数学人教版九年级下册三垂直模型--相似三角形专题
人教版九年级下册第27章相似三角形的性质(24页)
3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，
(1) 它们的周长差为 60 cm，这两个三角形的周长分别是 _10_0__c_m__、__4_0_c_m____；
(2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面 积分别是_5_0__c_m_2_、__8_c_m__2_.
典例精析
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D， AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ的值为( C )
A．2 B．4 C．1
1 D. 2
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原 三角形的周长比等于_1__:_4__，面积 比等于_1_:_2__.
相似比 2 周长比 2 面积比 4
1 3 100
k ……
1 3 100 k ……
1 10000 k2 ……
9
2. 把一个三角形变成和它相似的三角形， (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的__2_5___倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的__1_0___倍.
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
∴△ABD ∽△A' B' D' .
∴
AD A'D'
AB A'B'
k.
BD A'
B' D'
C C'
归纳
相似三角形的性质1：
新人教版九年级数学下册《二十七章 相似三角形专题复习--一线三垂直》教案_19
相似三角形专题复习——一线三垂直教学目标：1、深刻理解并掌握“一线三垂直”这一基本图形，并能应用基本图形的一般结论解决证明、计算等问题。
2、增强识图能力，能从图形中分解出基本图形。
3、从“一线三垂直”到“一线三等角”体会从特殊到一般的数学思想，对基本图形的提炼与研究有助于把习题类型化、知识系统化，从而培养举一反三、触类旁通的思维品质和创新能力。
教学重点：提炼基本图形，应用基本图形教学难点：发现基本图形并能灵活应用。
教学过程：一、回顾基本图形：在相似三角形中，我们已学习过哪些基本图形？二、归纳基本图形如图，在四边形ABCD 中, ∠B =∠C = 90°，P 为BC 上任意一点（与B 、C 不重合）,∠APD =90°.观察：图中有哪些相似三角形？说说你的理由. △ABP ∽△PCD 一线三垂直在中考复习题中经常出现，掌握快速识别并解决此类题目的方法，我们的复习效果将事半功倍。
设计意图：学生们先观察得出图中所作图形的特点，三个直角顶点共线，再思考并回答有无相似三角形及原因，强调对应关系，引出一线三垂直。
三、应用基本图形1.如图，已知AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，P 是线段BC 的中点，且AP ⊥PD ，AB =1，BC =4，则CD =_____.图1 图2PD P A CD BP PC AB ==2.如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B = ∠C = 90°，CD =2，AB =3，BC =7，若BC 上有一点P 使得PD ⊥PA ，则PC 的长度是 .3.如图3，矩形ABCD 中,把DA 沿AF 对折,使D 与CB 边上的点E 重合,若AD =10,AB =8,则EF = ______.图3 图4设计意图：首先通过三道小题让学生们应用基本图形解决计算类简单问题，明确相似三角形中的对应关系。
考虑到后面题目学生们做起来时间花费较多，这部分留作课前完成，课堂上对答案。
九年级数学下册 27.2 相似三角形 新人教版
探究
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条直线与l1，l2相交的平 行线l3，l4，l5，分别度量l3，l4，l5，在l1上截得的两条线段AB，
BC在l2上截得两条线段DE，EF的长度，AB和BC的比与DE和 EF的比相等吗？任意平移l5，再度量AB，BC，DE，EF的长度，
AB和BC的比与DE和EF的比相等吗？
l1
A B
l2
D
l3
E
ห้องสมุดไป่ตู้l4
C
F
l5
证明过程有一定难度，课后有兴趣再 探索了.
平行线分线段成比例定理 三条平行线 截两条
直线，所得的对应线段的比相等.
把这个定A 理应用到三角形E 中，会出D 现下面
两种情况.
A
D
E
B
C
(1)
B
C
(2)
通过上面两种情况的推理我们可以得到
平行于三角形一边的直线截其他两 边（或两边的延长线），所得的对应 线段的比相等.
小结： 1、通过本节课的学习，你学习了哪些知识？ 2、你掌握了哪些方法？ 3、有什么疑问？
当堂检测
A
1.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形； （2）如果AD=1，DB=3，那么DG﹕BC=_______. 2.如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于
点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写
出来. 3.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm BC=70cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.
D E F B
G H I C
精品九年级数学下册27相似专题课堂三相似三角形的基本模型课件新版新人教版可编辑
[对应训练] 2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边CB，DC延长线上的点， 且BE＝CF，连接AE，FB，FB的延长线交AE于点M.求证： (1)△BEM∽△BFC；(2)CF2＝FB·ME.
解：(1)∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠CD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°， 又∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠E＝∠F， 又∵∠EBM＝∠FBC，∴△BEM∽△BFC
解：∵AB·AD＝AC·AE，∴AABE＝AADC，又∵∠CAE＝∠BAD， ∴∠CAE＋∠DAC＝∠BAD＋∠DAC，即∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE∽△ACB，又∵S△ADE＝4S△ACB，∴SS△ △AADCBE＝4， ∴(DBCE)2＝SS△△AACDBE＝4，∴DBCE＝2，∴DE＝2BC
解：(1)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC， ∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBE (2)∵BD＝3，∴BC＝2BD＝6，
∵△ABD∽△CBE，∴BBDE＝BBAC，即32＝B6A，∴AB＝9，∴AC＝9
[对应训练] 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在边AD上，且AE＝8 ，EF⊥BE交CD于点F. (1)求证：△ABE∽△DEF； (2)求EF的长．
【例 4】如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB 于点 E. (1)求证：△ABD∽△CBE； (2)若 BD＝3，BE＝2，求 AC 的长． 分析：(1)由 AB＝AC，BD＝CD，可得 AD⊥BC，又由 CE⊥AB，∠B
数学人教版九年级下册初中数学教学：相似三角形的判定精品PPT
A
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A′B′C′？
数学人教版九年级下册初中数学教学 ：相似 三角形 的判定 精品课 件
A′
B′
C′
数学人教版九年级下册初中数学教学 ：相似 三角形 的判定 精品课 件
已知:如图△ABC和△A′B′C′中A′B′:AB
=A′C′:AC=B′C′:BC.求证:△ABC∽△A′B′C′.
如图,已知: AB BC AC， 试说明∠BAD=∠CAE.
AD DE AE
证明：∵ AB = BC = AC AD DE AE
A
∴ΔABC∽ΔADE
D
∴∠BAC=∠DAE
B
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE.
E C
数学人教版九年级下册初中数学教学 ：相似 三角形 的判定 精品课 件
要作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边 的长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，怎 样选料可使这两个三角形相似?这个问题有其他答案吗?
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6
2
数学人教版九年级下册初中数学教学 ：相似 三角形 的判定 精品课 件
因此DE=B′C′,EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△A′B′C′∽△ABC
B
E C
数学人教版九年级下册初中数学教学 ：相似 三角形 的判定 精品课 件
数学人教版九年级下册初中数学教学 ：相似 三角形 的判定 精品课 件
A A′
人教版九年级数学下册 相似三角形之双垂直模型与三垂直模型 讲义
双垂直、三垂直模型例题讲解：例1、如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，求证：AB.DE=BC.CD例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（）A、2B、433C、23D、43例3、（射影定理）如图，已知BA⊥AD，AC⊥BD，求证：①AC2=BC.CD②AB2=BC.BD③AD2=CD.BD④AB.AD=AC.BD课堂练习1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A、32B、76C、256D、22、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5。
过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）A、1.6B、2.5C、3D、3.43、如图，在Rt△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若AD=3，DE=2，则AC=（）A、212B、152C、15D、924、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C’处，并且C’D//BC，则CD的长是（）A、409B、509C、154D、2545、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B’重合，若AB=2，BC=3，则△ECB’与△B’DG的面积之比为（）A、9:4B、3:2C、4:3D、16:96、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、O。
则CP：AC等于（）A、1:3B、1:4C、2:3D、3:47、如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E。
求证：△ABD∽△CBE8、如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，垂足为D、E （1）证明：AD.EB=AE.DC（2）若∠A=60°，求S△AED：S△ABC例3、（三等角模型）如图，等腰直角△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=45°，则CD的长为（）A、53-B、2313-C、3213D、35例4、如图，已知等边△ABC中，D、E两点在直线BC上，且∠DAE=120°（1）判断△ABD是否与△ECA相似，并说明你的理由（2）当CE.BD=16，求△ABC的周长10、如图，在△ABC中，∠B=∠AEM=∠C，且点A在DE上，点E在BC上，EF与AC交于点M。
相似三角形的性质+课件+人教版数学九年级下册
周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？
你能加以证明吗？
已知:ΔABC∽ΔA´B´C´,相似比为k.
求证: ΔABC的周长
ΔA’B’C’的周长
=k
sABC sA´B´C´
=k2
A
A’
B
B’
C’
C
已知:ΔABC∽ΔA´B´C´,相似比为k.
求证:
ΔABC的周长 ΔA’B’C’的周长
相似三角形的周长比等于相似比吗?
A B
C D
相似三角形的周长比等于相似比. E
F
已知：如图， △ABC∽△A’B’C’，它们的相似比是K，
AD、A’D’分别是高.
A
求证：S ABC : S A'B'C ' = K 2
证明： ∵△ABC∽△A’B’C’
B
DC
A’
BC = AD = K B'C' A' D'
A
D
解: ∵AD∥BC
O
∴△AOD∽△COB S△AOD:S△COB=4:9
∴OD:OB=2:3
B
C
∴S△AOD:S△AOB=2:3
∴S△AOB=6cm2 ∴梯形ＡＢＣＤ的面积为25cm2
做一做：
如图，D，E分别是AC，AB边上的点，∠ADE=∠B， AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，若AD=3，AB=5。 求：（1） AG ;
A'B' B'C' 72
C B'
又 AB=15厘米 B'C'=24厘米
C'
所以 A'B'=18厘米 BC=20厘米
人教版九级数学下《相似三角形的性质》教学课件
相似三角形的面积比
相似三角形的面积比可以帮助我们计算不规则 图形的面积。
相似三角形的高线、中线和中位线的比
相似三角形的比例关系可以帮助我们求解三角 形的高线、中线和中位线之间的比例。
相似三角形的倒数关系
通过相似三角形的倒数关系，我们可以求解未 知边长的比例。
习题练习
1
基础练习
通过基础练习巩固对相似三角形的理解。
应用练习
2
通过应用练习，将相似三角形的知识应
用到实际问题中。
3
思考题
在思考题中深入思考相似三角形的性质 和应用。
总结与展望
在这份课件中，我们学习了相似三角形的定义、性质、判定方法以及应用。 希望通过这些知识的学习，你对相似三角形有了更深入的理解。继续努力学 习数学，探索更多数学的奥秘吧！
相似三角形的性质
欢迎来到《相似三角形的性质》教学课件！在这个课件中，我们将一起探索 相似三角形的定义、性质、判定方法以及应用。让我们开始吧！
相似三角形的定义
1 相似三角形
相似三角形是指具有相同形状但可能具有不同大小的三角形。
相似三角形的性质
1 对应角相等
相似三角形的对应角相等，即相等角的一对 顶点将三角形的形状保持不变。
2 对应边成比例
相似三角形的对应边成比例，即对应边的长 度之比保持不变。相似三源自形的判定方法1 AA判定法
如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。
2 AAA判定法
如果两个三角形的三个对应角相等，则这两个三角形相似。
相似三角形的应用
比例定理
通过相似三角形的比例定理，我们可以计算未 知长度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三垂直模型相似三角形（教学设计）
广州市东晓中学王智君
一、学习目标
1、掌握相似三角形的性质和判定，并能熟练运用三垂直模型解决问题。
2、经历运用相似三角形的基础知识解决的过程，体验图形的运动以及方程等数学思想。
二、授课
（一）【导入新课】
相似三角形在初中的应用非常广泛，用于线段、面积的计算；用于线段关系式、线段的数量关系、位置关系的证明。
前段时间我们学习了相似三角形的A字形、8字形等模型的应用，今天我们继续探索相似三角形的性质和应用。
（二）【探究活动】
【探究1】构造格点三角形
请在图1中画一个直角三角形ABC，满足条件：
（1）以线段AC为斜边；
（2）顶点B落在线段MT的格点上。
师问：怎样画出这样一个直角三角形？
生答：用直角三角板，把直角顶点B放在线段MT的任一格点上，以点B为顶点旋转三角板，若使得两直角边与点A、点C同时重合，则三角形ABC为直角三角形了。
师问：你能确定你这个三角形一定是直角三角形吗？
生答：利用格点图，易知AC=5，AB=5, BC=25,在利用勾股定理的逆定理，可以知道
AB²+BC²=AC², 所以ΔABC必定为直角三角形。
师说：由于题目要求∠ABC恒为90°，由此我们还可以考虑直径所对的圆周角也恒为90°。
那么我们以线段AC为直径作圆，圆弧与线段MT交点，便为点B.
师问：今天我们要研究不是ΔABC，而是ΔAMB与ΔBTC。
请问ΔAMB与ΔBTC相似吗?
生答:相似。
因为夹角为直角，两边对应成比例。
【探究2】构造三垂直模型
师问：我把图2中格线擦掉后，条件不变，依然在正方形中，且∠ABC=90°，请问图3中ΔAMB 与ΔBTC这两个三角形还相似吗？依据呢？
生答：相似，由于∠1+∠2=90°且∠1+∠2=90°，所以∠1=∠3，又因为∠M =∠T = 90°,因此这两个三角形相似。
师说：很好。
我们利用同角的余角相等，易于得出这两个三角形有两组角相等，所以相似。
这种有三个直角，其顶点都在同一直线上的，构成这种相似三角形，我们俗称三垂直模型。
结论1：在三垂直模型中，至少有一对相似三角形。
F E D C B A 例题1：如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，
∠BEF=90°，AB=6，AE=9，DE=2，求线段EF 的长度。
设计意图：利用三垂直模型，易于得到左右两个三角形相似，
根据对应边成比例，求出相关线段。
再利用勾股定理得出EF
的长度。
【探究3】构造折叠
例题2：如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC
边上F 点处，已知CE=6cm,AB=16cm,求BF 的长。
师问：折叠前后两个三角形有什么性质？
生答：两个三角形全等，其对应边、对应角分别相等。
师问：这道题的背景除了折叠，还有矩形四个角都为直角，对边相等外，图中还隐藏信息？ 生答：三垂直模型，相似。
师说：对，图中有很多直角，构成的直角三角形三边满足勾股定理。
（三）下面我们研究一下三垂直模型中，出现三个三角形两两相似的情况。
【探究4】探究相似
例3： 如图2，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=2，且A ，B ，
C ，
D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长
为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2
中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个点E ，连接ED 、EC,使
得Rt ∆CED 、Rt ∆DAE 、Rt ∆EBC ，三个三角形两两相似。
师说：在线段AB 上找一点E,连结DE,发现DC//AB,则有一组内错角相等，又因为题目条件有2个三角形相似，已知∠DAB 已是直角，则∠DEC 必为直角。
生说：我知道了，实际上就是以线段DC 为直径作圆就行了。
师说：在这道题中，我们发现了一个性质。
在三垂直模型中，当DC//AB 时，得到的三个三角形两两相似。
结论2: 在三垂直模型中，当DC//AB 时，得到的三个三角形两两相似。
【探究5】
如图4：将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处。
若Rt ∆
EMC 、Rt ∆AME 、Rt ∆BEC ，三个三角形两两相似，则请试探究AB 和BC 的数
量关系。
师问：本题出题的背景也是矩形，并且折叠，但是多了一个条件是三个
三角形两两相似。
现要求AB 、BC 两线段的数量关系。
题目没有出现边角
的具体数据，你们能在题目中找到隐藏的边角条件吗？
师说：其实，在三垂直模型中，还有一种特殊情况，就是当点E 为AB 的中点时，这三个三角形两两相似。
请同学们回家想想为什么，想办法证明出来。
结论3：在三垂直模型中，当点E 为AB 中点时，三个三角形两两相似。
1
4
3
2
三、课堂检测：
如图，已知矩形ABCD中， AB=3，AD=2，点P是AB上的一个
动点，与点A、B 不重合，过点P作PE垂直DP，交边BC于
点E，设PA=x，BE=y。
求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的
最大值。
四、小结收获，交流归纳
（1）由“三垂直模型”基本图形搭建桥梁可以得到相似三角形。
（2）学习几何最重要是学会归纳一些简单的基本图形，学会从复杂的图形里提炼基本图形，并将其作为解决问题的手段和方法。
（3）几何的学习中，要注重图形的运动和变化，总结和发现图形之间的内在联系，探求其规律，帮我们解决繁杂问题。
五、板书设计：
课题：“三垂直模型”相似三角形专题
板书：结论1：在三垂直模型中，至少有一对相似三角形。
结论2: 在三垂直模型中，当AC//MT时，得到的三个
三角形两两相似。
结论3：在三垂直模型中，当点B为MT中点时，得到
的三个三角形两两相似。