高等代数--第八章 多项式
高等代数多项式 一元多项式 整除的概念
又 f ( x), g( x) 均为实系数多项式 ， 从而必有 g( x) h( x) 0. f ( x) g( x) h( x) 0. (2) 在 C上不成立．如取 f ( x) 0, g( x) ix, h( x) x
二、多项式环
定义 所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
使得 f1 x q1 x g x r1 x
其中 r1 x < g( x) 或者 r1( x) 0. 于是
f x b1axnm q1 x g x r1 x.
即有 q( x) b1axnm q1 x , r x r1 x 使
f ( x) q( x)g( x) r( x),
成立． 由归纳法原理，对 f ( x), g( x) 0, q( x),r( x)
的存在性得证．
再证唯一性．
若同时有 f x q x g x r x,
其中 r x g x或r x＝0.
③ 若 a0 a1 an 0 ，即 f ( x) 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数．
区别：
零多项式 f ( x) 0 零次多项式 f ( x) a, a 0 , ( f ( x))=0.
2．多项式的相等
若多项式 f ( x) 与 g( x) 的同次项系数全相等，则 称 f ( x)与 g( x)相等，记作 f ( x) g( x).
n
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 ai x i ,
i0 m
g( x) bm xm bm1 xm1 b1x b0 bj x j ,
高等代数第八章 7第七节 矩阵的有理标准形
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定义8 对数域 上的一个多项式 对数域P上的一个 上的一个多项式 定义 d(λ)=λn+a1λn-1+…+an 称矩阵 0 0 L 0 − an 1 0 L 0 − a n −1 (1) A = 0 1 L 0 − an− 2 M M M M 0 0 L 1 − a1 多项式d(λ)的伴侣阵 为多项式 的伴侣阵. 容易证明， 的不变因子(即 - 的不变因子)是 容易证明，A的不变因子 即λE-A的不变因子 是 1 , 1 ,L , 1 , d ( λ ) (见习题 见习题3
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引理 (2)中矩阵的不变因子为 中矩阵的不变因子为 中矩阵的不变因子 1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) ， 其中 1 的个数等于 d1(λ), d2(λ), …, ds(λ) 的次数之和 n减去 减去s. 减去 证明 因为
λE1 − A1 λE − A =
第七节*
矩阵的有理标准形
前一节中证明了复数域上任一矩阵 都可 都可相似 前一节中证明了复数域上任一矩阵A都可相似 复数域 一个若当形矩阵 这一节将对任意数域P来 若当形矩阵. 于一个若当形矩阵 这一节将对任意数域 来讨论 类似的问题. 我们证明P上任一矩阵必相似于 必相似于一个 类似的问题 我们证明 上任一矩阵必相似于一个 有理标准形矩阵. 有理标准形矩阵.
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矩阵A的初等因子为 例 设3×3矩阵 的初等因子为(λ-1)2, (λ-1) ，则它 × 矩阵 不变因子是 它的有理标准形 有理标准形为 的不变因子是1, (λ-1), (λ-1)2 ，它的有理标准形为 A1
1 0 0 0 0 − 1 0 1 2
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
第八章 二次型
f = ax2 + 2bxy + cy2
（1）
为了便于研究这个二次曲线的几何性质（例如判断是什么曲线）, 我们可以对它进行适 当的坐标变换
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x′ cosθ x′ sin θ
− +
y′ sin θ y′ cos θ
,
（2）
将 f 化成标准方程.
(1)式的右端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看, 所谓化标准方程就是用变量的 线性替换(2)化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项.
一、配方法
配方法就是利用平方公式
(x1 + x2 +L + xn )2 = x12 + x22 +L + xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 +L + 2x1xn + 2x2 x3 +L + +2x2 xn +L + 2xn−1xn
对已知二次型进行配方. 配方法主要有以下两种情形:
(1) 如果二次型中, 某个变量平方项的系数不为零, 如有 a11 ≠ 0 , 先将含 x1 的所有因
子都配成平方项, 然后再对其它含平方项的变量配方, 直到全配成平方和的形式.
(2) 如果二次型中没有平方项, 而有某个 aij ≠ 0(i ≠ j) , 则可作线性替换
⎧xi = yi + y j
⎪ ⎨
x
j
பைடு நூலகம்
=
yi
−
yj
⎪ ⎩
xk
=
yk ,
k ≠ i, j
化成含有平方项的二次型, 然后再配方.
例 1 将二次型
高等代数第八章 7第七节 矩阵的有理标准形
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引理 (2)中矩阵的不变因子为 1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) ，
其中 1 的个数等于 d1(λ), d2(λ), …, ds(λ) 的次数之和 n减去s.
证明 因为
E1 A1
E
A
E2 A2
Es As
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由于每个λEi-Ai的不变因子为1,1, …,1, di(λ) ，故可 用初等变换把它变成
而1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)是它的不变因子.
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定理14 数域P上n×n方阵A在P上相似于唯 一的一个有理标准形矩阵，称为A的有理标准形.
证明 设A的(λE-A的)不变因子为 1,1, …,1, d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) ，其中d1(λ),d2(λ),…,ds(λ) 的次数 ≥1，且1的个数＝d1(λ),d2(λ),…,ds(λ)的次数之和减去 s，设di(λ)的伴侣阵是Bi ，则作
1
1
di ( )
进而用初等变换将λE-A变成
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1
1
d1( )
1
1
d2( )
(3)
1
1
ds ( )
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在λ－矩阵(3)上再进行一些行或列互换，则可变成
1
1
d1( )
d 2( )
d
s
(
)
由于 d1(λ) | d2(λ) |… |ds(λ) ，故它是λE-A的标准形，
第七节* 矩阵的有理标准形
前一节中证明了复数域上A一个若当形矩阵. 这 一节将对P来讨论类似的问题. 我们证明P上必相似 于一个有理标准形矩阵.
高等代数_若当标准形
第八章 若当标准形一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点矩阵的相似问题一直是高等代数中的重点研究对象，除了前面所谈到的化矩阵为对角形的方法外我们还可以从其他渠道探讨这个问题.比如，周知~存在可逆矩阵使得.但是A ⇔B P 1B P AP -=寻找可逆矩阵往往是件比较困难的工作，因此我们可论证等价性成立：（或论P E A E B λλ-≅-证它们有相同的标准形），那么就相当于~ ；此外，对不能对角化的矩阵我们也可以研究将其A B 化成上（下）三角形或准对角形──若当（Jordan ）标准形.作为理论准备，矩阵的标准形理论是本章的重点之一. 通过矩阵的初等变换求其标准-λ-λ形是最基本的要求；了解矩阵的不变因子、行列式因子以及初等因子这三个重要概念并掌握它-λ们的性质、相互之间的关系和求法等技术方面的工作，是本章的关键.讨论矩阵的相似标准形是本章的主要目的. 本章的难点有如下几个方面：掌握矩阵的不变因子、行列式因子与初等因子这三个重要概念以及它们的性质、关系-λ和求法；●理解并掌握两个数字矩阵与相似的充分必要条件，以及数字矩阵与对角矩阵相似A B A 的充分必要条件；●充分发挥最小多项式的性质在讨论矩阵的相似标准形中的作用；●掌握矩阵的Jordan 标准形的求法、性质及其应用.三、本章的基本知识要点 （一）矩阵的概念和性质λ-1.设是一个数域，是一个文字，如果矩阵的每个元素都是的多项式，即 F λn m ⨯()A λλ=，那么，就是一个关于的多项式矩阵，简称为矩阵.如果 ，()A λ(())ij m n a λ⨯()A λλ-λn m =则称为阶矩阵.()A λn -λ2. 如果在矩阵中，有一个阶子式不为零，一切阶子式（如果存在）全-λ()A λ(1)r r ≥1r +为零，则称的秩为，记为.()A λr (())r A r λ=注意：① ；(())0r A λ=⇔()0A λ=② 若是一个数字阶矩阵，则必有.A n ()r E A n λ-=3. 设是阶矩阵，若存在阶矩阵使得()A λn -λn -λ()B λ ()()()()A B B A E λλλλ==则称是可逆的，并称是的逆矩阵，记为.()A λ()B λ()A λ1()()B A λλ-=4．注意：（1）一个阶矩阵是可逆的充要条件为行列式：.n -λ()A λ()0A c λ=≠（2）若是可逆时，则有，其中是伴随矩阵.()A λ)(|)(|1)(*1λλλA A A =-()A λ*()A λ（3）在数字矩阵中，阶矩阵是可逆的充分必要条件是行列式（即是满秩矩阵），但n A ||0A ≠A 对于矩阵来说，当矩阵的行列式时，矩阵未必是可逆的，即满秩的矩阵未-λ|()|0A λ≠()A λ-λ必是可逆的. （二）初等矩阵λ-1、由阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换得到的阶矩阵称为初等矩阵.其n E -λn -λ-λ有三种不同的类型，分别是、与，而且都是可逆矩阵，且逆矩阵仍是(,)P i j (())P i k (,(()))P i j ϕλ同类的初等矩阵.-λ2、对的矩阵进行一次初等行变换，相当于在的左边乘上相应的阶初等m n ⨯()A λ()A λm 矩阵；而对进行一次初等列变换，就相当于在的右边乘上相应的阶初等矩阵.-λ()A λ()A λn -λ3．矩阵可逆的充分必要条件是可表成一系列初等矩阵的乘积. -λ()A λ()A λ-λ4．注意：(1) 由于在矩阵的第二类型的初等变换中，不允许用一个非常数的多项式去乘或除矩-λ()ϕλ阵的某一行（列），这导致了矩阵的初等变换与数字矩阵的初等变换在性质上有些区别，这请读λ-者充分注意.(2) 等价的矩阵具有相同的秩、行列式因子、不变因子和初等因子.-λ（三）矩阵的标准形λ-1．矩阵不变因子λ-设的矩阵的秩为，那么可经过一系列的初等变换化成对角矩阵m n ⨯-λ()A λr ()A λ, ()11()()(),,(),0,,000r r d d diag d d λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()*即存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使m ()P λn ()Q λ，()()()P A Q λλλ=()1(),,(),0,,0r diag d d λλ= 其中是首一多项式，且()i d λ(1,2,,)i r = .1()(),(1,2,,1)j j d d j r λλ+=- 并称※式为矩阵的标准形.其中称为的不变因子.-λ()A λ12(),(),,()r d d d λλλ ()A λ注意：若是一个阶数字矩阵，则的特征多项式必有A n A （1）；12()()()()A n f E A d d d λλλλλ=-= （2）所有不变因子的次数之和.1(())n i i d n λ=∂==∑2、矩阵的行列式因子λ-（1）设的矩阵的秩为，那么对于正整数的全部阶子式m n ⨯-λ()A λr ,1,k k r ≤≤()A λk 的首项系数为1的最大公因式，称为的阶行列式因子，记为.()A λk ()k D λ（2）不变因子与行列式因子之间的关系是：12(),(),,()r d d d λλλ 12(),(),,()r D D D λλλ ，，……， （I ）11()()D d λλ=212()()()D d d λλλ=12()()()()r r D d d d λλλλ= （3）两个矩阵等价的充分必要条件是它们具有相同的不变因子或相同的各阶行列式因子.-λ（4）阶可逆矩阵的各阶行列式因子是，进一步，n -λ()A λ12()()()1n D D D λλλ====的不变因子是()A λ，12()()()1n d d d λλλ==== 从而知道矩阵的标准形是单位矩阵.即可逆的矩阵的标准形是单位矩阵，反过来，如果()A λE -λ矩阵与单位矩阵等价，那么一定是一个可逆矩阵.-λ()A λ()A λ3. 矩阵的初等因子与阶数字矩阵的初等因子λ-n （1）把矩阵的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积，-λ()A λ所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算），称为的初等因子.()A λ特别地，如果为阶数字矩阵，的特征矩阵的初等因子习惯上称为的初等因子.A n A E A λ-A （2）设为阶数字矩阵，若特征矩阵等价于下列的对角形矩阵（不一定是标准形）A n E A λ-，1()()()n h B h λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 其中都是首一多项式. 那么将分解成互不相同的一次因式的方幂（相同的必须按出现的()i h λ()i h λ次数计算）就是的全部初等因子.A 4. 不变因子、行列式因子与初等因子之间的关系矩阵的不变因子、行列式因子与初等因子之间存在有密切关系，它们之间可以互相-λ()A λ导出.（1）如果已知不变因子，直接使用定义可得到初等因子，利用上面的12(),(),,()r d d d λλλ 关系式（I ）可导出行列式因子.12(),(),,()r D D D λλλ （2）如果已知行列式因子，同样可以利用关系式（I ）导出不变因子12(),(),,()r D D D λλλ ，从而得出初等因子.12(),(),,()r d d d λλλ （3）如果已知矩阵的秩及其初等因子，这时可以将全部初等因子按不可约因子的方幂()A λr 降幂排列，同一个不可约因子的方幂排成一行.如果不可约因子的方幂的个数不足个，则在后面r 用1补足，这时全体不可约因子的方幂排成下列的形式：11121212221211122212(),(),,(),(),(),,(),0(1,2,,)(),(),,(),r r s s sr t t t t t t i i ir t t t s s s P P P P P P t t t i s P P P λλλλλλλλλ≥≥≥≥= 那么，矩阵的不变因子是()A λ，12112()()()()sr r r t t t s d P P P λλλλ= ，11121212()()()()s r r r tt t s d P P P λλλλ---= ……………… 1112112()()()()s t t t r s d P P P λλλλ= 依此就可以得到矩阵的行列式因子.12(),(),,()r D D D λλλ 下图列出了矩阵及其标准形，不变因子，行列式因子以及秩与初等因子之间的关系.在计算过程中，读者可以根据具体情况采用适当的步骤进行.（四）矩阵的等价、数字方阵相似和对角化的条件λ-1．设与都是的矩阵，那么有下列等价条件：()A λ()B λm n ⨯-λ（1）与等价与有相同的标准形； ()A λ()B λ⇔()A λ()B λ（2）与等价与有相同的不变因子；()A λ()B λ⇔()A λ()B λ（3）与等价与有相同的行列式因子；()A λ()B λ⇔()A λ()B λ（4）与等价与有相同的秩和初等因子；()A λ()B λ⇔()A λ()B λ（5）与等价存在一系列初等矩阵和使得()A λ()B λ⇔-λ12,,,s P P P 12,,,t Q Q Q ；1212()()s t PP P A Q Q Q B λλ= （6）与等价存在可逆矩阵和使得.()A λ()B λ⇔-λ()P λ()Q λ()()()()P A Q B λλλλ=注意：两个阶数一样的矩阵仅是初等因子相同时，不能保证它们等价.例如矩阵-λ如的初等因子相同，但它们不等价.10()01A λλλ-=+⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)(1)0()00B λλλ-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭2．设都是阶数字矩阵，那么有下列关于矩阵相似的等价条件：,A B n （1）~与等价；A ⇔B E A λ-E B λ-（2）~与有相同的标准形；A ⇔B E A λ-E B λ-（3）~与有相同的不变因子；A ⇔B E A λ-E B λ-（4）~与有相同的行列式因子；A ⇔B E A λ-E B λ-（5）~与有相同的初等因子（或者与有相同的初等因子）；A ⇔B E A λ-E B λ-A B （6）~与有相同的若当标准形.A ⇔B A B 3．设是阶数字复矩阵，那么有下列等价条件：A n （1）与对角矩阵相似的充分必要条件是的不变因子没有重根；A E A λ-（2）与对角矩阵相似的充分必要条件是的初等因子都是一次的；A A （3）与对角矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式没有重根；A A （4）与对角矩阵相似的充分必要条件是每个特征根的代数重数等于几何重数.A A （五）数字矩阵的若当标准形与有理标准形 从前面所谈论的化矩阵为对角形矩阵可知，并不是所有的阶数字矩阵都能相似对角化，虽然n 如此，但对于实数域上的阶对称矩阵，即实对称矩阵是一定与一个实对角矩阵相似的.于R n A A 是，我们自然会提出这样一个有待解决的重要问题：当一个矩阵不与对角矩阵相似时，能否退而求其次，使相似于一个比对角矩阵稍为复杂，但仍能给计算和研究带来便利的某种标准形呢？这就A 是我们下面要介绍的矩阵的若当标准形与有理标准形.1．矩阵的若当标准形（1）设是一个复数，形式为0λ0000000001000(,)00100001t tJ t λλλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若当（Jordan ）块. 而由若干个若当块组成的准对角矩阵（分块对角矩阵）(,)i i J t λ1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 称为若当形矩阵，其中参数可以是相等，也可以是不相等.12,,,s λλλ （2）由于若当块的特征矩阵的各阶行列式因子是0(,)J t λ0(,)E J t λλ-，1210()()()1,()()t t t D D D D λλλλλλ-=====- 因此，它的不变因子是.1210()()()1,()()t t t d d d d λλλλλλ-=====- 由此即得，的初等因子是，也就是若当块的初等因子.由于若当块0(,)E J t λλ-0()t λλ-0(,)J t λ完全被它的级数与主对角线上的元素所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子0(,)J t λt 0λ中.因此，若当块是由它的初等因子唯一决定的.0()t λλ-（3）类似地，我们可以求得若当形矩阵1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的初等因子是.1212(),(),,()s t t t s λλλλλλ--- 也就是说，每个若当形矩阵的全部初等因子是由它的全部若当块的初等因子构成的.而每个若当块是由其初等因子来决定的，由此可见，若当形矩阵除去其中的若当块排列的次序外，是被它的初等因子唯一决定的.（4）若当形矩阵的主要结论是：复数域上任一个阶矩阵都相似于一个若当形矩阵C n A ，1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 这个若当形矩阵称为的若当标准形.A （5）设是一个阶矩阵，是的若当标准形，那么A n J A ●存在可逆矩阵，使得；T 1T AT J -=●与有相同的秩与行列式；A J ●与有相同的特征多项式与最小多项式；A J ●特征矩阵与有相同的行列式因子；E A λ-E J λ-●与（或者与）有相同的不变因子与初等因子.E A λ-E J λ-A J （6）对于复数域上的维线性空间的任一个线性变换，在中必存在有一组基C n V σV ，使得在此基下的矩阵是一个若当形的.12,,,n ααα σ（7）每个阶的复数矩阵都与一个下（或上）三角形矩阵相似，其主对角线上的元素刚好n A 是矩阵的全部特征值. 即存在可逆矩阵，使A T （下三角形矩阵），110*n T AT λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 其中是矩阵的全部特征值.如果是一个多项式，则的全部特征值是1,,n λλ A ()g λ()g A，即1(),,()n g g λλ .11()0()*()n g T g A T g λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2．矩阵的有理标准形在上面我们讨论了复数域上任何一个阶矩阵可相似于一个若当形矩阵，下面我们将在任意C n 一个数域上来讨论类似的问题，而且证明了上任意一个阶矩阵必相似于一个有理标准形矩F F n 阵.（1）对于数域上的一个多项式F ，12121(),1n n n n n f a a a a n λλλλλ---=+++++≥ 称矩阵122100001000010000100001n n n a a a A a a ---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 是多项式的伴侣阵.()f λ多项式的伴侣阵的不变因子（即是的不变因子）是()f λA E A λ-，.121()()()1n d d d λλλ-==== ()()n d f λλ=（2）设阶矩阵的不变因子是n A 121,,1,(),(),,()k k n d d d λλλ++ 其中的次数大于等于1，并且假设分别是的()k i d λ+12,,,n k N N N - 12(),(),,()k k n d d d λλλ++ 伴侣阵，这时我们称分块对角矩阵12n k N N F N -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是矩阵的有理标准形.A （3）数域上的任意一个阶矩阵必相似于它的有理标准形（因为它们具有相同的初等因F n A 子）.注意：若当标准形在复数域上是一定存在的，而有理标准形在任何数域上都是存在的.（六）最小多项式及其性质 1．零化多项式与最小多项式设是一个数域，是上的阶数字矩阵，如果数域上的多项式使得，F A F n F ()f x ()0f A =则称以为根或为的零化多项式.()f x A ()f x A 在以为根的多项式中，次数最低且首一的多项式称为的最小多项式，记为.A A ()A m λ2、哈密顿─凯莱定理设是一个数域，是上的阶数字矩阵，记的特征多项式为F A F n A12121()n n n A n n f E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ 那么 12121()0n n n A n n f A A a A a A a A a E ---=+++++= 即的特征多项式是的零化多项式.同时，还有A A *12231211211()()()()n n n n n n E A A a A a a A a a E λλλλλλ-------=++++++++++ 3、最小多项式的性质设是数域上的阶数字矩阵，为的最小多项式.A F n ()A m λA （1）最小多项式是唯一的；（2）设，则的充分必要条件是；特别地，矩阵的最小()[]g F λλ∈()0g A =()()A m g λλA 多项式是的特征多项式的一个因式.()A m λA ()A f E A λλ=-（3）若是一个阶数字矩阵，且的特征多项式为A n A 12()()()()A n f E A d d d λλλλλ=-= 那么；()()A n m d λλ=1()()A n f D λλ-=（4）的特征根都是根.A ()A m λ（5）设都是阶数字矩阵，如果相似，即~；,AB n ,A B A ⇔B ()()A B m m λλ=（6）设是准对角形，且分别是的最小多项式，那么1s A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ()i m λi A ；()A m λ12[(),(),,()]s m m m λλλ= （7）阶若当块t0000000001000(,)00100001t t J t λλλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 的最小多项式.0()()t J m λλλ=-（六）主要定理与结论定理1 假设都是阶数字矩阵，如果存在阶数字矩阵满足,A B n n 00,P Q 00()E A P E B Q λλ-=-则矩阵与相似.A B 作为矩阵多项式，矩阵也有下列的带余除法定理.-λ定理2 设是数域上的两个阶矩阵，其中(),()A B λλF n -λ1011(),(),0,1,,.m m m m i n B B B B B B M F i m λλλλ--=++++∈= 如果可逆，则存在矩阵及，满足0B -λ(),()L L Q R λλ(),()R R Q R λλ，，()()()()L L A B Q R λλλλ=+()()()()R R A Q B R λλλλ=+其中分别是零或者，且满足上述条件的(),()L R R R λλ(())(()),(())(())L R R B R B λλλλ∂<∂∂<∂及是唯一的.表示矩阵中所有元素的最高次数.(),()L L Q R λλ(),()R R Q R λλ(())A λ∂()A λ如果把定理2的矩阵分别改成数字矩阵的特征矩阵，那么定理2变成下列的()B λA E A λ-定理.定理3 对于任何不是零的阶数字矩阵，以及矩阵与，一定存在矩阵n A -λ()U λ()V λ-λ与以及数字矩阵与使得()Q λ()R λ0U 0V ，.0()()()U E A Q U λλλ=-+0()()()V R E A V λλλ=-+定理3的一个常用推论是下面的定理4 设，则存在唯一的矩阵使得()[],()n f F A M F λλ∈∈-λ()Q λ.()()()()()()()f E E A Q f A Q E A f A λλλλλ=-+=-+证明：存在性的验证. 假设多项式1011()m m m m f c c c c λλλλ--=++++ 那么，1011()m m m m f E c E c E c E c E λλλλ--=++++ 1011()m m m m f A c A c A c A c E--=++++ 取120121()m m m m Q D D D D λλλλ----=++++ 其中10110,0,1,, 1.kk i k k k i k k i D c A c A c A c A c k m ---===++++=-∑ 代入定理中，可以验证等式成立.唯一性的证明. 假设还存在有另一个矩阵使得-λ1()Q λ11()()()()()()()f E E A Q f A Q E A f A λλλλλ=-+=-+只要把两个等式相减，可以得到11(()())(()())Q Q A Q Q λλλλλ-=-再通过比较等式两边的次数，即可得到.■λ1()()Q Q λλ=定理5 阶数字矩阵的最大不变因子等于的所有初等因子的最小公倍式.n A ()n d λA 证明： 因为，将矩阵全部初等因子按不可约因子的方幂降幂排列，同一()r E A n λ-=A 个不可约因子的方幂排成一行，不足个的在后面用1补足. 排列的形式如下：n 11112221221*********(),(),,(),(),(),,(),0(1,2,,)(),(),,(),n n s s sn t t t t t t i i in t t t s s s P P P P P P t t t i s P P P λλλλλλλλλ≥≥≥≥=那么，不变因子 ，也就是等于所有初等因子的最小公倍式. ■1112112()()()()s tt t n s d P P P λλλλ= 定理6设阶矩阵的最小多项式为，证明：，其中是n A ()m λ()()n m d λλ=()n d λ的最后一个不变因子.E A λ-证明：设的全部初等因子是A 1111211121111112112(),(),,(),(),(),,(),r sr s s s sn n n rn n n s s s s s sr n n n n n n λλλλλλλλλλλλ⎧---≤≤≤⎪⎪⎨⎪---≤≤≤⎪⎩其中两两不同.这时 .12,,,s λλλ 121212()()()()sr r r sn n n n s d λλλλλλλ=--- 其次，由于相似于若当标准形A ，1112srs n n n J J J J ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1,1,2,,.1,2,,.1ij i i n s i J i s j r λλλ⎛⎫ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭ 由于对角分块矩阵的最小多项式等于各分块矩阵最小多项式的最小公倍式，而且相似矩阵有相同的最小多项式，所以1111111()(),,(),,(),,()sr r s s n nn n s s m λλλλλλλλλ⎡⎤=----⎣⎦.■111()()()sr r s n ns n d λλλλλ=--= 定理7设是准对角形，且分别是的最小多项式，证明：1s A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()i m λi A ，其中表示的最小公倍式.()A m λ1[(),,()]s m m λλ= 1[(),,()]s m m λλ 1(),,()s m m λλ 证明：因为 ，所以，，1()()0()A A A s m A m A m A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭1()()0A A s m A m A === 即是矩阵零化多项式，因此，故是()A m λ1,,s A A )(|)(,,)(|)(1λλλλA s A m m m m ()A m λ的一个公倍式.1(),,()s m m λλ 另一方面，任取的一个公倍式，则有，1(),,()s m m λλ )(λh 1()()0()s h A h A h A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭可见是矩阵的一个零化多项式，所以，. 再因为的首项系数为1，因)(λh A ()|()A m h λλ()A m λ此. ■()A m λ1[(),,()]s m m λλ= 定理8 相似矩阵具有相同的最小多项式.证明：设阶矩阵与相似，即存在可逆矩阵，使得.又设分n A B T 1B T AT -=12(),()m m λλ别是矩阵，的最小多项式，且设A B 12110()s s s m b b b λλλλ--=++++ 那么，我们有121100()s s s m B B b B b B b E--==++++ 1111102()().s s s T A b A b A b E T T m A T ----=++++= 所以，，是的零化多项式，而是的最小多项式，因此，2()0m A =2()m λA 1()m λA .12()|()m m λλ类似可以证明，.再从的首项系数为1，即可得到.■21()|()m m λλ12(),()m m λλ12()()m m λλ=四、基本例题解题点击1．矩阵的基本概念与计算λ-【例1】设有矩阵，-λ2222123(),()1253A B λλλλλλλλλλλ⎛⎫-⎛⎫== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭计算：（1）；（2）.()2()A B λλ-()()A B λλ⋅【提示及点评】矩阵的运算法则与数字矩阵的运算法则相同.-λ【例2】设，求.21()12A λλλλλ⎛⎫=⎪+++⎝⎭1()A λ-【提示及点评】可以按数字矩阵求逆的方法进行计算.【例3】设，求.00()1001A λλλλ=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()nA λ【解】因为00100000()1001010001001010A EB λλλλλλ==+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而，所以可以应用牛顿二项式定理来进行计算.EB BE B ==0111222()()n nnk n k k n n n n n n n k A E B C E B C E C B C B λλλλλλ---==+=⋅=++∑. ■1(1)21200nn nn n n n n n n λλλλλλ----⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭【知识扩展提示】题目可以扩充为对任意阶数的若当块,0000000001000(,)00100001t tJ t λλλλλ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭求.0(,)nJ t λ【例4】设有矩阵-λ2221211111()2211,()2131221023A B λλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+-+--+=-+++=---+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭试求矩阵使得(),()L L Q R λλ，()()()()L L A B Q R λλλλ=+其中或者.()0L R λ=(())(())L R B λλ∂<∂【提示及点评】此例子主要介绍矩阵的带余除法定理.-λ【解】首先把矩阵表示成矩阵多项式的形式：(),()A B λλ22012100120111()010121211002101012A A A A λλλλλ---=++-=++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭01101111()010*********B B B λλλ--=+--=+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后借助于多项式除以多项式的运算，我们有01B B λ+2012A A A λλ++100()L Q B A λλ-=210100A B B A λλ-+1101100()B A B B A --+-111002()A B B A A λ--+1111100101100()()A B B A B B A B B A λ----+-112101100()()L R A B B A B B A λ--=--所以，，1110001100211()()134002L Q B A B A B B A λλλλλ-----⎛⎫ ⎪=+-=-+ ⎪ ⎪+⎝⎭.■112101100250()()169205L R A B B A B B A λ--⎛⎫ ⎪=--= ⎪ ⎪-⎝⎭【知识扩展提示】题目如果是求矩阵使得，则在-λ(),()R R Q R λλ()()()()R R A Q B R λλλλ=+做多项式除法的时候，注意矩阵与相乘时的左右方向即可.01B B λ+()R Q λ2．求矩阵的标准形、行列式因子、不变因子与初等因子λ-（1）行列式因子的计算方法一：直接使用行列式因子的定义进行计算.【例5】设有矩阵-λ，2221211()2211122A λλλλλλλλλλλ⎛⎫-+-+- ⎪=-+++ ⎪ ⎪-+-⎝⎭试求其行列式因子.【解】由于矩阵的元素中含有非零常数1，所以一阶行列式因子.或者是由于下列()A λ1()1D λ=所有多项式{}2221,21,1,2,21,1,,1,22λλλλλλλλλλ-+-+--+++-+-的最大公因式是1，所以.1()1D λ=对于二阶行列式因子. 由于的2阶子式一共有9个，一一计算比较麻烦，我们只2()D λ()A λ要找出特别的几个出来，看它们是否互素即行. 由于2阶子式与22211λλλλ-++-2211211λλλλ-+-+++是互素的，即最大公因式是1，所以二阶行列式因子.2()1D λ=最后计算三阶行列式因子，由于矩阵的3阶子式只有1个，所以3()D λ()A λ. ■65432311()|()|(2338385)2D A a λλλλλλλλ==++--+-【注意】由于使用定义的方法求行列式因子的计算过程比较麻烦，因此一般很少用，除非是矩阵比较简单.()A λ方法二：先用初等变换化简矩阵，一般情况是化简成为标准形或者对角形，再对简化后的-λ矩阵求行列式因子.-λ【例6】设有矩阵-λ111()2131023B λλλλλ+--+=----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭试求其行列式因子.【解】由于(1)(3)1111023()2132131023111B λλλλλλλλλ↔+--+--=------+--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32100010002447λλλ-→→--+-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此，所求的行列式因子是，. ■12()()1D D λλ==3237()222D λλλλ=-+-方法三：对于特殊类型的矩阵（如对角形、上下三角形等等），可以先求出阶数大的行列-λ式因子，再利用的关系，求出阶数低的行列式因子.1()|()k k D D λλ-【例7】设有下列矩阵-λ①；②1221000100010()0000001n n n a a a A a a λλλλλλ--⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭31104101()0021001A λλλλλ--⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+- ⎪⎝⎭试求它们的行列式因子.【解】① 由于矩阵的行列式()A λ12121|()|n n n n nA a a a a λλλλλ---=+++++ 所以，,12121()n n n n n n D a a a a λλλλλ---=+++++ 又由于在中有一个阶的子式，故，于是，()A λ1n -110001(1)0000001n λλλ---=--1()1n D λ-=.231()()()1n n D D D λλλ--==== ② 显然，2243121()(1)(1)411D λλλλλλλ--+-==-++又其中的一个3阶子式，11010123021λλλ-+=++-由于三阶行列式因子并且还有，因此可见，于是3()|(23)D λλ+34()|()D D λλ3()1D λ=. ■21()()1D D λλ==（2）矩阵的标准形、不变因子与初等因子的计算-λ方法一：直接使用矩阵的初等变换，求矩阵的标准形，进而可以得到不变因子.-λ【例8】用初等变换求下列矩阵的标准形、不变因子与初等因子.-λ.222223222213()2322A λλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫- ⎪=--+-- ⎪ ⎪+++⎝⎭【提示及点评】在使用初等变换来求矩阵的标准形时，第一步应将矩阵左上角的元素变成-λ能够整除矩阵的所有元素，第二步才能消去矩阵的第一行与第一列的其余元素，重复这个过程即可把矩阵化其标准形. 关键的一步是在矩阵的所有元素中直接找出一个或者经过加减运算后找出-λ一个元素，使其能够整除矩阵的所有元素.【解】2222222322232(1)(2)(1)2222212112()23222322022A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+⋅-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪=--+--−−−−→--+-- ⎪ ⎪⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭1000(1)000(1)(1)λλλλλ⎛⎫⎪→→+ ⎪⎪+-⎝⎭于是，的不变因子，从而得出矩阵的初()A λ123()1,()(1),()(1)(1)d d d λλλλλλλλ==+=+-等因子是.■,,1,1, 1.λλλλλ++-方法二：对于一些形如上（下）三角形、对角形等特殊的矩阵，可以先求其行列式因子-λ（或者初等因子），再利用不变因子与行列式因子的关系，求出不变因子，进而得到矩阵的标准形.【例9】求下列矩阵的标准形与不变因子.-λ①；②21000210()00210002A λλλλλ+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭22220(1)00(1)000()000100(1)0A λλλλλλλλ⎛⎫+ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭【解】① 显然，行列式因子，而且矩阵有一个3阶子式44()|()|(2)D A λλλ==+)(λA ，所以有，故的不变因子是 1002101021λλ+=+321()()()1D D D λλλ===)(λA ，，即的标准形是. 123()()()1d d d λλλ===44()(2)d λλ=+)(λA 410000100001000(2)λ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭② 虽然矩阵不是对角形，但可用初等变换化成对角形：)(λA 220(1)00(1)000λλλλ⎛⎫⎛⎫+-由此可得矩阵的初等因子是，而矩阵的)(λA 222,,,(1),(1),1,1,1λλλλλλλλ+++--秩=4，据此可知不变因子是，2123()1,()(1),()(1)(1)d d d λλλλλλλλ==+=+-，故矩阵的标准形是224()(1)(1)d λλλλ=+- . ■22210000(1)0000(1)(1)0000(1)(1)λλλλλλλλ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+- ⎪+-⎝⎭（3）有关数字矩阵的初等因子的计算【例10】求下列数字矩阵的初等因子（以及不变因子，相应特征矩阵的行列式因子）...308316205A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭【提示及点评】对于计算数字矩阵的初等因子，其实其过程与求矩阵的若当标准形一样. 计算方法与求一般矩阵的初等因子是一样的.-λ【解】因为(2)(3)1308308316111205205E A λλλλλλλλ+⋅----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+-−−−−→-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭210002(1)000(1)/2λλ-⎛⎫⎪→→+ ⎪⎪-+⎝⎭因此，所求的初等因子是，不变因子是，2(1),1λλ++2123()1,()1,()(1)d d d λλλλλ==+=+行列式因子是. ■3123()1,()1,()(1)D D D λλλλλ==+=+3．有关矩阵等价的判断与证明λ-【例11】判断下列两个矩阵是否等价？，010001()000000A λαλαλλαλα+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭010100()000000B λαλαλλαλα+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭【提示及点评】利用矩阵等价的6个方法之一进行判断.-λ【解】易见，矩阵与的行列式因子都是)(λA )(λB 241234()()1,()(),()()D D D D λλλλαλλα===+=+因此，矩阵与是等价的. ■)(λA )(λB 【例12】对于任意的阶矩阵，证明与等价.n -λ)(λA )(λA )(/λA 【提示及点评】可以证明它们有相同的行列式因子或者有相同的标准形.【解】假设矩阵的标准形是)(λA ()1()(),,(),0,,0r D diag d d λλλ= 因此，存在可逆矩阵使得，两边取转置得到)(,)(λλQ P )()()()(λλλλD Q A P =，从而知道与有相同的标准形，所以与)()()()()(////λλλλλD D P A Q ==)(λA )(/λA )(λA 等价.■)(/λA 4．有关数字矩阵的特征矩阵（特征多项式、凯莱定理）的应用A E A λ-【例13】设有矩阵，求，其中是正整数.130240121A -=---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭nA n 【提示及点评】利用哈密顿-凯莱定理及带余除法进行计算.【解】设是矩阵的特征多项式，那么计算可得()||f E A λλ=-A 322()452(2)(1)f λλλλλλ=-+-=--再根据计算的要求，取多项式，并令（带余除法）nA ()ng λλ=2()()()n g f q a b cλλλλλλ==+++分别把代入，得到 .又因为是特征多项式2,1λλ==422,1na b c a b c ++=++=1λ=的2重根，所以，对上式两边求导后有()f λ///1()()()()()2n g f q f q a b n λλλλλλλ-=+++=再代入得到，.求解上面关于的联立方程组，我们可以得到1λ=2a b n +=,,a b c 121,223,22n n n a n b n c n+=--=-+=-因此，.■12323(12)02(12)23206(12)799271n n n n n n n A aA bA cE n n +⎛⎫--+ ⎪=++=--+-+⋅ ⎪ ⎪-+--⋅+⎝⎭【注意】关键是如何利用矩阵A 的特征值，找到关于的联立方程组.,,a b c 【例14】设有矩阵，及多项式，求130240121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭119653()461f λλλλλλλ=-+--+-.1()f A -【提示及点评】利用哈密顿-凯莱定理及带余除法进行计算.【解】因为特征多项式，再由带余除法得到32()||452g E A λλλλλ=-=-+-2()()()(759933)f g q λλλλλ=+-+-因此，由哈密顿—凯莱定理得到,22433780()75993325238703997779f A A A E -⎛⎫ ⎪=-+-=- ⎪ ⎪--⎝⎭再求其逆，得到. ■43141354512811355511469113513590()0f A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭【注意】此题型的计算量比较大，关键是掌握其计算的方法与技巧.【例15】如果是一个阶可逆矩阵，导出使用哈密顿—凯莱定理求逆矩阵的公式.A n 1-A 【解】假定矩阵的特征多项式是A 12121()||n n n n nf E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ 则由凯莱定理知道，121210n n n n n A a A a A a A a E ---+++++= 而，因此，(1)||0n na A =-≠1231211()n n n n nA A a A a A a E E a -----⋅++++= 即矩阵的逆矩阵A . ■11231211()n n n n nA A a A a A a E a ------=++++ 【知识扩展提示】题目可以改成：证明存在一个实系数多项式，使得.)(x g )(1A g A=-【例16】设是任意一个阶矩阵，且A n 12121()||n n n n nf E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ 证明：的伴随矩阵是的多项式，并且A *A A .*1123121(1)()n n n n n A A a A a A a E -----=-++++ 【证明】由上例知道，123121(1)()n n n n n A A a A a A a E a E----⋅-++++= 而，代入上述，可以得到||(1)||nn a A A =-=-1123121(1)()||n n n n n A A a A a A a E A E-----⋅-++++=所以，.■*1123121(1)()n n n n n A A a A a A a E -----=-++++ 5．相似矩阵的判断与证明【例16】判断下列矩阵3253212610,222123365A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭是否相似.【提示及点评】要判断两个矩阵是否相似，通常的方法是先求出它们的不变因子（或行列式因子、或初等因子），如果它们相同，则相似，否则不相似.当然，如果两个矩阵的秩，行列式，特征多项式或最小多项式有一个不相等，则它们一定不相似.要注意的是，即使它们的秩，行列式，特征多项式或最小多项式都相等，仍然不能确定它们是否相似.许多学生往往根据两个矩阵的特征多项式相同，就断定这两个矩阵相似，这是初学者常犯的一个错误，请读者给予充分的注意.【解】由于2325100261002012300(2)E A λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭ 232110022202036500(2)E B λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+-→→- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 从而，与有相同的不变因子，故与相似.■A B A B 【例17】假设多项式有个不同的根12121()n n n n n f a a a a λλλλλ---=+++++ n ，证明矩阵12,,,n λλλ 与 相似.1210000100001000001n n n a a A a a ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭12n B λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 【提示及点评】验证两个矩阵的不变因子相同即行.■【例18】下列形式的矩阵1100a b ⎛⎫⎪（其中称为上对角元素）称为海森伯格矩阵.试证明：两个上对角元素全非零的海森伯格矩阵相j b 似的充分必要条件是它们有相同的特征多项式.【提示及点评】计算特征矩阵的行列式因子，再依此进行证明.H E -λ【证明】由于特征矩阵112231000*n n a b a b E H a b a λλλλλ---⎛⎫⎪--⎪⎪-=- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭如果，由于有一个阶的子式0(1,2,,1)jb j n ≠=- H E -λ1-n 1221121100(1)0n n n b a b b b b b λ------=-≠- 所以的行列式因子.由此得，的行列式因子是H E -λ1()1n D λ-=H E -λ.121()()()1,()()||n n H D D D D f E H λλλλλλ-======- 于是，两个上对角元素全非零的海森伯格矩阵相似于与有相同的1H 2H ⇔1H E -λ2H E -λ行列式因子. ■⇔)()(21λλH H f f =6．求矩阵的Jordan 标准形和有理标准形【例19】求下列数字矩阵的若当（Jordan ）标准形和有理标准形.（1）； （2）.308316205A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭230002000042013A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭【提示及点评】可以先求出矩阵的初等因子，然后由初等因子写出矩阵的若当标准形及有理标准形.【解】（1）由于2308308100316112401020520500(1)E A λλλλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-+-→++→+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，初等因子是，因此矩阵的若当标准形与有理标准形分别是21,(1)λλ++A J F，.100010011J -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭100001012F -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（2）容易算得，矩阵的初等因子是，所以，若当标准形与有理标A 25,2,(2)λλλ---J 准形分别是F ，. ■52212J ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭520414F ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭【知识扩展提示】从上面的例子可以看出，矩阵的若当标准形 = 有理标准形的充分必要A J F 条件是：矩阵的初等因子都是一次的.A 【例20】设. 求可逆矩阵，使得成为若当标准形.308316205A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭T 1T AT -【提示及点评】这是求相似变换矩阵的问题. 可先求出若当标准形，然后通过求解线性方程组来求可逆矩阵.T 【解】由例19知道，矩阵的若当标准形是A .100010011J -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭设有可逆矩阵，使得，则.令，其中是列T 1T AT J -=AT TJ =()123,,T ααα=123,,ααα向量组，那么1122333,,,A A A ααααααα=-=-+=-所以，是的属于特征值的特征向量，且满足.13,ααA 1λ=-23,αα23()A E αα+=下面先求向量，因，所以是齐次线性方程组2α223()()0A E A E αα+=+=2α2()0A E X +=的非零解，并且满足()0A E X +≠又因为，所以每一个非零向量都是的非零解. 取2()0A E +=2()0A E X +=，则()/21,1,1α=/32()(12,9,6)0.A E αα=+=-≠再从齐次线性方程组()0A E X +=求出一个属于特征值的特征向量，此时取矩阵1λ=-/1(2,0,1)α=-()1232112,,019116T ααα-==-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则可逆，且T ■1100010011.T AT J --==--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7．矩阵最小多项式的计算及在证明中的应用求阶方阵的最小多项式，通常采用如下三种方法：n A ()A m λ方法一试探法：首先求出的特征多项式，然后写出中包含的所A ()||f E A λλ=-()f λA 有互异特征值的因式，最后验证这些因子是否是的零化多项式，其中次数最低的首一多项式即是A .()A m λ方法二 求出的若当标准形，再利用A 1212()()()()tr r r A t m λλλλλλλ=--- 其中是的若当标准形中以为对角元的若当块的最高阶数.i r A J i λ方法三 当的阶行列式因子易于求得，利用求最小多项式.A 1-n 1()n D λ-1()()()A n f m D λλλ-=【例21】求下列矩阵的最小多项式.(1)； (2)；(3)2300020000420013A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭2123021200210002A ⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎝⎭308316205A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭【解】(1)因为，其包含的所有互异的特征值的因式有：3()||(2)(5)f E A λλλλ=-=--A ，直接计算有23(2)(5),(2)(5),(2)(5)λλλλλλ------，(2)(5)0A E A E --≠2(2)(5)0A E A E --=从而的最小多项式.A 2()(2)(5)A m λλλ=--(2) 显然可以求得的三阶行列式因子，而特征多项式，所E A λ-3()1D λ=4()(2)f λλ=-以最小多项式.443()()()(2)()A f m d D λλλλλ===-(3) 由例19知道，矩阵的不变因子是，所以最小A 2123()1,()1,()(1)d d d λλλλλ==+=+多项式是.■2()(1)A m λλ=+【例22】求指定的数字矩阵的最小多项式A (1) 4阶矩阵的元素均是1；A (2) ；123331313;3;31333J J J ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3) 已知3阶矩阵的特征值分别是1，-1，2，B 325A B B =-(4) 的充分必要条件是什么？()()A A f m λλ=(5) 若的特征值都是单根，那么对吗？A ()()A A f m λλ=【解】(1)由于，而计算知道，所以最小多项式是3()||(4)A f E A λλλλ=-=-(4)0A E A -=.()(4)A m λλλ=-【知识扩展提示】题目可扩充为如果阶矩阵的所有元素都是且不为零，求其最小多项式.n A a (2) 可以把矩阵看作若当标准形矩阵，其最小多项式由各个若当块的最小多项式的最小公倍式组成. 因此，3个矩阵的最小多项式分别是；；1()[3,3,3]3J m λλλλλ=---=-222()[(3),3](3)J m λλλλ=--=-333()[(3)](3)J m λλλ=-=-(3) 由于，而且矩阵的特征值分别是1，-1，2，由此，可以求得矩阵的特325A B B =-B A 征值分别是-4，-6，-12.故的特征多项式，由此得到的最小多A ()(4)(6)(12)A f λλλλ=+++A 项式是.()(4)(6)(12)A m λλλλ=+++(4)对于阶数字矩阵，的充分必要条件是的行列式因子n A ()()A A f m λλ=E A λ-. 这可从计算公式得到.1()1n D λ-=1()()()A n f m D λλλ-=(5) 若的特征值都是单根，那么矩阵与一对角矩阵相似，从而知道最小多项式没A A ()A m λ有重根，再根据特征多项式与含有相同的的特征值，因此有. ■()A f λ()A m λA ()()A A f m λλ=【例23】求矩阵的全体零化多项式集.2300020000420013A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭【提示及点评】求一个矩阵的零化多项式集，其实是求矩阵的最小多项式，再转化成一种零化。
第八章知识点
第八章 λ唱矩阵 前面几章所讨论的矩阵通常是以数作为矩阵的元素，也有以多项式作矩阵的元素的，例如，特征矩阵（λE－A），其对角线上的元素就是λ－a ii．在许多数学问题及实际问题中，常常会遇到以某个变量λ的多项式做元素的矩阵，这就是本章要讨论的λ唱矩阵．具体讨论下面三个问题：１°与λ唱矩阵等价的充要条件是什么？２°λE－A这类特殊的λ唱矩阵有哪些基本性质？３°在相似的条件下，元素是常数的矩阵有哪些重要的标准形？第一讲 λ唱矩阵及其在初等变换下的标准形不变因子 一、内容要点 （一）λ唱矩阵设P是一个数域，λ是一个文字，作多项式环P［λ］；一个矩阵，如果它的元素是P［λ］的元素，就称为λ唱矩阵．用A（λ），B（λ）等表示λ唱矩阵，而A，B等表示数字矩阵．同样可定义λ唱矩阵的加减法与乘法，它们与数字矩阵有相同的运算规律．λ唱矩阵的行列式是一个λ的多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质，它也有子式等概念．定义１ 如果λ唱矩阵A（λ）中有一个r（≥１）级子式不为零，而所有r＋１级子式全为零，则称A（λ）的秩为r，记为R（A（λ））＝r，零矩阵的秩规定为零．定义２ 一个n×n的λ唱矩阵A（λ）称为可逆的，如果有一个n×n的λ唱矩阵B（λ），使得A（λ）B（λ）＝B（λ）A（λ）＝E，（１）这里E是n级单位矩阵．适合式（１）的矩阵（它是惟一的）称为A（λ）的逆矩阵，记为A－１（λ）．定理１ 一个n×n的λ唱矩阵A（λ）可逆的充要条件为行列式│A（λ）│≠０． （二）λ唱矩阵在初等变换下的标准形定义３ 下面的三种变换叫做λ唱矩阵的初等变换：１°矩阵的两行（列）互换位置（换法变换）；２°矩阵的某一行（列）乘以非零常数c（倍法变换）；３°矩阵的某一行（列）加另一行（列）的φ（λ）倍，φ（λ）是一个多项式（消法变换）．相应的初等矩阵依次记为P（i，j）， P（i（c））， P（i，j（φ））；逆为P（i，j）－１＝P（i，j）， P（i（c））－１＝P（i（c－１）），P（i，j（φ））－１＝P（i，j（－φ））；A（λ）左乘各初等矩阵P是行变换r（i，j）等，右乘则为列变换c（i，j）等．定义４ λ唱矩阵A（λ）称为与B（λ）等价，如果可以经过一系列初等变换将A（λ）化为B（λ）．记为A（λ）→B（λ），或A（λ）～B（λ）．A（λ）～B（λ）骋A（λ）＝P１P２…P l B（λ）Q１Q２…Q t，（２）其中P i（i＝１，２，…，l），Q j（j＝１，２，…，t）都是初等矩阵．定理２ 任意一个非零的s×n的λ唱矩阵A（λ）都等价于下列标准形式的矩阵d１（λ）d２（λ）筹d r（λ）０筹０，（３）其中r≥１，d i（λ）（i＝１，２，…，r）是首项系数为１的多项式，且d i（λ）│d i＋１（λ）， i＝１，２，…，r－１． （三）不变因子定义５ 设λ唱矩阵A（λ）的秩为r，对于正整数k，１≤k≤r，A（λ）中必有非零·６４３·高等代数辅导与习题解答的k 级子式．A （λ）中全部k 级子式的首项系数为１的最大公因式D k （λ）称为A （λ）的k 级行列式因子．定理３ 等价的λ唱矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子．在标准形（３）中，k 级子式的最大公因式是d １（λ）d ２（λ）…d k （λ）， １≤k ≤r ．定理４ λ唱矩阵的标准形是惟一的．定义６ 标准形的主对角线上非零元素d １（λ），d ２（λ），…，d r （λ）称为λ唱矩阵A （λ）的不变因子．定理５ 两个λ唱矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或有相同的不变因子．由于行列式因子有D k （λ）│D k ＋１（λ）， k ＝１，２，…，r －１，所以在计算行列式因子时，常先计算最高级的行列式因子，由此就可看出低级行列式因子的范围．定理６ 矩阵A （λ）可逆的充要条件是它与单位矩阵等价，或说A （λ）可表为一些初等矩阵的乘积：A （λ）＝P １P ２…P l ·Q １Q ２…Q t ．推论 两个s ×n 的λ唱矩阵A （λ）与B （λ）等价的充要条件是，有一个s ×s 可逆矩阵P （λ）与一个n ×n 可逆矩阵Q （λ），使B （λ）＝P （λ）A （λ）Q （λ）．二、答疑辅导１．任何λ唱矩阵为什么一定可表成λ的多项式的形状？答 由于对λ唱矩阵可规定像数字矩阵那样的加法和数乘运算，λ唱矩阵中的元素a i j （λ）（i ＝１，２，…，s ；j ＝１，２，…，n ）又都是多项式，所以我们总可按幂次数写出：A （λ）s ×n ＝A t λt ＋A t －１λt －１＋…＋A ０，即可将A （λ）表成λ的多项式的形状，其中全部a i j （λ）的最高次数是t ，A k （k ＝０，１，２，…，t ）是由A （λ）的各个元素a i j （λ）中λk的系数组成的与A （λ）同级别的s ×n 矩阵．２．在数字矩阵中，两个矩阵等价（即A ～B ）的充分必要条件是等秩·７４３·第八章 λ唱矩阵（即R （A ）＝R （B ））；在λ唱矩阵中又如何呢？答 设A （λ），B （λ）都是s ×n 的λ唱矩阵，如果A （λ）～B （λ），由于它们都等价于相同的标准形，根据上段定理２，它们的秩相等，即有R （A （λ））＝R （B （λ））．但反之不成立．例如，A （λ）＝λ００λ， B （λ）＝１００λ，它们的秩都等于２，但不等价（因为它们的不变因子不相同）．３．A （λ）的标准形是不是对角矩阵？答 不一定．当A （λ）是n ×n 方阵时，它的标准形当然是对角矩阵；但当A （λ）是s ×n 级矩阵时，它的标准形就不是对角矩阵了．例如，A （λ）～B （λ）＝１０００００λ０００００λ２００，B （λ）是A （λ）的标准形，它不是对角矩阵．４．怎样求n 阶可逆矩阵A （λ）的逆矩阵A －１（λ）？答 与数字矩阵一样，常用两种方法求λ唱矩阵的逆矩阵．下面用例子说明．设A （λ）＝１λλ＋１λ２＋λ＋２，求A －１（λ）．解一 用伴随矩阵法．A－１（λ）＝１│A （λ）│A （λ）倡＝１２λ２＋λ＋２－λ－（λ＋１）１．解二 用初等行变换法：（A （λ）E ）（E A －１（λ））．１λ１０λ＋１λ２＋λ＋２０１１λ１００２－（λ＋１）１ １０λ２＋λ＋２２－λ２０１－λ＋１２１２痴A－１（λ）＝１２λ２＋λ＋２－λ－（λ＋１）１．·８４３·高等代数辅导与习题解答三、例题增补例１ 下列λ唱矩阵中，哪些是满秩的？哪些是可逆的？若可逆，试求其逆．１）A （λ）＝λ２λ＋１１１λ＋１λ２＋１λ－１λ－λ２； ２）B （λ）＝１０００λ－１λλ１λ２；３）C （λ）＝１λ０２λ１λ２＋１２λ２＋１．解 这里都是方阵，可通过计算行列式判别是否满秩与可逆．１）│A （λ）│＝０，A （λ）不满秩，且不可逆．２）│B （λ）│＝λ２－２λ，可见R （B （λ））＝３，是满秩的；但│B （λ）│不是非零常数，由第一段定理１的充要条件知，B （λ）不可逆．注 对于数字矩阵，满秩与可逆互为充要条件；但对λ唱矩阵，可逆比满秩的要求更高．３）│C （λ）│＝２≠０，C （λ）满秩，且可逆．C－１（λ）＝－１２C 倡（λ）＝－１２λ２＋λ－２－λ２－λλ－λ２－１λ２＋１－１４－λ－λ３λ２＋λ－２－λ．例２ 求λ唱矩阵A （λ）＝１－λλ２λλλ－λ１＋λ２λ２－λ的标准形、不变因子与行列式因子．解 先用初等变换法求标准形．A （λ）１λ２λ０λ－λ１λ２－λ２１λ２λ０λ－λ００－λ２－λ１０００λ－λ００－λ２－λ１０００λ０００λ２＋λ滁B （λ），B （λ）即为A （λ）的标准形．·９４３·第八章 λ唱矩阵由标准形B （λ）可见，A （λ）的不变因子d １（λ）＝１， d ２（λ）＝λ， d ３（λ）＝λ（λ＋１）；而行列式因子分别为D １（λ）＝d １（λ）＝１， D ２（λ）＝d １（λ）d ２（λ）＝λ，D ３（λ）＝d １（λ）d ２（λ）d ３（λ）＝λ２（λ＋１）．例３ 求A （λ）＝０λ＋２００λ＋１００００００λ－２００λ－１０的不变因子和标准形．解 先对A （λ）用换法变换化为对角形：A （λ）λ＋１λ＋２λ－１λ－２，可见最高级别的行列式因子D ４（λ）＝（λ＋１）（λ＋２）（λ－１）（λ－２），又D k （λ）│D k ＋１（λ）， k ＝１，２，３，且D k 为k 级子式的最大公因式，所以D １（λ）＝D ２（λ）＝D ３（λ）＝１，于是不变因子d １（λ）＝d ２（λ）＝d ３（λ）＝１，d ４（λ）＝（λ＋１）（λ＋２）（λ－１）（λ－２）滁g （λ）；A （λ）的标准形为１１１g （λ），其中g （λ）＝（λ２－１）（λ２－４）．例４ 求A （λ）＝λ－２１０００λ＋１２０００λ１０３４λ２＋１·０５３·高等代数辅导与习题解答的标准形．解 由于右上角的三阶子式１００λ＋１２００λ１＝２，所以行列式因子D ３（λ）＝１，从而d ３（λ）＝d ２（λ）＝d １（λ）＝１，而d ４（λ）＝│A （λ）│＝λ５－λ４－λ３－５λ２＋８λ－４滁φ（λ），所以A （λ）的标准形为１１１φ（λ）．第二讲 矩阵相似的条件 初等因子一、内容要点 （一）矩阵相似的条件引理１ 如果有n ×n 数字矩阵P ０，Q ０使λE －A ＝P ０（λE －B ）Q ０，则A ∽B （相似）．引理２ 对于任何不为零的n ×n 数字矩阵A 和λ唱矩阵U （λ）与V （λ），一定存在λ唱矩阵Q （λ）与R （λ）及数字矩阵U ０和V ０，使U （λ）＝（λE －A ）Q （λ）＋U ０，V （λ）＝R （λ）（λE －A ）＋V ０．定理７ 设A ，B 是数域P 上两个n ×n 矩阵．A ∽B 的充要条件是，它们的特征矩阵λE －A 与λE －B 等价．由定理７，可把讨论A 与B 相似的问题转化为特征矩阵等价的问题．λE －A 的不变因子也称为A 的不变因子，也称为A 对应的线性变换Ａ·１５３·第八章 λ唱矩阵的不变因子．推论 A∽B的充要条件是它们有相同的不变因子（是相似不变量）． （二）初等因子（在复数域P中讨论）定义７ 把矩阵A（或线性变换Ａ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的按出现次数计算）称为矩阵A（或线性变换Ａ）的初等因子．定理８ 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子（也是相似不变量）．引理 设A（λ）＝f１（λ）g１（λ）００f２（λ）g２（λ）， B（λ）＝f２（λ）g１（λ）００f１（λ）g２（λ），如果多项式f１（λ），f２（λ）都与g１（λ），g２（λ）互素，则A（λ）～B（λ）（等价）．定理９ 首先用初等变换化特征矩阵λE－A为对角形，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子．二、答疑辅导１．s行n列的两个λ唱矩阵A（λ），B（λ），A（λ）～B（λ）（等价）有哪些等价条件（充要条件）？答 有下列常用等价命题（充要条件）：A（λ）～B（λ）骋它们的标准形（又叫做法式）相同 骋它们的行列式因子相同骋它们的不变因子相同骋它们的初等因子相同，且秩相同骋存在s级可逆矩阵P（λ）和n级可逆矩阵Q（λ），使B（λ）＝P（λ）A（λ）Q（λ）．２．λ唱矩阵A（λ）的行列式因子、不变因子、初等因子有何区别和联系，它们有什么用处？答 设A（λ）的秩为r，对于正整数k（１≤k≤r），A（λ）中所有k级子式的首项系数为１的最大公因式D k（λ）称为A（λ）的k级行列式因子．A（λ）的标准形主对角线上的非零元素d i（λ）（i＝１，２，…，r）称为A（λ）的·２５３·高等代数辅导与习题解答不变因子．将λE －A （或A ，Ａ）的次数大于零的不变因子在复数域中分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的按照出现的次数计算）称为A 的初等因子．比较上述三种定义，就可以发现它们之间的一些区别和联系．另外，还有D i （λ）＝d １（λ）d ２（λ）…d i （λ）， i ＝１，２，…，r ，d １（λ）＝D １（λ）， d i （λ）＝D i （λ）D i －１（λ）， i ＝２，３，…，r ，可见行列式因子与不变因子是可以互相确定的．由上二式还可看出，D １（λ）│D ２（λ）│D ３（λ）│…│D r －１（λ）│D r （λ），d １（λ）│d ２（λ）│d ３（λ）│…│d r －１（λ）│d r （λ）．（１）行列式因子与不变因子是在一般数域P 中对一般λ唱矩阵A （λ）而言的，求出了D i （λ），也就可知d i （λ）（i ＝１，２，…，r ），从而可以写出与A （λ）等价的标准形，便于研究相似矩阵．对一般A （λ）也可以在复数域Ｃ中定义初等因子，之所以要求是复数域，是为了保证不变因子d i （λ）可分解为·一·次因式方幂的乘积．引入初等因子的好处，是可以将A （λ）经初等变换化为对角形（不必是标准形，它们还要求d i （λ）│d i ＋１（λ），即如式（１）所示，逐一地一个整除另一个），而由对角形即可确定A （λ）的全部初等因子．引入初等因子的目的，是为了在下一讲中得到矩阵A 的若尔当标准形，所以只需研究A （或特征矩阵λE －A ）的初等因子就够了．３．在问１中，A （λ）～B （λ）骋它们的初等因子相同，且秩相同．为什么还要加上等秩？答 若A （λ）与B （λ）的不变因子（或行列式因子）相同，则A （λ）与B （λ）有相同的标准形，自然地R （A （λ））＝R （B （λ））；但仅有初等因子相同，还不能保证等秩，即不能保证有相同的标准形和等价，故还要附加上秩相同．例如，A （λ）＝λ００λ＋１， B （λ）＝λ（λ＋１）０００，这两个λ唱矩阵有相同的初等因子λ与λ＋１，但秩R （A （λ））＝２≠R （B （λ））＝１，可见仅有初等因子相同尚不能保证A （λ）～B （λ）．三、例题增补例１ 求·３５３·第八章 λ唱矩阵A （λ）＝λ－ac １λ－a c ２筹筹λ－a c n －１λ－a的不变因子和初等因子．其中a ，c １，c ２，…，c n －１都是常数，且c １c ２…c n －１≠０．解 因为A （λ）是n 级方阵，有行列式因子D n （λ）＝│A （λ）│＝（λ－a ）n ；删去A （λ）的第１列和第n 行所得的n －１级子式Mn －１＝c １c ２…c n －１≠０ （常数），所以D n －１（λ）＝１，从而D １（λ）＝D ２（λ）＝…＝D n －２（λ）＝１．于是A （λ）的不变因子d １（λ）＝d ２（λ）＝…＝d n －１（λ）＝１，而d n （λ）＝（λ－a ）n ．从而初等因子只有一个，为φ（λ）＝（λ－a ）n ．例２ 求A （λ）＝λ－１００λ的不变因子．解 【例１是由不变因子求初等因子；显然本例中不变因子不是λ－１和λ，因为不变因子要求d １（λ）│d ２（λ），本例与上例相反，可由初等因子求不变因子．】显然A （λ）的初等因子是λ－１与λ，而│A （λ）│＝λ（λ－１）≠０， 秩R （A （λ））＝２，所以A （λ）的不变因子为d １（λ）＝１， d ２（λ）＝λ（λ－１）．例３ 设A （λ）是一个n 级方阵，秩为４，初等因子是（λ－６）２，（λ－３）４，（λ－３）４，（λ－２）５，（λ－２）５，试求A （λ）的标准形．解 由于秩R （A （λ））＝４，故A （λ）有４个不变因子，考虑到d １（λ）│d ２（λ）│d ３（λ）│d ４（λ），所以d １（λ）＝d ２（λ）＝１， d ３（λ）＝（λ－３）４（λ－２）５，·４５３·高等代数辅导与习题解答d ４（λ）＝（λ－３）４（λ－２）５（λ－６）２，所以A （λ）的标准形为B （λ）＝１ １ （λ－３）４（λ－２）５ （λ－３）４（λ－２）５（λ－６）２ ０ 筹 ０n ×n．例４ 化下列λ唱矩阵为标准形：A （λ）＝０λ（λ－１）０λ０λ＋１００－λ＋２．解一 先用初等变换化A （λ）为对角形，写出初等因子，求出不变因子，便可写出标准形．A （λ）r １吃r ２λ０λ＋１０λ（λ－１）０００－λ＋２c ３－c １c １吃c ３１０λ０λ（λ－１）０－λ＋２００r ３＋（λ－２）r １c ３－λc １１０００λ（λ－１）０００λ（λ－２）滁B （λ），B （λ）已是对角形，可见R （A （λ））＝R （B （λ））＝３，且A （λ）有初等因子：λ， （λ－１）， λ， （λ－２），故３个不变因子为１， λ， λ（λ－１）（λ－２），A （λ）的标准形为C （λ）＝１０００λ０００λ（λ－１）（λ－２）．解二（提示） 将对角形矩阵B （λ）继续用初等变换化为标准形C （λ），步骤为A（λ）～B（λ）r２＋r３B１（λ）c３－c２c２吃c３B２（λ）r３＋（λ－２）r２c３＋（λ－１）c２r２×（－１）C（λ），具体的运算留给读者验证．显然，解一优于解二．解三（提示） 先求行列式因子，再求不变因子，并写出标准形（略）．例５ 判断下列λ唱矩阵是否等价：A（λ）＝λ（λ＋１）０００λ０００（λ＋１）２， B（λ）＝００λ＋１０２λ０λ（λ＋１）２００．解一 A（λ）已是对角形，它的秩为３，初等因子为λ， λ＋１， λ， （λ＋１）２；将B（λ）也化为对角形：B（λ）r２×１／２c１吃c３λ＋１０００λ０００λ（λ＋１）２，可见B（λ）的秩也为３，且与A（λ）有相同的初等因子组：λ＋１， λ， λ， （λ＋１）２，故A（λ）～B（λ）．解二 因将A（λ），B（λ）用初等变换化成的标准形相同，故等价（略）．例６ 下列矩阵哪些相似，哪些不相似？A＝－１１０－４３０１０２， B＝３０８３－１６－２０－５， C＝２０００１１１０１．解 【变为考察它们的特征矩阵是否等价．】因为 λE－A＝λ＋１－１０４λ－３０－１０λ－２c１＋（λ＋１）c２r２＋（λ－３）r１０－１０（λ－１）２００－１０λ－２r１×（－１）c１吃c２r２吃r３１０００－１λ－２０（λ－１）２０r３＋（λ－１）２r２c３＋（λ－２）c２r２×（－１）１０００１０００（λ－２）（λ－１）２，所以λE－A有不变因子：１， １， （λ－２）（λ－１）２．同理可得，λE－B与λE－C的不变因子依次为１， λ＋１， （λ＋１）２；１， １， （λ－２）（λ－１）２．可见λE－A～λE－C痴A∽C；而A与B，B与C都不相似．第三讲 矩阵的若尔当标准形与有理标准形一、内容要点 （一）若尔当标准形的理论推导定理１０ 每个n级的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A惟一决定的，它称为A 的若尔当标准形．定理１１ 设Ａ是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必存在一组基，使Ａ在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这若尔当形除去若尔当块的排列次序外是被Ａ惟一决定的．定理１２ 复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是，A的初等因子全是一次的．定理１３ 复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是，A的不变因子都没有重根． （二）矩阵的有理标准形定义８ 对数域P上的一个多项式d（λ）＝λn＋a１λn－１＋…＋a n，称矩阵F＝００…０－a n１０…０－a n－１０１…０－a n－２┆┆┆┆００…１－a１（倡）为多项式d（λ）的伴侣阵（或友阵）．易验证，F的（即λE－F的）不变因子是１， １， …， １， d（λ）．定义９ 下列准对角矩阵F＝F１F２筹F s，其中F i（i＝１，２，…，s）分别是数域P上某多项式d i（λ）的伴侣阵，且满足d１（λ）│d２（λ）│…│d s（λ）│，则称F为P上的一个有理标准形矩阵．定理１４ 数域P上n×n方阵A在P上相似于惟一一个有理标准形，称为A的有理标准形．定理１５ 设Ａ是数域P上n维线性空间的线性变换，则在V中存在一组基，使Ａ在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形是由Ａ惟一决定的，称为Ａ的有理标准形．二、答疑辅导１．对于矩阵A，常用哪些标准形？答 常用下列三类（共５种）标准形．１）等价标准形．其用处是明显的，如求秩，求逆，λE－A～λE－B痴A∽B，等等．设A是m×n矩阵，则存在m级与n级可逆矩阵P，Q，使A～B＝PA Q＝E r OO O，其中r＝秩R（A）．２）合同标准形．用于求二次型的标准形等．１°设A 为复对称矩阵，则存在复数可逆矩阵P ，使A 与B ＝P ′A P ＝E rO合同，其中r ＝R （A ）．２°设A 为实对称矩阵，则存在实数可逆矩阵P ，使A 与B ＝P ′A P ＝E s－E tO合同，其中s ＋t ＝r ＝R （A ），s ，t 分别为正、负特征值的个数．３）相似标准形．用处见第４问．１°若尔当标准形．设A 为n 阶复方阵，则存在可逆复方阵P ，使A ∽B ＝P －１A P 滁J ＝J １J ２筹J s，J i ＝λi １ 筹 筹 筹 １ λi（i ＝１，２，…，s ）J i 为若尔当块，是n i 阶方阵，λi 是A 的特征值，n i 是重数，且n １＋n ２＋…＋n s ＝n ．２°有理标准形（即弗洛扁尼斯（Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ）标准形）．如定理１４、１５所述，任意数域P 上的方阵A 必相似于某一有理标准形，即存在P 上的可逆矩阵Q ，使A ∽F ＝Q－１A Q ＝ｄｉａｇ（F １，F ２，…，F s ），其中F i （i ＝１，２，…，s ）为数域P 上某多项式d i （λ）的伴侣阵，即为有理标准形子块．至于相似标准形中正交矩阵P ，Q 的求法，则要见下章的内容．２．矩阵的等价、合同与相似，这三者之间的关系如何？答 合同与相似比等价要求更高，合同必等价，相似也必等价．但反之不然，因合同与相似都是对特殊的方阵A 而言，要求更高，而等价是对一般m ×n 矩阵而言的；另外，在等价矩阵A ～PA Q 中，左、右乘的矩阵甚至连阶数都可不一样；但在与A 合同的矩阵P ′A P 中，左、右乘的矩阵要求阶数一样，且互为对称阵；在相似矩阵A ∽P －１A P 中，左、右乘的矩阵也是与A 同阶的方阵，且互为逆矩阵．可见，等价未必合同，等价也未必相似，即使对方阵A 也是如此．另外，合同与相似没有必然的联系；仅当可逆矩阵P 为·正·交矩阵（见下一章）时，有P ′A P ＝P －１A P 滁B ，仅在此时，合同与相似是一致的，即A 与B 既合同，又相似．３．为什么称弗洛扁尼斯矩阵为有理标准形？答 这是因为，F 唱矩阵中（及其子块F i 中）的元素有许多０，１和－a i （见上段式（倡）），它们是从原矩阵A 的元素经过·有·理运算（即加、减、乘、除四则运算）用化０（或化１）法变换而来的，故称F 为A 的有理标准形．４．学习若尔当标准形与有理标准形有何用处？答 除了它们自身的理论价值以外，这两种标准形可以把求解微分方程组的手续大为简化（读者可参考有关微分方程的教材，或见下段例５）．究竟用哪一种标准形来简化微分方程组呢？两种标准形各有优缺点，这要根据所给微分方程组的实际情况来决定．用若尔当标准形的优点是求解快，但求高次方程的特征根λ１，λ２，…，λs 决非易事；利用有理标准形可以避开求特征值，但在求中间变量的解时需要积分，也不轻松．所以，当微分方程组ｄxｄt＝A x 中的系数矩阵A ＝（a i j ）n 的特征值易求（比如n 较小）时，用若尔当标准形求解；否则就用有理标准形求解．三、例题增补例１ 设矩阵A ＝１０００２０００－１，B ＝１－１０１２０００３，C ＝－２０００１０００１，D ＝０１０１００００２．问B ，C ，D 中，１）哪些与A 等价；２）哪些与A 合同；３）哪些与A 相似？（都要说明理由．）答 １）B ，C ，D 都与A 等价，因为A ，B ，C ，D 的秩都为３．２）B 与A 不合同，因A 虽是对称矩阵，但B 不是对称矩阵；再令X ＝１／２１／２１， Y ＝１２００１２２０１－１０，易验证C ＝X A X ′， A ＝YD Y ′，所以C 与D 都与A 合同．３）因为│A │＝－２≠│B │＝９，所以A 与B 不相似；又易知A 与C 的初等因子组不相同，所以A 与C 也不相似；而A 与D 有相同的初等因子组（由读者验证）且等秩，所以A ∽D ．例２ 求C ＝１２３４０１２３００１２０００１的若尔当标准形．解 λE －C ＝λ－１－２－３－４λ－１－２－３λ－１－２λ－１，由于右上角的三阶子式为－２－３－４λ－１－２－３０λ－１－２＝－４λ（λ＋１），而顺序主子式M ３＝λ－１－２－３λ－１－２λ－１＝（λ－１）３，它们没有含λ的公因式，所以行列式因子D ３（λ）＝１，从而不变因子d １（λ）＝d ２（λ）＝d ３（λ）＝１， 而 d ４（λ）＝│λE －C │＝（λ－１）４，初等因子为（λ－１）４，故C 的若尔当标准形为J 滁１１１１１１１．例３ 设A ＝－５１４－１２３８－６１５，易知它的三个特征值为１，１，１，试将A 表成A ＝PJP －１，其中J 是A 的若尔当标准形，P 是变换矩阵，求J ，P 和P －１．解 由题设知，特征多项式│λE －A │＝（λ－１）３，由文献［１］Ｐ畅３１７引理２和［１］Ｐ畅３１８例２知，A 的最小多项式为（λ－１）３的因式，只能是λ－１， （λ－１）２ 或 （λ－１）３，经验算知A －E ≠O ， （A －E ）２＝O ，从而A 的最小多项式为（λ－１）２＝d ３（λ）（见本章补充题１畅２）），所以d １（λ）＝１， d ２（λ）＝λ－１，A 的初等因子为λ－１， （λ－１）２，所以J ＝１０００１１００１．再求P ．设P ＝（α１，α２，α３），由P －１A P ＝J ，有A P ＝PJ ，即A （α１，α２，α３）＝（α１，α２，α３）１１１１．（１）解特征方程组（λE －A ）X ＝０，代入λ＝１，可先得１个特征向量α１＝（１，６，０）′．再设α２＝（x １，x ２，x ３）′，α３＝（x ４，x ５，x ６）′，由式（１），代入得－５１４－１２３８－６１５１x １x ４６x ２x ５０x ３x ６＝１x １x ４６x ２x ５０x ３x ６１１１１，解得x １＝x ４＝x ６＝１， x ２＝－１， x ３＝x ５＝２，所以P ＝１１１６－１２０２１， 从而 P －１＝－５１３－６１４ １２－２－７．例４ 设A ＝１－３０３－２６０１３０－３１３－１２０８，求A的有理标准形F与若尔当标准形J．解 可先求出λE－A的（或A的）不变因子．不变因子为１， １， λ－１与λ３－１５λ２＋３３λ－１９＝（λ－１）（λ－７＋３０）（λ－７－３０），可见A的若尔当标准形J＝ｄｉａｇ（１，１，７－３０，７＋３０）；而A的有理标准形为F＝F１００F２，其中F１＝１，F２＝００１９１０－３３０１１５，即F＝１００ ００００ １９０１０－３３００１ １５．倡例５ 解微分方程组ｄxｄt＝A x，（１）其中A＝（a i j）n，x＝（x１，x２，…，x n）′，ｄxｄt＝ｄx１ｄt，ｄx２ｄt，…，ｄx nｄt ′．解 １）设特征值各不相同．由常系数一阶线性齐次方程组的知识，方程组（１）有形如x i＝c iｅλi t （i＝１，２，…，n）的解，写成矩阵等式，即x＝x１┆x n＝c１┆c nｅλi t滁ξiｅλi t，（２）将方程组（２）代入方程组（１），并消去ｅλi t，就得到（λi E－A）ξi＝０．（３）于是这就将求解微分方程组（１）的问题，转化成了求解代数方程组（即特征方程组）（３）的问题，其中待求的λi是特征值，可由求特征多项式的根得出；而ξi 是对应于λi的特征向量，可由解方程组（３）得到．当λi（i＝１，２，…，n）互不相同时，就得到线性无关的n个解向量ξi，于是可以组成微分方程组（１）的通解x ＝c １ξ１＋c ２ξ２＋…＋c n ξn （c １，c ２，…，c n 是任意常数）．当λi 中有重根时，用上述方法得出的特征向量少于n 个，这时需用若尔当标准形或有理标准形求解方程组（１）．２）用若尔当标准形求解方程组（１）．先把方程组（１）中系数矩阵A 化成J ＝P A P －１，其中P ＝（p i j ）n ，由方程组（１），有P ｄxｄt＝PA x ＝P A P －１·Px ＝J ·Px ，但Pｄxｄt＝（p i j ）n ·ｄx １ｄt ┆ｄx n ｄt ＝p １１ｄx １ｄt ＋…＋p １nｄx nｄt┆p n １ｄx １ｄt ＋…＋p nn ｄx nｄt＝ｄｄt（p １１x １＋…＋p １n x n ）┆ｄｄt（p n １x １＋…＋p nn x n ）＝ｄｄt （Px ），记y ＝y １┆y n滁P x ＝P x １┆x n， 有 ｄyｄt ＝Jy ，即ｄyｄt＝ｄy １ｄt┆ｄy n ｄt＝ λ１０…００１λ１…００┆┆┆┆００…１λ１（k １阶） 筹 （k t 阶）λt １λt 筹筹１λt y １y ２┆y n，（４）于是，就将微分方程组（１）用若尔当标准形变成了简单的微分方程组（４），即ｄy １ｄt ＝λ１y １，ｄy ２ｄt ＝y １＋λ１y ２，…，ｄy k １ｄt＝y k １－１＋λ１y k １， ┆ｄy k １＋…＋k t －１＋１ｄt ＝λt y k １＋…＋k t －１＋１，…，ｄy nｄt＝y n －１＋λt y n ．（４）′。
高等代数第章多项式重因式与重根
多项式的求导法则：
1、 fxgxfxgx;
2、 cf x cfx;
3、 fx g x fxg x fxg x;
4、 fmxm fm1xfx.
定理1.6.1： 若不可约多项式 p x 是 f x
的k重因式（k>1），则 p x 是 f x 的k-1重因
fx 7 2 x 1 1 x 2 2 2 2 1 x 2 2 x 1 2 2 2 x 2 2 2 x 1 1
7 x 2 x 2 2 x 2 4 1x 2 3 x 2
p x 不是 f x 的单因式（否则，由推论1知 p x 不是 f x 的因式），故 p x 是 f x 的重因式。
推论3： 多项式 f x 无重因式的充要条件是
f x 与 f x 互素。
推论3表明，判别一个多项式有没有重因式，可以 利用辗转相除法得到。
在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论多 项式有没有重因式。
于是：
1、判别 f x 有没有重因式，只要求 f x, fx
的最大公因式 d x , f x 的重因式的重数恰好是 d x
中重因式的重数加1。此法不能求 f x 的单因式。 2、分离重因式，即求 f x 的所有不可约的单
因式：
fxa nffx x ,fxp 1xp 2xLp sx
q x 和r，这就是下面的综合除法：
c a 0 a 1 a 2 L La n 1 a n
c b 0 c b 1 LL c b n 2 c b n 1
b0 a0 b 1
b 2 LL b n 1
r
于是得 q x b 0 x n 1 b 1 x n 2 L b n 2 x b n 1 ,
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(f g ) m ( a f)x ,(g )()
h
12
乘积
f (x)g(x)anbmxnm(anbm1an1bm)xnm1 (a1b0 a0b1)xa0b0
m n
( a ib j)xs s 0i j s
h
13
对于乘法：如果 f(x)0,g(x)0 那么 f(x)g(x)0 ，且
为n,m。对f(x)的次数n作第二数学归纳法
h
21
当n<m时，显然取q(x)=0, r(x)=f(x), (1)式 成立。
当n≥m时，假设当f(x)的次数小于n时， q(x),r(X)的存在已证。现看次数为n的情形。
anxn(an 0) 称为（1）的首项；
a n ：首项系数；
n为（1）的次数，记为 (f (x)) 。
零多项式不定义次数。
h
11
n
m
运算： f(x) aixi,g(x) bjxj
i0
j0
加法：如n≥m，为方便，在g(x)中令
b nb n 1 ，b m 10
n
f(x)g(x) (ai bi)xi i0
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7
§2 一元多项式
一元多项式的定义 基本运算及其规律
h
8
基本定义
给定数域 P，x是一个符号。
定义2 设n是一个非负整数。形式表达式
anxnan1xn1 a0
（1）
其中 a0,a1, ,an 全属于数域 P，
称为系数在数域P 中的一元多项式，或者
简称为数域P上的一元多项式。
h
9
a i x i 称为 i 次项,
(f(x )g (x ) ) (f(x ) ) (g (x ))
数域P上的两个多项式经过加、减、 乘运算后，所得的结果仍是数域P上的 多项式
h
14
运算规律：
1、加法交换律： f(x)+g(x)=g(x)+f(x)
2、加法结合律： (f+g)+h=f+(g+h)
3、乘法交换律： f(x)g(x)=g(x)f(x)
ai
称为i 次项的系数
多项式用 f (x),g(x) 或 f , g 来表示。 注：x 代表未知量或符号（如矩阵）。
h
10
定义3 如果在多项式f(x)与g(x)中，除去 系数为零的项外，同次项的系数全相等， 那么f(x)与g(x)就称为相等，记为
f(x)=g(x)。
系数全为零的多项式称为零多项式，记为0
2Q(
2)
h
4
由上两式可以得出 Q( 2) 乘、除法也 是封闭的。
例2 所有可以表成形式
a0 a1ann b0 b1bmm
的数组成一数域，其中n,m为任意非负整 数，
a i,b j(i 0 ,1 , ,n ;j 0 ,1 , ,m )是整数。
h
5
例3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封 闭的，但对于加、减不是封闭的。
h
3
证明 显然 Q( 2) 包含0和1并且对于
加减法是封闭的。现在证明它对乘除 法也是封闭的。
(ab2)c(d 2)
(a c2bd)(adb)c2Q( 2)
设 ab 20于是 ab 2 也不为
零，而
cd 2 (cd 2)(ab 2) ab 2 (ab 2)(ab 2)
ac2bd adbc a2 2b2 a2 2b2
第一章 多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解定理 §6 重因式 §7 多项式函数 §8 复系数与实系数多项式的因式分解 §9 有理系数多项式
h
1
§1 数 域
多项式是代数学中最基本的对象之一，它 不但与高等方程的讨论有关，而且在进一步 学习代数以及其它数学分支时也都会用到。 本章介绍多项式的基本知识。
（除数不为零）仍然是 P 中的数，那么 P
就称为一个数域。
有理数、实数、复数为数域，记为 Q(rational number)、R（real number)、 C(complex number)。
例1 所有具有形式 ab 2 的数
（a,b是任意有理数），构成一个数域。 通
常用 Q( 2) 来表示这个数域。
中 g(x)0 ，一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，
使
f(x)=q(x)g(x)+r(x)
（１）
成立，其中(r(x))(g(x))或者r(x)=0,并且这
样的q(x),r(x)是唯一的。
证明 用归纳法来叙述
如果f(x)=0,取q(x)=r(x)=0即可。
以下设 f (x)0。令f(x),g(x)合律 (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(X)h(x))
事实上：
n
m
l
f aixi,g bjxj,h ckxk
i0
j0
k0
h
16
左边，f(x)g(x)中s次项 的系数为
aib j
i js
因此左边t次项的系数为
( aibj)ck aibjck
skt ijs
ijkt
数：自然数→整数→有理数→实数→复 数。
数的运算：加、减、乘、除。这些运算
性质称为代数性质。有理数、实数、复数对
这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也
具有这样的性质，引入：
h
2
定义一 设 P 是由一些复数组成的集合， 其中包括 0 和 1 ，如果 P 中任意两个数
（这两个数也可以相同）的和、差、积、商
2 的整倍数的全体构成一数集，它对于 加、减法是封闭的，但对于除法不封闭。
h
6
重要性质：所有的数域都包含有理数作为 他的一部分。 事实上，设 P 是一个数域，由定 义，1+1=2，2+1=3，…，n+1=n+1,…全 属于P ，再由 P 对减法的封闭性，on=-n，也属于P ，因而P 包含全体整数。 任何一个有理数可以表成两个整数的商， 由P 对除法的封闭性即得上述结论。
h
17
右边，g(x)h(x)中r次项的系数为
b jck
jk r
因此右边t次项的系数为 左边=右边。
ai( bjck) aibjck
irt jkr
ijkt
h
18
5、乘法对加法的分配律 f(x)(g(x)+h(x))=f(X)g(X)+f(X)h(X)
6、乘法消去律：f(x)g(x)=f(x)h(x),且
f (x) 0 ,那么 g(x)=h(X)
定义4 所有系数在数域P中的多项式的全体，
称为数域P上的一元多项式环，记为P[x],
P称为P[x]的系数域
BACK
h
19
§3 整除的概念
以后讨论都是在某一固定的数域P上的 多项式环中进行。
带余除法 整除 整除的性质
h
20
带余除法
对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其