第二章内力与内力图详解
材料力学基本第二章 内力与内力图
CB段： BA段：
FN x1 0
FQ x1 F
M x1 Fx1
FN x2 F
FQ x2 0
M x2 F a
0 x1 a
0 x1 a
0 x1 a 0 x2 l
0 x2 l
0 x2 l
2.绘制剪力图和弯矩图
五、平面曲杆的内力图
平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力的符号规定为：弯矩以使曲杆轴线曲率增加者为正，轴力和剪力的符 号规定与前面的相同。
2.6 结论与讨论
结
结论
论 与
• 一个重要概念
讨 论
• 三个微分方程
结
• 一套方法
论
讨论
结
论
与
比较前面三个梁的受力、剪力
讨 论
和弯矩图的相同 之处和不同
之处，从中能得到什么重要结
讨
论？
论
FQ
结
论
与
讨
FQ
论
讨
FQ
论
确定控
结 论 与 讨
制面上剪力 和弯矩有几 种方法？怎
论 样确定弯矩
图上极值点
讨 处的弯矩数
4. 在梁的某一截面上剪力为零，则在这一截面上弯矩有极值。
5. 在梁的某一截面上若作用有集中力，则此处剪力图有突变，突变的值 恰好等于集中力的数值。
6. 在梁的某一截面上若作用有集中力偶，则剪力图不发生变化，但此处 弯矩图会发生突变，突变的值恰好等于集中力偶的数值。
二、剪力、弯矩与载荷集度之间的积分关系
AD段 MeD T3 0
C
d) T3
D
T /Nm
T3 MeD 1018.6 N m e)
1018.6 (+)
2章 杆件的内力和内力图-弯曲解析
MA＝0 A
MO=2FPl
D C l l
FP
B
FP
MA＝0
用假想截面将梁C截 面处截开，以左边部分为 平衡对象。 因为外力与梁轴线都在 同一平面内，而且没有沿 杆件轴线方向的外力作用 ，所以横截面上没有轴力 和扭矩，只有剪力和弯矩 两种内力分量。
§ 2.4 弯曲杆件的内力—剪力和弯矩 2.4.1弯曲杆件的特点、工程实例及力学模型
1）弯曲杆件的特点
杆件承受垂直于其轴线的外力（横向力）或 位于其轴线所在平面内的力偶作用时，杆件的轴 线将有变形前的直线变形成变形后的曲线，这种 变形形式称为弯曲变形。工程上把主要发生弯曲 的杆件称为梁。 Me M F
以图(a)所示受集中力 F 作用的简支梁为例，来分析梁 任意横截面上的内力。
a
m
F
(a)
A
m
B
x
首先利用整体平衡求 支座反力，然后用截面 法假想地在横截面mm 处把梁分为两段，先分 析梁左段。 因为在这段梁上有向 上的外力FAy所以在 横截面 mm上必有一个 与FAy平行而指向相反的 内力 FQ 。
_
m
使dx 杆段有 左端向下而右端向上 的相对错动时，杆段有逆时针转动 趋势，杆段左、右横截面 上的剪 力为负----即： 使dx杆段有逆时针转动趋势的剪力 为负。（对于水平杆段左下右上为 负 ）。
m
dx
左：脱离体左截面 右：脱离体右截面
弯矩符号 当dx 杆段的弯曲下凸 即该段的下半部受拉 时， 左、右横截面上的弯矩为正。 对于水平杆段：左顺右逆为
F
B
m
x
还有一个与其平衡的
内力偶，设其矩为M 。 由平衡方程
杆件的内力与内力图轴向拉压杆的内力轴力图轴向拉压杆的内力轴
Fθθ34轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力为轴力，用F N 表示轴力的大小：由平衡方程求解PN ,0F F F x ==∑轴力的正负：拉力为正；压力为负轴力的单位：N ；kN6轴向拉压杆的内力轴力图解：应用截面法，在F N1，由∑F x ＝0kN5.21P 1N ==F F kN5.13P 2P 1P 2N -=-=-=F F F F 在2－2截面截开，画出正向的F N2，由∑F x ＝089= 6 kN = -4 kN轴力图画在受力图正下方；10轴向拉压杆的内力轴力图例2 图示一砖柱，柱高3.5m ，截面尺寸370×370mm 2，柱顶承受轴向力F P ＝60 kN ，砖砌体容重ρ.g ＝18 kN/m 3。
试绘柱的轴力图。
11轴力图应用截面法，由平衡方程求得：kN46.260P y y A g F --=⋅⋅⋅-ρ,kN 6.68)5.3(,kN 60)0N -=-=F ㈠F N /kNy68.66012轴向拉压杆的内力轴力图等截面直杆在上端A 处固定，其受力如图试绘制杆件的轴力图。
kN,10kN,5P2=F l(a)Cl（b）机械传动轴杆件各相邻横截面产生绕杆轴的相对转动ϕ1720扭矩沿轴线的变化规律e21221. 外力偶矩的计算m N ⋅=1146AmN ⋅=3509549n PB m N ⋅=446n D23扭矩的计算m N 350e ⋅-=-=B M m N 700e e ⋅-=--B C M M mN 446e ⋅=D M 扭矩图问题：如将轮A 与轮C 互换，扭矩图如何？哪种布置受力更合理？mN 700max ⋅=轴力图剪力图和弯矩图组合变形杆件的内力与内力图25梁的外力和内力均可仅由静力平衡方程求解27纵向对称面内时，梁的轴线由位于纵向对称面内的直28单跨静定梁的三种基本形式由静力平衡方程无法全部确定梁所有外力和内力29平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图：剪力F S 和弯矩M 求内力的方法：截面法A F R =M MaF A R =30平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图单位；kNN ·m ；kN ·m31截面，并取右段研究221qa -33平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图剪力方程剪力沿梁轴线的变化规律，即F S =F S (x )弯矩方程弯矩沿梁轴线的变化规律，即M=M (x )按比例绘出F S (x )的图线按比例绘出M (x )的图线剪力图和弯矩图受力分析，画受力图，由平衡方程求支座约束力分段列出剪力方程和弯矩方程，标出变量x 的取值根据剪力方程，求各控制面的剪力值，按比例绘剪力图。
第二章 杆件的内力分析
3 3
B 6 kN
2 2
C 3 kN 1
解： 1.分段求轴力
D
6 kN
FN 1
3 kN 3 kN
1
10 kN 10 kN 10 kN
1 、CD段
F
x
0, 10 FN1 0
FN 2
FN 1 10(kN) 2、BC 段
6 kN
3 kN 3 kN
F
x
0, 10 2 3 FN 2 0
若有单位需写上单位。
9
试作图示杆在均布荷载q作用下的轴力图。
B
x
ql
●
q
l
x
A
●
FN
FN ( x) qx
10
2、T及T图
(轴：发生扭转变形的杆件）
功率：P
单位：kW, PS
转速：n
外力偶矩：
单位：rpm
r/min
P kW m N m 9549 n rpm
P (PS) m (N m) 7024 n (rpm)
FN FN
FN为正
FN为负
扭矩T ：外法线方向为正，内法线方向为负
T T
T为正
T为负
4
剪力（FS）：顺时针为正，逆时针为负
FS FS
FS为正
FS为负
弯矩（M）：下凸上凹为正,上凸下凹为负
M为正
M为负
5
2. 内力分量的确定 利用研究对象的静力平衡条件：
F M
x
0 0
F
y
0
y
F
z
0
z
FN 3
6 kN
3 kN
10 kN
第二章 杆件的内力与内力图
第二章 杆件的内力与内力图§2-1 杆件内力的概念与杆件变形的基本形式一、杆件的内力与内力分量内力是工程力学中一个非常重要的概念。
内力从广义上讲，是指杆件内部各粒子之间的相互作用力。
显然，无荷载作用时，这种相互作用力也是存在的。
在荷载作用下，杆件内部粒子的排列发生了改变，这时粒子间相互的作用力也发生了改变。
这种由于荷载作用而产生的粒子间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
需要指出的是：受力杆件某横截面上的内力实际上是分布在截面上的各点的分布力系，而工程力学分析杆件某截面上的内力时，一般将分布内力先表示成分布内力向截面的形心简化所得的主矢分量和主矩分量进行求解，而内力的具体分布规律放在下一步（属于本书第二篇中的内容）考虑。
受力杆件横截面上可能存在的内力分量最多有四类六个：轴力N F 、剪力y Q F )(和z Q F )(、扭矩x M 、弯矩y M 和z M 。
轴力N F 是沿杆件轴线方向（与横截面垂直）的内力分量。
剪力y Q F )(和z Q F )(是垂直于杆件轴线方向（与横截面相切）的内力分量。
扭矩xM 是力矩矢量沿杆件轴线方向的内力矩分量。
弯矩y M 和z M 是力矩矢量与杆件轴线方向垂直的内力矩分量。
二、杆件变形的基本形式实际的构件受力后将发生形状、尺寸的改变，构件这种形状、尺寸的改变称为变形。
杆件受力变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩、扭转、剪切、弯曲。
1、轴向拉伸和压缩变形轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压。
其受力特点是：外力沿杆件的轴线方向。
其变形特点是：拉伸——沿轴线方向伸长而横向尺寸缩小，压缩——沿轴线方向缩短而横向尺寸增大，如图4-1所示。
轴向受拉的杆件称为拉杆，轴向受压的杆件压杆。
图2-1 图2-2 土木工程结构中的桁架，由大量的拉压杆组成，如图2-2所示。
内燃机中的连杆、压缩机中的活塞杆等均属此类。
它们都可以简化成图2-1所示的计算简图。
2、剪切变形工程中的拉压杆件有时是由几部分联接而成的。
2章-杆件的内力与内力图-拉压、扭转
§ 2.1 基本概念
2.1.1 内力的概念
《物理学》：指微粒之间的相互作用力，由于这 个作用力的不同，使物体呈现出不同的形态。
《静力学》中：物体之间的相互约束力，称为内约 束力。
此处讲解的内力：在物理学内力的基础上， 变形体在外因的作用下（荷载、温度变化……）， 发生变形，体内各点发生相对位移，从而产生抵 抗变形的相互作用的附加内力，简称内力
4. 建立FN－x坐标系，画轴力图
FN－x坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方 向，FN坐标轴垂直于x轴。
将所求得的各控制面上的轴力标在FN－x坐标 系中，得到a、和c四点。因为在A、之间以及 、C之间，没有其他外力作用，故这两段中的 轴力分别与A（或）截面以及C（或）截面相同 。这表明a点与点心”之间以及c点之间的轴力 图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力 图。
Mx
z Mz
FR M FNx FQy FQz Mx My Mz
FNx——轴力 FQy、 FQz——剪力 Mx——扭矩
My、MZ——弯矩
2.1.2 内力与外力的关系——截面法 1 弹性变形体的平衡原理 2 求内力的方法——截面法
应用平衡的概念，不仅可以确定 构件的支座反力，而且还可以确定构件 上任意横截面上的受力-内力及其沿构 件轴线方向的变化规律，以找出最危险 的截面。
面上的轴力均为正方向（拉力）， 并考察截开后下面部分的平衡。
3. 应用截面法求控制面上的轴力
用 假 想 截面 分 别 从 控 制 面 A、 B'
、B"、 C处将杆截开，假设横截面
FA
FNA 上的轴力均为正方向（拉力），并考
察截开后下面部分的平衡，求得各截
A
A 面上的轴力：
内力与内力图
常见载荷作用下剪力图和弯矩图的特点
若一段梁上无载荷（即q=0），则剪力图为水平直线，弯 矩图为倾斜直线。剪力为正时，弯矩图为向右上方倾斜的 直线，剪力为负时则弯矩图向右下方倾斜，剪力为零时弯 矩图成为水平直线。 若一段梁上作用着均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图 为二次抛物线。若均布力方向向下，则剪力图为向右下方 倾斜的直线，弯矩图为开口向下的抛物线，抛物线的顶点 的剪力等于零的截面。 在集中力作用的截面上，剪力图有突变，变化值等于该集 中力的大小，弯矩图上由出现折角。 在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图上有突 变，变化值等于该集中力偶的力偶矩的大小。
2
ql
五 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
在例3中，将弯矩方程对x求一阶导数，得
dM qx F Q dx
将剪力方程对x求一阶导数，得
dF Q dx
q
也就是说，弯矩方程对x的一阶导数等于剪力方程；剪力方程对x的一阶导数 等于载荷集度。这一关系并非只存在于该问题中，而是普遍成立的一个规律。 根据导数的几何意义，以上关系表明：弯矩图上某点的切线的斜率，等于对 应截面上的剪力；剪力图上某点切线的斜率等于对应截面上的载荷集度。根 据这一规律，还可得到常见载荷下剪力图和弯矩图的特点。
例4
例4 外伸梁受力如图所示，试画出其剪力图和弯矩图。
解：（1）根据梁的平衡条件求出梁的支座反力。
FA
qa 4
FB
3qa 4
例1 杆件受力如图所示,求指定截面上的轴力并画出轴力图。
• • • • • • • • • • • • • • 解：（1）用截面法求内力。 沿截面1-1截开，由左侧一段的平衡，有 FN1+10=0 所以 FN1=-10（kN） 沿截面2-2截开，由左侧一段的平衡，有 FN2-40+10=0 所以 FN2=40-10=30（kN） 沿截面3-3截开，由右侧一段的平衡，有 -FN3+20=0 所以 FN3=20（ kN ） （2）根据计算结果作出轴力图。 （3）讨论：由以上计算过程可以看出，将 平衡方程中的外力都移至等号右端，则有 FN=ΣFie 也就是说，横截面上的轴力，等于其左侧 （或右侧）一段杆上所有外力的代数和。掌 握这一关系，有利于快速计算轴力并画出轴 力图。
二、 内力及内力图解析
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m M B MC M x2 0 M x2 700N.m M D M x3 0 M x3 446N.m 3)根据内力值作轴的扭矩图d)
M x1
M x2
M x3
Mx(Nm)
B
C
446Байду номын сангаас
A
Dx
-350 -700
d)
2、扭矩图（扭转变形）
常见梁的形式：
a、简支梁:一端为活动铰链支座， 另一端为固定铰链支座。
b、外伸梁:一端或两端伸出支座 之外的梁。
c、悬臂梁:一端为固定端，另一 端为自由端的梁。
a)截面法求AC段轴力。沿截面1-1处截 开，取左段如图(b)
(a)
Fx 0 FN1 F1 0
FN1 F1 2.5kN
(b)
b)求BC段轴力。沿2-2截面处截开，取
右段如图(C)
Fx 0 FN 2 F3 0
(c)
FN 2 F3 1.5kN A
3)根据各段外力规律，作图AB杆的轴力
功率、转速和扭矩的关系：
Me
9549
P n
其中：M 为外力矩(N.m) P 为功率(kW) n 为转速(r/min)
扭矩图：扭矩图描述扭矩沿轴线的变化。
2、扭矩图（扭转变形）
例2-5 如图主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、 D输出功率分别为PB = PC = 11kW，PD = 14kW，轴的转速
例2-1：如左图，求n-n面的内力。 解：由截面法如图，取左半部分
Fx 0 FN FP
2、外力与内力之间的相依关系
3、杆件内力变化的一般规律
*内力（沿杆的轴线）是位置（x）的函数；杆上集中 力、集中力偶将杆分成若干段，内力是分段函数。 *当杆件外力沿轴线发生突变（有集中力或集中力偶） 时，内力也将发生突变； *当杆件外力沿轴线发生渐变（有分布力或分布力偶） 时，内力也将发生渐变。
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例：如左图，求n-n面的内力。 左半部分
Fx 0
FN FP
右半部分：
Fx 0 FN FP
左右两部分的力方向相反，但是同一内力， 因此规定内力由变形确定正负号，是标量。
§2-1 横截面上内力与内力分量
P2
P1
m
P4
P1
P2
m
P3 P2
P3
m P5
(a)
P1
y FR
m
M
C x
zm
(c)
P3
m
(b)
第二章 内力与内力图
§2-1 横截面上内力与内力分量 §2-2 轴向拉压杆的内力与内力图 §2-3 扭转圆轴的内力与内力图 §2-4 平面弯曲梁的内力与内力图 §2-5 平面刚架和曲杆的内力图
横截面上内力计算--截面法
截面法求内力步骤
❖ 将杆件在欲求内力的截面处假想的截断，取其中任一部分； ❖ 画出其受力图。所有外力，并在断面上画出相应内力； ❖ 由静平衡条件确定内力大小。
传动轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶
MA
9549
PA n
9549 36 300
1146N.m
M B MC 350N.m；M D 446N.m
2)由外力偶分段，用截面法分别求每段
轴的扭矩即为1-，由
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m
B
C
A
350
700
446 x
D
扭矩图例2
10kN 30kN.m 20kN.m
A
2m B
10kN.m
D C
M x (kN.m)
10
A
B
20
C
Dx
10
§2-4平面弯曲梁的内力与内力图
弯曲梁的概念及其简化
杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到垂 直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线变为 曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称 为平面弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。
P2 P3
y
P1
My
m
FQy
C
FQz m
FN
z Mz
Mx
x
(d)
一、基本变形—(轴向)拉伸、压缩
载荷特点：受轴向力作用
变形特点：各横截面沿轴 向做平动
内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN
其中：FN P
轴力正负规定：拉正压负。
即拉伸变形为正，压缩变形为负。
二、基本变形---剪切
▪ 载荷特点：作用力与截面平 行（垂直于轴线）
解：1)由杆件静平衡计算外力
Fx 0 F2 4kN
2)由外力分段，每段内力计算：
a)截面法求AC段轴力。沿截面1-1
(a)
处截开，取左段如图(b)
Fx 0 FN1 F1 0
FN1 F1 2.5kN
(b)
b)求BC段轴力。从2-2截面处截开，
取右段，如图14-1-3所示
(c)
Fx 0 FN 2 F3 0
Mx
其中：M x M
扭矩正负规定：右手螺旋法则，拇指离开截面为正， 指向截面为负。
四、基本变形---弯曲（平面）
▪ 载荷特点：在梁的对称截 面内，作用有力或力偶。
▪ 变形特点：梁的横截面绕 某轴转动一个角度。 中性轴（面）
▪ 内力：作用面垂直横截面的 一个力偶，简称弯矩M
▪ 内力沿截面方向（与轴向垂 直），简称 剪力 FQ 弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。 （形象记忆：笑正哭负）
外力 无外力偶 集中力偶
me
均匀分布力偶
mq
l
扭矩图
不变
突变。
方向：右手螺旋法则，四指指向外 力偶方向，拇指离开为正；
大小：集中力偶大小 me
在分布力的起始和终止截面，扭矩 没有突变。
以斜直线渐变。
方向：右手螺旋法则，四指指向外 力偶方向，拇指离开为正；
大小：m q l
扭矩图例1
M x (N.m)
内力的计算
❖ 截面法
如左图
内力的表示
❖ 轴力图----形象表示轴力沿轴线变化的情况 为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴 表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表示轴 力的大小，这样得到的图形称为轴力图
一、由轴力方程绘制轴力图
例 如图（a），F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。
轴力图例1
F1=500N F2=420N F3=280N F4=800N
A
B
C
DE
FN (N )
920
640 500
A
B
C
DE x
-160
轴力图例2
§2-3扭转圆轴的内力与内力图
扭转变形的定义
❖ 横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转 ❖ 以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴 ❖ 本课程主要研究圆截面轴
M B MC M x2 0 M x2 700N.m
M D M x3 0 M x3 446N.m
3)画扭矩图 d)
350N.m(BC段) M x 700N.m(CA段)
446N.m( AD段)
M x1
M x3
M x2
M x (N.m)
B
CA
350
700 d)
446 x
D
二、由外力直接绘制扭矩图
▪ 变形特点：各横截面发生相 互错动
▪ 内力特点：内力沿截面方向 （与轴向垂直），简称 剪力FQ
剪力正负规定：左上右下正；或顺正逆负。
左上：指研究体的左截面（右半边物体）剪力向下
三、基本变形---扭转
▪ 载荷特点：受绕轴线方向力偶 作用（力偶作用面平行于横截 面）
▪ 变形特点：横截面绕轴线 转动
▪ 内力：作用面与横截面重 合的一个力偶，称为扭矩 Mx或T
小结：基本变形产生的内力
变 形 产生内力名称 表示符号 ± 规 定 应力
拉、压 剪切 扭转
弯曲
轴力 剪力 扭矩 剪力 弯矩
FN
拉＋ 压－
σ
FQ
无
τ
M x 右手螺旋法则 τ
FQy FQz 顺＋ 逆－
τ
M z M y 笑＋ 哭－
σ
§2-2 轴向拉压杆件的内力与内力图
定义
❖ 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为 轴向拉伸或压缩
FN 2 F3 1.5kN
3)图（d）为AB杆的轴力图
A
B C
2.5kN(0 x a)
(d)
FN 1.5kN(a x a b)
外力 无外力
集中力F
均匀分布力 q L
二、由外力直接绘制轴力图
轴力图
不变
突变。 方向：拉正压负； 大小：集中力大小F 在分布力的起始和终止截面，轴力 没有突变。 以斜直线渐变。 方向：拉正压负； 大小：qL.
功率、转速和扭矩的关系
Me
9549
P n
扭矩图
其中：
M为外力矩(N.m) P为功率(kW) n转速(r/min)
❖ 仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，即 为扭矩图。
一、由扭矩方程绘制扭矩图
例 如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功 率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速Pn n=300r/min.试画