离散第2讲 广义并交、笛卡尔、归纳定义
考试必备离散数学概念总结
考试必备离散数学概念总结1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式2.1、若等价式A?B是重言式，则称A与B等值，记作A?B，并称A?B是等值式2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称2.3、设C1=l∨C1', C2=lc∨C2', C1'和C2'不含l和lc, 称C1∨'C2'为C1和C2(以l和lc为消解文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2)2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,?,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1≤j<k<=""></k3.1、设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，A1∧A2∧…∧Ak为假，或当A1∧A2∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.4.1、个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域(论域)——个体变项的取值范围4.2、谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：如, F(a)：a是人谓词变项：如, F(x)：x具有性质F一元谓词(n=1)——表示性质多元谓词(n≥2)——表示事物之间的关系0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项4.3、设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的字母表包括下述符号：非逻辑符号（个体常项符号、函数符号、谓词符号）和逻辑符号（个体变项符号、量词符号、联结词符号、括号与逗号）4.4、设R(x1, x2, …, xn)是L的任意n元谓词，t1, t2, …, tn 是L 的任意n个项，则称R(t1,t2, …, tn)是L的原子公式.4.5、在公式?xA 和?xA 中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在?x和?x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现.4.6、若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.6.1、A?B??x ( x∈A →x∈B )6.2、A = B?A?B∧B?A6.3、A?B?A?B∧A≠BA?B??x ( x∈A ∧x?B )6.4、幂集：P(A)={ x | x ?A } （一定包含空集）6.5、并A?B = {x | x∈A∨x∈B}交A?B = {x | x∈A∧x∈B}相对补A-B = {x | x∈A∧x?B}对称差A⊕B = (A-B)?(B-A)绝对补~A = E-A6.6、广义并?A = { x | ?z ( z∈A∧x∈z )}广义交?A= { x | ?z ( z∈A →x∈z )}7.1、设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A?B，且A?B = {| x∈A∧y∈B}.7.2、设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.（计数：|A|=n, |A×A|=n^2, 所以A上有2^(n^2)个不同的二元关系。
《离散数学》讲义 - 2
注意：
①括号的约定，与命题逻辑合式公式对括号的约定 类似，但量词后的括号不能省略。 ②谓词合式公式简称为谓词公式。
离散数学
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小结
谓词函数
谓词和客体变元 谓词函数、命题 客体变元取值范围及真值
个体域和全总个体域 量词
存在量词和全称量词（表示及判定）
谓词公式 谓词表达式表示命题或句子（带有量词）
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小结
谓词公式翻译
量词 谓词函数 联结词
离散数学
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2－3习题作业
P62 (3)a),c);(5);(7)
离散数学
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2－4 变元的约束
离散数学
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1、概念
（1）指导变元（作用变元）和作用域（辖域） 给定a为一个谓词公式，其中有一部分公式形 式为(x)P(x)或(x)P(x)。其中、后面跟的x 叫做量词的指导变元或作用变元；P(x)叫做相应量 词的作用域或辖域。 注意：括号有决定性的作用。
离散数学 28
附3：一些人对某种食物过敏。 解：设：M(x)：x是人。 R(y)：y是食物。 Q(x,y)：x对y过敏。 (x)(M(x)(y)(R(y)Q(x,y)))
离散数学
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附4：有且仅有一个偶数是质数。 分析：命题（有一个偶数是质数）（只有一个偶数是质 数） 解：设：P(x)：x是偶数。 Q(x)：x是质数。 E(x,y)：x等于y。 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)Q(y))E(x,y))) 或 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)E(x,y))Q(y)))
离散数学
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2、n元谓词的确定－约束变元的概念
根据约束变元的概念，P(x1,x2,…,xn)是n元 谓词，它有n个相互独立的自由变元。若对其中的 k个变元进行约束则成为n－k元谓词。即根据谓词 公式中所包含的自由变元的个数。 谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式 就成为一个命题。
离散数学知识点总结
注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。
也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。
选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。
如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。
关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。
当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。
蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。
离散数学数理逻辑部分定义与概念
离散数学数理逻辑部分定义与概念命题逻辑1.（论域）定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；(2)一个关于D的函数集合F；(3)一个关于D的关系集合R。
2.（逻辑连接词）定义设n > 0，称{0, 1}n到{0, 1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
若n = 0，则称为0元函数。
3.（命题合式公式）定义(1)常元0和1是合式公式；(2)命题变元是合式公式；(3)若Q, R是合式公式，则(?Q)、(Q∧R)、(Q∨R)、(Q→R)、(Q?R)、(Q⊕R)是合式公式；(4)只有有限次应用(1)-(3)构成的公式是合式公式。
4.（生成公式）定义：设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
⑵原子公式是由S生成的公式。
⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1, …, A n是由S生成的公式，则F A1…A n是由S生成的公式。
5.（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)常元复杂度为0。
命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC(P) = 0。
如果公式A = ?B，则FC(A) = FC(B)+ 1。
如果公式A = B1∧B2，或A = B1∨B2，或A = B1→B2，或A = B1?B2，或A = B1⊕B2，或则FC(A) = max{FC(B1), FC(B2)} + 1。
6.命题合式公式语义论域：研究对象的集合。
解释：用论域的对象对应变元。
结构：论域和解释称为结构。
语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
7.（合式公式语义）设S是联结词的集合是{?，∧，∨，⊕，→，?}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：⑴v(0) = 0, v(1) = 1。
⑵若Q是命题变元p，则v(Q) = pv。
⑶若Q1, Q2是合式公式若Q = ?Q1，则v(Q) = ?v(Q1)若Q = Q1∧Q2，则v(Q) = v(Q1) ∧v(Q2)若Q = Q1∨ Q2，则v(Q) = v(Q1) ∨v(Q2)若Q = Q1→Q2，则v(Q) = v(Q1) →v(Q2)若Q = Q1?Q2，则v(Q) = v(Q1) ?v(Q2)若Q = Q1⊕Q2，则v(Q) = v(Q1) ⊕v(Q2)8.（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q) = c。
离散数学 第2章 谓词逻辑
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2.1 个体、谓词与量词
例2.1.3 符号化下列命题。 （1）所有的人是要呼吸的。 解：符号化为(x)(M(x)H(x)) ，其中M(x)：x是 人。H(x)：x要呼吸的。 （2）每个自然数都是实数。 解：符号化为(x)(N(x)R(x))，其中N(x)：x是自 然数。R(x)：x是实数。 （3）有些人是聪明的。 解：符号化为(x)(M(x)I(x))，其中M(x)：x是人。 I(x)：x是聪明的。
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2.1 个体、谓词与量词
该例的(1)为例分析命题的真值，若x的个体域 为某大学计算机系的全体学生，则S(a)为真； 若x的个体域为某中学的全体学生，则S(a)为假； 若x的个体域为某电影院中的观众，则S(a)真值 不确定。所以个体变元在哪些范围取特定的值， 对命题的真值极有影响。 个体变元的取值范围称为个体域或论域，把宇 宙间一切事物组成的个体域称为全总个体域。 对个体变元变化范围进行限定的谓词称为特性 谓词。如采用一个谓词如P(x)来限制个体变元x 的取值范围，该P(x)就是特性谓词
表示具体性质或关系的谓词称为谓词常元，表示抽象的或 泛指的性质或关系的谓词称为谓词变元
2014-5-11 计算机信息工程学院
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2.1 个体、谓词与量词
一个原子命题用一个谓词(如P)和n个有次序的 个体常元(如a1，a2，…，an)表示成P(a1， a2，…，an)，称它为该原子命题的谓词形式或 命题的谓词形式。 由一个谓词(如P)和n个个体变元(如x1，x2，…， xn)组成的P(x1，x2，…，xn)，称它为n元原子 谓词或n元命题函数，简称n元谓词。 当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二元谓 词，…。一元谓词表达了个体的性质，而n 元 谓词表达了 个个体之间的关系。
离散数学第二章讲解
练习
1. 设A={0,1}, B={1,2}, 则AB ={(0,1),(0,2), (1,1),(1,2)} BB ={(1,1),(1,2), (2,1),(2,2)}
2. #A=2, #B=3 则#(AB)= 6
#(2AB)= 26 由A到B的不同的关系的个数是 26
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普遍关系 因为AB AB，AA AA 所以AB是一个由A到B的关系 AA是A上的一个关系
常将AA记作UA={(ai,aj)|ai,ajA}
恒等关系 定义集合A上的恒等关系IA={(a,a)|aA}
例:设A={a,b,c},则 UA=AA={(a,a),(a,b),(a,c), (b,a),(b,b),(b,c), (c,a),(c,b),(c,c)}是A上的普遍 关系 IA={(a,a),(b,b),(c,c)}是A上的恒等关系
2018/12/20 14
对于B={2,5,8}
则B×B ={(2,2),(2,5),(2,8),(5,2),(5,5),(5,8) ,(8,2),(8,5),(8,8)} 令6={(2,2),(5,2),(8,2)}
7={(8,5), (5,2),(2,8),(2,5)}
因为6 BB, 7 BB, 所以，6, 7均是集合B上的关系
其中第i个元素ai称为该有序n元组的第i个坐标。
例 {a,b,c,d}={b,a,d,c},但(a,b,c,d)(b,a,d,c) {4,4,3,2}={4,3,2} ,但(4,4,3,2)(4,3,2) 当n=2时，有序二元组(a,b)又称为序偶。
2018/12/20 2
定义：设(a1,a2,…,an) 和(b1,b2,…,bn)是两个有序n元组， 若a1= b1, a2=b2,…,an=bn,则称这两个有序n元组相等，并 记作(a1,a2,…,an)=(b1,b2,…,bn)。
离散数学教程——集合的基本概念
集。记为P(A)。
例 1.1（已知A，求幂集）
定理 1.3 | P(A) |=2|A|
证明方法：组合的方法
求幂集 —— 代数法
P13 习题1.13 设A={a, {a}}，问： (1) {a}P(A)? {a}P(A)? (2) {{a}}P(A)? {{a}}P(A)? (3) 又设A={a, {b}}，重复(1)、(2)。 解: (1, 2)首先求P(A)，代数法：
反证法的思想 / 思维过程
“结论不成立”与“结论成立”必有一 个正确。
“结论不成立”会导致出现错误，推理 过程、已知条件、公理和已知定理没有错 误，惟一有错误的是一开始接假定的“结 论不成立”，所以“结论不可能不成立”， 即“结论成立”。
1.2 集合的子集
六 定义1.5（幂集）：
A的所有子集组成的集合称为A的幂
离散数学教程
——集合的基本概念
1.1 集合的表示 1.2 集合的子集 1.3 笛卡尔积 1.4 集合的运算 1.5 罗素悖论
引言：什么是集合？
一些自行车 在计算机系车棚内的自行车
一些自行车 不是集合，无法确定范围和性质
在计算机系车棚内的自行车 是集合，可以确定范围和性质
1.1 集合的表示
(1) 分配律
B(A1A2…An)=(BA1) (BA2) … (BAn) B(A1 A2… An)= (BA1) (BA2)…(BAn) (2) 狄•摩根律
n i 1
Ai
n i 1
Ai
n i 1
Ai
n i 1
Ai
1.4 集合的运算
六、广义并、广义交 1. 定义（广义并）
设Ǽ为一个集合族，称由Ǽ中全体元素的元 素组成的集合成为的Ǽ广义并集，记作Ǽ ，
离散数学讲义第2章
10
2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
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2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
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某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
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2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
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S = {123, 55, 1+2, －100， (99×3)／10, …} ? S = {x | x是一算术表达式} ? (1) 如果x是整数，则xS（是算术表达式） (2) 如果x, y S ，则(+ x) 、(– x) 、(x + y) 、(x – y) 、(x y) 、(x／y) 均S （均是算术表达式） (3)只有有限次应用条款1、2所得的符号序列S
A1 A2 = {<x, y> | x A1，y A2}
说明
运算是左结合的 A1A2…An = (A1A2…An–1) An 当A1=A2=…=An=A时，A1A2… An记作An A1A2…An = {< a1, a2, …, an> | a1 A1，…, an An}
第2讲 集合的算与归纳定义
本质上，n元有序组依然是序偶 定理1.18：对任意对象a1, a2, …, an，b1, b2, …, bn， < a1, a2, …, an > = < b1, b2, …, bn >当且仅当a1=b1，
a2=b2，…，an=bn
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合的笛卡尔积
定义1.11：对任意集合A1, A2，A1A2叫做A1, A2的 笛卡尔积，定义如下：
❖笛卡尔积运算举例
例1.10 A={1, 2}, B={a, b, c}, C={}, R为实数集 A×B，B×A A×B×C， A×(B×C) A×， ×A R2， R3
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖笛卡儿积的性质
定理1.20 设A、B、C为任意集合，表示∪，∩ 或－运算，那么：
A (B C) = (A B) (A C) (B C) A = (B A) (C A)
定理1.21 对任意有限集合A1, A2, …, An，有：|A1 A2… An| = |A1|·|A2|·…·|An|
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖PowerPoint Template_Sub
1.1 集合的概念与表示 1.2 集合运算 1.3 集合的归纳定义
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合的表示方法
计算机专业基础课程 授课人：梁妍
❖PowerPoint Template_Sub
1.1 集合的概念与表示 1.2 集合运算 1.3 集合的归纳定义
第2讲 集合的运算与归纳定义
《离散数学》第2讲 ❖集合运算与归纳定义 Page 7 to 13
❖内容提要
集合的运算
广义并、广义交运算 序偶和n元有序组 笛卡尔积
2、归纳条款： 指出由已确定元素构造新元素的规则；
款
━ 从基本元素出发，反复运用这些规则，可得到欲定义之
集合的所有成员。
纯 3、终极条款： 断定只有有限次应用条款1、2所得元素
粹 性
才是欲定义之集合的元素。
条 款
━ 保证整个定义过程所规定的集合只包括满足要求的那些
对象。
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖归纳定义举例
∪C = N, ∩C = {0}
C
=
{Nd
|
dI+}，∪C
= dI
Nd
Nd, ∩C =
d 1
dI
Nd
Nd
d 1
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖广义并、交运算实例
∪{A, B} = AB ∩{A, B} = AB ∪{A, B, C} = ABC ∩{A, B, C} = ABC ∪{} = ∩{} = ∪{, {}} = {} ∩{, {}} = ∪{, A} =A ∩{, A} =
定理1.17：对任意序偶<a,b>, <c, d>， <a,b>=<c, d>当且仅当a=c且b=d。
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖n元有序组
定义1.10： n元有序组<a1, a2, …, an>可以从二元 有序组（序偶）出发，递归地定义如下
<a1, a2> = {{a1}, {a1, a2}} <a1, a2 , a3 > = <<a1, a2>, a3 > … <a1, a2, …, an> = <<a1, a2, …, an–1>, an> 其中ai称为n元有序组的第i分量
集合的归纳定义
集合的归纳定义方法 集合定义的自然数
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合族的概念
定义1.7：称每个元素都是集合的集合为集合族 （collection）。 若集合族C可表示为C = { Sd | dD }，则称D为 集合族C的标志集（index set）。
C = {{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, …} C = {Nd | dI+}
例1.11 归纳定义偶数集合E+
基础条款：0E+ 归纳条款：如果xE+，那么x+2E+
如果xE+，那么x-2E+ 终极条款：只有有限次应用条款1、2所得元素才是E+ 的元素
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖与形式语言有关的一些概念
字母表：指有限非空的符号的集合，一般用表示 二进制基数的集合 ={0，1} 26个英文字母定义的集合 ={a, b, c, …, x, y, z}
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合的广义并和广义交
定义1.8：设C为非空集合族
（1）∪C = {x | 存在某个S，满足SC并且xS} ∪C称为C的广义并 (C中所有集合的并)
（2）∩C = {x | 对任意的S，如果SC则一定有xS} ∩C称为C的广义交(C中所有集合的交)
例如
C = {{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, …}
字：指有限数目的符号所组成的串，若每一符号均取自字 母表之上，则称为字母表之上的一个字，用表示空字 01，100，101， a, aa, bike, iwefhweoi, ….
以上第三种定义方法称为归纳法
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合的归纳定义(inductive definition)
一个集合的归纳定义由三部分组成：
1、基础条款： 指出某些元素属于欲定义之集合；
━ 奠基，确定集合的基本成员，其他成员可以此为基础逐
完 备
步确定。一般来讲要求基础集合尽可能的小。
性 条
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖序偶(ordered pairs)
如何在集合的基础上定义可出以是次单序个客的体概，念？
集合，甚至序偶
定义1.9：设a, b为任意对象，称集合{{a}, {a, b}} 为二元有序组，或序偶，简记作<a,b>。其中a称 为序偶<a,b>的第一分量，b称为序偶的<a,b>第二 分量。