第3章曲面立体
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《建筑制图与识图》第3章
3.2.3 曲面立体表面上点的投影
1．利用曲面投影的积聚性
例3-2 如图（a）所示，已知圆柱体表面上一点A的V面投影。 求点A的H面、W面投影。
3.2.3 曲面立体表面上点的投影
分析与作图： 因圆柱的轴线垂直于H面，故圆柱的水平投影有积聚性，又 因a′可见，表明点A位于圆柱的前半个表面上，因此过a′向下投 影，在圆柱水平投影的前半圆周上得点A的水平投影a。由a，a′ 可求出a″，如图3-9（b）所示。因a′位于V投影对称轴的右侧， 故a″为不可见，A点在圆柱体上的位置如图3-9（c）所示。
3.3.1 截切体
因为立体的形状都不一样，截平面与立体表面的相对位置 也各不相同，由此产生的截交线形状也千差万别，但所有的截交 线都具有以下基本性质：
① 共有性。截交线是截平面与立体表面的共有线，既在截 平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。
② 封闭性。由于立体表面是有范围的，所以截交线一般是 封闭的平面图形。
第3章 立体的投影
目录
3.1
平面立体
曲面立体
3.2
3.3
截切体和相贯体
组合体
3.4
3.1 平面立体
3.1.1 常见平面立体的投影图
平面立体
3.1.2 平面立体的投影图的绘制
3.1.3 平面立体表面上点和直线的投影
3.1.1 常见平面立体的投影
3.1.1 常见平面立体的投影
3.1.1 常见平面立体的投影
3.1.2 平面立体图的绘制
绘制平面立体的三面投影图，首先要按正确位置将 形体放入三面投影体系中，让形体的表面和棱线与投影 面尽量平行或垂直。
绘制平面体的投影图实际上就是绘制平面体底面和 侧表面的投影，一般先画出反映底面实形的正投影图， 然后再根据投影规律画出其他两个投影。
第3章曲面立体的投影
•视图特征： 1）与轴线垂直的 投影面上的投影 为两个同心圆； 2）另两视图均为 等腰梯形。
四、 圆球体的投影
圆球可看成是由一个
圆面绕其任一直径回转 而成。 圆球是由球面围成的。 球面可看作圆绕其直径 为轴线旋转而成。
•视图特征： 三个视图均为圆 （不完整球体的 三视图，其外形 轮廓都有半径相 等的圆弧）。
二、 圆锥体的投影
圆锥可看作是由一 个直角三角形绕其直 角边回转而成。
圆锥由圆锥面、底 面所围成。圆锥面可 看作由直线绕与它相 交的轴线旋转而成。
•视图特征： 1）反映底面实形 的视图为圆； 2）另两视图均垂直于轴线的平面截去锥顶部分，剩余部分 称为圆台，其上下底面为半径不同的圆面，
第3章 曲面立体的投影
3.1 回旋体（圆柱、圆锥、圆球） 的投影
3.1 回旋体（圆柱、圆锥、圆球）的投影
常见的曲面体多是回转体，如圆柱、圆锥、圆球、圆环等。
回转面 ——有一条母线（直线或曲线）绕固定轴线 回转而成的曲面。
素 线 ——在回转面上每一个位置的母线。 回转体 ——由回转面或回转面与平面所围成的体。
一、 圆柱体的投影
圆柱由圆柱面和两个底面所 围成。 圆柱可看作是由一个矩形平 面绕着它的一条边回转而成。 圆柱面可看作由直线绕与它相 平行的轴线旋转而成。
视图特征： 1）反映底面实 形的视图为圆； 2）另两视图均为 矩形。
分析圆柱轮廓素线的投影
•轮廓素线 ——构成圆柱面 投影的轮廓线 （对某投影面的 可见与不可见部 分的分界线） （回转面上外形 轮廓线）。
机械制图教案——第3章 立体的投影
第3章立体的投影一、本章重点：1.平面立体和曲面立体投影的画法，及立体表面点的投影。
2.立体与平面相交其交线的画法，既求截交线。
3.两回转体轴线垂直相交其交线的画法。
4.立体的尺寸标注。
二、本章难点：1.圆球和圆环的投影及表面上点的投影。
2.圆锥、圆球被平面截切后，截交线的画法。
3.求作相贯线。
三、本章要求：通过本章的学习，要掌握基本体的三面投影画法，基本体表面点的投影，能够分析和绘制常见的截交线和两回转体轴线相交时的相贯线，掌握立体的尺寸标注的方法。
四、本章内容：§3-1 平面立体的投影一、棱柱棱柱体由若干个棱面及顶面和底面组成，它的棱线相互平行。
顶面和底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱。
常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、六棱柱等。
1．棱柱的三视图2．棱柱表面上的点二、棱锥棱锥的底面为多边形,各侧面为若干具有公共顶点的三角形。
从棱锥顶点到底面的距离叫做锥高。
当棱锥底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、六棱锥。
1. 棱锥的三视图2．棱锥表面上的点§3-2曲面立体的投影曲面立体的表面是由一母线绕定轴旋转而成的，故称曲面立体，也称为回转体。
常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。
一、圆柱1．圆柱面的形成圆柱面可看作一条直线AB围绕与它平行的轴线OO回转而成。
OO称为回转轴，直线AB称为母线，母线转至任一位置时称为素线。
这种由一条母线绕轴回转而形成的表面称为回转面，由回转面构成的立体称为回转体。
2．圆柱的三视图3．圆柱表面上的点二、圆锥1．圆锥面的形成圆锥面可看作由一条直母线围绕和它相交的轴线回转而成。
2．圆锥的三视图3．圆锥表面上的点三、圆球1．圆球面的形成圆球面可看作一圆（母线），围绕它的直径回转而成。
2．圆球的三视图3．圆球表面上的点四、圆环1．圆环的形成圆环面可看作由一圆母线，绕一与圆平面共面但不通过圆心的轴线回转而成。
图中的回转轴是铅垂线。
曲面立体
曲面立体常见的曲面立体是回转体，回转体是由回转面或回转面与平面围成的立体。
回转面通常由一条直线或曲线绕一固定直线作回转运动而形成的曲面，如图所示。
固定的直线称为轴线，作回转运动的线称为母线，母线在运动过程中所处的任意位置称为素线，母线上任意一点的运动轨迹是圆，常称为纬圆。
(a)圆柱 (b)圆锥 (c)球 (d)圆环回转面的形成绘制回转体的三视图归结为绘制回转体的轮廓线、顶点和曲面转向轮廓线的投影。
转向轮廓线：投射线与曲面的切线转向轮廓线投影：是指切于曲面的各投射线与投影面的交点的集合，也就是这些投射线所组成的投射面（平面或柱面）与投影面的交线，如图所示。
曲面转向轮廓线的投影也是曲面在该投影面上投影可见与不可见的分界线。
1．圆柱1）圆柱的三视图圆柱由圆柱面和两个平面围成。
三视图如图b所示。
圆柱的尺寸注法如图c所示。
（a）立体图（b）三视图（c）尺寸注法圆柱体的三视图及尺寸注意：绘制圆柱等回转体的三视图时应先用细点画线画出立体的轴线、对称中心线。
2）圆柱表面上取点在圆柱面上取点，首先要确定点在圆柱面的哪个部分，然后利用圆柱面投影的积聚性以及点的投影规律，确定圆柱面上点的位置、投影及可见性。
例题：如图a所示，已知圆柱面上M点的正面投影m’和N点的侧面投影n”。
求M点和N点的其余两个投影。
分析：因圆柱轴线垂直于水平投影面，M、N点在圆柱面上，它们的水平投影面投影必在圆上。
由已知条件可知，M点在左前圆柱面上，故m”为可见；N 点在右前圆柱面上，n’为可见。
作图：m’求得m，由m’、m得m”，判别可见性。
n”求得n，由n”、n得m’，判别可见性。
（a）已知条件（b）M点作图（c）N点作图圆柱表面取点3）圆柱表面上取线回转体表面上的线通常是空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。
步骤：①确定出该线段在立体表面上的特殊点:线段的端点、该线经过立体表面转向轮廓线投影上的点；②在特殊点之间插入一些一般点；③光滑、平顺地连接各点。
第3章-平面立体及曲面立体的截切
二、
圆锥体
S
圆锥的形成
直角三角形绕其 直角边旋转而成
锥顶 圆锥面
底面
轴线
过圆锥面上任一点可作一条直线通过锥顶该点 的运动轨迹为一圆周
Wang-chenggang
例1 例2 例3 例4
33
33/95
圆锥体的投影
s' S s"
s 对V面的 轮廓线 对W面的 轮廓线
Wang-chenggang
轮廓线投影 的对应关系 圆锥面投影 可见性判断
4/95
Wang-chenggang
基本概念 截交线的 概念
截交线的概念：平面与立体表面相交而产生的交线。 平面 基本体 截交线
截平面 共有线
平面体
截 交 线 形 状 取 决 于
回转体
截交线
结束 返回
Wang-chenggang
基本体的形状 截平面相对于立体的位置 5
截平面
截断面
5/95
截交线的 性质
检查 正面投影积聚成直线
Wang-chenggang
水平、侧面投影均为椭圆
43/95
一 组 平 面 与 圆 锥 相 交
中点
Wang-chenggang
44
44/95
例 求组合回转体的水平投影
双曲线
q'
p'
q"
p"
Q
P
加深 求与大圆柱的交线 求与小圆柱的交线 求与圆锥的交线
Wang-chenggang
截平面与立体的相交形式
基本形式
单体单面
单体多面
分别分析单面 与单体交线 截平面与截平面 之间的交线分析
截交线 小结 立体与立 体相交
第三章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交
5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
图3-13
附：题 4:
求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影。 求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影
分析: 分析 截平面过锥顶,截交线 截平面过锥顶 截交线 为三角形. 为三角形面截切后的正面投影。 求圆锥被正平面截切后的正面投影。
附：题1:
补画左视图。 补画左视图。
例5：求左视图
虚实分界点
图3-11
附：题2:
补画左视图。 补画左视图。
●
●
●
●
图3-12
附：题 3:
补画左视图。 补画左视图。
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’
7’
(8)’ 6’ (9)’ 5’
8’’
9’’
7’’
能 是 直 线 或 椭 圆 。 但 是 截 交 线 的 投 影 可 能 是 圆 ， 也 可 平 面 截 圆 球 体 ， 其 截 交 线 都 是 圆 ， 当截平面为 平面时， 平面时，其 面投影 圆 当截平面为投影面平行面时，截交线（ 当截平面为投影面平行面时，截交线（圆） 在该投影面上的投影反映实形， 在该投影面上的投影反映实形，其余两 面投影积聚为直线段； 面投影积聚为直线段； 当截平面为投影面的垂直面时，截交线在该 当截平面为投影面的垂直面时， 投影面上的投影积聚为直线段， 投影面上的投影积聚为直线段，其余两面 圆； 投影为 圆；
表3-1
截平 面的 位置 形 状 立 体 图 与轴线倾斜 与轴线垂直 过锥顶 与所有素线 相 交 椭圆 平行于一条 素 线 抛物线加 直线段 与轴线平行 双曲线加 直线段
曲面立体
绘制圆锥体的投影图
I.
绘制边、 绘制边、转向轮廓线的投影
II. 符合高平齐、宽相等、长对正的投影关系 符合高平齐、宽相等、 III. 符合前遮后、上遮下、左遮右的图线关系 符合前遮后、上遮下、
绘制圆锥体的投影图方法： 绘制圆锥体的投影图方法：
因为圆锥表面是光滑的， 因为圆锥表面是光滑的， 所以正面、 所以正面、侧面的两条 轮廓线在水平投影上不 反映。 反映。
绘制圆环的投影图方法： 绘制圆环的投影图方法：
因为圆环表面是光滑的，所以 因为圆环表面是光滑的， 正面、 正面、侧面和水平面上的转向 轮廓线的投影在其它投影面上 不反映。 不反映。
C.
曲面立体表面上的点和线的投影
c (a) (b) b c (a) d e f c d (b) e f
d a
强调！ 点和线在曲面立体的表面上 在曲面立体的表面上 强调！ 点和线在曲面 求解方法： 求解方法：
3.
球体
1) 2) 分析立体模型放置形态 分析其表面形态及其投影 I. 面：
i. i. 回转面是球面
II. 线：
有三条轴线垂直于三个投影 面，交点是球心 ii. 素线是半圆 iii. 有三条转向轮廓线
3)
绘制立体投影图
绘制球体的投影图
I.
绘制转向轮廓线的投影
II. 符合高平齐、宽相等、长对正的投影关系 符合高平齐、宽相等、 III. 符合前遮后、上遮下、左遮右的图线关系 符合前遮后、上遮下、
3.
•
曲面立体的形成： 曲Leabharlann 立体的形成：回转体B.
曲面立体投影图的绘制方法
• 转向轮廓线： 转向轮廓线：是切于圆柱的诸投射 线与投影面交点的集合， 线与投影面交点的集合，其性质如 下：
第三章 基本体的三视图
例3：如图所示，已知球面对V面的转向轮廓线上点的1’ 投影，求1”、1；又知它对V的转向轮廓线上的点水平 投影2，求2’、2”。
球面转向轮廓线上点的投影的求解步骤与上一图例相 似，作图过程如图所示。
2’ 1’ 2”
y
1”
2 y
1
练 习 题
1. 根据立体图，找出相对应的三视 图，并在括号内填写相应编号。 2. 根据立体图及所给观察方向，画 出相应的三视图。 3. 根据立体图及所给观察方向，画 出相应的三视图。
1. 根据立体图找出相应三视图，并在括号内填写相应编号。
11
12
请点击解答显示其内容
2. 根据立体图及所给观察方向，画出相应的三视图。
S
请点击解答显示其内容
3. 根据立体图及所给观察方向，画出相应的三视图。
S
请点击解答显示其内容
k
k
n
n
圆的半径？
辅助圆法
k
n
例1: 已知三棱锥棱线上一点的V面投影1′和另一点 的V面投影2′，求两点的其它各面相应投影1″、1及 2、2″。
作图步骤：
y 1“ 2′ 1′ 2″ ⑴过点的V面投影1’作水平投 射线，投射线与W面相应棱线 投影的交点即为投影1”；根 据“宽一致”的投影规律， 在W面投影中量取1”的Y坐标 值，然后在H面相应棱线的投 影上直接量取Y，得H面投影1。 ⑵过点的V面投影2’分别作水 平投射线和垂直投射线，水 平投射线与W面相应棱线投影 的交点即为投影2”，垂直投 射线与H面相应棱线投影的交 点即为投影2。
作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根据 其它投影规律画出其它的两个投影。如图所示。
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截交线上有一些能够确定截交线的大致形状和范围的特
殊点，如回转面转向轮廓线上的点，截交线在对称线上的顶 点，以及最左、最右、最前、最后、最高和最低点等。其他 点是一般点。求作曲面体截交线的投影时，通常应先求出截
交线上特殊点的投影，然后在特殊点较稀疏处按需要求出一 些一般点，最后将特殊点和一般点依次连接并判别可见性，
利用积聚投影求两圆柱的相贯线
三通管（两空心圆柱）的相贯线
3.6.2 用辅助平面法作相贯线
假想用一辅助平面截断相贯的两曲面体，则可同时 得到两曲面体的截交线，这两曲面体的截交线的交点，就 是辅助平面和两曲面体表面三个面的共有点，即相贯线上 的点。若用若干辅助平面截断两曲面体，就可得到相贯线 上的若干点，把这些点连接起来，就能求得相贯线。
第3章 曲线、曲面及曲面立体
3.1 曲线 3.2 曲面的形成和分类 3.3 回转体及其表面上的点 3.4 曲面立体的截交线 3.5 平面立体与曲面立体相交 3.6 曲面立体与曲面立体相交
由各种曲线、曲面和曲面体组成的建筑物
3.1 曲线
3.1.1 曲线的形成与分类
1. 曲线的形成 曲线可以看成是点的运动轨迹（图3.1a）， 也可以是两曲面或平面与曲面相交而形成（图3.1b）。
4 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理加深轮廓线。
39
3.4.3 球的截交线
平面切割球时，不论截平面的位置如何，截交线总是圆。 当截平面平行投影面时，截交线圆在该投影面上的投影 反映实形； 当截平面垂直于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影积聚成为一条长度等于截交线圆直径的直线； 当截平面倾斜于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影为椭圆。
螺距P
返回
2. 圆柱螺旋线的投影画法
设圆柱轴线垂直于H面，圆柱的直径为φ，圆柱的高度等于螺距P。
7 66 8
9
5 4 3
10 11
12 0
2 1
3.2 曲面的形成与分类
3.2.1. 曲面的形成
曲面按形成是否有规律而分成有规则的曲面（如柱面、球
面）和不规则的曲面（如地形表面）。本书介绍有规则的曲
面（简称曲面）。
即得截交线的投影。
3.4.1 圆柱的截交线
截平面位置 截交线形状
截平面平行于圆柱的轴线 截交线是矩形
Байду номын сангаас
截平面垂直于圆柱的轴线 截交线是圆
P P
轴测图
截平面倾斜于圆柱的轴线 截交线是椭圆
P
投影图
［例3.1］如图所示，已知圆柱被正垂面所切断，求作圆柱及 其截交线的W投影。
作图过程与结果
C P
D B
A
形体分析
例3.2 已知条件如图所示，补全这个圆柱被切割后的H投 影和W投影。
P' R' Q' 45° o'
P
R
Q
45° o
以o点为圆心 的圆弧
例题 完成圆柱体被截割后的水平投影和侧面投影
解题步骤 1 分析 圆柱被两个侧平面和一 个水平面截割出一个左右对称 的槽口，水平面的截交线为圆 弧，侧平面的截交线为矩形； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ； 3 依连接各点，作出截交线的 投影，并判别可见性； 4 加深、整理轮廓线。
平面立体与圆柱相交的情形，在建筑中多表现为矩 形梁与圆柱相贯。
例3.6 如图所示，已知矩形梁（四棱柱）与圆柱相贯 及板的H和W两面投影，求作V投影。
3.5.2 平面立体与圆锥相交
由于平面立体与圆锥的相贯线是两体表面的共有线， 相贯线上的点是两体表面的共有点，因此要利用平面立体 表面的积聚投影和圆锥面上的纬圆或素线来求作相贯线上 的点。
2. 曲线的分类 ： （1）平面曲线：凡曲线上所有点都属于同一平面的曲线， 称为平面曲线。如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。 （2）空间曲线：凡曲线上有四个点不在同一平面上的曲 线，称为空间曲线。如圆柱螺旋线。
3.1.2 曲线的投影特性
空间曲线的投影仍然是曲线，不反映实形。 平面曲线的投影取决于曲线所在平面的位置：当曲线所在 平面平行于投影面时，它在该投影面上的投影反映实形；当 曲线所在平面倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影仍然 是曲线，但不反映实形；当曲线所在的平面垂直于投影面时， 它在该投影面上的投影就是一条直线。
3.5 平面立体与曲面立体相交
平面立体与曲面立体相交，也称为相贯，其相贯线是 由若干段平面曲线或由若干段平面曲线与直线组合而成。 其中，每段平面曲线或直线是平面立体某平面与曲面体表 面的截交线，每段相贯线的交点，是平面体棱线与曲面体 表面的贯穿点。所以，我们常把求平面立体与曲面立体相 贯线问题，转化为求平面立体的平面与曲面立体的截交线 和求平面立体棱线与曲面立体的贯穿点。
3.6.1 用积聚投影法作相贯线
相交两曲面体中，如果有一个曲 面体表面（如圆柱面）的投影具有积 聚性，则相贯线的同面投影也必重合 在积聚投影上，此时可根据相贯线的 这个已知投影，求出两曲面体表面上 一系列共有点的投影，从而作出相贯 线的其余投影。
例3.9 已知两圆柱相贯，如图所示，求它们的相贯线 的投影。
圆锥由圆锥面与底圆平面所围成。圆锥面可看作是一直 母线绕与它相交的轴线旋转形成。
线 母线
S
轴线 纬圆 素线
轴线
O
纬圆
O A
母线
1.圆锥的投影
圆锥的投影画法 圆锥素线的投影分析
2. 圆锥面上点的投影
圆锥面的三面投影都没有积聚性，求作圆锥面上点的投影，
可用素线法或纬圆法。
s＇
s＂
s
（a) 已知条件
z
c＇
V C
X
c
c＇
α
Y
c
H
（a）水平圆的投影
（b）正垂圆投影的空间示意图 （c）正垂圆的投影
3.1.4 圆柱螺旋线
1.圆柱螺旋线的形成 一动点M沿着圆柱面的直母
线作等速直线运动，同时该 母线绕圆柱面的轴线作等角 速度旋转运动，则属于圆柱 面的该点的轨迹曲线，称为 圆柱螺旋线。 只要给出圆柱的直径和螺旋 线的螺距，以及动点移动的 方向，就能确定该圆柱螺旋 线的形状。
35
3.4.2 圆锥的截交线
截平面位置 截交线形状
截平面通过锥顶 三角形
截平面垂直于圆锥的轴线 圆
截平面倾斜于圆锥的轴线 并与所有素线相交
椭圆
截平面平行于一条素线
抛物线和直线组成 的封闭的平面图形
截平面平行于两条素线 即截平面平行于圆锥轴线
双曲线和直线组成 的封闭的平面图形
轴测图
P
P
P
P
P
投影图
例3.3 已知条件如图所示，要求补全截断圆锥的H投影和W 投影。
例3.8 如图所示，已知相贯的四棱柱与半球的投影轮 廓，完成它们相贯后的V、W投影。
四棱柱贯穿半球后，如果将四棱柱抽出，则在球体 上形成四棱柱孔，如左图所示。孔口相贯线的投影作图 与例3.8相同。孔内棱线的V、W投影不可见，画成虚线。
半球与四棱柱相贯和穿孔的比较
3.6 两曲面立体相交
两曲面体的交线（相贯线）一般是封闭的空间曲 线，在特殊情况下是平面曲线。相贯线上的点是两体 表面的共有点。求相贯线上的点的方法通常可用积聚 投影法和辅助平面法。
相贯线只有位于两立体投影都可见的表面上时，相贯 线的投影才可见，否则就不可见。
两相贯体是一个整体，在作图分析时可将其视为两个 立体，在求出相贯线后，整理作图结果时应注意，立体上 凡参与相贯的轮廓线都只画到贯穿点为止。穿入立体内的 部分与立体融为一体，视为不存在，因此不画出。
3.5.1 平面立体与圆柱相交
（1）素线法 由于圆锥面上的点必在圆锥面上的一条素线
（过锥顶的直线）上，因此只要作出过该点的素线的投影，
即可求出该点的投影。
s＇
s＂
过k点的素线
l＇
l＂
s l
(b) 用素线法求点
（2）纬圆法 圆锥面上任一点绕轴线旋转都形成垂直于该轴线 的圆（纬圆），由此可知，圆锥面上的点必在圆锥面的一个圆 周上。当圆锥轴线垂直于H面时，圆锥面的圆均为水平圆。只 要作出过该点的圆的投影，即可求出该点的投影。
曲面是由直线或曲线在一定约束条件下运动而形成的。这
条运动的直线或曲线称为曲面的母线。约束母线运动的点、 线、面称为导点、导线、导面。
母线
O
A
C
轴线 素线
母线
S
轴线 纬圆 素线
轴线
O
纬圆
O1
B
D
O
母线
A
回转曲面的形成
3.2.2 曲面的分类
1.根据母线运动有无旋转轴，可把曲面分为： （1） 回转面—这类曲面由母线绕一轴线旋转而形成；由 回转面形成的曲面体，称为回转体。 （2）非回转面—这类曲面由母线根据其他约束条件运动 而形成。 2.根据母线的形状可把曲面分为： （1）直纹曲面—由直母线运动而形成的曲面。 （2）曲纹曲面—由曲母线运动而形成的曲面。 3.根据曲面能否展开成平面，可把曲面分为可展曲面和不 可展曲面。直纹曲面中的柱面、锥面是可展曲面，其他曲 面是不可展曲面。
3.1.4 非回转直纹曲面
1.可展直纹曲面
曲面上两相邻素线是相交或平行的共面直线。这种曲面可以展开。常见
的如锥面和柱面，它们分别由直母线沿着一条曲导线移动，并始终通过 一定点或平行与一直导线而形成。
（a）锥面的形成
（b）柱面的形成
2.不可展直纹曲面
这类曲面又称扭面，只能近似地展开，其特点是曲面上相邻两素线 是交叉的异面直线。常见的有双曲抛物线面,锥状面和柱状面。它们分别 由直母线沿着两条直或曲的导线移动，并始终平行于一个导平面而形成。
3.4 曲面立体的截交线
当平面切割曲面体时，包括开口、挖槽、穿孔，就会在
殊点，如回转面转向轮廓线上的点，截交线在对称线上的顶 点，以及最左、最右、最前、最后、最高和最低点等。其他 点是一般点。求作曲面体截交线的投影时，通常应先求出截
交线上特殊点的投影，然后在特殊点较稀疏处按需要求出一 些一般点，最后将特殊点和一般点依次连接并判别可见性，
利用积聚投影求两圆柱的相贯线
三通管（两空心圆柱）的相贯线
3.6.2 用辅助平面法作相贯线
假想用一辅助平面截断相贯的两曲面体，则可同时 得到两曲面体的截交线，这两曲面体的截交线的交点，就 是辅助平面和两曲面体表面三个面的共有点，即相贯线上 的点。若用若干辅助平面截断两曲面体，就可得到相贯线 上的若干点，把这些点连接起来，就能求得相贯线。
第3章 曲线、曲面及曲面立体
3.1 曲线 3.2 曲面的形成和分类 3.3 回转体及其表面上的点 3.4 曲面立体的截交线 3.5 平面立体与曲面立体相交 3.6 曲面立体与曲面立体相交
由各种曲线、曲面和曲面体组成的建筑物
3.1 曲线
3.1.1 曲线的形成与分类
1. 曲线的形成 曲线可以看成是点的运动轨迹（图3.1a）， 也可以是两曲面或平面与曲面相交而形成（图3.1b）。
4 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理加深轮廓线。
39
3.4.3 球的截交线
平面切割球时，不论截平面的位置如何，截交线总是圆。 当截平面平行投影面时，截交线圆在该投影面上的投影 反映实形； 当截平面垂直于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影积聚成为一条长度等于截交线圆直径的直线； 当截平面倾斜于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影为椭圆。
螺距P
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2. 圆柱螺旋线的投影画法
设圆柱轴线垂直于H面，圆柱的直径为φ，圆柱的高度等于螺距P。
7 66 8
9
5 4 3
10 11
12 0
2 1
3.2 曲面的形成与分类
3.2.1. 曲面的形成
曲面按形成是否有规律而分成有规则的曲面（如柱面、球
面）和不规则的曲面（如地形表面）。本书介绍有规则的曲
面（简称曲面）。
即得截交线的投影。
3.4.1 圆柱的截交线
截平面位置 截交线形状
截平面平行于圆柱的轴线 截交线是矩形
Байду номын сангаас
截平面垂直于圆柱的轴线 截交线是圆
P P
轴测图
截平面倾斜于圆柱的轴线 截交线是椭圆
P
投影图
［例3.1］如图所示，已知圆柱被正垂面所切断，求作圆柱及 其截交线的W投影。
作图过程与结果
C P
D B
A
形体分析
例3.2 已知条件如图所示，补全这个圆柱被切割后的H投 影和W投影。
P' R' Q' 45° o'
P
R
Q
45° o
以o点为圆心 的圆弧
例题 完成圆柱体被截割后的水平投影和侧面投影
解题步骤 1 分析 圆柱被两个侧平面和一 个水平面截割出一个左右对称 的槽口，水平面的截交线为圆 弧，侧平面的截交线为矩形； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ； 3 依连接各点，作出截交线的 投影，并判别可见性； 4 加深、整理轮廓线。
平面立体与圆柱相交的情形，在建筑中多表现为矩 形梁与圆柱相贯。
例3.6 如图所示，已知矩形梁（四棱柱）与圆柱相贯 及板的H和W两面投影，求作V投影。
3.5.2 平面立体与圆锥相交
由于平面立体与圆锥的相贯线是两体表面的共有线， 相贯线上的点是两体表面的共有点，因此要利用平面立体 表面的积聚投影和圆锥面上的纬圆或素线来求作相贯线上 的点。
2. 曲线的分类 ： （1）平面曲线：凡曲线上所有点都属于同一平面的曲线， 称为平面曲线。如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。 （2）空间曲线：凡曲线上有四个点不在同一平面上的曲 线，称为空间曲线。如圆柱螺旋线。
3.1.2 曲线的投影特性
空间曲线的投影仍然是曲线，不反映实形。 平面曲线的投影取决于曲线所在平面的位置：当曲线所在 平面平行于投影面时，它在该投影面上的投影反映实形；当 曲线所在平面倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影仍然 是曲线，但不反映实形；当曲线所在的平面垂直于投影面时， 它在该投影面上的投影就是一条直线。
3.5 平面立体与曲面立体相交
平面立体与曲面立体相交，也称为相贯，其相贯线是 由若干段平面曲线或由若干段平面曲线与直线组合而成。 其中，每段平面曲线或直线是平面立体某平面与曲面体表 面的截交线，每段相贯线的交点，是平面体棱线与曲面体 表面的贯穿点。所以，我们常把求平面立体与曲面立体相 贯线问题，转化为求平面立体的平面与曲面立体的截交线 和求平面立体棱线与曲面立体的贯穿点。
3.6.1 用积聚投影法作相贯线
相交两曲面体中，如果有一个曲 面体表面（如圆柱面）的投影具有积 聚性，则相贯线的同面投影也必重合 在积聚投影上，此时可根据相贯线的 这个已知投影，求出两曲面体表面上 一系列共有点的投影，从而作出相贯 线的其余投影。
例3.9 已知两圆柱相贯，如图所示，求它们的相贯线 的投影。
圆锥由圆锥面与底圆平面所围成。圆锥面可看作是一直 母线绕与它相交的轴线旋转形成。
线 母线
S
轴线 纬圆 素线
轴线
O
纬圆
O A
母线
1.圆锥的投影
圆锥的投影画法 圆锥素线的投影分析
2. 圆锥面上点的投影
圆锥面的三面投影都没有积聚性，求作圆锥面上点的投影，
可用素线法或纬圆法。
s＇
s＂
s
（a) 已知条件
z
c＇
V C
X
c
c＇
α
Y
c
H
（a）水平圆的投影
（b）正垂圆投影的空间示意图 （c）正垂圆的投影
3.1.4 圆柱螺旋线
1.圆柱螺旋线的形成 一动点M沿着圆柱面的直母
线作等速直线运动，同时该 母线绕圆柱面的轴线作等角 速度旋转运动，则属于圆柱 面的该点的轨迹曲线，称为 圆柱螺旋线。 只要给出圆柱的直径和螺旋 线的螺距，以及动点移动的 方向，就能确定该圆柱螺旋 线的形状。
35
3.4.2 圆锥的截交线
截平面位置 截交线形状
截平面通过锥顶 三角形
截平面垂直于圆锥的轴线 圆
截平面倾斜于圆锥的轴线 并与所有素线相交
椭圆
截平面平行于一条素线
抛物线和直线组成 的封闭的平面图形
截平面平行于两条素线 即截平面平行于圆锥轴线
双曲线和直线组成 的封闭的平面图形
轴测图
P
P
P
P
P
投影图
例3.3 已知条件如图所示，要求补全截断圆锥的H投影和W 投影。
例3.8 如图所示，已知相贯的四棱柱与半球的投影轮 廓，完成它们相贯后的V、W投影。
四棱柱贯穿半球后，如果将四棱柱抽出，则在球体 上形成四棱柱孔，如左图所示。孔口相贯线的投影作图 与例3.8相同。孔内棱线的V、W投影不可见，画成虚线。
半球与四棱柱相贯和穿孔的比较
3.6 两曲面立体相交
两曲面体的交线（相贯线）一般是封闭的空间曲 线，在特殊情况下是平面曲线。相贯线上的点是两体 表面的共有点。求相贯线上的点的方法通常可用积聚 投影法和辅助平面法。
相贯线只有位于两立体投影都可见的表面上时，相贯 线的投影才可见，否则就不可见。
两相贯体是一个整体，在作图分析时可将其视为两个 立体，在求出相贯线后，整理作图结果时应注意，立体上 凡参与相贯的轮廓线都只画到贯穿点为止。穿入立体内的 部分与立体融为一体，视为不存在，因此不画出。
3.5.1 平面立体与圆柱相交
（1）素线法 由于圆锥面上的点必在圆锥面上的一条素线
（过锥顶的直线）上，因此只要作出过该点的素线的投影，
即可求出该点的投影。
s＇
s＂
过k点的素线
l＇
l＂
s l
(b) 用素线法求点
（2）纬圆法 圆锥面上任一点绕轴线旋转都形成垂直于该轴线 的圆（纬圆），由此可知，圆锥面上的点必在圆锥面的一个圆 周上。当圆锥轴线垂直于H面时，圆锥面的圆均为水平圆。只 要作出过该点的圆的投影，即可求出该点的投影。
曲面是由直线或曲线在一定约束条件下运动而形成的。这
条运动的直线或曲线称为曲面的母线。约束母线运动的点、 线、面称为导点、导线、导面。
母线
O
A
C
轴线 素线
母线
S
轴线 纬圆 素线
轴线
O
纬圆
O1
B
D
O
母线
A
回转曲面的形成
3.2.2 曲面的分类
1.根据母线运动有无旋转轴，可把曲面分为： （1） 回转面—这类曲面由母线绕一轴线旋转而形成；由 回转面形成的曲面体，称为回转体。 （2）非回转面—这类曲面由母线根据其他约束条件运动 而形成。 2.根据母线的形状可把曲面分为： （1）直纹曲面—由直母线运动而形成的曲面。 （2）曲纹曲面—由曲母线运动而形成的曲面。 3.根据曲面能否展开成平面，可把曲面分为可展曲面和不 可展曲面。直纹曲面中的柱面、锥面是可展曲面，其他曲 面是不可展曲面。
3.1.4 非回转直纹曲面
1.可展直纹曲面
曲面上两相邻素线是相交或平行的共面直线。这种曲面可以展开。常见
的如锥面和柱面，它们分别由直母线沿着一条曲导线移动，并始终通过 一定点或平行与一直导线而形成。
（a）锥面的形成
（b）柱面的形成
2.不可展直纹曲面
这类曲面又称扭面，只能近似地展开，其特点是曲面上相邻两素线 是交叉的异面直线。常见的有双曲抛物线面,锥状面和柱状面。它们分别 由直母线沿着两条直或曲的导线移动，并始终平行于一个导平面而形成。
3.4 曲面立体的截交线
当平面切割曲面体时，包括开口、挖槽、穿孔，就会在