2015年上海中学自招数学试卷及答案解析

2015年上海中学自招数学试卷
一. 填空题
1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，
12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________
【答案】24
【解析】原式最大值=12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-
=71166225533447-+-+-+-+-+-+-
=654321324++++++=
2、已知a 、b 为正整数，满足
5374
a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 【答案】19 【解析】Q 5374a b <<，得5743b a a b <⎧⎨<⎩
，∴201521a b a <<，当1b =时，a 无解；当2b =时，a 无解；……当11b =时，8a =，此时b 最小，且81119a b +=+=
3、已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨
++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________ 【答案】133
【解析】Q 53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩∴()53x y z xy x y z +=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴2535x y z xy z z
+=-⎧⎨=-+⎩∴x 与y 是方程()225530m z m z z +-+-+=的两根，∴()()2254530z z z ∆=---+≥解得
1313
z -≤≤ 4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)
x x x x -+--=--__________ 【答案】2
【解析】Q 25370x x --=∴24441x x x -+=+，()2
241x x -=+ ∴221338x x x -+=+∴()2
1338x x -=+
∴()()()()()()2221212212x x x x x x ---=-+----⎡⎤⎣⎦
∴()()
141338212
x x x x
=+++---∴()()
12239
x x x
--=+
原式=
413381
2
239
x x
x
+++-
=
+
5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n个人，原有m个人(17)
m<，增加34
份礼物，则m=____________
【答案】8
【解析】根据题意有()()()
1341
m m m n m n
-+=++-，()
2134
n m n
∴+-=，
∴
1
2134
n
m n
=
⎧
⎨
+-=
⎩
或
2
2117
n
m n
=
⎧
⎨
+-=
⎩
或
17
212
n
m n
=
⎧
⎨
+-=
⎩
或
34
211
n
m n
=
⎧
⎨
+-=
⎩
解得：
1
17
n
n
=
⎧
⎨
=
⎩
（舍）或
2
8
n
n
=
⎧
⎨
=
⎩
或
17
7
n
n
=
⎧
⎨
=-
⎩
（舍）或
34
16
n
n
=
⎧
⎨
=-
⎩
（舍）8
m
∴=
6、正ABC
V的内切圆半径为1，P为圆上一点，则
1
2
BP CP
+的最小值为_________ 【答案】
21
2
【解析】如图，联结CO,PO,在CO上取点D，使得
11
22
DO r
==，联结PD,由计算可
得2
CO=，在POD
V与COP
V中，1
2
POD COP
OD OP
OP OC
∠=∠
⎧
⎪
⎨
==
⎪⎩
∴POD
V:COP
V,∴
1
2
PD PC
=
∴
121
22
BP CP BP PD BD
+=+≥=
二. 解答题 7、
（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；
（2）111{1,,,,}2310
⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 【答案】（1）1320；（2）92 【解析】（1）原式()()123102341910=⨯++⋅⋅⋅++⨯++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⨯1320=
（2）设任意偶数个元素乘积之和为S ，任意奇数个元素乘积之和为H ，
则()1111111112310S H ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()1111111112310S H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∴()()9
22S H S H S ++-==
8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .
（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.
【答案】（1）见解析；（2）12
【解析】（1）联结BE ，AF ，有
22BDF BDE CDE CDE S S AB S S CD ==⨯V V V V ；22ACE ACF CDF CDF S S AB S S CD ==⨯V V V V ∴BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V 得证；（2）Q BDF CDF ACE CDE S S S S +=+V V V V 且
BDF CDF ACE CDE
S S S S ⨯=⨯V V V V ∴BDF ACE CDF CDE S S S S =⎧⎨=⎩V V V V （舍）或BDF CDE CDF ACE
S S S S =⎧⎨=⎩V V V V ∴21AB CD = ∴1:2
AB CD = 附：无答案试卷
一. 填空题
1、 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，
12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为_________
2、已知a 、b 为正整数，满足5374
a b <<，当b 最小时，a b +=_________ 3、已知53
x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为_________
4、已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)
x x x x -+--=--__________ 5、交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n 个人，原有m 个人(17)m <，增加34 份礼物，则m =____________
6、正ABC V 的内切圆半径为1，P 为圆上一点，则1
2
BP CP +的最小值为_________
二. 解答题
7、（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和；
（2）11
1{1,,,,}2310
⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和. 8、ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB .
（1）求证：BDF CDF ACE CDE S S S S ⨯=⨯V V V V ；（2）求:AB CD 的值.。