第二篇 图论-习题
图论习题
习题八8.1 设V={u,v,w,x,y}, 画出图G: (V ,E).(1) E={(u,v),(u,x),(v,w),(v,y),(x,y)} (2) E={(u,v),(v,w),(w,x),(w,y),(x,y)} 再求每个结点的次数。
8.2 设G 是具有4个结点的完全图：(1) 写出G 的所有子图； (2) 写出G 的所有生成子图。
8.3 画出一个多重图，使它们的邻接矩阵为1300301101220120⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 8.4 对于图1，试求(1) 从a 到h 的所有基本通路； (2) 从a 到h 的所有简单通路； (3) 从a 到h 的距离。
he d图18.5 图2中哪个有欧拉通路、有欧拉回路、有汉密尔顿通路、有汉密尔顿回路？b ce图28.6 图G 1，G 2的邻接矩阵分别为A 1，A 2，试求：(1) 23231122,,,A A A A ;(2) 在G 1内列出每两个结点间的距离； (3) 列出G 1，G 2中的所有基本回路。
10011000001100101010001001A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，20001100000001100010001010100100100001000000100000A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭8.7 设有向图D 如下，试求：(1) 每个结点的入次与出次； (2) 它的邻接矩阵M D ； (3) D 是强连通、弱连通还是单向连通？ (4) 求从a 到c 长度小于或等于3的通路数。
8.8 D 是具有结点v 1、v 2、v 3、v 4的有向图，它的邻接矩阵表示如下：0111011011011000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1) 画出这个图； (2) D 是强连通还是单向连通？(3) 求从v 1到v 1长度是3的回路，从v 1到v 2、v 1到v 3、v 1到v 4长度是3的通路数。
习题九9.4 设有代数表示式如下：42(35)(2)x y a b c -+，试画出这个表示式的树. 第四篇1. 在图G=(V,E)中，结点次数与边数的关系是下面4个中的哪一个？ (1) deg()2||i v E = (2) deg()||i v E = (3)deg()2||v Vv E ∈=∑ (4) deg()||v Vv E ∈=∑2. 设G 是n 个结点的无向完全图，则图G 的边数是多少？设D 是n 个结点的有向完全图，则图D 的边数又是多少？3. 仅有一个结点是图称为什么图？4. 设G=(V ,E)为无向简单图，|V|=n ，∆(G)为G 中结点的最大次数，请指出下面4个中哪个不等式是正确的。
图论习题答案2
第四次作业
四(13).设M是二分图G的最大匹配，则 | M || X | max| S | | N ( S )| ，
SX
证明： | X | max| S | | N ( S )| min(| X | | S |) | N ( S )| ，而（X - S ) N ( S )是G的一个覆盖，则 min(| X | | S |) | N ( S )|是G的最小覆盖，
第七次作业
• 五(28).设sn是满足下列条件的最小整数，把 {1,2,...,sn}任划分成n个子集后，总有一个子集 中含有x+y=z的根，求s1,s2,s3是多少？ • 解：n=1,枚举得s1=2; • s2=5 • s3=14
第七次作业
五(34).求证r(k, l) = r(l, k) 证明：若G含有K k 子图，则G c 含有k个顶点的独立集；若G含有 l个顶点的独立集，则G c 含有K l 子图。则命题成立。
五 (13).若 是单图 G 顶的最小次数，证明； 若 1则存在 1边着色， 使与每顶关联的边种有 1种颜色。 反证法：假设在 v1处无 i 0色 设 C (E 1 , E 2 ,..., E 1 )为 G 的( 1) 最佳边着色 第一步：构造点列： v1 , v 2 ,..., v h , v h 1 ,....., vl ,.... v1处无 i 0色， v j v j 1着 i j色，且在 v j点处 i j 色重复出现，可知在 v j1处仅一 个 i j色；证明如下： 用反证法证明，假设在 v j1处 i j色重复出现，将 v j v j 1改成 v j 所关联的边 没有的颜色 im，则可以对图 G 的找色进行改善。与 C 是最佳边着色矛盾， 假设不成立。 又 是单图 G 顶的最小次数，则必存 在最小整数 h使得 i h i l 第二步：着色调整： v j v j 1着 i j-1色 ( j 1,2,..., h )，所得新着色为 C ' 在 C '中， v1处多了个 i 0色， v h 1处少了个 i h 色，其他点的边着色数 不变， 所以 C ' 还是 1最佳边着色
图论复习题
图论复习题（二）图论复习题一、选择题1．设图G ＝<V , E >，v ∈V ，则下列结论成立的是 ( C ) ． A ．deg(v )=2∣E ∣ B ． deg(v )=∣E ∣ C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ [PPT 23] D ．Ev Vv =∑∈)deg(定理1 图G=（V ，E ）中，所有点的次之和为边数的两倍 2．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110则G 的边数为( B )．A ．6B ．5C ．4D ．33、 设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ C ）时，K n 中存在欧拉回路．A ．m 为奇数B ．n 为偶数C ．n 为奇数D ．m 为偶数解释：K n 每个结点的度都为n －1，所以若存在欧拉回路则n －1必为偶数。
n 必为奇数。
4．欧拉回路是（ B ）A. 路径B. 简单回路[PPT 40]C. 既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路5．哈密尔顿回路是（ C ）A. 路径B. 简单回路C. 既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路[PPT 40]：哈密尔顿回路要求走遍所有的点，即是基本回路的点不重复，也可以是简单回路的边不重复。
6．设G 是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列关系中的是（ C ） A 、点与边 B 、边与点 C 、点与点 D 、边与边7．下列哪一种图不一定是树（C ）。
A.无简单回路的连通图B. 有n 个顶点n-1条边的连通图C. 每对顶点间都有通路的图D. 连通但删去一条边便不连通的图8．在有n 个结点的连通图中，其边数（B ）A.最多有n-1条B.至少有n-1条C.最多有n 条D.至少有n 条9．下列图为树的是（C ）。
A 、>><><><=<},,,,,{},,,,{1d c b a a a d c b a GB 、>><><><=<},,,,,{},,,,{2d c d b b a d c b a GC 、>><><><=<},,,,,{},,,,{3a c d a b a d c b a GD 、>><><><=<},,,,,{},,,,{4d d c a b a d c b a G 10、下面的图7-22是（C ）。
图论习题
第三章 平面图
7.若G的顶点数不少于11个，则G c 不是平面图 证明：ε (G ) + ε (G c ) = v(v − 1) 2 , 又ε (G ) ≤ 3v(G ) − 6 则ε (G c ) ≥ 1 （v 2 − 7v + 12） 2 当v ≥ 11时，ε (G c ) > 3v(G c ) − 6, 从而G c 不是平面图
第四章 匹配理论及其应用
• 2.树上是否可能有两个不同的完备匹配？为什么？ • 解：不可能。
设M1，M 2为两个不同的完备匹配，则M1 ⊕ M 2 ≠ φ 且T[M1 ⊕ M 2 ]中的每个顶点的度为2. 由例1.9可知，T中包含圈。这与T为树矛盾。
第五章 着色理论
• 1.求n顶轮的边色数 • hints：n-1
' '
第五章 着色理论
第一条边颜色不变，其余边两色互换。 直至vl −1处无i h 色，多i l -1色； 得出矛盾：v l -1v l 着i h 色; vl 处i h = i l 色出现至少三次； 从而G中i h 和i l -1色边的导出子图中含v l的分支不可能是奇圈， 从而得出矛盾。
第五章 着色理论
• 8. 4名老师4个班级上课问题。 • 计算，一天应分几节课？若每天8节课，需几 间教室？ • hints： ∆(G ) = 16, ε (G ) = 48
16 = 4 一天分4节课 5 48 = 2 需2间教室 5*8
若 13. δ是单图G顶的最小次数，证明；若δ > 1则存在δ − 1边着色， 使与每顶关联的边种有δ − 1种颜色。 h int s : 反证法：设C = (E1 , E 2 ,..., E δ −1 )为G的(δ − 1) − 最佳边着色 构造点列：v1 , v2 ,..., vh , vh +1 ,....., vl ,.... v1处无i 0色，v j v j +1着i j色，且在v j点处i j 色重复出现，仅一个i j-1色；h = i l i 着色调整：v j v j +1着i j-1色( j = 1,2,..., h) 奇圈，颜色互换：E( Eih ∪ Eik )(k = h + 1, h + 2,..., l − 2),
图论习题答案
习题一1.一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3,则总度数为27,与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，度数总是偶数的性质矛盾。
2. 若存在孤立点，则m不超过K n-i的边数,故m <= (n-1)( n-2)/2,与题设矛盾。
3.记a i为结点v i的正度数，a；为结点v i的负度数，则n na i 2「［(n-1)-a「］2二n(n-1)2i 4 i』n因为Z a；=c2 = n(n—1)/2,所以i =14.用向量(a i,a2,a3)表示三个量杯中水的量，其中a i为第i杯中水的量,i = 1,2,3.以满足a1+a2+a3 = 8 (a1,a2,a3为非负整数)的所有向量作为各结点，如果⑻砂厲)中某杯的水倒满另一杯得到(a' a' a'),则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由(8, 0, 0 )到(4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条：5.可以。
7.同构。
同构的双射如下:V V1V2V3V4V5V6f (V)b a c e d f8.记e1=(V1,V2), e2= ( V1,V4), e3=(V3,V1), e4=(V2,V5), e5=(V6,V3), e6=(V6,V4), e7=(V5,V3), e8=(V3,V4), e9 =(V6,V1),贝y-0 1 0 1 0 01-'1 1 -1 0 0 0 0 0 -110 0 0 0 1 0 _ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 邻接矩阵为： 1 0 0 1 0 0 关联矩阵为：0 0 1 0 _ 1 0 _ 1 1 00 0 0 0 0 0 ,0 _ 1 0 0 0 _ 1 0 -1 00 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 01 0 1 1 0 0一[0 0 0 0 1 1 0 0 1一从而总度数为奇数，仍与图的总n n-2(n-1)二a j a j ,i A i =n n亠2 人•一2' a j a j 。
图论习题二答案
图论习题二答案图论习题二答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在图论中，有很多经典的习题可以帮助我们更好地理解和应用图的概念。
本文将探讨一些图论习题二的答案，帮助读者更好地理解和掌握图论的知识。
1. 习题：给定一个无向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5,6}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6)}，求图G的邻接矩阵和关联矩阵。
答案：邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是图的顶点数。
对于无向图G，邻接矩阵的元素a[i][j]表示顶点i和顶点j之间是否存在边。
如果存在边，则a[i][j]=1，否则a[i][j]=0。
对于给定的图G，邻接矩阵为：0 1 1 0 0 01 0 1 1 0 01 1 0 1 0 00 1 1 0 1 10 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中n是图的顶点数，m是图的边数。
对于无向图G，关联矩阵的元素b[i][j]表示顶点i和边j之间的关系。
如果顶点i是边j 的起点，则b[i][j]=-1；如果顶点i是边j的终点，则b[i][j]=1；否则b[i][j]=0。
对于给定的图G，关联矩阵为：-1 -1 0 0 0 01 0 -1 -1 0 00 1 1 0 0 00 0 0 1 -1 -10 0 0 0 1 00 0 0 0 0 12. 习题：给定一个有向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1),(5,4)}，求图G的邻接表和深度优先搜索遍历结果。
答案：邻接表是一种图的表示方法，用于存储图中每个顶点的邻接顶点。
对于有向图G，邻接表中的每个元素表示该顶点的出边。
对于给定的图G，邻接表为：1: 2, 32: 3, 43: 44: 15: 4深度优先搜索（DFS）是一种图的遍历算法，用于遍历图中的所有顶点。
第二篇 图论习题
习题课 2
例10 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 （1）顶点u与v连通；（2）G连通G+uv连通。 例1 设G为p阶简单无向图，p＞2且p为奇数，G和G的 补图GC 中度数为奇数的顶点的个数是否一定相等？ 试证明你的结论。 例2 设V={v1,v2,…,vp}，计算以V为顶点集的无向图 的个数是多少？(KP有多少个生成子图) 例3 设V={v1,v2,…,vp},q≤p(p-1)/2，计算以V为顶 点集具有q条边的无向图的个数是多少？ 例4 设G是（p,q）图，r≤q，则具有r条边的G的生成 子图有多少？ 答案： 2p(p-1)/2 ，Cqp(p-1)/2 ，Crq。
习题课 2
1. 说明图中所示图(1)(2)是否是非平面图？ 2．证明:彼得森图不是平面图。 (1) 收缩法；(2) 欧拉公式法；(3)收缩到K3,3。 3.设G是无向图,p<8,则G与Gc中至少有一个是平面图。 4.设平面图G的顶点数p=7,边数q=15，证明G是连通的。
习 题 课 3
1．判断下面命题是否正确，并说明理由。 任意平面图G的对偶图G*的对偶图G**与G同构。 2. 设G*是平面图G的对偶图，证明：p*=f，q*=q， f*=p-k+1。其中k(k≥1)为G的连通分支数。 3. 证明：若G是自对偶的平面图，则q=2p-2。其中p 和q是G的边与顶点数。 4．把平面分成p个区域，每两个区域都相邻，问p最 大为多少？ 5.证明：不存在具有5个面，每两个面都共享一条公 共边的平面图G。
例7 设G是有个p顶点，q条边的无向图，各顶点的度 数均为3。则 (1)若q=3p-6,证明:G在同构意义下唯一，并求p,q。 (2)若p=6，证明:G在同构的意义下不唯一。 例8 已知p阶(简单)无向图中有q条边，各顶点的度数 均为3，又2p=q+3，试画出满足条件的所有不同 构的G。 例9 9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送 一张贺年卡。确定能否使每个学生收到的卡均来自 其送过卡的相同人？为什么？ 解:否，不存在9（奇数）个顶点的3－正则图。
图论测试题及答案
图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。
答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。
答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。
答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。
解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。
7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。
答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。
在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。
结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。
图论及其应用 第二章答案
)3( 题属中国邮路问题除第欧拉图与哈密尔顿图<1.>给定一个由16条线段构成的图形（见下图）.证明：不能引一条折线与每一线段恰好相交一次（折线可以是不封闭的和自由相交的，但他的顶点不在给定的线段上）证明：建立一个图G ：顶点i v 代表图形的区域(1,2,3,4,5,6)i X i ，顶点i v 与j v 之间连接的边数等于区域i X 与j X 公共线段的数目.于是，将上图的区域和边可转化成下图：由顶点度数知不存在欧拉路，从1X 到6X 只能相交于外面的两条线段.<2.>下列图形中哪些能一笔画成.解：只需考虑该图是否有欧拉路（即有两个奇点或者无奇点），故第一个和第三个可以一笔画成，第二个不能一笔画成.<4.>下图是某个展览馆的平面图，其中每个相邻的展览室有门相通.证明：不存在一条从A 进入，经过每个展览室恰好一次再从A 处出来的参观路线.证：用顶点代表展览室，两顶点相邻当且仅当这两点所对应的展览室有门相通，则可得一个连通简单图G （见下图）.因此，只要证明G 中不存在H —回路即可.具体理由如下：令}{1216,,,S y y y = ，则显然S 是G 的真子集，而()1816G S S ω-=>=（x 共18个，y 共16个），故由讲义中定理2.3知不存在H —回路.<5.>某次会议有20人参加，其中每个人都至少有10个朋友.这20人围一桌入座，要想使与每个人相邻的两位都是朋友是否可能？解:用顶点代表人，两人是朋友时相应顶点间连一边，得到一个无向图(,)G V E =.只要证明G 中存在H —回路即可. G 是10阶连通图，对于20n =，且()10,()10G G d u d v ≥≥，可得：()()20G G d u d v n +≥=，故由讲义中定理2.4知G 中存在H —回路.<6.>已知,,,,,,a b c d e f g 七个人中，a 会讲英语，b 会讲英语和汉语，c 会讲英语、意大利语和俄语，d 会讲汉语和日语，e 会讲意大利语和德语，f 会讲俄语、日语和法语，g 会讲德语和法语.能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈.解：用七个顶点表示这七个人.若两人能交谈（会讲同一种语言），就在这两顶点之间连一条边，得到图G .只要证明图G 中存在H -回路即可. 具体结果如下：c e g f d b a c 意大利语德语法语日语汉语英语英语 .<7.>设G 是分划为,X Y 的二部图，且X Y ≠，则G 一定不是H —图。
图论作业2
习题四：3.（1）画一个有Euler 闭迹和Hamilton 圈的图；（2）画一个有Euler 闭迹但没有Hamilton 圈的图；（3）画一个有Hamilton 圈但没有Euler 闭迹的图；（4）画一个即没有Hamilton 圈也没有Euler 闭迹的图；解：找到的图如下：(1) 一个有Euler 闭迹和Hamilton 圈的图；(2) 一个有Euler 闭迹但没有Hamilton 圈的图；(3) 一个有Hamilton 圈但没有Euler 闭迹的图;(4)一个即没有Hamilton 圈也没有Euler 闭迹的图.4.设n 阶无向简单图G 有m 条边，证明:若m ≥(n−12)+2,则G 是Hamilton 图。
证明: G 是H 图。
若不然，因为G 是无向简单图，则n ≥3,由定理1：若G 是n ≥3的非单图，则G 度弱于某个C m,n .于是有：2,1()()(2)(1)(1)2111(1)(2)(1)(21)221 1.2m n E G E C m n m n m m m n m m m n m n ⎡⎤≤=+---+-⎣⎦-⎛⎫=+------- ⎪⎝⎭-⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭这与条件矛盾！所以G 是H 图。
8.证明：若G 有2k ≥0个奇点，则存在k 条边不重的迹Q 1,Q 2…Q k ,使得E (G )=E (Q 1)∪E (Q 2)∪E (Q 3)∪⋯∪E(Q k ).证明：不失一般性，只就G 是连通图进行证明。
设G=(n, m)是连通图。
令v l ，v 2，…,v k ,v k+1,…,v 2k 是G 的所有奇度点。
在v i 与v i+k 间连新边e i 得图G*（1≦i ≦k).则G*是欧拉图，因此，由Fleury 算法得欧拉环游C.在C 中删去e i （1≦i ≦k).得k 条边不重的迹Q i （1≦i ≦k):12()()()()k E G E Q E Q E Q =10.证明：若：（1）G 不是二连通图，或者（2）G 是具有二分类(X,Y )的偶图，这里|X |≠|Y |,则G 是非Hamilton 图。
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例2 画出具有 6、8、10、…、2n个顶点的三次图； 是否有7个顶点的三次图？ 例3 无向图有21条边，12个3度数顶点，其余顶点的 度数均为2，求的顶点数。 (p=15) 例4 下列各无向图中有几个顶点？ (1) 16条边，每个顶点的度为2； (2) 21条边，3 个4度顶点，其余的都为3度数顶点； (3) 24条边，各顶点的度数相同。 (1. p=16; 2. p=13; 3. pk=48 讨论) 例5 设图G中有9个顶点，每个顶点的度不是5就是6。 证明:G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。 例6 有n个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药， 而每种药恰好放在两个药箱中，问药箱里共有多 少种药？
例13 某公司来了9名新雇员，工作时间不能互相交谈。 为了尽快互相了解，他们决定利用每天吃午饭时间相 互交谈。于是，每天在吃午饭时他们围在一张圆桌旁 坐下，他们是这样安排的，每一次每人的左、右邻均 与以前的人不同。问这样的安排法能坚持多久？ 例14 已知a,b,c,d,e,f,g7个人中，a会讲英语；b会 讲英语和汉语；c会讲英语、意大利语和俄语；d会讲 汉语和日语；e会讲意大利语和德语；f会讲俄语、日 语和法语；g会讲德语和法语。能否将他们的座位安 排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈？
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c b a
f a g j d
d j ihΒιβλιοθήκη ie hb
c
f
g
例3 给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每 一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥9。 例4 证明：完全图K9中至少存在彼此无公共边的两条 哈密顿回路和一条哈密顿路？ 例5 试求Kp中不同的哈密顿圈的个数。 例6(1) 证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图；用 此结论证明如图所示的图不是哈密顿图。 (2) 完全偶图Km,n为哈密顿图的充要条件是什么？ 例7 菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？ 例8设G=(V,E)是连通图且顶点数为p,最小度数为δ， 若p>2δ,则G中有一长至少为2δ的路。 例9 证明：彼德森图不是哈密顿图。
例8 有17位学者，每2位讨论3篇论文中的一篇且仅一 篇，证明：至少有3位学者，他们相互讨论的是同一篇 论文。
习题3
例1 设p，q为正整数，则 （1）p为何值时，无向完全图Kp是欧拉图？p为何值 时Kp为半欧拉图？ （2）p,q为何值时Kp,q为欧拉图？ （3）p,q为何值时Kp,q为哈密顿图？ （4）p为何值时，轮图Wp为欧拉图？ 例2 判断如图所示的图是否为哈密顿图，若是写出哈 密顿圈，否则证明其不是哈密顿图。
例5 证明：若无向图G是不连通的，则G的补图GC是连 通的。（逆命题不成立） 例6 将无向完全图K6的边随意地涂上红色或绿色,证明: 无论何种涂法,总有红色的K3或绿色K3。
例7 给无向完全图Kp(p≥7)的各边随意地涂上红色或 绿色，若已知从某点v0引出的p-1条边中至少有6条边 涂红色，则Kp存在红色的K4或绿色的K3。
图论部分
第五章 图的基本概念
习题课1
例1 设d=(d1,d2,…,dn),其中di为非负整数， i=1,2,…,n。若存在n个顶点的(简单)无向图,使得顶 点vi的度为di，则称d是可图解的。下面给出的各序列 中哪些是可图解的？哪些不是，为什么？ （1）（1,1,1,2,3）； （6）（1,3,3,3）； （2）（0,1,1,2,3,3）；（7）（2,3,3,4,5,6）； （3）（3,3,3,3）； （8）（1,3,3,4,5,6,6）； （4）（2,3,3,4,4,5）；（9）（2,2,4）； （5）（2,3,4,4,5）； （10）(1,2,2,3,4,5）。
例7 设G是有个p顶点，q条边的无向图，各顶点的度 数均为3。则 (1)若q=3p-6,证明:G在同构意义下唯一，并求p,q。 (2)若p=6，证明:G在同构的意义下不唯一。 例8 已知p阶(简单)无向图中有q条边，各顶点的度数 均为3，又2p=q+3，试画出满足条件的所有不同 构的G。 例9 9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送 一张贺年卡。确定能否使每个学生收到的卡均来自 其送过卡的相同人？为什么？ 解:否，不存在9（奇数）个顶点的3－正则图。
习题课 2
例10 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 （1）顶点u与v连通；（2）G连通G+uv连通。 例1 设G为p阶简单无向图，p＞2且p为奇数，G和G的 补图GC 中度数为奇数的顶点的个数是否一定相等？ 试证明你的结论。 例2 设V={v1,v2,…,vp}，计算以V为顶点集的无向图 的个数是多少？(KP有多少个生成子图) 例3 设V={v1,v2,…,vp},q≤p(p-1)/2，计算以V为顶 点集具有q条边的无向图的个数是多少？ 例4 设G是（p,q）图，r≤q，则具有r条边的G的生成 子图有多少？ 答案： 2p(p-1)/2 ，Cqp(p-1)/2 ，Crq。
例10 某工厂生产由6种不同颜色的纱织成的双色布。 双色布中，每一种颜色至少和其他3种颜色搭配。证 明:可以挑出3种不同的双色布,它们含有所有6种颜色。 与例8等价的例题： 例11 今要将6个人分成3组（每组2个人）去完成3项 任务，已知每个人至少与其余5个人中的3个人能相互 合作，问： ⅰ (1)能否使得每组2个人都能相互合作？ (2)你能给出集中方案？（两种） 例12 设G=(V,E)是p(p>3)个顶点的简单无向图,设G中 最长路L的长度为l(l≥2)，起点与终点分别为u,v， 而且degu+degv≥p。证明：G中必有与L不完全相同但 长度也为L的路。
例15 设G为p个顶点的简单无向图。 (1) 若G的边数q= (p-1)· (p-2)/2+2，证明G为 哈密顿图。 (2) 若G的边数q= (p-1)· (p-2)/2+1，则G是否 一定为哈密顿图？ 例16 如图所示的图G是哈密顿图。试证明：若图中 的哈密顿回路中含边e1，则它一定同时也含e2。 例17 已知9个人v1,v2,…,v9，其中v1和两个人握过手， v2,v3,v4,v5各和3个人握过手，v6和4个人握过手， v7,v8各和5个人握过手，v9和6个人握过手。证明:这 9个人中一定可以找出3个人互相握过手。