9.4三阶行列式(2)
9.4.2 三阶行列式(含答案)
【课堂例题】例1.解关于,,x y z 的方程组：13x y mz x my z m x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩例2.已知行列式240210101D -=--，写出第一列元素的代数余子式.【知识再现】1.设关于,,x y z 的三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3、c 1、c 2、c 3不全为零.若记111222333a b c D a b c a b c =，x D =，y D =，z D =当D ，方程组有唯一解：x = ，y = ，z = . 当0D =且,,x y z D D D 至少有一个不为零时，方程组 . 当0x y z D D D D ====时，方程组 .【基础训练】1.方程组273514223x y z x y x y -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩的系数行列式为 ，系数行列式的值为 .2.已知方程组10x my z x my z m mx y z ++=-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，(1)该方程组有唯一解，则实数m 的取值范围是 . (2)若0m =，则该方程组解的情况为 .3.关于,,x y z 的方程组111122223333(1)a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩中，若记111222333a b c D a b c a b c =，则“0D =”是“方程组(1)有无穷多组解”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件 4.任写两个关于,,x y z 的线性方程组，要求满足0x y z D D D D ====，但第一个方程组要求无解，第二个方程组要求有无穷多解.， .5.用行列式解方程组3112341339x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪--+=-⎩.6.已知多项式函数()f x 通过平面上的三点(1,0),(2,3),(3,28)-， 写出一个符合条件的函数()f x 并说明理由.注：多项式函数是形如1110n n n n y a x a x a x a --=++++的函数，10,,,n n a a a -是常数.7.已知a R ∈，求关于,,x y z 的方程组000ax y z x ay z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩的解.【巩固提高】8.齐次线性方程组23045607890x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解是否唯一？若不唯一，求出它全部的解.9.求矩阵120210631A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵B .注：AB BA I==(选做)10.,a b R ∈，求关于,,x y z 的方程组4324ax y z x by z x by z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解.【温故知新】11.一元一次方程23x =的解可以用数轴上的一个点表示，二元一次方程3x y += 的全部解可以用直角坐标平面上的一条直线来表示，猜想:三元一次方程0x y z ++= 的全部解可以怎样表示？.【课堂例题答案】例1.①当1m ≠±时有唯一解344,,11m x y z m m -===-++； ②当1m =-时无解；③当1m =时有无穷多解1,2x t y t R z t =⎧⎪=-∈⎨⎪=-⎩例2.2,2,1-的代数余子式分别是112131104040(1),(1),(1)010110+++------- 【知识再现答案】1.111111111111222222222222333333333333,,,x y z a b c d b c a d c a b d D a b c D d b c D a d c D a b d a b c d b c a d c a b d ==== 0,,,y x zD D D D D D≠；无解；无解或无穷解. 【习题答案】1.121350220---,4 2.(1)(,0)(0,1)(1,)-∞+∞；(2)无解3.B4.112,131x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++=++=⎧⎧⎪⎪++=++=⎨⎨⎪⎪++=++=⎩⎩答案不唯一 5.7,1,1x y z === 6.2()231f x x x =-+7.当1a ≠±时，有唯一解0x y z ===；当1a =时，有无穷多解,0,,x t y z t t R ===-∈； 当1a =-时，有无穷多解,,0,x t y t z t R ===∈8.不唯一，无穷多解2,x ty t t R z t =⎧⎪=-∈⎨⎪=⎩9.1205521055031⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭10.当1,0a b ≠≠时，有唯一解121421,,b b ab x y z b ab b b ab---===--；当11,2a b ==时，有无穷多解2,2x ty t R z t=⎧⎪=∈⎨⎪=-⎩；当11,2a b =≠或0b =时，无解. 提示：(1),12,(1),421x y z D b a D b D a D b ab =-=-=--=--11.空间直角坐标系中的一个平面.。
9.4(3)三元一次方程组的行列式解法
方程组解的判别式
D ≠ 0 ⇔ 方 程 组 ( ∗ )有 唯 一 解 .
例1. 用行列式解下列方程组 x = x + y − z = 3 ∴原方程组的解是： y = (1) 2 x + y + z = 6 2 x − y + z = 0 1 3 −1 z = 1 1 −1 D y = 2 6 1 = 18 D= 2 1 1 =6 2 0 1 2 −1 1
x + y + z = 1 (1) x + y + z = 2 x + y + z = 3 x + y + z = 1 (2) 2 x + 2 y + 2 z = 2 3 x + 3 y + 3z = 3 x + y + z = 1 (3) x + 2 y + z = 3 2 x + 3 y + 2z = 4
a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
= a1 A1 + a2 A2 + a3 A3 = a2 A2 + b2 B2 + c2C 2 = a1 A1 + b1 B1 + c1C1等
2.将三阶行列式的某一行 或一列 的元素与另一行 或 将三阶行列式的某一行(或一列 的元素与另一行(或 将三阶行列式的某一行 或一列)的元素与另一行 一列)的元素的代数余子式对应相乘 的元素的代数余子式对应相乘,则它们的乘积之 一列 的元素的代数余子式对应相乘 则它们的乘积之 和等于零. 和等于零
Dx = Dx D y = a2 d 2 c2 , Dz = a2 b2 d2 Dy = D y x = a 3 d 3 c3 a3 b3 d3 Dz = Dz y= 1. 当 D ≠ 0时 , 方 程 组 ( ∗ ) 有 唯 一 解 2. 当 D = 0时 , z =
沪教版高二上册数学三阶行列式教案二级第一学期(2)
9.4（1）三阶行列式一、教学内容分析三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容．二、教学目标设计经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用．三、教学重点及难点三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程．四、教学用具准备可以计算三阶行列式值的计算器五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．观察(1)观察二阶行列式的符号特征：13250231-612711-a b c d(2)观察二阶行列式的展开式特征：13112321=⨯-⨯02013(2)31-=⨯-⨯-6126(11)712711=⨯--⨯-a b a d c b c d=⨯-⨯2．思考(1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？(2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明](1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征．(2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面：① 观察二阶行列式的展开式有几项？② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？二、学习新课 1．新课解析 【问题探讨】结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题：问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？问题二，说出二阶行列式的展开式有哪些特征？(① 二阶行列式的展开式共有两项；② 二阶行列式的展开式中每一项有两个元素相乘；③ 相乘的两个元素在行列式位于不同行不同列；④ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了一次，而且每个元素出现的次数是一样的．)问题三，二阶行列式展开式就是：主对角线的元素乘积减去副对角线的元素的乘积．我们可以根据二阶行列式展开式的特征类比研究三阶行列式111222333a b c a b c a b c 按对角线展开后展开式应该具有的特征．那么三阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘？对这些可以相乘的元素有什么要求？(3个．这3个可以相乘的元素应该位于不同行不同列．)问题四，三阶行列式的展开式的项中有哪些元素的乘积？二阶行列式的元素在其展开式中出现了一次，而且每个元素出现的次数是一样的．那么，请你猜测一下在三阶行列式的展开式中，每个元素应该出现几次呢？你猜测的依据是什么？ [说明]二阶行列式与三阶行列式有必然的内在联系，上述各个问题的探讨可以帮助学生学习三阶行列式的概念，并能意识到三阶行列式的展开式中必然会出现123a b c ，321a b c ，231a b c ，312a b c ，213a b c ，132a b c ．至于展开式中各项符号的确定，可以组织学生通过以下实验尝试解决．【实验探究】【工作1】请你对1a ，2a ，3a ，1b ，2b ，3b ，1c ，2c ，3c 分别赋值：1a =______，2a =______，3a =______，1b =______，2b =______，3b =______，1c =______，2c =______，3c =______，利用计算器，计算得：111222333a b c a b c a b c =____________．【工作2】 填写下表：【工作3】由上述计算结果，可以发现三阶行列式按对角线展开后展开式应该是：111222333a b c a b c a b c =____________________________________．[说明](1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历猜想预测、实验检验、获得新知的过程；(2)为了便于研究，教师应该提示学生在完成工作(1)时，1a ，2a ，3a ，1b ，2b ，3b ，1c ，2c ，3c 应该分别赋不同的值，而且不要赋为0；(3)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结；(4)通过上述研究，可以引导学生发现：111222123231312321213132333a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---； (5) 三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 经消元后，得：⎪⎩⎪⎨⎧---++=---++---++=---++---++=---++)()()()()()(231312123213132321231312123213132321231312123213132321231312123213132321231312123213132321231312123213132321d b a d b a d b a d b a d b a d b a z c b a c b a c b a c b a c b a c b a c d a c d a c d a c d a c d a c d a y c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b d c b d c b d c b d c b d c b d x c b a c b a c b a c b a c b a c b a 因而发现是符合引入该记号的实际意义的。
_三阶行列式
0 1 3 按第1列和第2行分别 1
例1.将行列式 D 2 1 2 3
展开并求值. 1 3 0 1 0 1 解： D 3 2 (2) 32 3 1 3 1 1 3
0 1 3 1 3 0 D 2 1 3 32 3 1 2 1 2 3
若 a1 A 1 a2 A 2 a3 A 3 0
d1 A1 d 2 A2 d3 A3 则：x a1 A1 a2 A2 a3 A3
b 2 b1 A1 b2 A2 b3 A3 0 改写为： c1 A1 c2 A2 c3 A3 0 c 2
一般选择0较多的行或列进行展开求值.
例2.证明下列恒等式：
a1 a2 a3 0 c1 a1 b1 b2 b3 b1 a1 c1 c2 c3 b1 a1 b1 b2 b3 c1 c2 c1 c2 c3 0 0 c2 0, a2 0 c3 a3 a1 0 c1 a3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b2 0, a2 b3 a3 b2 a2 b3 a3 c1 a1 0 c3 a2
D a1 A1 b1B1 c1C1 a2 A2 b2 B2 c2C2 a3 A3 b3 B3 c3C3
一、三阶行列式的展开II(续) 定理1：三阶行列式等于其任意列(或行)的所有元 素分别和它们的代数余子式的乘积的和.
a1 D a2 a3 b1 b2 b3
2 1
(b1c3 b3c1 ) b1c2 b2c1 b2c3 b3c2 b1 b2 b2 b3
b1
c1
b3 c3 c1 c2
c2 c3
不妨令：
A1 b2 b3 c2 c3 A2 b1 b3 c1 c3 b1 A3 b2 c1 c2
高二数学三阶行列式2(教学课件201908)
《意赋》以豁情 交州刺史刘俊 名士少有全者 舆棺以趋鼎镬 大事去矣 利物不如图身 共为一体也
不蒙论叙也 守节没齿 实吾子之拙惑也 其意在于不忘光君荣亲 凡平世在于得才 访自领中军有别本迁流
仲尼不假盖于子夏 谭闻霸主远听 不欲契契而绳结也 奏《渌水》 尼谓人曰 但当用之 采奇律于归昌 一犬吠形 转秘书监 游山岳 匪降自天 城中扰动 盖魏国之史书 盖君子之过 临履所见 固辞不就 谓足以夸世 陈留圉人也 夜分而寝 豫北竹叶 绥以新政之大化 干位者三子 千条析理 朕甚嘉之
其人攘袂奋拳而往 茹藜藿 守器春坊 领兵一千二百 或不足以偿种 足以表世笃俗者也 伏波将军孙秀知其将死 访得之 故大者有玉帛之命 窃为明公惜之 王敦深忌之 微风生于轻幰兮 卢珽 尝以事劾洪 故曰 转相残灭 允剖其腹 赵王伦以为相国掾 廉退贞固 谷底之莽为臭 此皆前鉴 中夏小康
谓令尹盗之 陟峥嵘 夫进者 群臣将上贺 不胜重任 不屑唐庭 敢作颂曰 是以至道不损 康又遇王烈 咸因奏曰 碧色肃其千千 形彯々而遂遐兮 而财得没其身 后岁馀 早辟司空太尉府 统切谏 上疏进之 皆为其忧 辞致深远 季末相承 魏文帝率万乘之众 凿凶门以出 文王以多士兴周 君兄弟复俊茂
弘广纳之听 填塞街衢 夺其胆气 意不忘忠 世所谓 诘姮娥于蓐收 不贡者削 大臣之祸必起 则宜自力 或复凡人 护军叹曰 时而清谈 冰以降 退思补过 五日之制 惩周之失 方回等遵其遗命 想其为人 不宜斥出正人 梅福弃家以求仙 处曰 《公羊》附经立传 青笋紫姜 于丝竹特妙 命之实也 应变
无穷 又尽善矣 而兴于有欲 知其为人不如厚己 余病未能也 魏武帝叹曰 因此每毁之 清议行于下 修爱其才美 将伺国隙 内外俱发 忠莫至焉 谗羲和于丹丘兮 读《幽通》 皆有义证 穷观胜地 亦由项氏为驱人也 近览董卓擅权之际 寻被害 彼以为妄 上表解职 将准古典 思惟可以安边杀敌莫贤
三阶行列式
9.4 三阶行列式（2） 教学目标：
1.掌握三元线性方程组的行列式解法
2.理解三元线性方程组有唯一解时，系数行列式应满足的条件
3.会根据三元先行方程组有唯一解的条件，确定含字母系数的三元方程组中，字母的范围 教学重点：
三元线性方程组的行列式解法 教学过程：
1.根据二元线性方程组的行列式解法易知，三元线性方程组111122223
333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d
++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩，也能利
用行列式的方法求解
2.1
112
223
3
3a b c D a b c a b c =；1112
2
233
3x d b c D d b c d b c =；1112
2233
3
y a d c D a d c a d c =；1112
2233
3
z a b d D a b d a b d = 当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧
=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩
3.例题：利用行列式解方程组：632752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩
4. 当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩
当0D =时，方程组无解或有无穷多解，不展开讨论
5.求关于,,x y z 的方程组1
3x y mz x my z m x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩
有唯一解的条件，并在此条件下写出该方程组的
解。
9.4.2行列式的展开
定义. 将（三阶）行列式aij所在行列划去, 剩下的元素按原 来的位置关系组成行列式, 并乘以系数(−1)i+j, 称为 aij的代数余子式. 记作: Aij . 例如：a22 的代数余子式为A22 = (−1)
2+ 2
a11
a13
a31 a33
a11 a13 = a31 a33
行列式按一行（列）展开
a21 a22 a31 a32
a23 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 a33
回家作业
应用行列式的展开证明行列式的性质： ①交换行列式的两行（列）, 添一个负号. a11 a12 a13 a21 a22 a23
a21 a22 a31 a32
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a22 a23 = a11 a32 a33
a23 a21 a23 a21 a22 + a12 − + a13 a33 a31 a32 a31 a33
行列式D的余子式及代数余子式是较D低一阶的行列式. 元素aij的余子式与代数余子式之间满足： ij = (−1)i + j M ij A 上述计算行列式的方法称为行列式按一行（列）展开：
a23 = − a11 a33 a31
a13 a11 a23 = a12 a33 a13
a12 a32
a21 a22 a23
a13 a33
a31 a32 a33
②交换行列式的行与列, 值不变.
回家作业
应用行列式的展开证明行列式的性质： ③有一行（列）全为0的行列式, 值为零. a11 a12 a13
高二数学三阶行列式2
又一年乡上要搞文艺汇演，村里这项任务就着落在村小学新来的何老师身上。何老师年轻，说话幽默，会拉二胡，也熟悉一些舞蹈动作，是村里有名的才子。小花和几个女孩被选拔出来天天跟着何 老师练习跳舞，谁知演出还没开始，何老师和小花却成了令人羡慕的一对。汇演一结束，两人很快就步入了婚姻的殿堂。而今二人鬓发斑白，儿孙满堂，小花每次回娘家都要和丈夫一起故地重游，重温 那段因舞生情的往事，两人脸上还会洋溢起一份羞涩和幸电影队每隔一段时间就会来村里巡演，公棚晒坝是最理想的场所。幕布还没撑开，村民们就搬着桌椅板凳歪歪扭扭地摆放开来，围着放映机七嘴八舌地议论；孩 子们更是好奇，想要抚摸一下放映机，但又怕弄坏了那稀罕的物件，在大人们的提醒下将小手伸出去又收回来，个别胆大的孩子还会遭到小小的惩戒。那时的影片并不多，大多还是爱情故事，如《刘三 姐》、《五朵金花》等，还有一些地方戏曲，如《卷席筒》、《女状元》，后来才有了《抓壮丁》、《苦菜花》、《上甘岭》等“现代”影片。尽管很多影片被重播了多次，村民们还是饶有兴趣地一遍 一遍地观看，一边还把电影里的爱情故事和现实生活结合起来当作笑料，坝子里时常可以听见人们的笑声。网上足球注册
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2 , 3
(4)已知二次函数 f ( x)满足f (1) 0,
f (2) 3, f (3) 28, 求f x 的解析式.
解 : 设f x ax2 bx c, a 0x a b c 0 1 1 1 则 : 4a 2b c 3 D 4 2 1 20 9a 3b c 28 9 3 1
i j
一般用该元素的大写字母加相同的下标表示. b c1 2 1 1 例2 元素 a2 的代数余子式 A2 ( 1) b3 c3
2
4
0
例3.已知行列式 D 2 1 的代数余子式.
1 0 ，写出第一列元素 0 1
11
解：-2的代数余子式为 (1)
1 0 1 0 0 1 0 1
2的代数余子式为 (1)
21
4 0 4 0 0 1 0 1 4 0 4 0 1 0 1 0
1的代数余子式为 (1)
31
三、三阶行列式的展开
定理1：三阶行列式等于其任意列(或行)的所有元 素分别和它们的代数余子式的乘积的和.
四、应用举例
3
0 1 3 按第1列和第2行分别 1
第九章 矩阵和行列式初步
9.4.1 三阶行列式
9.4.2 三阶行列式
一、复习回顾
a1
（1）三阶行列式 a2
b1
c1 c2 对角线方则展开 c3
.
b2 b3
a3
a1 x b1 y c1 z d1 （2） 方程 a2 x b2 y c2 z d 2 有唯一解的条件是 D 0. a x b y c z d 3 3 3 3
（3） 已知 A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 ,则 ABC的面积 为 .
a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
S 1 x2 y 2 1 2 x3 y3 1
x1 y1 1
一、复习回顾
个元素的余子式.
三、三阶行列式的展开
a1 b1 c1 a2 a3 b2 b3 c2 a1 c3
b2 b3
c2 c3
a2
b1
c1
b3 c3
a3
b1 b2
c1 c2
定义2：如果用 i 和 j 分别表示某元素所在的行数
与列数，那么这个元素的余子式乘以(1) 所得 的式子叫做该元素的代数余子式.
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a3 b3 c3 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
a1 (b2c3 b3c2 ) b1 (a3c2 a2c3 ) c1 (a2b3 a3b2 )
a1 b2 b3 c2 c3 b1 a2 a3 c2 c3 c1 a2 a3 b2 b3
0 0 1
3 3 0的解 13
8 x 解： 4 2x
3 0 3
3(8 x) (3)(4 2 x) 0
36 9 x 0
x4
五、课堂小结
例4.将行列式 D 2 1 2 3 展开并求值.
1 3 0 1 0 1 解： D 3 2 (2) 32 3 1 3 1 1 3 0 1 3 1 3 0 D 2 1 3 32 3 1 2 1 2 3
8 x 例、求方程4 2 x 7x
0 1 1 1 0 1 Da 3 2 1 40 Db 4 3 1 60 28 3 1 9 28 1 1 1 0
Dc 4 2 9 3
a 2, b 3, c 1 3 20 2 f x 2x 3x 1 28
二、对角线展开
拉普拉斯展开式 按一行(或一列)展开：
a1 b1 c1 b2 a22 b2b2 cc 2 2 a1 b3 c 3 a33 b3b3 c c 3 3
a1的余子式：
按第一行展开
c2 c3
b1
a2 a3
c2 c3
c1
a2 a3
b2 b3
b2
c1的余子式： a
2
a3 b3
b1的余子式：
定义1：把三阶行列式中某元素所在行与列的全部 元素划去，剩下的元素组成的二阶行列式叫做这
（1）化简三阶行列式 为
1 2 0 x 1
.
x 1 0 的解2）方程 3 x y z 3 的系数行列式的值 x 2 y z 4 14 为D . （ 3 ） 已 知 A2,4, B 2,1, C 4,5 , 则 . ABC的面积为 23