【同步测控】2015-2016学年七年级数学下册 4.5 利用三角形全等测距离能力提升 (新版)北师大版
《同步学案》北师七年级(下册)4.5 利用三角形全等测距离
4.5 利用三角形全等测距离1、掌握全等三角形的对应边相等的性质；2、会利用全等三角形的对应边相等的性质解决一些不可直接测量的测量距离问题；3.重难点：利用全等三角形的对应边相等的性质解决实际问题.知识导入一天小明不小心把篮球掉到了河里，他想用一个竹竿把篮球勾出来，可是需要测出河岸与篮球的距离.由于没有任何测量工具，小明为此绞尽脑汁，忽然他灵机一动想出了一个办法，成功的把篮球勾了上来.他面向篮球的方向站在岸边，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在篮球上；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与篮球的距离.你知道小明的做法的原理是什么吗？知识讲解知识点：利用三角形全等测距离例郑东中学初一（1）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了如下两种方案：（a）如图①，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC．并分别延长AC 至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A、B的距离；（b）如图②，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使CD=BC，接着过点D 作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为A、B的距离．阅读后回答下列间题：（1）方案（a）是否可行？说明理由；（2）方案（b）是否可行？说明理由．分析 （1）根据DC=AC ，∠ACB=∠DCE ，EC=BC 得出△ACB ≌△DCE 即可得出ED=AB ，即DE 的长即为A 、B 的距离；（2）根据∠ABC=∠CDE=90°，BC=CD ，∠ACB=∠DCE 得出△ACB ≌△EDC ，即可得出DE=AB ，求出DE 的长即为A 、B 的距离. 解析 （1）可行，在△ACB 和△DCE 中D C AC,ACB DEC,EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACB ≌△DCE （SAS ）， ∴ED=AB ，∴DE 的长即为A 、B 的距离；（2）可行，由已知，在△ACB 和△EDC 中ABC CDE 90,BC CD,ACB DCE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△EDC （ASA ）， ∴DE=AB ，∴DE 的长即为A 、B 的距离．点拨 此题主要考查了全等三角形的判定，根据已知熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键． 知识探究1.利用三角形全等解决实际问题的步骤：⑴先要确定用什么几何知识解决该实际问题；⑵根据实际抽象出几何图形；⑶结合图形和该实际问题的题意分析已知条件；⑷找到解决实际问题的途径，并用三角形全等的知识加以说明.2.测量地面两点间的距离方案的设计：⑴先确定好目标，然后调整帽檐，使视线通过帽檐望去恰好落在目标上，然后保持帽檐不动，转过一个角度在望出去，视线所落的位置即为第二目标；⑵测出第二目标与目测者的距离即为所要测的两点间的距离；⑶为了更加准确可以多测几次，然后求其平均数，以减小误差. 例1 某工地发生塌方事故，有两名工人被困在一间小密室里，为了保证小密室内空气充足，救援队决定在密室的墙壁上打个通气孔，如图所示，为了不伤到被困人员，救援人员决定在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35 cm ，B 点与O 点的铅直距离AB 长20 cm ，为了保证钻孔不发生偏差，救援人员在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35 cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20 cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．分析 点A 、O 、C 三点在同一直线上，通过证明△ABO ≌△CDO ，可得D 、O 、B 三点在同一直线上.解析 在△ABO 和△CDO 中,O A ,90,AB CD OC OAB OCD =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌△CDO （SAS ），∴DOC BOA ∠=∠， 又180AOB BOC ∠+∠=,∴180COD BOC ∠+∠=,即180.BOD ∠=∴点D 、O 、B 三点在同一直线上，∴钻头沿着DO 方向打孔，一定从B 处打出. 点拨 本题的关键是要说明D 、O 、B 三点在同一直线上.例2 如图，有一湖的湖岸在A 、B 之间呈一段圆弧状，A 、B 间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A 、B 间的距离吗？分析 直接测量A 、B 间的距离比较困难，可以通过构造全等三角形的方法来间接测出AB 间的距离.解析 要测量A 、B 间的距离，可用如下方法：过点B 作AB 的垂线BF ，在BF 上取两点C 、D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，如图所示.在EDC 和△ABC 中ACB ECD,CB CD ABC EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，∴△EDC ≌△ABC （ASA ）．∴DE=BA ．答：测出DE 的长就是A 、B 之间的距离．点拨 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明△EDC ≌△ABC 是本题的关键. 易错辨析题 要测量两河岸相对两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在同一条直线上（如图所示），量得DE=50米，那么AB 的长是多少？证明你的结论．错解 AB 的长为50米．理由如下.在△ABC 和△EDC 中.B C CD,ACB ECD,AC CE,=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△EDC （SAS ）． ∴AB=DE=50米．辨析 错解中的结论正确，但证明过程出现错误，因为题目中没有给出AC=EC 的条件，错解错误的利用了边角边证明三角形全等.正解 AB 的长为50米．理由如下.在△ABC 和△EDC 中,ABC EDC 90,BC CD,ACB ECD,∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC≌△EDC（ASA）．∴AB=DE=50米．1.如下图所示，要测得池塘两端AB间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，过点D作DE⊥BF,且A、C、E三点在同一直线上，若测得DE=23米，即可知道AB=23米，那么△ABC≌△EDC,那么两个三角形全等的依据是（）.A.角角边B.边边边C.边角边D.角边角第1题图第2题图第3题图2.如下图所示，已知∠α=∠β，∠C=∠D,AD=7cm,BC=4cm,那么AC+BD等于（）.A.14 cmB. 11 cmC. 8 cmD. 3 cm.3.幼儿园甲乙两个小朋友在玩跷跷板游戏，如下图所示，如果跷跷板的支点（中点）O 到地面的距离OD=60cm，当甲小朋友从水平位置降到地面时，乙小朋友离地面的高度是Cm,其中的原理是，甲小朋友下降的距离和乙小朋友上升的距离间的关系是（“相等”或“不相等”）.4.同学甲只有一根2米长的尺子，他想知道一假山两旁的两棵树间的距离，如下图所示，看用什么方法能帮助同学甲解决这个问题，并说明原因.5.为估计一河流A、B间的宽度，现有皮尺和木桩，请设计一个方案来测量AB间的距离.如图所示， 水池中有一荷花E ，要测的该荷花距离岸边A 和岸边D 点的距离.作法如下： ⑴任作线段AB ，取中点O ；⑵连接DO 并延长使DO=CO ；⑶连接BC ；⑷用仪器测得E 、O 在一条直线上，并交CB 于点F.要测AE 、DE ，测量BF 、CF 即可，为什么？分析 构建的三角形中条件满足△AOD ≌△BOC, △AOE ≌△BOF, △DOE ≌△COF.解析 在△AOD 和△BOC 中, ,AOD BOC,OD OC,OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC （SAS ）． ∴∠A=∠B,AD=BC.在△AOE 和△BOF 中, AB,OA OB,AOE BOF,∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOE ≌△BOF （SAS ）． ∴AE=BF, 又AD=BC,∴AD-AE=BC-BF,即DE=CF.∴要测AE 、DE ，只需测量BF 、CF 即可.点拨 利用三角形全等测量距离时，可能会利用两次或两次以上全等，另外证明三角形全等的方法可能会不只是一种，要理解题目中所给的条件，然后利用合适的条件来进行证明三角形全等.练习：如图所示，A,B,C,D,E,F,M,N 是某公园里的8个独立景点D,E,B 三个景点之间距离相等；A 、B 、C 三个景点之间距离相等.其中D 、B 、C 在同一直线上，E 、F 、N 、C在同一直线上，D 、M 、F 、A 在同一直线上.游客甲从E 点出发，沿着E →F →N →C →A →B →M 游览，游客乙从D 点出发，沿着D →M →F →A →C →B →N 游览.若两人的速度相同，且在各景点游览的时间相同，试问甲、乙两人谁先游览完？并说明理由.参考答案课堂检测 1. D 2. B3. 60 ；全等三角形对应边相等；相等4.解析：假设左边两边的树分别为A 、B ，连接AB ，在的线段AB 的一侧找一点M,连接AM 、BM,分别延长至C 、D 点，使CM=AM 、DM=BM ，连接CD ，根据“SAS ”得出△AMB ≌△CMD,用尺子测出的CD 间的距离即为两树间的距离. 图例略.5．解析：在河流AB 的一侧找一点O ，用木桩固定下，分别测出AO 的距离和BO 的距离，延长AO 到C, BO 到D ，使OC=OA,OD=OB,测出的CD 间的距离与AB 间的距离相等，即为河流AB 的距离.根据是OC=OA, ∠AOB=∠COD,OD=OB,则△AOB ≌△COD(SAS),所以AB=CD. 综合提升练习 解析 甲乙两人同时游览完.理由如下.在△EBC 和△DBA 中, ,EBC DBA,BC BA,BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBC ≌△DBA （SAS ）． ∴EC=DA,∠CEB=∠ADB.又在△DBM 和△EBN 中, DBM EBN=60,DB EB,CEB MDB,⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DBM ≌△EBN （SAS ）． ∴BM=BN.所以EC+AC+AB+BM=DA+AC+BC+BN,即甲与乙所走的路程相等，而两个人所走的景点个数相同，各景点游览的时间也相同，故两个人同时游览完.。
北师大版数学七年级下册同步4.5 利用三角形全等测距离
4.5利用三角形全等测距离知识要点基础练知识点利用三角形全等测距离1.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,由三角形全等可知A'B'的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是(A)A.SASB.ASAC.SSSD.AAS2.小红用如图所示的方法测量小河的宽度.她利用适当的工具,使AB⊥BC,BO=OC,CD⊥BC,点A,O,D在同一条直线上,就能保证△ABO≌△DCO,从而可通过测量CD的长度得知小河的宽度AB.在这个问题中,可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是(C)A.SAS或SSSB.AAS或SSSC.ASA或AASD.ASA或SAS3.某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳.图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,则CB的长度为30cm.综合能力提升练4.如图所示,为了测量出A,B两点之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度也就得到了A,B两点之间的距离,这样测量的依据是(B)A.AASB.SASC.ASAD.SSS5.如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ 的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是SSS.6.如图,A,B两点分别位于一个假山两边,请你利用全等三角形的知识设计一种测量A,B间距离的方案,并说明其中的道理.略拓展探究突破练7.如图,工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔,要使孔口从墙壁对面的B点处打开,墙壁厚是35 cm,B点与O点的铅直距离AB长是20 cm,工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC=35 cm,画CD⊥OC,使CD=20 cm,连接OD,然后沿着DO的方向打孔,结果钻头正好从B点处打出,这是什么道理呢?请你说出理由.解:因为OC=35 cm,墙壁厚OA=35 cm,所以OC=OA.因为CD⊥OC,所以∠OAB=∠OCD=90°.在△OAB和△OCD中,{∠AOB=∠COD, OA=OC,∠OAB=∠OCD,所以△OAB≌△OCD(ASA),所以DC=AB, 所以钻头正好从B点处打出.。
利用三角形全等测距离
利用三角形全等测距离2篇文章1一、什么是三角形全等测距离？三角形全等测距离是指通过观察和测量三角形的各个边长和角度，来确定两个或多个三角形之间的距离。
在实际应用中，我们常常需要测量一些无法直接测量的物体的距离，而三角形全等测距离提供了一种有效的方法。
通过观察和测量三角形的特征，我们可以推导出相似三角形之间的比例关系，从而计算出距离。
二、如何利用三角形全等测距离测量距离？要进行三角形全等测距离的测量，我们需要以下步骤：步骤一：选择一个可测量的标志物体。
在测量过程中，我们需要选择一个已知距离的标志物体作为参照。
这个标志物体可以是任何形状的物体，但是必须要有明确的测量标准。
例如，我们可以选择一根知道长度的杆子或测量单位已知的标尺作为参考。
步骤二：确定视角。
为了进行距离的测量，我们需要确定测量者与被测量物体之间的视角。
视角的选择将直接影响到后续的测量结果。
步骤三：观察和记录。
通过眼睛观察被测物体和标志物体之间的角度和边长关系，并将其记录下来。
这些记录将作为计算距离的依据。
步骤四：计算距离。
利用已知角度和边长的比例关系，我们可以通过简单的几何运算计算出待测物体与标志物体之间的距离。
具体的计算公式可以根据实际情况进行调整，但原理是相同的。
三、三角形全等测距离的应用领域三角形全等测距离在现实生活中有广泛的应用。
以下是其中一些应用场景：1.地图测量在绘制地图时，我们需要准确测量不同地理特征之间的距离，并将其绘制到比例尺上。
利用三角形全等测距离，我们可以通过测量一些关键标志物体之间的距离来计算出其他位置的距离。
2.建筑设计在建筑设计中，我们常常需要测量建筑物与周围地物的距离。
例如，在规划一片土地时，我们需要计算出建筑物与道路、河流等的距离。
通过利用三角形全等测距离，我们可以准确测算出各个位置之间的距离。
3.导航系统导航系统需要准确测量车辆或行人与目标地点之间的距离。
通过利用三角形全等测距离，我们可以在导航系统中引入三角测量的原理，从而提供准确的距离信息。
北师大版七年级下册数学教案：4.5《利用三角形全等测距离》
北师大版七年级下册数学教案：4.5《利用三角形全等测距离》一. 教材分析《利用三角形全等测距离》这一节内容是北师大版七年级下册数学的一个重要知识点。
在学习了三角形全等的性质和判定之后，本节内容旨在让学生能够运用三角形全等的性质来解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
本节课的内容对于学生来说，既是对前面所学知识的巩固，又是锻炼学生解决实际问题能力的开始。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形全等的性质和判定方法，能够熟练地判断两个三角形是否全等。
但是，对于如何将这些知识应用到实际问题中，解决实际问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够理解三角形全等的性质，并能运用三角形全等的方法来解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神和创新意识。
四. 教学重难点1.重点：三角形全等的性质和判定方法。
2.难点：如何将三角形全等的知识应用到实际问题中，解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、小组合作法和案例教学法。
通过设置问题，引导学生主动探究，小组合作，讨论交流，从而解决问题，提高学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备一些实际问题，如测量两个建筑物之间的距离等。
2.准备一些三角形全等的案例，以便在教学过程中进行讲解和分析。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过设置一个实际问题，如测量两个建筑物之间的距离，引导学生思考如何利用数学知识来解决这个问题。
2.呈现（10分钟）呈现一些三角形全等的案例，让学生观察并判断两个三角形是否全等。
在呈现过程中，引导学生总结三角形全等的性质和判定方法。
3.操练（10分钟）让学生分成小组，每组选择一个实际问题，运用三角形全等的知识来解决这个问题。
北师大七年级下4.5《利用三角形全等测距离》习题含详细答案
《利用三角形全等测距离》习题一、选择题1．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图，可以得到△EDC△△ABC，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC△△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL2．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与△PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是△PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC△△ADC，这样就有△QAE=△PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS3．如图：要测河岸相对两点A、B间距离，先从B出发与AB成90°角方向，向前走50米到C立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为17米．这一作法的理论依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS4．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=AD=5.2km，CB=CD=5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（）A．3km B．4km C．5km D．5.2km5．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO△△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC6．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB△△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS二、填空题7．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=．8．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B 的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站千米的地方．9．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道△DEH=△DFH，小明是通过全等三角形的识别得到的结论，请问小明用的识别方法是（用字母表示）．10．如图1所示的折叠凳．图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是．三、解答题11．如图，A、B两点分别位于一个假山两边，请你利用全等三角形的知识设计一种测量A、B间距离的方案，并说明其中的道理．（1）测量方案：（2）理由：12．小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角△DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角△APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？13．如图所示，在铁路线CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路线的距离分别是15km和10km，作AC△CD，BD△CD，垂足分别为C，D，且CD=25，现在要在铁路旁建一个农副产品收购站E，使A，B两村庄到收购站的距离相等，用你学过的知识，通过计算，确定点E的位置．14．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．15．如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿△ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由．参考答案一、选择题1．答案：B解析：【解答】△AB△BF，DE△BF，△△ABC=△EDC=90°，在△EDC和△ABC中，，△△EDC△△ABC（ASA）．故选B．【分析】结合图形根据三角形全等的判定方法解答．2．答案：D解析：【解答】在△ADC和△ABC中，，△△ADC△△ABC（SSS），△△DAC=△BAC，即△QAE=△PAE．故选：D．【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC△△ABC，进而得到△DAC=△BAC，即△QAE=△PAE．3．答案：C解析：【解答】△先从B处出发与AB成90°角方向，△△ABC=90°，在△ABC和△EDC中，△△ABC△△EDC（ASA），△AB=DE，△沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17△AB=17．故选：C．【分析】根据已知条件求证△ABC△△EDC，利用其对应边相等的性质即可求得AB．4．答案：B解析：【解答】连接AC，在△ADC和△ABC中，△△ADC△△ABC（SSS），△△DAC=△BAC，△C到l1与C到l2的距离相等，都为4km．故选：B．【分析】利用已知得出△ADC△△ABC（SSS），进而利用角平分线的性质得出答案．5．答案：B解析：【解答】要想利用△PQO△△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，故选：B．【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．6．答案：A解析：【解答】△O是AA′、BB′的中点，△AO=A′O，BO=B′O，在△OAB和△OA′B′中，△△OAB△△OA′B′（SAS），故选：A．【分析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有△AOA′=△BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB△△OA′B′．二、填空题7．答案：20米解析：【解答】△点C是AD的中点，也是BE的中点，△AC=DC，BC=EC，△在△ACB和△DCE中，，△△ACB△△DCE（SAS），∴DE=AB=20米【分析】根据题目中的条件可证明△ACB△△DCE，再根据全等三角形的性质可得AB=DE，进而得到答案．8．答案：12解析：【解答】设AE=x千米，则BE=（36﹣x）千米，在Rt△AEC中，CE2=AE2+AC2=x2+242，在Rt△BED中，DE2=BE2+BD2=（36﹣x）2+122，△CE=ED，△x2+242=（36﹣x）2+122，解得x=12，所以E站应建在距A站12千米的地方，能使蔬菜基地C、D到E的距离相等．【分析】设AE=x千米，则BE=（36﹣x）千米，分别在Rt△AEC和Rt△BED中，利用勾股定理表示出CE和ED，然后通过CE=ED建立方程，解方程即可．9．答案：SSS．解析：【解答】证明：△在△DEH和△DFH中，△△DEH△△DFH（SSS），△△DEH=△DFH【分析】根据题目中的条件DE=DF，EH=FH，再加上公共边DH=DH，可利用SSS证明△DEH△△DFH，再根据全等三角形的性质可得△DEH=△DFH．10．答案：全等三角形对应边相等.解析：【解答】△O是AB、CD的中点，△OA=OB，OC=OD，在△AOD和△BOC中，，△△AOD△△BOC（SAS），△CB=AD，△AD=30cm，△CB=30cm．所以，依据是全等三角形对应边相等．【分析】根据中点定义求出OA=OB，OC=OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．三、解答题11．答案：见解答过程．解析：【解答】（1）测量方案：先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB 的长；（2）理由：在△EDC和△ABC中，，△△EDC△△ABC（SAS），△ED=AB（全等三角形对应边相等），即DE的距离即为AB的长．【分析】（1）先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC 至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；（2）利用SAS证明△EDC△△ABC，根据全等三角形的对应边相等得到ED=AB．12．答案：楼高AB是26米．解析：【解答】△△CPD=36°，△APB=54°，△CDP=△ABP=90°，△△DCP=△APB=54°，在△CPD和△PAB中△，△△CPD△△PAB（ASA），△DP=AB，△DB=36，PB=10，△AB=36﹣10=26（m），答：楼高AB是26米．【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．13．答案：E点在距离C点10km处．解析：【解答】设CE=xkm，则DE=（25﹣x）km，△AC△CD，BD△CD，△△ACE和△BDE都是直角三角形，在Rt△ACE中，AE2=152+x2，在Rt△BDE中，BE2=102+（25﹣x）2，△AE=BE，△152+x2=102+（25﹣x）2，解得：x=10，∴E点在距离C点10km处【分析】产品收购站E，使得A、B两村到E站的距离相等，在Rt∴DBE和Rt∴CAE中，设出CE的长，可将AE和BE的长表示出来，列出等式进行求解．14．答案：见解答过程．解析：【解答】（1）解：河的宽度是5m；（2）证明：由作法知，BC=DC，△ABC=△EDC=90°，在Rt△ABC和Rt△EDC中，，△Rt△ABC△Rt△EDC（ASA），△AB=ED，即他们的做法是正确的．【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得AB=DE；（2）利用“角边角”证明Rt△ABC和Rt△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．15．答案：此时轮船没有偏离航线.解析：【解答】此时轮船没有偏离航线．理由：由题意知：DA=DB，AC=BC，在△ADC和△BDC中，，△△ADC△△BDC（SSS），△△ADC=△BDC，即DC为△ADB的角平分线，△此时轮船没有偏离航线．【分析】只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明△ADC=△BDC，证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．第11页共11页。
七年级数学下册第四章三角形5利用全等三角形测距离同步
解析 理由(lǐyóu)如下:在△ABC和△EDC中, ∵∠ABC=∠EDC,BC=CD,∠ACB=∠ECD, ∴△ABC≌△EDC,∴DE=AB.即DE的长就是AB的长.
知识点 利用三角形全等测距离
测量距离
例 小强为了(wèi le)测量一幢高楼的高度AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P. 测得在P点观察旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC=36°,测得在P 点观察楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=54°,量得P到楼底的距离 PB与旗杆的高度相等,均为10米,量得旗杆与楼之间的距离为DB=36米, 如图4-5-1,小强计算出了楼高,楼高AB是多少米?
∴按BO的距离(jùlí)炮轰德军兵营时,炮弹恰好落入德军兵营Q处,这样法军
能命中目标.
2021/12/12
第二十四页，共三十六页。
一、填空题
1.(2017山东青岛胶州期末,17,★☆☆)如图4-5-5,
小明要测量水池的宽AB,但没有足够长的绳子,
聪明的他想了如下办法:先在地上取一个可以
直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长(yáncháng)到D,
述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索
解决问题的思路. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形
成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.
直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助
几何直观理解问题,运用空间想象认识事物.
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第二十页，共三十六页。
2.如图4-5-4,七年级数学兴趣小组要测量河中 浅滩B(可看成一点)与对岸A之间的距离.先在 另一岸边确定点C,使C,A,B三点在同一条直线上, 再在AC的垂直方向上作线段CD,取CD的中点O, 然后过点D作DF⊥CD,使F,O,A三点在同一条直 线上,在DF上取一点E,使E,O,B三点也在同一条 直线上.那么EF的长就是浅滩B与对岸A之间的 距离,你能说出同学们这样做的根据吗?
七年级数学下册4.5利用三角形全等测距离习题
七年级数学下册4.5利用三角形全等测距离习题《利用三角形全等测距离》一、选择题1．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC 的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 2．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS3．如图：要测河岸相对两点A、B间距离，先从B出发与AB成90°角方向，向前走50米到C立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D 处，在D处转90°沿DE方向走17米，到达E 处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B 的距离为17米．这一作法的理论依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 4．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=AD=5.2km，CB=CD=5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是（）7．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB= ．8．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站千米的地方．9．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通过全等三角形的识别得到的结论，请问小明用的识别方法是（用字母表示）．10．如图1所示的折叠凳．图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是．三、解答题11．如图，A、B两点分别位于一个假山两边，请你利用全等三角形的知识设计一种测量A、B 间距离的方案，并说明其中的道理．（1）测量方案：（2）理由：12．小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？13．如图所示，在铁路线CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路线的距离分别是15km和10km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD=25，现在要在铁路旁建一个农副产品收购站E，使A，B两村庄到收购站的距离相等，用你学过的知识，通过计算，确定点E的位置．14．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．15．如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由．参考答案一、选择题1．答案：B解析：【解答】∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△EDC和△ABC中，，∴△EDC≌△ABC（ASA）．故选B．【分析】结合图形根据三角形全等的判定方法解答．2．答案：D解析：【解答】在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选：D．【分析】在△ADC和△AB C中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．3．答案：C解析：【解答】∵先从B处出发与AB成90°角方向，∴∠ABC=90°，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB=DE，∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17 ∴AB=17．故选：C．【分析】根据已知条件求证△ABC≌△EDC，利用其对应边相等的性质即可求得AB．4．答案：B解析：【解答】连接AC，在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∴C到l1与C到l2的距离相等，都为4km．故选：B．【分析】利用已知得出△ADC≌△ABC（SSS），进而利用角平分线的性质得出答案．5．答案：B解析：【解答】要想利用△PQO≌△NMO求得MN 的长，只需求得线段PQ的长，故选：B．【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．6．答案：A解析：【解答】∵O是AA′、BB′的中点，∴AO=A′O，BO=B′O，在△OAB和△OA′B′中，∴△OAB≌△OA′B′（SAS），故选：A．【分析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．二、填空题7．答案：20米解析：【解答】∵点C是AD的中点，也是BE的中点，∴AC=DC，BC=EC，∵在△ACB和△DCE中，，∴△ACB≌△DCE（SAS），∴DE=AB=20米【分析】根据题目中的条件可证明△ACB≌△DCE，再根据全等三角形的性质可得AB=DE，进而得到答案．8．答案：12解析：【解答】设AE=x千米，则BE=（36﹣x）千米，在Rt△AEC中，CE2=AE2+AC2=x2+242，在Rt△BED中，DE2=BE2+BD2=（36﹣x）2+122，∵CE=ED，∴x2+242=（36﹣x）2+122，解得x=12，所以E站应建在距A站12千米的地方，能使蔬菜基地C、D到E的距离相等．【分析】设AE=x千米，则BE=（36﹣x）千米，分别在Rt△AEC和Rt△BED中，利用勾股定理表示出CE和ED，然后通过CE=ED建立方程，解方程即可．9．答案：SSS．解析：【解答】证明：∵在△DEH和△DFH中，∴△DEH≌△DFH（SSS），∴∠DEH=∠DFH【分析】根据题目中的条件DE=DF，EH=FH，再加上公共边DH=DH，可利用SSS证明△DEH≌△DFH，再根据全等三角形的性质可得∠DEH=∠DFH．10．答案：全等三角形对应边相等.解析：【解答】∵O是AB、CD的中点，∴OA=OB，OC=OD，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴CB=AD，∵AD=30cm，∴CB=30c m．所以，依据是全等三角形对应边相等．【分析】根据中点定义求出OA=OB，OC=OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．三、解答题11．答案：见解答过程．解析：【解答】（1）测量方案：先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；（2）理由：在△EDC和△ABC中，，∴△EDC≌△ABC（SAS），∴ED=AB（全等三角形对应边相等），即DE的距离即为AB的长．【分析】（1）先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至E，BC 至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；（2）利用SAS证明△EDC≌△ABC，根据全等三角形的对应边相等得到ED=AB．12．答案：楼高AB是26米．解析：【解答】∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=54°，在△CPD和△PAB中∵，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=36，PB=10，∴AB=36﹣10=26（m），答：楼高AB是26米．【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．13．答案：E点在距离C点10km处．解析：【解答】设CE=xkm，则DE=（25﹣x）km，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴△ACE和△BDE都是直角三角形，在Rt△ACE中，AE2=152+x2，在Rt△BDE中，BE2=102+（25﹣x）2，∵AE=BE，∴152+x2=102+（25﹣x）2，解得：x=10，∴E点在距离C点10km处【分析】产品收购站E，使得A、B两村到E站的距离相等，在Rt△DB E和Rt△CAE中，设出CE的长，可将AE和BE的长表示出来，列出等式进行求解．14．答案：见解答过程．解析：【解答】（1）解：河的宽度是5m；（2）证明：由作法知，BC=DC，∠ABC=∠EDC=90°，在Rt△ABC和Rt△EDC中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），∴AB=ED，即他们的做法是正确的．【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得AB=DE；（2）利用“角边角”证明Rt△ABC和Rt△EDC 全等，再根据全等三角形对应边相等解答．15．答案：此时轮船没有偏离航线.解析：【解答】此时轮船没有偏离航线．理由：由题意知：DA=DB，AC=BC，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SSS），∴∠ADC=∠BDC，即DC为∠ADB的角平分线，∴此时轮船没有偏离航线．【分析】只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB 就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠ADC=∠BDC，证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．。
北师大版数学七年级下册4.5《利用三角形全等测距离》教学设计
北师大版数学七年级下册4.5《利用三角形全等测距离》教学设计一. 教材分析《利用三角形全等测距离》这一节内容，是在学生已经掌握了全等三角形的性质和判定方法的基础上进行讲解的。
本节课主要让学生学会利用全等三角形来测量无法直接测量的距离，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级上册已经学习了全等三角形的性质和判定方法，对于这些知识有了一定的了解。
但他们在实际操作中，可能还存在着一些困难，比如对于如何利用全等三角形来测量距离，可能还不太清楚。
因此，在教学过程中，我需要耐心地引导学生，让他们在动手操作中掌握这一方法。
三. 教学目标1.让学生掌握利用全等三角形测量距离的方法。
2.培养学生解决实际问题的能力。
3.培养学生的动手操作能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生学会利用全等三角形测量距离。
2.难点：让学生在实际操作中，能够灵活运用全等三角形的性质来解决问题。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，让学生在解决实际问题的过程中，掌握利用全等三角形测量距离的方法。
同时，运用“动手操作”和“小组合作”的教学方法，培养学生的动手操作能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.准备一些测量工具，如尺子、绳子等。
2.准备一些实际问题，让学生进行解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一些生活中的实际问题，引发学生的思考，比如“如何测量河对岸的树的高度？”让学生意识到测量距离的重要性。
2.呈现（10分钟）通过多媒体展示一些全等三角形的图形，让学生回顾全等三角形的性质和判定方法。
然后，呈现一些无法直接测量的距离问题，让学生思考如何解决。
3.操练（10分钟）让学生分组进行动手操作，尝试利用全等三角形来测量一些无法直接测量的距离。
教师在这个过程中，给予适当的指导。
4.巩固（10分钟）让学生通过小组讨论，总结在操作过程中遇到的问题和解决方法。
教师在这个过程中，引导学生归纳总结，确保学生能够掌握利用全等三角形测量距离的方法。
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利用三角形全等测距离
能力提升
1.如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M,N的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出其长度的线段是()
A.PO
B.PQ
C.MO
D.MQ
2.如图,要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,可以得出△EDC≌△ABC,则ED=AB,因此,测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC 的理由是()
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.SAS
3.某活动中心计划配备如图①中的折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm.则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm.依据
是.
图①
图②
4.如图,是某厂房屋顶的人字架呈三角形(△ABC)形状,上弦AB=AC,中柱AD是连接的屋顶A和跨度BC的中点D,那么∠ADB的度数是.
5.如图,为了测量水池宽AB,从点A出发在地面上画一条线段AC,使AC⊥AB,再从点C观测,在BA的延长线上测得一点D,使∠ACD=∠ACB,这时量得AD的长度就是水池宽AB的长度,请说明理由.
6.如图,太阳光线AC与A'C'是平行的,同一时刻两个建筑物在太阳光下的影子BC与B'C'一样长,那么两个建筑物AB与A'B'是否一样高?说明理由.
创新应用
7.如图,在池塘岸边A,B两处各有一棵柳树,试设计测量A,B间的距离的方案,并说明理由.
参考答案
能力提升
1.B
2.B
3.△ADO≌△BCO(SAS)
4.90°
5.解:因为AC⊥AB,所以∠BAC=∠DAC=90°.在△ABC和△ADC中,因为∠BAC=∠DAC,AC=AC,∠ACB=∠ACD,所以△ABC≌△ADC(ASA),所以AB=AD.
6.解:一样高.理由如下:
因为AC∥A'C',
所以∠ACB=∠A'C'B'.
又因为∠ABC=∠A'B'C'=90°,BC=B'C',
所以△ABC≌△A'B'C'(ASA),
所以AB=A'B'.
创新应用
7.解:方案1:在池塘外找一点C,使点C能直接到达A,B两点.如图,
连接AC并延长AC到A',使A'C=AC.
连接BC并延长BC到B',使B'C=BC,则A',B'之间的距离A'B'就是A,B之间的距离.
理由如下:在△ABC和△A'B'C中,AC=A'C,∠ACB=∠A'CB',BC=B'C,
所以△ABC≌△A'B'C(SAS).
所以AB=A'B'(全等三角形的对应边相等).
方案2:如图,在AB的垂线上,取C,D两点,使BC=CD,过点D作BD的垂线DF,在DF上找一点E,使A,C,E三点在一条直线上,则测出的DE的长度就是AB的长度.
理由如下:在△ABC和△EDC中,∠ABC=∠EDC=90°,BC=DC,∠ACB=∠ECD,
所以△ABC≌△EDC(ASA).
所以AB=DE(全等三角形的对应边相等).。