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系统函数及系统特性分析
实验目的：
1. 理解系统函数在分析离散系统特性吋的作用；
2. 掌握系统函数的不同表示形式及零极点分析方法；
3. 掌握利用系统函数求解频率响应的方法；
4. 了解用DFT 及DTFT 确定离散系统特性的方法。

实验原理：
一、系统函数的表示形式及零极点分析
MATLAB 信号处理工具箱提供的tf2zp 、zp2tf 和zp2sos 等函数可以进行系 统函
数的不同表示形式的转换。

> Z 有理多项式表示的系统函数： H(z) = 4+处：+…+ 加：
+ Q] Z + …+ Cl” Z '
>用零点、极点和常数表示的一阶因子形式的系统函数：
二 k (z-z(l))(z — z(2))・・・(z-z(M))
(z-p(l))(z — p(2))・・・(z — ”(N))
> Z 的二阶因子表示形式：
•
[z,p,k]=tQzp(b,a)将有理多项式表示的系统函数转换为一阶因子形式的系统 函数； • [b,a]=zp2tf(z,p,k)将一阶因子形式的系统函数转换为有理多项式的系统函数。

例：试将下面的系统函数表示为一阶因子形式。

H ⑵=(1+0.04Z -2)/(1-0.8Z 1+0.16Z 2-0.128Z 3)
解：
b=[l,0,0.04,0];
a=[l,-0.8,0.16,-0.128];
[z,p,k]=tf2zp(b,a);
dispC 零点);disp(z);
dispC 极点');disp(p');
dispC 常数);disp(k f );
[b,a]=zp2tf(z,p,k)% 还原验证
• sos=zp2sos(z,p,k)将零点、极点和增益常数表示转换为二阶因子表示。

例：求下面系统函数的零极点形式二阶因子形式。

s、Z3+0.04Z
H(z)=— ---------- ；------------------
」6Z-0」28
Z3-0.8Z2+0
解：
b=[l 0 0.04 0];
a=[l -0.8 0.16 ・ 0.128];
[z,p,k]=tf2zp(b,a); disp(*Zeros are at'); disp(z); disp('Poles are at'); disp(p);
disp('Gain constanf);disp(k);
sos=zp2sos(z,p,k); disp('Second-order sections');
disp(sos);
MATLAB提供roots函数可用来计算离散系统的零极点，以及zplane函数可绘制离散系统的零极点分布图。

在利用这些函数时，要求H(z)的分子多项式和分母多项式的系数的个数相等，若不等则需要补零。

例：己知系统函数为H⑵=(l+2z-1)/(l+0.4z,-0.12z-2),计算该系统函数的零极点, 并画岀系统函数零极点分布图。

b=[l,2,0];
a=[l,0.4,-0.12];
z=roots(b)
p=roots(a) zplane(b.a)
二、离散系统的频率响应
当离散因果LTI系统的系统函数H(z)的极点全部位于Z平面单位圆内吋，系统的频率特性出屮)可由H(z)求出。

> 使用freqz(b,a)可计算系统的频率响应：
[H,w]=freqz(b,a,n)计算系统的n点频率响应H, w为频率点向量(默认取0到兀), b和a 分別为系统函数H⑵的分子分母系数矩阵(即H(z)对应的差分方程左右两边的系数向量)。

H=freqz(b,a,w)计算系统在指定频率点向量w上的频率响应。

freqz(b,a)自动绘制频率响应曲线。

例：已知某离散因果系统的系统函数为H⑵=(1+『)/(1・『+0.5尹)，试分析该系统
幅频特性。

绘出系统的频率特性图：
b珂1丄0];
a=[l,-1,0.5]；
[H,w]=freqz(b,a); plot(w/pi,abs(H))
xlabel('Frequency(ra(i)'); ylabel(l Magnitude,); titlefMagnitude response1); 或计算系统的32点频率响应: b=[ 1,1,0];
a=[l,-l,0.5]；[H,w]=freqz(b,a,32); stem(w/pi,abs(H)) xlabel(f Frequency (rad)1); ylabel(f Magnitude f); title(f Magnitude response1);
三、利用DTFT和DFT确定离散系统的特性
在很多情况下，需要根据LTI离散系统的输入和输出对系统进行辨识，即通过测量系统在已知输入x[k]激励下的响应y[k]來确定系统的特性。

若系统的单位脉冲响应为h[k],由于存在y[k] = x[kyh[k]f所以可以在时域通过信号解卷积方法求解h[k],但在实际应用中，进行信号解卷积比较困难，因此，通常从频域来分析系统，来确定系统的频率响应函数HG。

），再由H（^）得到系统的单位脉冲响应h[k]o
若LTI系统输入x[k]的DTFT为X©。

），系统输出y[k]的DTFT为丫（』°）, 则系统的频率响应函数HQ。

）可表示为
X（严）
有限长序列的DTFT可以利用FFT计算岀其在区间Q w [0,2龙）内的等间隔频率点上的样本值。

即利用fft（x,N）就可以计算出xeB在£1“0,2龙）区间内N个频率点#唏（“0,1,…，心）上的样点值X[m],利用附,N）就可以计算出丫@°）在Qw[0,2;r）区间内N个频率点Q”严加2（税=0,1,・・・,“-1）上的样点值N
Y[m],从而可以得到H（』°）在这些频率点上的样点值= 利用函数
X[m]
ifft（H）就可以得到系统的单位脉冲响应h[k]o
实验内容：
1.已知因果离散系统的系统函数为
z? + 2z +1
H（z） = ----- -------------- z ------ 5
Z3-0.5Z2-0.005Z_2+0.3
讣算该系统函数的零极点，并画出系统函数零极点分布图，在报告中记录下零极
点数据，并依据分布图判断系统的稳定性。

2. 已知离散系统的系统函数为
将其表示为一阶因子形式，在报告中记录下零极点数据及一阶因子形式表达式;
3. 已知离散系统的系统函数为
试将其表示为二阶因子形式，依据结果在报告中写岀其二阶因子形式的表达式;
4. 已知离散系统的系统函数为
l + l z -«+l z -2_l z -3
6 3 6
试绘出该系统的频率响应曲线；
5. 已知离散系统的系统函数为
(0.5009 — 1.0019z _1 + 0.5009Z -2 )(0.5320 + 1.0640z _1 +
0.5320z -2)
Z ~ (1-0.8519Z -1 +0.4167z -2)(l + 0.8519z-1 +0.4167z~2)
试绘出该系统的频率响应曲线，并在报告中记录下其有理多项式的表示形式；
6. 某离散系统的输入和输岀序列分别为：
输入序列：
x=[2,0.8333,0.3611,0」62,0.0748,0.0354,0.017,0.0083,0.0041,0.002,0.001,0.0005,0.0002,0.0001, 0.0001];
输出系列：
y=[0.0056,-0.0259,0.073,-0.1593,0.297,-0.4974,0.7711,-1.1267,1.5702,-2.1037,2.724,・3.4207,4.1 74,49528,5.7117,・6.3889,6.9034,・7.1528,7.012,・6.3322,4.9416,2648,-0.7564,5.4872,-11.7557,1
9.7533,-29.6298,41.4666,-55.2433,70.7979,-87.7810];
(1) 利用fft 计算该系统的频率特性H(^),并绘制其幅频特性曲线；
(2) 利用ifft 计算该系统的单位脉冲响应h[k],并绘制岀其波形图。

(3) 利用上一问中求得的h[k]来计算觅可二兀[幻*灿幻，比较计算出的y[k]与题
目已知条件中给定的y[k]是否一•致。

实验报告要求：
1•列岀本次实验编写的所有MATLAB 程序及各项实验结果数据、图形(打印), 对实验结果进行必要的分析说明；
H(z) = 1 l-z _i +0.49z-2-0.1z -3
2.总结实验体会及实验中存在的问题。