杭州学军中学2019学年第一学期期中考试

杭州学军中学2019学年第一学期期中考试

高三数学试卷

命题人：王 馥 审题人：纪向胜

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设全集U =R ，集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>则下列关系中正确的是（ ） A.P M = B.M P M = C.M

P M = D.()U C M P =∅

2.设纯虚数z 满足 11i

ai z

-=+（其中i 为虚数单位）

，则实数a 等于（ ） A.1

B.－1

C.2

D.－2

3.若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪

+-≥⎨⎪-≤⎩

，则2z x y =+的取值范围是（ ）

A.[]6,0

B.[]0,4

C.[)6,+∞

D.[)4,+∞

4.已知,a b R ∈，下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是（ ） A.1a b >- B.1a b >+ C.a b > D.22a

b

> 5.函数2ln x x y x

=

的图象大致是（ ）

A B C D 6.已知函数1()0

x D x x ⎧=⎨

⎩为有理数为无理数

，则（ ）

A.(())1D D x =,0是()D x 的一个周期

B.(())1D D x =,1是()D x 的一个周期

C.(())0D D x =,1是()D x 的一个周期

D.(())0D D x =,()D x 最小正周期不存在

7.若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A.1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

B.(],0-∞

C.(],1-∞

D.(],5-∞ 8．若O 是ABC ∆垂心，6

A π

∠=且sin cos sin cos 2sin sin B C AB C BAC m B C AO +=，

则m =（ ） A.

1

2

B.2

C.3

D.6

9.已知二次函数2

()(2)f x ax bx b a =+≤，定义{}1()max ()11f x f t t x =-≤≤≤，

{}2()min ()11f x f t t x =-≤≤≤，其中{}max ,a b 表示,a b 中的较大者，{}min ,a b

表示b a ,中的较小者，下列命题正确的是（ ）

A.若11(1)(1)f f -=，则(1)>(1)f f -

B.若22(1)(1)f f -=，则(1)(1)f f ->

C.若21(1)(1)f f =-，则11(1)(1)f f -<

D.若21(1)(1)f f =-，则22(1)(1)f f -> 10.已知数列{}n a 满足2111

,312

n n n a a a a +=-=++，若1

2

n n b a =+，设数列{}n b 的前项和为n S ，则使得2019S k -最小的整数k 的值为（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 11. ()5

12x -展开式中3

x 的系数为 ，所有项的系数和为 ．

12.等比数列{}n a

中，12a a =22013

82019

a a a a +=+ ，1234a a a a = ．

13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已

知s i n c o s c A a C =，则

C =

，若c =，ABC ∆

，则a b += ． 14.已知函数222,0()2(1),0

x x x f x f x x -⎧+-≥=⎨+<⎩，则3

()2f -= ，若函数()()g x f x k =-有

无穷多个零点，则k 的取值范围是 ．

15.已知,x y R ∈且221x y xy ++=，则x y xy ++的最小值为 ．

16.已知平面向量,,a b c 满足,,015a b c a c b c ⋅==-=-=，则a b -的最大值 为 ．

17.当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则7a b +的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共5小题，共74分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

18.(本题满分14分)已知函数()2sin cos()3

f x x x π

=++

（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上的最大值及最小值.

19.(本题满分15分)已知在ABC ∆中，1AB =，2AC =．

（Ⅰ）若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()

2AD AB AC ⋅-uuu r uu u r uuu r

；

（Ⅱ）若点E 为BC 的中点，求2211

AE BC

+uu u r uu u r 的最小值．

20.(本题满分15分)已知正项等差数列{}n a 满足：233

312n n S a a a =+++，其中n S 是数

列{}n a 的前n 项和.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令()()()

1

412121n n n n n

b a a -=--+，证明：1222

21

n n b b b n +++

+≤

+.

21.(本题满分15分)设函数(),x

f x e ax a a R =-+∈，其图象与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x

两点，且12.x x <

（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：0f '<.

22.(本题满分15分)已知函数2

()ln 2,.f x x ax bx a R =---∈ （Ⅰ）当2b =时，试讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）若对任意的3(,)b e

∈-∞-，方程()0f x =恒有2个不等的实根，求a 的取值范围.

杭高2019年11月期中考卷高二数学卷答案 BDDDC BCCBA 11.

4

π

,02=--y x