大学精品课件：补充

n
LrA
(ri
'mi
v
r i
)
i 1
dLrA
dt
n i 1
(
dri dt
'
mi
vir
ri 'mi
dvir ) dt
xo
y
dri dt
v
r i
;
dv
r i
dt
air ;
aia a A air
dLrA
dt
n
ri 'mi (aia
i 1
aA)
n
(ri 'Fi
i 1
miri 'a A )
n
0
T 1 / 2 r 2r 2 1 r2 g(1 2 cos ) c
2
2
LO MO
r3 gr2 gr2 sin
rd g( sin )d
r d d
1 r2 g(1 2 cos ) c
2
2
由初始条件确定积分常数 c g
[g(2
2 cos
2
)
/
r
1
]2
v r
变质量体的运动微分方程
m dv dm v F mg dt dt
m y
y : dm v F mg dt
v2 F yg
F yg v2
质点系相对动点的 动量矩定理
dLrA n ri 'Fie mrc a A
dt
i 1
mi vri
ri
ri ' z'
z
rA A x'
vA
y'
设动系随A平移，相对A点的动量矩:
n
ri 'Fie ( miri ') a A
i 1
i 1
质点系相对质心和相对固定点的动量矩之间的关系
设动系随质心平移
n
LO (rC ri ') mi (vC vir )
i 1
n
n
rC ( mi )vC rC ( mi vir )
i 1
i 1
n
( miri ') vC LrC i 1
r x r x
[JO (2a r)r 2 ]x 2gr2 x
FOy
FOx
P
2
2gr 2
JO (2a r)r 2
x c1et c2e t
系统的动量在x轴上的投影为：
px
r sinrd 2 r 2 2rx
0
系统的动量在y轴上的投影为：
py l (a x) r l (a x) r 2l x r 2l xx
rC mvC LrC
mi vri
ri
ri ' z'
z
rc
C
x'
vC
y'
xo
y
例：半径为R，质量为m车轮视为均质圆盘，在地面上滚动，
其质心的速度为vC ，角速度为 。求圆盘对z轴的动量矩。
y y'
c
R
o
vC x'
x
解：相对质心的动量矩
1 mR2
2
质心系动量对O点之矩
Rmu
Lo Rmu
1 mR2
条重力未画），设圆盘的角速度为
系统对O轴的动量矩为
LO JO (2a r)r 2
dLO dt
[JO
(2a r)r 2 ]
(a x)gr (a x)gr
[JO (2a r)r 2 ] (2x)gr
r x r x
[JO (2a r)r 2 ]x 2gr2 x
FOy
2
均质细杆 AB 铰接在 A 处，其中心 C 处连接弹簧 CD. 欲 给AB 杆一初始角速度，使 AB 杆逆时针运动，且到达水 平位置时速度为零，能否实现？
B
B
C
m=1; g=9.8; b=0.5l; a=0.5006l; l=1; k=600N/m; c=1/3;
C A
D
13
解：小球在水平面的受力
mar Fn Fe FC
m(ar anr ) F Fe FC
mart
m dvr dt
Fe τ
Fe 2r
τ dr ds
ar
Fn
vr
Fe FC
r
ro O
m dvr 2r dr
dt
ds
m dvr 2r dr
dt
ds
m
ds dt
dvr
2r dr
2－11 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链
FOx
P
2
2gr 2
JO (2a r)r 2
x c1et c2e t
2－11 设圆盘的角速度为 ,动能定理
系统的动能
T 1 / 2JO2 1 / 2(2a r)r 22
系统的势能
V V0 1 / 2 g[(a x)2 (a x)2 ]
[JO (2a r)r2 ] 2 gxx
p x F0x
p y F0y P l (2a r)g
FOy
FOx
P
2-20取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为
链条对O轴的动量矩为
LO r 3
外力对O轴的矩为
grd
M O
gr2
gr cos rd
0
gr2 gr2 sin
rg
V 1/ 2 g 2r2
gr sin rd
均质杆AB、 AC 在A 点光滑铰接，剪断绳子后，系统开始运
动，试分析地面约束反力。已知杆长 l, 质量 m
FN 2mg ml( sin 2 cos )
A
B
A
CB
CB
A
C
ml 2 mg l sin ml 2 mg l sin
3
2
3
2
1-26 水平板以匀角速度绕铅垂轴 O 转动，小球M可在板 内一光滑槽中运动，初始时小球相对静止且到转轴O的距 离为 r0，求小球到转轴的距离为 r 时的相对速度。
m
dv dt
dm dt
vr
FR(e)
m
dv dt
dm dt
v
F (e) R
m
mv
u0
v v
v
y
mg
O
x
vr
例：设长度密度为 的链条堆放在地面上，其上一端作用有
一个力 F 使其以匀速 v 提升，求链条被提起的长度为y时力
F的大小（设未被提起的链条对提起部分没有作用力）。

F
v
y
g
解：提起部分的链条为研究对象