性质3.相似三角形的判定方法4.K 字形三角形相似的例题解析5.总结与拓展正文1.题目背景及要求在解决数学问题时，我们经常会遇到一些形状特殊的图形，如 K 字形三角形。
这类题目在初中、高中数学题中比较常见，要求学生掌握一定的解题技巧和方法。
本篇文章主要针对 K 字形三角形的相似问题进行探讨，帮助大家更好地理解和掌握这一类型的题目。
2.K 字形三角形的定义和性质K 字形三角形是指三角形中有两条边相等，且这两条边所在的直线互相垂直。
它具有以下性质：（1）K 字形三角形的两个底角相等；（2）K 字形三角形的两个斜边互相垂直；（3）K 字形三角形的面积可以通过底边和高来计算。
3.相似三角形的判定方法要解决 K 字形三角形相似问题，首先要了解相似三角形的判定方法。
相似三角形的判定方法有以下几种：（1）AA 相似定理：两个角相等，则两个三角形相似；（2）SAS 相似定理：两边和夹角分别相等，则两个三角形相似；（3）SSS 相似定理：三边分别相等，则两个三角形相似。
4.K 字形三角形相似的例题解析例题：如图，在三角形 ABC 中，AB=AC，BD=DC，且∠BDA=90°。
求证：三角形 ABD 与三角形 CBD 相似。
解析：根据题目条件，我们可以得到两个相等的角（∠ADB=∠CDB）和一个相等的边（BD）。
因此，根据 AA 相似定理，我们可以得出三角形 ABD 与三角形 CBD 相似。
5.总结与拓展在解决 K 字形三角形相似问题时，我们要灵活运用相似三角形的判定方法，注意观察题目中给出的条件，寻找相等的角和边。
同时，多做一些类似的例题，提高自己的解题能力和技巧。
K字型复习
“K”字型复习（三等角型相似三角形）引例：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。
此规律需通过认真做题，细细体会。
课前演练：1.如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°（1）求证：△BDE∽△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，求证：△BDE∽△DFE3.（2012•朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上一动点（不与B、C重合）．连接AE，过点E作EF⊥AE，交DC于点F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论．精选例题：例1.（2015•贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）例2. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）设BP=x，CM=y．求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．（3）当△APM为等腰三角形时，求PB的长．当堂巩固：练习1:.（2012秋•洛江区期末）如图，在△ABC中AB=AC=6cm，BC=8cm．点E是线段BC边上的一动点（不含B、C两端点），连结AE，作∠AED=∠B，交线段AB于点D．（1）求证：△BDE∽△CEA；（2）设BE=x，AD=y，请写y与x之间的函数关系式，并求y的最小值．（3）E点在运动的过程中，△ADE能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．2.（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上（如图10），且6=BP ，求线段CQ 的长；②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5（如图12），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.课后巩固练习：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。
相似三角形复习(2)
九数九数（上）期末复习——相似三角形复习（二）班级 姓名一、知识点归类及所涉及的数学思想、方法： 1、比例的性质及应用；2、相似三角形的判定和性质。
二、“选择”题组： A 组1、数2和8的比例中项是_____________。
2、数6,3,2的第四比例项为___________。
3、已知线段AC=6，B 是AC 的黄金分割点，则较长线段AB 的长为________。
4、若z y x 32==，则z y x ::的值为 ，zzy x 32+-的值为________。
5、如图，D 、E 是△ABC 边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，若DE ：BC=3：5，则S △ADE ：S △ABC = ，S △ADE ：S 四边形DECB =__________。
6、如图，G 是△ABC 的重心，则S △DCG ：S △ABC =_________。
7、如图：在△ABC 中，EF ∥BC ，BD=CD ，AD 交EF 于G ，求证：EG=FG8、如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，D 是BC 上一点，过B 作BE ⊥AB ，且∠BAE=∠CAD ，在过E 作EF ⊥BC 交CB 延长线于点F ，求证：CD=BF 。
AB CDEA B CD G AE FB CD GEF D C B AB 组1、如图，D 是BC 中点，E 是AB 中点，因此，S △ABD ：S △ADC =___________，S △ACE ：S △CEB =_______。
H 是△ABC 的重心，所以，AH ：DH=_______，S △AHC ：S △DHC =________， S △DHC=__________ S △ADC ，S △AHC=__________ S △ADC =________ S △ABC 。
S △AHE =________ S △ABC , S △BEHD =________ S △ABC 。
2、如图，梯形ABCD 对角线交于O ，求证：（1）S 1·S 2=S 3·S 4； （2）S 3=S 4。
解读相似三角形中k型图
VS
证明
由于∠BAC=∠DAE且AB/AD=AC/AE=2/3， 根据相似三角形的判定定理，我们可以得 出△ABC∽△ADE。
03
K型图中线段比例关系
比例性质介绍
比例的基本性质
在相似三角形中，对应边之间的 比例是相等的，即如果两个三角 形相似，那么它们的对应边之间 的比值是一个常数。
比例的性质
在相似三角形中，对应高、对应 中线、对应角平分线的比例都等 于相似比。
反思
在学习相似三角形时，可能会出现一些理解上的困难或误区。例如，有些同学可能会认为只要两个三角形的 对应角相等，它们就是相似的，而忽略了对应边成比例的条件。因此，在学习过程中需要不断反思和总结自 己的理解和方法是否正确，并及时纠正错误的认识和做法。同时，还需要多做练习题加深对知识点的理解和
记忆。
THANKS
案例一
建筑设计中的K型图应用。在建筑设计中，经常需要利用相似三角形的性质进行比例计算 和建模。例如，在设计一座建筑时，可以利用K型图求出建筑的高度、宽度等比例关系， 进而进行建筑设计。
案例二
地理测量中的K型图应用。在地理测量中，经常需要利用相似三角形的性质进行距离、高 度等测量。例如，在测量一座山的高度时，可以利用K型图进行建模和计算，从而得出山 的高度。
02
利用K型图的性质
在K型图中，若已知其中一条边的长度，则可以求出另外两条边的长度。
同时，若已知两个角的大小，则可以求出第三个角的大小。
03
证明过程
首先，根据题目中的已知条件，确定K型图中的两个相似三角形。然后，
利用相似三角形的性质，建立比例关系。最后，通过代数运算，证明目
标结论。
案例分析
案例一
已知三角形ABC和三角形ADE相 似，且AB=AC，AD=AE。求证：
相似三角形判定复习
一.填空选择题: 填空选择题: 1.(1)△ ABC中,D、 分别是AB AC上的点 AB、 上的点， 1.(1)△ ABC中,D、E分别是AB、AC上的点，且 B，那么△ ABC， ∠AED=∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，从而
AD (AC)
=
DE BC
(2) △ ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D， ABC中 AB的中点为 的中点为E AC的中点为 的中点为D 连结ED ED， AED与 ABC的相似比为 连结ED， 则△ AED与△ ABC的相似比为 A 1:2 A ______.
A1 A
B
C
B1
C1
对于直角三角相似的判定除了上述三种方法外， 对于直角三角相似的判定除了上述三种方法外， 还有什么定理？ 还有什么定理？ 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条 直角三角形 直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角 边对应成比例， 边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
相似三角形的判定的复习
我们学习了判定一般三角形相似的哪几种方法？ 我们学习了判定一般三角形相似的哪几种方法？ • 定理1：对应角相等两三角形相似 定理1 • 定理2：两边对应成比例且夹角相等， 定理2 两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似 • 定理3：三边对应成比例，两三角形相 定理3 三边对应成比例， 似
2、如图，已知BC∥B'C'，AC∥A'C' 如图，已知BC∥B'C'， BC∥B'C' 求证： ABC∽△ 求证：△ABC∽△A'B'C' A A’ ’ O 2 1 4 C’ 3 C ’ B’ ’ B
∴△ABC∽△A’B’C’ ∽ ’ ’ ’ 证明： 证明：∵BC∥B’C’ ∥ ’ ’ ∴∠3＝ ∴∠ ＝∠4， ， B’C’/BC ＝ ’ ’ OC’/OC ’ ∵AC∥A’C’ ∥ ’ ’ ∴∠1＝ ∴∠ ＝∠2 OC’ ∴ A’C’/AC ＝ ’ ’ ’ ∴∠ACB＝∠A’C’B’ ∴∠ ＝ ’ ’ ’ ’ B’C’/BC A’ ’ ’ ＝
相似三角形的基本模型(K字型)(原卷版)(人教版) -九年级数学下册
专题07相似三角形的基本模型（K字型）【模型说明】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.【例题精讲】（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；（1）求此拋物线的解析式．课后训练4．如图，AOB∆是直角三角形，AOB∠5．如图，已知D是等边为EF，点E、F分别在∠=，将边AC绕点C顺时针旋转α得到线段10．（1）问题发现：如图1，ABCα∠=．请求出线段BC与DE的数量关系；线BC上取点D，使得CDEα(1)如图1，求点D的坐标；(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点接AE，过点E作EF⊥AE交线段为d，求d与t的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，点EH-CE=2AH，求点P的坐标．3（1）求证：EA·ED （2）若BE平分∠＝45°，BD交EF于点（3）若AB＝BC，点＝EJ，当AEED＝_________。
《相似三角形》全章复习与巩固(基础)-知识讲解
《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念;（2)通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方;(3）了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件；(4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5)理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律。
【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1。
比例线段：（1)线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比是a:b=m：n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.(2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项:已知四条线段ａ,ｂ，ｃ,ｄ,如果，那么ａ，ｂ,ｃ,ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ,ｃ叫做比例内项,线段ｄ还叫做ａ,ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b：c或,那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c,d的单位一2。
比例的性质（1）比例的基本性质：(2）反比性质:(3）更比性质: 或（4）合比性质：（5）等比性质: 且3。
平行线分线段成比例定理（1)三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
（2）三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.(3)三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
第22章 相似三角形的复习(2)
知识回顾
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。 2.预备定理：平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两 边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似.
判定两个三角形相似的方法 3.（ AA)两角对应相等的两个三角形相似。
4.（SAS)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5.（SSS)三边对应成比例的两个三角形相似。
B
F
C
如图
下课了！
作业
P99 A组复习题：5，9
你能行！
（1）如图1，当 时，△ABC∽△ADE
（2）如图2，当 （3）如图3，当
时，△ABC∽△AED 时，△ABC∽△ACD
A D B
图1
பைடு நூலகம்A E C B D
图2
D
A
E
C B
图3
C
应用举例
例1、已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=900,对 角线BD⊥CD 求证:(1)△ABD∽△DCB (2) BD2=AD· BC
B C A D
应用举例
例2、如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中
点，ED交CB的延长线于F。求证：BD· CF=CD· DF
C E B
A
D
F
应用举例
例3、如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的 两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直， （1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN ； （2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关 系式；当M点运动到什么位置时，ABCN四边形面积最大，并 求出最大面积； AB BM
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G
B
F
CD
K字型的延伸形式： A
B A
B
∟
G FC
∟
E
D E
G
F
CD
1、如图，等边△ABC的边长为3，点D是BC上一点，
且BD=1，在AC上取点E，使∠ADE=60度，AE长为
（）
A. 3 B.2
2
3
C.
7 3
D.
3 4
2、四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6， ∠ABC=∠C=70°，点E，F分别在线段AD，DC上， 且∠BEF=110°，若E为AD中点时，DF长为 ________．
在线段AD上是否存在一点E，使得F为CD的中点， 若存在求出AE的长，若不存在，说明理由。
3．如图，直线 l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形 ABC 的三个顶 点 A，B，C 分别在 l1，l2，l3 上，∠ACB ＝90°，AC 交 l2 于点 D．已 知 l1 与 l2 的距离为 1，l2 与 l3 的距离为 3.则AB 的值为( )
1.先明确不变量及不变关系，对于变量，在 静止时刻进行代数化表示。
2.要使△APR∽△PRQ.，已有的相等条件是 什么？根据对应原则，还可以是哪两个角 对应相等？
3.若改为“当t为何值时，△APR与△PRQ相似”，应该如何解答？
4.如图，正△ABC边长为6cm，P,Q同时从 A,B两点出发，分别沿AB,BC匀速运动， 其中点P的速度为1cm/s，点Q的速度为 2cm/s，当Q点到达C点时，两点都停止运 动，设运动时间为t（s），作QR//BA交 AC于点R，连接PR，当t为何值时， △APR∽△PRQ.
1.先明确不变量及不变关系，对于变量，在 静止时刻进行代数化表示。
2.要使△APR∽△PRQ.，已有的相等条件是 什么？根据对应原则，还可以让哪两个角 对应相等？
3.若改为“当t为何值时，△APR与△PRQ相似”，应该如何解答？
“K”字型的妙用
如果在同一直线上的三个角，∠1=∠2=∠3，图中的两三角 形还相似吗？
1
2
A
3
╮1 2
B
C
D
3
E
K”字型的三种形式条件：一线三等角 结论 Nhomakorabea三角形相似。
A
╮
B
C
D E
联想1：若∠B=∠AGE=∠D=90°,∆ABC与∆FDE还相似吗？
A
E
G
∟
∟
B
FC
D
联想2：若∠B=∠AGE=∠D , ∆ABC与∆FDE还相似吗？
BD
A．4 2 5
B． 34 5
C ．5 2 8
D．20 2 23
4.如图，正△ABC边长为6cm，P,Q同时从 A,B两点出发，分别沿AB,BC匀速运动， 其中点P的速度为1cm/s，点Q的速度为 2cm/s，当Q点到达C点时，两点都停止运 动，设运动时间为t（s），作QR//BA交 AC于点R，连接PR，当t为何值时， △APR∽△PRQ.