矩阵与行列式的相似与不同

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线性代数中行列式与矩阵的比较

线性代数中行列式与矩阵的比较作者：王振尤兰来源：《课程教育研究·新教师教学》2015年第35期【基金项目】盐城工学院人才引进项目（XKR2011022）。

【中图分类号】O151.22-4 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）35-0003-02行列式和矩阵是线性代数中最先介绍的两个基本概念，贯穿整个线性代数课程。

但部分同学在学完了线性代数之后，对它们的符号、性质及应用却依然没有搞清楚，往往混淆。

多年来已有一些作者对这一对概念进行分析，但由于这两个概念在线性代数的每个部分都需要用到，所以详细地、多角度地分清这两个基本概念，对学好、用好线性代数这门课程非常必要。

文献[1，2]对这行列式与矩阵从概念与性质角度已做了部分辨析，下面笔者拟从概念、运算、化简、应用四个方面对这两个概念进行剖析，给出它们之间的区别与联系，串起线性代数中大部分内容，希望能对线性代数的教与学提供一个参考。

1.概念的比较1.1行列式与矩阵概念的区别由行列式和矩阵的定义可知，虽然行列式与矩阵表面上都是将一些数按行按列排成数表，再在两边加上一个符号的形式，但这两个概念是完全不同的。

首先，两边所加的符号不同：行列式两边用竖线“||”，而矩阵两边用圆括弧“（）”或方括弧“”[ ]。

其次，形状不同：行列式的行数与列数必须相等，但矩阵的行数与列数可以不相等。

再次，意义不同：n阶行列式是由n个数a（1≤i，j≤n）按规定的运算法则所确定的一个数，而m行n列矩阵是由m×n个数aij（1≤i≤m，1≤j≤n）按行按列排成的一个数表。

故两个表面不一样的行列式，它们的值却可能相等；而两个矩阵相等则要求必须是同型矩阵且相同位置元素相等，所以两个不同型的零矩阵是不相等的。

1.2与行列式、矩阵相关的一些概念当A是方阵（行数=列數）时，有对应的行列式|A|，称为方阵A阵的行列式；当A不是方阵时，没有对应的行列式。

在一般m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。

行列式与矩阵的初等变换

行列式与矩阵的初等变换行列式和矩阵是线性代数中两个重要的概念，它们在代数、几何和物理等领域都有广泛的应用。

本文将介绍行列式和矩阵的概念，以及它们之间的关系，并探讨初等变换在行列式和矩阵运算中的作用。

一、行列式的定义与性质1.1 行列式的定义行列式是一个数学对象，用于表示方阵中各个元素的线性关系。

对于n阶方阵A = (aij)，其行列式记作det(A)或|A|。

1.2 行列式的性质- 行列互换：将方阵A的两行交换位置，行列式的值变号。

- 行列式倍乘：将方阵A的某一行乘以k，行列式的值乘以k。

- 行列相等：若两个方阵A和B除了某两行互换外其他行完全相等，则它们的行列式相等。

二、矩阵的初等变换2.1 矩阵的行初等变换- 互换：交换矩阵A中的两行。

- 消元：将矩阵A中的某行乘以k后加到另一行上。

- 缩放：将矩阵A中的某一行乘以k，k为非零常数。

2.2 矩阵的列初等变换列初等变换与行初等变换类似，只是变换的对象是列而非行。

三、行列式与矩阵的关系3.1 行列式的计算计算行列式的常用方法有展开法、方阵分解法和初等变换法。

其中，初等变换法是一种简便有效的计算方法。

通过对行列式进行初等变换，可以将行列式转化为更简单的形式，进而方便进行计算。

3.2 行列式与矩阵的关系行列式可以通过矩阵来计算，也可以通过矩阵的初等变换来求解。

对于n阶方阵A，其行列式等于A经过一系列行(列)初等变换后得到的方阵的行列式。

四、初等变换的应用4.1 线性方程组的求解通过初等变换可以将线性方程组转化为简化的梯形方程组，从而方便求解。

利用初等变换求解线性方程组的方法称为高斯消元法。

4.2 矩阵的求逆矩阵的逆矩阵是一个与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。

通过初等变换，可以将矩阵转化为简化的阶梯矩阵，从而求得矩阵的逆。

4.3 线性方程组的克拉默法则利用行列式的性质，可以通过克拉默法则求解线性方程组。

克拉默法则使用了行列式的概念，通过计算方程组中各个方程的行列式来求解未知数。

矩阵与行列式的相似矩阵与对角化

矩阵与行列式的相似矩阵与对角化在线性代数中，矩阵与行列式是两个非常重要的概念。

它们在许多数学和工程领域中都有广泛的应用。

而相似矩阵和对角化则是与矩阵与行列式密切相关的概念。

本文将重点介绍矩阵与行列式的相似矩阵和对角化。

1. 相似矩阵的定义及性质相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。

形式上，对于两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=B，则称矩阵A与B 相似。

相似矩阵有以下性质：(1) 相似矩阵具有相同的特征值；(2) 相似矩阵具有相同的迹；(3) 相似矩阵具有相同的行列式。

相似矩阵的概念在线性代数中有广泛的应用，可以简化对矩阵的运算和分析。

2. 对角化的概念及条件对角化是指将一个矩阵通过相似变换变为对角矩阵的过程。

对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=D，其中D为对角矩阵，则称矩阵A可对角化。

对角化的条件有以下两个：(1) 矩阵A有n个线性无关的特征向量；(2) 矩阵A的特征向量构成n阶矩阵的一个特征向量空间的基。

具有对角化性质的矩阵在一些问题的求解中非常有用，可以简化矩阵的计算和分析过程。

3. 对角化的步骤对于一个可对角化的矩阵A，可以通过以下步骤实现对角化：(1) 求解特征值和特征向量：计算矩阵A的特征值和对应的特征向量；(2) 构建特征向量矩阵：将特征向量按列排列得到特征向量矩阵P；(3) 构建对角矩阵：将特征值按对角线排列得到对角矩阵D；(4) 计算相似矩阵：计算相似矩阵B=P⁻¹AP。

经过上述步骤，原矩阵A就可以被对角矩阵D所代替，即A=PDP⁻¹，完成对角化过程。

4. 对角化的应用对角化的概念和方法在许多数学和工程领域都有着重要的应用。

以下是对角化的一些应用：(1) 矩阵的幂计算：对对角矩阵求幂非常简单，只需要对对角线上的元素求幂即可。

这在很多数值计算和电路分析问题中非常有用；(2) 矩阵的指数函数：对角矩阵的指数函数可以通过对对角线上的元素分别求指数得到。

行列式与行列式的性质

行列式与行列式的性质行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论、线性方程组的求解以及向量空间的性质研究等方面都起到了至关重要的作用。

本文将从行列式的定义、性质以及应用等方面进行论述，以便更好地理解和应用行列式。

一、行列式的定义行列式是一个方阵所具有的一个标量值，它可以用来描述方阵的性质和特征。

对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其行列式记作det(A)或|A|，其中i和j分别代表矩阵中的行和列。

二、行列式的性质1. 行列式与矩阵的转置对于一个方阵A，其行列式与其转置矩阵的行列式相等，即det(A)=det(A^T)。

这个性质可以通过矩阵的定义和性质进行证明。

2. 行列式的可加性对于两个n阶方阵A和B，有det(A+B)=det(A)+det(B)。

这个性质可以通过行列式的定义和矩阵的性质进行证明。

3. 行列式的乘法性质对于一个n阶方阵A和一个标量k，有det(kA)=k^n*det(A)。

这个性质说明了行列式与矩阵的数乘之间的关系。

4. 行列式的行交换性对于一个n阶方阵A，如果将其两行进行交换，那么行列式的值会改变符号，即det(A)=-det(A')，其中A'是A进行行交换后的矩阵。

5. 行列式的行倍性对于一个n阶方阵A，如果将其某一行乘以一个非零标量k，那么行列式的值也会乘以k，即det(kA)=k*det(A)。

三、行列式的应用1. 线性方程组的求解行列式可以用来求解线性方程组的解，通过行列式的性质可以得到线性方程组是否有唯一解、无解或者有无穷多解。

2. 矩阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于零，即det(A)≠0。

这个性质可以用来判断一个矩阵是否可逆。

3. 矩阵的秩矩阵的秩可以通过行列式的概念来定义，对于一个n阶矩阵A，其秩r等于其非零子式的最高阶数。

行列式的性质可以帮助我们计算矩阵的秩。

4. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量可以通过行列式的性质来计算，特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足A*x=λ*x，其中A是矩阵，x是特征向量，λ是特征值。

浅析行列式与矩阵的辩证关系

１１行列式基本理论．
列定叠理法一贝卜一普一上塑＋
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计行式算列
行列式基本理论的结构如图１所示。图１中，阶行列式定义采用的是归纳定义ｌ，ｒ／，２即
卜玉成
（江市高等专科学校教师教育系，镇江苏丹阳２２０）１３０
摘要：列式与矩阵从基本理论结构看是相对独立的，从发展史看又是绝对联系的。行列式行但
ｎｎｎ
与矩阵的有机统一共同促进着高等代数的发展。
・
５ｌ－
维普资讯
纳法。由性质导出按行（）列展开定理，并将其推广得到拉普拉斯定理，进而推出行列式乘法法则。最后，充分运用以上性质与定理得到计算行列式的常用方法。整个理论推导过程没有提及矩阵，完全是在行列式
自身理论范围内讨论。
维普资讯
第２ｌ卷第１期
２００８年１月
镇江高专学
报
Ｖ０．Ｎｏ１１２ｌ．
ＪｕａｏｈｎｉｎｏｅｅｏｒｌｆｅｊｇＣｌｇｎＺａｌ
Ｊｎ２０ａ．，０８
浅析行列式与矩阵的辩证关系
秩同样也用到它（即将矩阵化为阶
（化）简阶梯形矩阵
图２矩阵基本理论结构
梯形Ｊ其非零行的个数即为秩），。由此可见，初等变换是有效避开行列式直接分析矩阵基本性质的重要工具。有必要说明的是引入矩阵的秩概念同样也是可以避开行列式的，体内容参见文［］具３。总之，整个推导都没有用到行列式，是在矩阵自身理论范围内讨论。完全由１１与１２可以发现，阵的基本理论完全是可以脱离行列式的，阵与行列式基本理论是相对独．．矩矩

线性代数下的行列式和矩阵

线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。

若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。

于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。

所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。

若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。

2、矩阵等价的充要条件：A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质：~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。

线性代数中行列式与矩阵的比较

行列式和矩阵是线性代数中最先介绍的两个基本概念,贯穿整个线性代数课程。

但部分同学在学完了线性代数之后,对它们的符号、性质及应用却依然没有搞清楚,往往混淆。

多年来已有一些作者对这一对概念进行分析,但由于这两个概念在线性代数的每个部分都需要用到,所以详细地、多角度地分清这两个基本概念,对学好、用好线性代数这门课程非常必要。

文献[1,2]对这行列式与矩阵从概念与性质角度已做了部分辨析,下面笔者拟从概念、运算、化简、应用四个方面对这两个概念进行剖析,给出它们之间的区别与联系,串起线性代数中大部分内容,希望能对线性代数的教与学提供一个参考。

1.概念的比较1.1行列式与矩阵概念的区别由行列式和矩阵的定义可知,虽然行列式与矩阵表面上都是将一些数按行按列排成数表,再在两边加上一个符号的形式,但这两个概念是完全不同的。

首先,两边所加的符号不同:行列式两边用竖线“||”,而矩阵两边用圆括弧“()”或方括弧“”[]。

其次,形状不同:行列式的行数与列数必须相等,但矩阵的行数与列数可以不相等。

再次,意义不同:n 阶行列式是由n 2个数a ij(1≤i,j ≤n)按规定的运算法则所确定的一个数,而m 行n 列矩阵是由m×n 个数a ij (1≤i ≤m ,1≤j ≤n)按行按列排成的一个数表。

故两个表面不一样的行列式,它们的值却可能相等;而两个矩阵相等则要求必须是同型矩阵且相同位置元素相等,所以两个不同型的零矩阵是不相等的。

1.2与行列式、矩阵相关的一些概念当A 是方阵(行数=列数)时,有对应的行列式|A|,称为方阵A 阵的行列式;当A 不是方阵时,没有对应的行列式。

在一般m×n 矩阵A 中,任取k 行与k 列(k ≤m,k ≤n),位于这些行列交叉处的k 2个元素,不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。

当A 是方阵时,由A 的行列式|A|的各个元素的代数余子式所构成的矩阵称为矩阵A 的伴随矩阵,其中余子式M ij 均是将|A|中的第i 行,第j 列划去所得到的n-1阶行列式。

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矩阵与行列式的相似与不同
学校：长江大学
院系：信息与数学学院
专业：信息与计算科学
姓名：***
辅导老师：***
【摘要】:本文中主要讨论了高等代数中矩阵和行列式的概念，并且从概念，性
质以及运算几个方面阐述了行列式与矩阵的相似与不同。

【关键词】:矩阵.行列式.相似与区别
矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

数学上,一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列.矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。

其重要的作用是解线性方程组和表示线性变换。

行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，是由若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵。

行列式是一个函数，值是一个标量。

其值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负取决于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是基数。

我们先看看矩阵和行列式有哪些相似。

1.形式上比较相似：矩阵和行列式看上去比较相似，主要表现在：它们中的元素都有顺序的排成行列表，表面上看起来很相似，导致很多初学者容易把行列式和矩阵弄混淆；其次，它们中的表示方法一致，比如说行列式和
矩阵中第i行第j列的元素都用a ij表示；并且，它们对行列的称呼一致，从
上到下依次称作第一行，第二行…第n行，记作r1，r2，…r n；从左到右依次称为第一列，第二列，…第n列，记作c1，c2…c n。

2.性质上有相同点：在一个不等于0的数乘行列式或矩阵的某一行或某一列时，等于该数乘以此行或此列的每一个元素；行列式和矩阵中把一个不为0的数乘行列式或矩阵的某一行或列后可以加到另一行或列对应的元素上，即某一行（列）的k倍可以加到另一行（列）上。

3.运算上具有相同点：（1）行列式和矩阵都满足叫法交换率和结合律。

可以表示为
D1+D2=D2+D1（D1+D2）+D3=D1+(D2+D3)
A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C)
(2)行列式和矩阵满足乘法结合律，即
D1(D2D3)=(D1D2)D3 A（BC）=（AB）C
(3)行列式适合乘法分配率，矩阵适合乘法左分配率和右分配率，也就是说
D1（D2+D3）=D1D2+D1D3（D2+D3）D1=D2D1+D3D1
A(B + C) = AB + AC (B + C)A=BA + CA 矩阵和行列式虽然说有很多相同点，但它们始终是两个不同的概念，那么矩阵和行列式有什么区别呢。

1.先从概念上可以看出:（1）n阶行列式D n是n2个数按一定顺序排列成的n行n列的方阵，其实际上是一个数，行列式在数表两端加||；而矩阵是m ×n个数按一定方式排列的m行n列数表，归根结底是一个数表，矩阵在数表两端加（）或[]。

行列式是方形数表中定义，对不上方形的数表，不能讨论任何行列式的问题，而矩阵无此限制（2）行列式和矩阵行列之间存在差
异。

行列式中行数必须等于列数，所以我们通常称n 阶行列式，它的行数和列数都为n ；而矩阵不存在这样的情况，矩阵的行数和列数无丝毫关系，可以相同，也可以不同。

（3）两个矩阵相等是指对应元素都相等；而两个行列式相等不要求对应元素都相等，甚至阶数都可以不一样，只要求运算代数和的结果一样就行。

（4）由于行列式是一个数，任意两个行列式都可以比较大小，而矩阵是一个数表，所以矩阵不能比较大小，要两个矩阵相等，必须矩阵里所有元素都相等。

2．性质上的不同：（1）转置，行列式的转置与原行列式相等，D=D r 。

转置行列式是指把行列式D 的行与列互换，不改变它们前后顺序得到的新行列式D r 。

如
D=|a b c d e f g h ⅈ| D r = |a d g
b e h
c f ⅈ
| D=D r
矩阵中，只有对称矩阵才等于它的转置。

一般的矩阵等于其转置的转置。

如若A ′是A 的转置，则
A=(A ′)′
（2）一个行列式的某行或列全为0，其值为0，如
D=|123457000
|=0
而矩阵只有所有元素全为0时，才称为零矩阵，如
A=(000000000
)=0
（3）交换行列式的两行或两列，行列式改变符号。

如
|a b c g h ⅈd e f
|= -|a d g b e h c f ⅈ|
矩阵中任意交换两行或两列没有影响，即
(a b c d e f g h ⅈ)=(a b c g h ⅈd e f
) （4）矩阵经过初等变换，其秩不变；行列式经过初等变换，其值可能改变。

（5）若行列式中有两行或两列相同或者对应元素成比例，则该行列式等于0。

矩阵没有类似性质
3.运算上的不同:(1)加减法不同。

任何两个行列式都可以相加减，矩阵只有两个同型阵才可以对应元素相加减。

（2）数乘矩阵与数乘行列式不同：矩阵的数乘等于数乘以该矩阵的每个元素，而行列式的数乘等于数乘以行列式中的某一行或某一列。

行列式是数，所以任何两个行列式都可以相乘，结果
是一个数；而矩阵只有满足左阵的列数等于右阵的行数时，才可以相乘，结果是一个新的矩阵。

新矩阵行数等于左阵行数，列数等于右阵的列数。

例如
(a c
b d)×(
a b c
d e f
g hⅈ
)没有意义，（1 ,-1）×(121
112
)=（0 ,1 ,-1）
而且，矩阵乘法一般不满足交换律，行列式乘法满足交换律。

因为交换矩阵相乘的位置，不一定能相乘，即使能相乘，结果也将不一样。

(11 01)(11
11
)=(22
11
)，但是(11
11
)(11
01
)=(12
12
)≠(22
11
)
（4）如果两个行列式乘积为零，则至少有一个行列式为零；但是不为零的两个矩阵的乘积也可能为零。

如
A=(2,3,-1),B=(1
−1−1),则AB=(2,3,-1) (
1
−1
−1
)=0。

【参考文献】王萼芳，石生明.高等代数（第三版）北京大学数学系几何与
代数教研室前代数小组编高等教育出版社
闫晓红.高等代数全程导学及习题全解（北京大学第三版）中国时代经济出版社。