椭圆及其标准方程(带gif动画)

解：以 BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立 注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下 方程的曲线上的点是否都是符合题意。 直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭
. 圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为 ：
x2 y 2 + = 1 ( a > b > 0 ) a2 b2
∵ 2a=10, 2c=8
x2 y2 （2 5）椭圆 1的焦距等于2, 则m的值为 m 4
5或3
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
x2 y2 2 1 2 b a
a b 0
例3：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点
距离之和是10的点的轨迹方程。 解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用 F1、
数学实验
• (1)取一条细绳， • (2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2 • (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的 图形 思 1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动 考 的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系？
椭圆定义的符号表述： M F2 F1
MF1 MF2 2a
(2a>2c)
♦ 回忆如何求圆的方程的？ 以圆心O为原点，建立直角坐标系 设圆上任意一点P(x，y) y

P ( x, y )
x
r
O

OP r 2 2 x y r
两边平方，得
x y r
2 2
2
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O
y M M
O F2
y F2 xx x
O
x F1
x
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.椭圆的标准方程的推导
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点，椭圆的焦距2c(c>0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 F2 F1 0 标分别是(c,0)、(c,0) .
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则： 焦点在分母大的那个轴上。
x2 y2 1 ，则 (1)已知椭圆的方程为： 25 16 5 ，b=_______ 4 a=_____ ，c=_______ ，焦点坐标 3 6 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 为：____________ 若CD为过 左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________ ２0
F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平 分线为y 轴建立直角坐标系。 ∵2a=10 2c=8 ∴a=5
c=4
y
b2=a2c2=9, b=3
因此这个椭圆的标准方程是：
A B o C x
x2 y2 x2 y2 2 1 即 1 2 25 9 5 3
定义法求轨迹方程。
习题:已知△ABC的一边BC固定，长为8，周长为 18，求顶点A的轨迹方程。
2 2
y
F1
M F2
o
x
y
F2
M
y 2 x2 焦点在y轴： 2 2 1(a b 0) a b
o
F1
x
记忆方法： a 在那个字母下面，焦点就在哪 个坐标轴（哪个字母下面的数大，焦点就在 哪个轴上）
两类标准方程的对照表
定 义 MF1+MF2=2a (2a>2c>0)
y
图 形
F 1
y
M F 2
请你归纳出椭圆的定义?
(1)由于绳长固定，所以点M到两 个定点的距离和是个定值 （2）点M到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离
F 1
M
F 2
根据上面的内容你更给 出椭圆的定义吗？
（一）椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
• 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 • 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 • 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点， 8 并且CF1=2,则CF2=___.
例、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
（1 4）已知a 6, c 1的椭圆的标准方程为
x y 1 36 35
2 2
x y 1 35 36
2
2
小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c) 椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有 两种情形,必须分类求出
第 九 章 圆 锥 曲 线
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
星系中的椭圆
——仙女座星系
——“传说中的”飞碟
♦ 太阳系行星的运动
土 星 金 星 太 阳 地 球 月 亮
p3
木 星
数学实验
• (1)取一条细绳， • (2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2 • (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的 图形
M
o
F2 x
o
F 1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间的关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 2 不同点：焦点在x轴的椭圆 x 项分母较大. 2 y 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.
x y + =1 表示焦点在x轴 3.已知方程 4 m
上的椭圆，则m的取值范围是
2 2
2
2
(0,4)
.
x y 变式：已知方程 + =1 m - 1 3- m
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范 围是 (1,2) .
x2 y2 4、 已知椭圆的方程为： 1，请填空： 25 16 6 (-3,0)、(3,0) (1) a=__ ，焦距等于__. 5 ，b=__ 4 ，c=__ 3 ，焦点坐标为___________
y
A B o
2
∴ a=5, c=4
2
C x
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为:
x y （ 1 y 25 9
0)
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a= 6 ,b=1,焦点在x轴上; (2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5. (3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点； (4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
练习一：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？
x2 y2 (1) 1 (4)9 x 2 25y 2 225 0 16 16 x2 y2 2 2 ( 2) 1 ( 5 ) 3 x 2 y 1 25 16 x2 y2 (3) 2 2 1 m m 1
例题
例1、填空：
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2
练习二：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指 明a2、b2，写出焦点坐标
x y + = 1 25 16
x y + =1 144 169
2 2
2
2
答：在 X 轴（-3，0）和（3，0）
答：在 y 轴（0，-5）和（0，5）
x y + 2 =1 2 m m +1
2
2
答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。
练习三：
2 2
x y 1.方程 1表示焦点在x轴上的椭圆， a 3 则a的范围为( a>3 )。
x 2 y2 2.方程 1表示焦点在y轴上的椭圆 b 9 则b的范围为( 0<b<9 )。
b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
两边除以 a 2b 2 得
a 2 c 2 0, 设 a 2 c 2 b 2 (b 0),
x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
椭圆的标准方程
焦点在x轴：
x y 2 1a b 0 2 a b
a 2 cx a ( x c ) 2 y 2 两边再平方，得
a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
整理得 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ) 由椭圆定义可知 2a 2c, 即a c, 所以
答案：(1)
(3)
x2 62
x 16
y 1
2
(2)
y2 25

x2 16
1

y2 12
1
x 2 y2 (4) + =1 4 9
小结：求椭圆标准方程的步骤： ①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定量：求a, b的值.
x
MF 由椭圆的定义得，限制条件： 1 MF 2 2a
代入坐标 MF1 ( x c)2 y 2 , MF2 ( x c)2 y 2
得方程 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
（问题：下面怎样化简？）
移项，再平方 ( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2