矩阵和行列式基础.ppt
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矩阵和行列式基础
Copyrigah11t
2a0102 4＝-2a01a1
Aspose －a a
Pty
Ltd.
a21 a22
11 22 21 12
求解二元一次方程组－－－ 用二阶行列式建立的克莱姆法则：
a11
当 a21
a12 a22
0 时，方程组有唯一的解：
b1 a12 Evaluation only. a11 b1
n 系C数o行py列rig式htD20≠040-，20则11方A程sp组ose(1P)t有y 唯Ltd一. 解。
n D=0,且Dj不全为零，则方程组（1）无解
n D=0且Dj＝0，则方程组（1)有无穷多组解
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
表示这个元素所在的行数，称为行标，第二个下标 j 表示
这个元素所在的列数，称为列标。
二阶行列式D的计算可用对角线法帮助记忆：
主对角线上元素的E乘va积lua-ti次on对o角nl线y.上元素的乘积。
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D ai1 Ai1 ai2EAvia2luation oaninlAy.in (i 1,2,, n)
eated DwithaA1 jsAp1oj se.aS2lij dAe2sj for .NEaTnj 3A.n5j Cl(iejnt 1P,2ro,file, n5).2.0 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
的转置行列式。Evaluation only. eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
线性代数基础
0 0 0 a44
a14a23a33a41
四个结论：
(1) 对角行列式
a11 D a22 ann
(2)
a11a22 ann
a1n D a n1 a2,n 1
(1)
n( n1) 2
a1na2,n1
an1
(3)
上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
a11 0 D 0
a11a22a34a43 2 x 3
故 x 3 的系数为－1.
§1.2
代数余子式:
行列式按行(列)展开
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij的余子式，记作 M ij . 把 Aij 1 子式．
例如
i j
M ij
, n) 排成的
a21
a22
am 1 am 2
a11 a21 A am 1 a12 a22 am 1
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作
a11 a21 A am 1
a12 a22 am 1
a1 n a2 n amn
§2.3 逆矩阵
§2.4 矩阵的分块 §2.5 方阵的特征值与特征向量 补充: 几个重要的矩阵
§2.1 矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2, m 行 n 列的数表 a11 a12
, m; j 1, 2,
a1n a2 n amn
a1 n a2 n amn
1 0 4. 形如 0 0
2
0
0 0 记作 的方阵称为对角阵． A diag(1 , 2 , , n ) n
第3课 行列式
-21-
例3
× × 0 × × 0 × × 0 × × ×
× × 0 0= ⋅× × × =0 × × × × × × × × × × × ×
0 0 0 0
0 0 0
性质8 性质8
都是n阶方阵 设A，B都是 阶方阵，则 ， 都是 阶方阵，
AB = A ⋅ B
-22-
例4
是奇数阶方阵， 设A是奇数阶方阵，且 AT A = E , A = 1, 是奇数阶方阵 证明 E − A = 0
按第1列展开 按第 列展开
a11
a 23 L a 2 n a 33 a3n O M a nn ( n−1)
按第1列展开 按第 列展开
a 33 a11a 22
a 34 L a 3 n a44 a4n O M
=L
a nn ( n − 2)
= a11a 22 L a nn
-8-
由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算 由定义，
互换行列式的两行（ 互换行列式的两行（列）,行列式变号。 行列式变号。
1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8, 3 5 8 6 6 2
再如，证明 再如，
1 7 5 7 1 5 6 6 2 = − 6 6 2. 3 5 8 5 3 8
a b c × × × =0 a b c
a b c × × × a b c
a11 L a1k M M D= a k 1 L a kk c11 L c1k M M c n1 L cnk
p11 M p = k1 c11 M cn1
0 b11 L b1n M M bn1 L bnn
O L pkk L c1k M L cnk
0 q11 M O qn1 L qnn
第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
矩阵列运算与行列式性质.ppt
2 1 1 4
如 1
1
2
1
3 5 9 8
矩陣的列運算-1
矩陣的列運算-2
矩陣的列運算-3
矩陣的列運算-4
前面解方程組的過程中 , 各項係數所作的變化 , 事實上就是其增廣矩陣 的列與列之運算.
矩 陣 的 列 運 算 有 下 列 三種： (1) 將矩陣中的某兩列互換位置. (2) 將矩陣中的某一列乘以一個不為 0 的數. (3) 將矩陣中的某一列乘以一個數後再加到另一列.
a1 kc1 c1 a2 kc2 c2 0 a3 kc3 c3
(第二、三兩行成比例)
ka3 kb3 kc3 a2 b2 c2 0 (第一、三兩列成比例)
a3 b3 c3
三階行列式的性質-3
5. 將一行(列)的k倍加到另一行(列) , 其值不變.
a1 b1 c1 a1 b1 kc1 c1 a2 b2 c2 a2 b2 kc2 c2 a3 b3 c3 a3 b3 kc3 c3
矩陣列運算與行列式性質
一次方程組與 矩陣的列運算
2x y z 4 聯立方程組 L ： x y 2z 1
3x 5y 9z 8
2 1 1 係數矩陣：將 L 的係數依序列出來的矩陣. 如 1 1 2
3 5 9
增廣矩陣：將 L 的係數與常數項依序列出來的矩陣.
4 4 17
9 45 24 35 3 3 8 350 0 (第一、二兩行成比例)
5 25 29
5 5 29
例3：求三階行列式的值(3)
1 a a2 設a,b, c為實數 , 試證：1 b b2 (a b)(b c)(c a)
1 c c2
解：
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
高等数学第十章线性代数基础
第一节 行 列 式
2. 几种特殊的n阶行列式
（1）对角行列式：只有在对角线上有非零 元素的行列式。
(2)下(上)三角行列式：主对角线以上(下)的 元素都为零的行列式。
第一节 行 列 式
三、 行列式的性质
1. n阶行列式的概念
我们已经定义了二阶、三阶行列式，又将 三阶行列式转化为二阶行列式来计算，一般地， 可用递归法来定义n阶行列式。
第一节 行 列 式
2. 三阶行列式
类似地，对于三元一次方程组
为了简单地表达它的解，我们引进三阶行列式的概念。 三阶行列式也是一个数值，它可以通过转化为二阶行 列式的计算而得到。 三阶行列式可以用来解三元一次方程组。
第一节 行 列 式
若分别记三阶行列式
如果方程组（10-1-4）中的系数行列式Δ≠0，那么方程 组有唯一解，其解可以简洁地表示为：
第一节 行 列 式
二、 n阶行列式
1. n阶行列式的概念
我们已经定义了二阶、三阶行列式，又将三阶 行列式转化为二阶行列式来计算，一般地，可用递 归法来定义n阶行列式。
第一节 行 列 式
定义1
将n2个数排列成n行n列，并在左、右两边各加 一竖线的算式，即
称为n阶行列式，它代表一个由确定的运算关系所 得到的数。
第一节 行 列 式
四、 行列式的计算
例1 计算三阶行列式
第一节 行 列 式
（1）对二阶、三阶行列式按定义展开，直接计算。 （2）对特殊的行列式，如上(下)三角行列式，其值为主对角线 元素的乘积。 （3）按照性质6，将行列式按某一行(或列)的展开式展开，把 行列式转化为低一阶的行列式，如此继续下去，直至降到三阶或二 阶行列式，然后直接计算。 （4）利用性质5，将行列式转化成三角行列式或其他易计算的 行列式，然后再计算，这是计算行列式的常用的基本方法。
线性代数7PPT课件
向量空间的性质
零向量和负向量的存在
在向量空间中，存在一个特殊的向量，称为零向量，它与任何向量进行加法运算结果仍为 该向量本身。同时，对于每个非零向量，都存在一个与其相反的向量，称为该向量的负向 量。
向量的线性组合
对于任意标量和向量，以及任意数量的标量，都可以进行线性组合，得到一个新的向量。
向量的线性无关
二次型的性质
01
实定性
如果一个二次型在某个基下的矩 阵是对称的，那么这个二次型是 实定的。
正定性
02
03
半正定性
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是正定的，那么这个二 次型是正定的。
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是半正定的，那么这个 二次型是半正定的。
二次型与矩阵的相似性的关系
二次型与矩阵的相似性
07
二次型与矩阵的相似性
二次型的定义
二次型
一个n元二次型是一个n维向量空间上的多 线性函数，其一般形式为$f(x) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中$a_{ij}$是常数。
二次型的矩阵表示
对于一个二次型$f(x) = x^T A x$，其中 $A$是一个对称矩阵。
特征值和特征向量的性质还包括：如 果λ是A的特征值，那么kλ（k≠0）也 是A的特征值；如果x是A的对应于λ的 特征向量，那么kx也是A的对应于λ的 特征向量。
特征值与特征向量的应用
在物理和工程领域中，特征值和特征向量的应用非常广泛。例如，在振动分析中，系统的固有频率和 振型可以通过求解系统的质量矩阵和刚度矩阵的特征值和特征向量得到。
02
19世纪中叶，德国数学家克罗内克等人开始系统地 研究线性代数，并为其建立了基础。
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a11 a12 a13
a11 a21 a31
定义：记 D a21 a22 a23 ， DT a12 a22 a32
a31 a32 a33
a13 a23 a33
即交换 D 的第 i 行与第 i 列，称行列式 DT 为的 D
的转置行列式。
性质 1 行列式与它的转置行列式相等。
注：性质 1 表明行列式中行与列具有同等的地位，
a11 a12 a13
例如， D a21 a22 a23 的元素 a32 的余子式和代数余
a31 a32 a33
子式分别为
M 32
a11 a21
a13 a23
2021/2/11
A32
(1)32
a11 a21
a13 a23
M 32
• 定理(行列式按行(列)展开定理) ： 行列式D等于它的任一行(列)各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
a11
当 a21
a12 a22
0 时，方程组有唯一的解：
b1 a12
x1
b2 a11
a22 ＝ D1 ,
a12
D
a21 a22
a11 b1
x2
a21 a11
b2 a12
D2 D
a21 a22
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
b2a11 a11a22
a21b1 a12a21
2021/2/11
行列式概念
• 问题：求解二元一次方程组
aa1211xx11 aa1222xx22bb12,,
(1) (2)
用消元法得 a1a122 a1a 221 0
x1
b1a22a12b2 a11a22a12a21
x2
b2a11a21b1 a11a22a12a21
2021/2/11
用一个简单符号表示运算 a11a22 a12 a21 ，
－2 5 －1 例2 求D 1 9 13
3 1 5
2021/2/11
克莱姆法则
表示这个元素所在的行数，称为行标，第二个下标 j 表示
这个元素所在的列数，称为列标。
2021/2/11
二阶行列式D的计算可用对角线法帮助记忆： 主对角线上元素的乘积 - 次对角线上元素的乘积。
a11 a12＝a a －a a
a a 21 22
11 22 2112
2021/2/11
求解二元一次方程组－－－ 用二阶行列式建立的克莱姆法则：
D a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA n in ( i 1 , 2 , , n )
D a 1 jA 1 j a 2 jA 2 j a n A n j j( j 1 ,2 , ,n )
推论 行列式某行(列)元素与另一行(列)对应元素 的代数余子式乘积之和等于0，即
也就是说：行列式对行成立的性质，对列也同样成
立，反之亦然。
2021/2/11
• 性质2 对调行列式的任意两行（列），所得的行列 式的绝对值不变，但符号相反。
• 推论 若行列式中有两行（列）元素完全相同，则 行列式为零。
性质3 某一行所有元素的公因子可提到行列式符号 的外面。 推论 若行列式中有两行元素对应成比例，则行列 式为零 。
2021/2/11
线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一 个分支，形成于20世纪，但历史却非常久远，部分内 容在东汉初年成书的《九章算术》里已有雏形论述， 不过直到18—19世纪期间，随着研究线性方程组和变 量线性变换问题的深入，才先后产生了行列式和矩阵 的概念，为处理线性问题提供了强有力的理论工具， 并推动了线性代数的发展。
就是数学上二阶行列式的概念：称表达式 a11a22 a12 a21
a11 a12
a11 a12
是由数表 a21 a22 确定的二阶行列式，记为 a21 a22 ，
a11 a12
即 a11a22 a12 a21 = a21 a22 .
其中称数 aij 为行列式的元素，元素 aij 的第一个下标 i
性质4 若行列式某行的元素是两数之和，则行列式 可拆成两个行列式的和。
性质5 行列式某一行元素加上另一行对应元素的 k 倍，则行列式的值不变。
2021/2/11
行列式的计算
在行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去
后，由留下的元素组成的行列式叫做元素 aij 的余子 式，记作 M ij ，并称 (1)i j M ij 为元素 aij 的代数余子式， 记为 。 Aij (1)i j Mij
注 也可以类似地给出三元一次方程组的克拉姆法则。 三阶行列式的计算也可用对角线法来定义：三个主对
角线上元素的乘积的和 - 三个次对角线上元素的乘积的和。
2021/2/11
例
1 2 4 D2 2 112(2)21(3)(2)42
3 4 2 (4)2(3)1142(2)(2)14
2021/2/11
行列式的性质
线性代数主要内容：行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、
标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论。
2021/2/11
行列式
历史上，最早使用行列式概念的是17世纪德国数学家 莱布尼兹，后来瑞士数学家克莱姆於1750年发表了著名的 用行列式解线性方程组的克莱姆法则，首先将行列式的 理论脱离开线性方程组的是数学家范德蒙，1772年他对 行列式做出连贯的逻辑阐述，法国数学家柯西于1841年 首先创立了现代的行列式概念和符号，包括行列式一词 的使用，但他的某些思想和方法是来自高斯的。在行列 式理论的形成与发展的过程中做出过重大贡献的还有拉 格朗日、维尔斯特拉斯、西勒维斯特和凯莱等数学家。
2021/2/11
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 完全类似地，我们称由含 32 个数的数表 a31 a32 a33 确定的三阶行列式为
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a i1 A j1 a i2A j2 a in A jn na ik A jk 0(i j) k 1 n a 1 iA 1j a 2 iA 2j a nA in j a kA ik j0(i j) k 1
2021/2/11
1 01 例1 求D 1 1 4
1 1 2
注：以元素中0最多的行或列展开