人教版八年级数学上册14.1.4整式的乘法_第4课时(1)
a ）
上述运算能否发现 商与除数、被除数 有什么关系？
探究
根据除法的意义填空，看看计算结果 有什么规律:
5-3 ) 5 3 ( (1)5 ÷5 =5 ;
(2)107÷105=10( 7-5);
6-3) 6 3 ( (3)a ÷a =a .
探究
根据除法的意义填空，看看计算结果 有什么规律:
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第4课时
复习巩固
三种幂的运算
1、同底数幂的乘法：am · an=am+n (m、n都是正整数） 即：同底幂相乘，底数不变，指数相加。 2、幂的乘方：(am)n=amn (m、n都是正整数) 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、积的乘方：(ab)n=anbn (n是正整数) 即：积的乘方，等于积中各个因式分别乘方的积。
4、8（2a＋b）4÷（2a＋b）2
解:6a3b4÷3a2b =(6÷3)·(a3÷a2)·(b4÷b) =2ab3
例2：月球距离地球大约3.48×105千米， 一架飞机的速度约为8 ×102千米/小时。 如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大 约需要多少时间？
解： (3. 48×105) ÷(8 ×102)
• 填空： •
( 2)×(2)×( 2)×( 2)×( 2)
3 5 （1）2 ÷ =
2
•
•
（ 2） 6
=2(5)－(3)
————————— = 2 ( 2 ) ( 2)×( 2)×( 2)
( a) ( a ) (a ) ( a) (a) ( a)
a ÷a2= ———————-----( a) ( a)
2 3
（3）[(2x+y)2-y(y+4x)-8x)]÷2x
解：原式 (4 x 4 xy y y 4 xy 8x) 2 x
2 2 2 2
(4 x 8x) 2 x 2x 4
4、化简求值: [4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)]÷xy, 1 其中x=-2, y= 5
注意
探究
再利用am÷an=amn计算，发现了什么？
分别根据除法的意义填空， 你能得什么结论? (1) 32÷32= ( 1 ); 32÷32 =32-2= 30
(2) 103÷103= ( 1 ); 103÷103 =103-3= 100
(3) am÷am=( 1 ) (a≠0).
am÷am =am-m= a0
5
b c 15a b .
3 4
分析：1.判定运算类型
2.依据单项式除以单项式法则计算： ①系数相除 ②同底数幂相除 ③对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数作为商的一个因式.
尝试计算 3 4 2 1.6a b ÷3a b 3 2 5 2 2.（14a b x ）÷（2ab ）
2 2 3 3、2a b· （-3b ）÷（4ab ）
归纳与梳理
已学过的幂运算性质 • （1）am· an=am+n (a≠0 m、n为正整数)
• （2）am÷an= am-n m>n) • （3）(am)n= amn
• （4）(ab)n=
(a≠0 m、n为正整数且 (a≠0 m、n为正整数)
anbn (a≠0 m、n为正整数)
实践与创新
am÷an=am-n, 则am-n=am÷an
12a b x 3ab
3 2 3
2
12a 3b 2 x 3 3ab2是 （ 12a3b2 x3） （ 3ab2）
的意思.
这个式子的运算是单项式除以单项式.
提出问题 探究新知
问题2
你能用自己现有的知识和数学方法 计算出这个式子的结果吗？请你试一试.
12a b x 3ab 4a x
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
同底数幂的 除法法则
am÷an= am–n （a≠0, m、n都是正整数，且m>n）
相减 同底数幂相除，底数_____, 不变 指数______.
【例1】计算： (1) a7÷a4; (3); (xy) 4÷(xy)
(2) (-x)6÷(-x)3; (4) b2m+2÷b2 .
(6) x 2 y 2 x 2 y x 2 y 4 y x+2y
=[x2+4xy+4y2 –(x2–4y2)] =[4xy+8y2]
1、直接说出结果 （1） –12a5b3c÷(–4a2b)= 3a3b2c （2）(–5a2b)2÷5a3b2 = 5a
a0=1 (a≠0). 即任何不等于0的数的0次幂都等于1 am÷an=am-n (a≠0,m,n 都是正整数，并且m≥ >n)
例3：计算下列各式：
(1) 13690
=1
(2) (700-42×32)0 =1 (3) a5÷(a0)8 =a5 ÷ 1 = a5
(4) (an)0· a2+n÷a3 =1 · a2+n ÷ a3
请说出多项式除以单项 式的运算法则
你能计算下列各题？说说你的理由。
a+b （1）(ad+bd)÷d=__________ ab+3b （2）(a2b+3ab)÷a=_________ 2-2 3 y （3）(xy -2xy)÷(xy)=_______
你找到了 多项式除以单项式的规律 吗？
多项式除以单项式，先把这个多 项式的每一项分别除以单项式，再 把所得的商相加。
继续努力!
2 2 2
（1） (5ax 15x) 5 x (3) (4a b 6a b c 2ab ) (2ab )
3 3 2 3 5 2
（2） (12m n 15m n ) 6m n 1 3 2 1 2 2 2 (4)(x y x y 2 x y ) xy 2 2
2.计算：
（1 ）
(6ab 5a) a
2 2
（2 ）
(15x y 10xy ) 5xy
计算：
4 2
（1） (9 x 15 x 6 x) 3x；
3 2 2 3 2 2 2
（2） (28a b c a b 14 a b ) (7a b)；
(1) 2 4 ) (6 x) (3x) 解: 原式＝(9x ) (3x) ＋(15x ) (3x＋
=a ( 4) =a( 6 )－( 2 ) （a≠0）
1．计算： （1）（28）· 28=216 （2）（52）· 53=55
5=107（4）（ 3）· 3=a6 2 （3）（ ） · 10 a a 10
2.计算：
乘法与除法互为逆运算
3 2 6 3 10 ）（4）a ÷a =（
（1）216÷28=（ 28 ） （2）55÷53=（ 52 ）
= an-1
【例题】
例 计算: （1 ）x 8÷x 2 . （2）a4 ÷a. （3）(ab) 5÷(ab)2.（4）（-a）7÷（-a）5. （5）(-b) 5÷(-b)2.
【解析】(1) x8÷x2=x8-2=x6. (2)a4÷a =a4-1=a3. (3)(ab) 5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3. （4）(-a)7÷(-a)5=(-a)7-5=(-a)2=a2. (5)(-b)5÷(-b)2=(-b)5-2=(-b)3=-b3.
解： (1) a7÷a4 = a7–4 = a3 ; (2) (-x)6÷(-x)3 = (-x)6–3 = (-x)3 = -x3 ; (3) (xy)4÷(xy) =(xy)4–1 =(xy)3 =x3y3 (4) b2m+2÷b2 = b2m+2 – 2 = b2m .
最后结果中幂的形式应是最简的. ②底数中系数不能为负； ① 幂的指数、底数都应是最简的； ② 幂的底数是积的形式时，要再用一次(ab)n=an bn.
计算： （1）3 xy y y =3x+1
（2）ma mb mc m =a+b+c
（3）6c2d c3d 3 2c2d 3 1 cd 2
2 （4）4 x2 y 3 xy2 7 xy 4 x 3 y 7 7 (5) (a b)2 (a b)2 2( ab ) 2
基本知识—单项式除以单项式法则 一般地，单项式相除，把系数与同 底数幂分别相除作为商的因式，对于 只在被除式里含有的字母，则连同它 的指数作为商的一个因式.
数学思想—转化 单项式相除 同底数幂相除
协作探究
（2 ） 5a
28 x y 7x y ;
2 3
(4x y 2xy ) 2xy
2 2
问题8
你能归纳出多项式除以单项式的法 则吗？
单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘，就是 用单项式 去乘 多项式 的每一项，再 把所得的积 相加 。
多项式除以单项式
m(a+b+c)= am+bm+cm 反之(am+bm+cm)÷m =am÷m+bm÷m+cm÷m =a+b+c
1 (a+b)3 = 8(a+b)4 2 （4）(–3ab2c)3÷(–3ab2c)2 = –3ab2c
（3）4(a+b)7 ÷
3、计算：
1)-a5÷(-a)2 2)a2mn÷amn-1
-a3
amn+1
3)-[(-2a2)2]÷[-(-a3)] -4a
4)-12(a2b3)3÷(1 ab2)2 -48a4b5
(1)
(2)
2 ) 5 3 ( 5 ÷5 =5 ; 2) 7 5 ( 10 ÷10 =10 ; 3
八年级上册数学(人教版)课件：14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法 第4课时 整式的除法
14．1 整式的乘法
14．1.4 整式的乘法 第4课时 整式的除法
知识点1：同底数幂的除法 1．(2014·天津)计算x5÷x2的结果等于____x_3． 2．计算(－x)3÷(－x)2的结果是( A) A．－x B．x C．－x5 D．x5 3．下列计算，结果正确的是( D) A．x2÷x＝x2 B．a3÷a3＝a3－3＝0 C．(－x)5÷x2＝(－x)2＝x2 D．(－a)3÷a2＝－a 4．若a6m÷ax＝a2m，则x的值是( A) A．4m B．3m C．3 D．2m
16．(2015·安顺模拟)下列计算正确的是( C ) A．a3·a2＝2a3 B．a3÷a＝a3 C．a＋a＝2a D．(a3)2＝a5 17．若多项式－6ab＋18abx＋24aby等于一个因式与－6ab的积，那 么这个因式是D( ) A．－1－3x＋4y B．1＋3x－4y C．－1－3x－4y D．1－3x－4y 18．长方形的面积为4a2－6ab＋2a，若它的一条边长为2a，则它的 周长是8_a－__6_b_＋__2___．
知识点2：零指数幂的意义 5．(3.14－π)0＝___1_． 6．等式(x－1)0＝1成立的条件是__x_≠__1__． 7．下列各式的计算中一定正确的是( D ) A．(2x－3)0＝1 B．π0＝0 C．(a2－1)0＝1 D．(m2＋1)0＝1 8．若(x－2015)0＝1成立，则x的取值范围是( C ) A．x≥2015 B．x≤2015 C．x≠2015 D．x＝2015
知识点 3：单项式除以单项式 9．(2014·重庆)计算 2x6÷x4 的结果是( B ) A．x2 B．2x2 C．2x4 D．2x10 10．若 15x8y2z÷( )＝3xyz，则括号内所填的代数式为( C ) A．5x7yz B．5x8y C．5x7y D.15x7y 11．已知 8a3bm÷28anb2＝27b2，那么 m，n 的值为( A ) A．m＝4，n＝3 B．m＝2，n＝3 C．m＝4，n＝1 D．m＝1，n＝3
人教版数学八年级上册14.1.4整式的乘法(第4课时)优秀教学案例
在教学评价方面，我采用了多元化的评价方式，既注重学生的课堂表现，也关注学生的作业完成情况。通过及时反馈，让学生了解自己的学习情况，提高学生的学习效果。此外，我还针对学生的个体差异，给予不同的指导和帮助，让每个学生都能在课堂上得到有效的学习。
2.通过多媒体展示、实物演示等方式，形象直观地展示整式乘法的运算过程，增强学生的直观感受。
3.设计具有挑战性和启发性的问题，激发学生的思考，引导学生主动探索整式乘法的运算规律。
4.创设轻松、愉快的学习氛围，使学生在课堂上能够放松心情，积极主动地参与学习活动。
（二）问题导向
1.针对整式乘法的重难点，设计系列问题，引导学生逐步深入思考，自主探索解题思路。
4.讲解多项式乘以多项式的运算规则，举例说明运算过程，让学生熟练掌握相关运算。
（三）学生小组讨论
1.分配任务，让学生分组讨论如何将实际问题转化为整式乘法问题。
2.引导学生运用已学知识，分析问题、解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3.教师巡回指导，及时发现学生在小组讨论中的问题，给予针对性的帮助和指导。
人教版数学八年级上册14.1.4整式的乘法（第4课时）优秀教学案例
一、案例背景
本节课是人教版数学八年级上册第14章第1节第4课时，内容是整式的乘法。在此之前，学生已经学习了整式的加减、乘方以及因式分解等基础知识。通过前面的学习，学生已经掌握了整式的基本运算方法和技巧，但对于整式的乘法运算还不太熟练，特别是对于多项式乘以多项式的运算方法还不太理解。因此，本节课的教学目标是让学生掌握整式乘法的基本运算方法，提高学生的运算能力，培养学生的逻辑思维能力。
人教版八年级上册14.1.4整式乘法(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式乘法的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对整式乘法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
此外，小组讨论的环节中，学生的参与度很高，他们能够积极思考并提出自己的见解。但在引导讨论的过程中，我发现有些问题设置得不够清晰，导致学生的思考方向出现偏差。针对这个问题，我计划在今后的教学中，提前设计更具有针对性和启发性的问题，确保学生的讨论能够更加高效。
在实践活动方面，学生对实验操作的环节表现出很高的热情。但我也观察到，在操作过程中，部分学生对整式乘法的运用还不够熟练。为了提高学生的操作能力，我考虑在课后增加一些类似的练习，让学生有更多的机会动手实践，从而加深对整式乘法的理解。
人教版八年级上册14.1.4整式乘法（教案）
一、教学内容
人教版八年级上册14.1.4整式乘法：
1.多项式乘以多项式；
2.多项式乘以单项式；
3.单项式乘以单项式；
4.整式的乘法法则及应用；
5.举例说明整式乘法在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生运用整式乘法解决实际问题的能力，增强数学的应用意识；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整式乘法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版数学八年级上册教学设计《14-1整式的乘法》(第4课时)
人教版数学八年级上册教学设计《14-1整式的乘法》（第4课时）一. 教材分析《14-1整式的乘法》是人教版数学八年级上册的教学内容，本节课主要介绍整式乘法的基本概念和运算法则。
通过本节课的学习，学生能够理解整式乘法的意义，掌握整式乘法的基本技巧，并能够应用整式乘法解决实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固整式乘法的知识和技能。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了整式的加减法、乘法的基本概念，对整式的运算法则有一定的了解。
但是，学生可能对整式乘法的具体操作方法和技巧还不够熟练，需要通过本节课的学习和实践来进一步提高。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解整式乘法的概念，掌握整式乘法的运算法则，并能够熟练地进行整式乘法的运算。
2.过程与方法目标：学生通过小组合作和探究，培养团队合作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生通过解决实际问题，体验数学与生活的联系，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.教学重点：整式乘法的概念和运算法则。
2.教学难点：整式乘法在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解和示范，引导学生理解整式乘法的概念和运算法则。
2.实践法：学生通过自主学习和合作交流，进行整式乘法的实践操作，提高运算技巧。
3.问题解决法：教师提出实际问题，引导学生运用整式乘法进行解决，培养学生的应用能力。
六. 教学准备1.教学课件：教师准备相关的教学课件，用于辅助讲解和展示。
2.练习题：教师准备适量的练习题，用于巩固学生的学习成果。
3.教学黑板：教师准备黑板，用于板书和展示解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，并提出问题：“如何计算两个整式的乘积？”引导学生思考整式乘法的意义和必要性。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，呈现整式乘法的概念和运算法则，引导学生理解和掌握整式乘法的基本方法。
3.操练（10分钟）学生分组进行合作交流，进行整式乘法的实践操作。
八年级数学上册 14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法 第4课时 整式的除法教学设计 (新版
八年级数学上册 14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法第4课时整式的除法教学设计（新版）新人教版一. 教材分析整式的乘除法是八年级数学上册第14.1节的内容，这一部分主要让学生掌握整式相乘和相除的法则，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过实例引入整式的乘除法，让学生在具体的情境中探索和发现规律，进而掌握运算法则。
本节课的内容是整式除法，是整式乘除法的进一步延伸，对于学生来说，具有一定的挑战性。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了整式的基本概念，具有一定的数学基础。
但是，对于整式的乘除法，他们可能还存在着一些模糊的认识，需要通过具体的实例和练习来进一步理解和掌握。
同时，学生可能对于如何将实际问题转化为数学问题还存在着一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解整式除法的概念，掌握整式除法的运算法则。
2.能够运用整式除法解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：整式除法的概念和运算法则。
2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，运用整式除法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、分组讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习，发现和总结整式除法的运算法则，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入整式除法概念。
例如，已知多项式f(x)=x^2+4x+4可以被多项式g(x)=x+2整除，让学生思考如何求出商和余数。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示整式除法的定义和运算法则，引导学生理解和记忆。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用PPT中的例题，自己动手完成整式除法的运算，并互相检查。
人教版-数学-八年级上册- 14.1.4整式的乘法(1)(第4课时) 教学案
5．下面计算的对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1） （2）
（3） （4）
6.计算
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
7.小明的步长为 ，他量得一间屋子长15步，宽14步，这间屋子的面积有 .
8．计算：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
9．如图所示，计算变压器铁心片的面积．（单位：cm）
1．回忆单项式的概念：
（1）怎样的式子是单项式？
单项式 的系数是，次数是；其中字母 的指数是，字母 的指数是．
（2）单项式 的系数是，次数是；其中字母 的指数是，字母 的指数是．
（3）回忆：同底数幂的乘法法则是底数不变，指数：例如： ．
2．问题：
光的速度约为3×105千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？
A. B.
C. D.
【课堂小结】
1.单项式与单项式相乘的法则：；
2. 单项式×单项式结果是
课后作业1404—整式的乘法
1、下列计算中，正确的是（）
A． B．
C． D．
2．用科学记数法表示 的结果应为（）
A． B． C． D．
3．计算 的结果是（）
A． B． C． D．
4．下列计算中，正确的是（）
A． B．
【教学反思】
（1）怎样计算（3×105）×（5×102）？计算过程中用到哪些运算律及运算性质？
（2）如果将上式中的数字改为字母，比如 怎样计算这个式子？
概括：单项式与单项式相乘的法则：
.
3．利用法
= 根据是：.
=.根据是：.
8 人教初中数学八上 14.1.4 整式的乘法( 1课时)教案 【2023,最新经典教案】
14．１．4 整式的乘法（1)教学目标 探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力 教学重点 单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则 课时分配 3课时班 级教学过程设计意图 第一课时:(一)知识回顾：回忆幂的运算性质： a m·a n=a ｍ+n(a m )ｎ=a mn(ab ）n＝ａnb n(ｍ，n 都是正整数）（二）创设情境,引入新课1．问题:光的速度约为3×10５千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？【1】2．学生分析解决：(3×105)×（5×102)=(3×５)×(105×10２）=15×１0７【2】 3．问题的推广：如果将上式中的数字改为字母,即ａc 5·ｂc ２,如何计算？【3】ac 5·bc 2=(a·ｃ5)·（b ·ｃ2) =(ａ·ｂ)·（c ５·ｃ2) =abc５＋２＝ab ｃ7．（三)自己动手,得到新知1.类似地,请你试着计算:(1）2c 5·５c 2；(2）(-５a 2ｂ3)·(－4b 2ｃ)【4】2.得出结论：单项式与单项式相乘:把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. （四)巩固结论,加强练习例：计算: （-5a ２b ）·(-3a) (2x ）3·(－5xy 2）练习：课本练习1，２【１】让学生自己动手试一试,在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系. 【2】提问学生原因 【3】从特殊到一般,从具体到抽象,让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则. 【4】先不给出单项式与单项式相乘的运算法则,而是让学生类比.单项式乘以单项式的运算法则 （二） 创设情境，提出问题１.问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位:瓶），分别是a,b ，ｃ．你能用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗? 2．学生分析：【1】 3. 得到结果:一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入, 即总收入为：__＿＿____＿__＿＿＿__ 另一种方法是先分别求三家连锁店的收入,再求它们的和 即总收入为:_＿_＿____＿＿__＿_＿＿ 所以:m （ａ+ｂ+c)= m ａ+mb+mc 4．提出问题：根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗?（三） 总结结论【2】单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即:m(a+b ＋c)= ma+mb+mc （四） 巩固练习 例: 2a ２·(３a 2-５b) ab ab ab 21)232(2•- （-4x 2） ·(3ｘ+1)；练习:课本练习1，2 (五）附加练习1.若(-５a m+1b ２ｎ-1)(２a n b m )=-10a 4ｂ4，则ｍ－ｎ的值为_＿＿___ 2．计算：(a 3b ）2(a 2b)3 3. 计算：（3a ２b)2+(-2a ｂ）(－4a 3ｂ）4. 计算:)34232()25-(2y xy xy xy +-• 5．计算：)227(6)5)(3-(2222y xy x y x xy -+６.已知,3,2==b a 求)232()(32222a ab a ab ab ab b a ab -+--+的值 7.解不等式：12)23()1(222-〉+--+x x x x x x8．若m x x +-322与22-+mx x 的和中不含x 项,求m 的值，并说明不论x 取何值，它的值总是正数 （五）小结 【1】这个实际问题来源于学生的生活实际,所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论.【2】这个问题让学生回答,参照乘法分配率作业板书设计教学反思预习要点单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则 （二） 创设情境，感知新知1．问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长ａ米,宽m 米的长方形绿地增长b 米,加宽n 米，求扩地以后的面积是多少？2. 提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系?【1】 3．学生分析4．得出结果：方法一：这块花园现在长(a+b)米,宽(ｍ+n ）米，因而面积为（a ＋b)（m＋n ）米2.方法二:这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为:am 米2、ａn 米2、bm 米2、ｂn 米2，故这块绿地的面积为(ａm ＋an+ｂm+b ｎ)米2．（ａ+b ）(m+ｎ)和(am+a ｎ＋bm+ｂｎ）表示同一块绿地的面积, 所以有（a ＋ｂ）(ｍ+ｎ)=a ｍ+ａn+bm+bn 【２】（三） 学生动手，推导结论 １. 引导观察：等式的左边(a+b ）(ｍ＋n)是两个多项式（ａ+b ）与(m ＋ｎ)相乘 ,把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+ｂ）与（m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘,这是一个我们已经解决的问题,请同学们试着做一做.2.学生动手：3. 过程分析:(ａ+ｂ)（m ＋ｎ)=ａ(ｍ+n)+ｂ(ｍ+ｎ) －---单×多 =am+an ＋bm+bn ----单×多4.得到结论:【3】多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.（四） 巩固练习例：)32)(2(22y xy x y x -+- )65)(52(2+-+x x x 【4】练习: )y x y -y)(x (x y)-8y)(x -(x 2)1)(x (3x 22++++ 课本练习1 例：先化简,再求值:（a-3b)2+(3a+ｂ)2-(a+5ｂ)２＋(ａ-5ｂ)2，其中a=－８,b=-6练习:化简求值:)32)(12()1)(1(3)3)(2(-+--+++-x x x x x x ,其中x=54一块长m 米，宽n 米的玻璃，长宽各裁掉a 米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小),问台面面积是多少？（五） 深入研究1.计算:①（ｘ+2）(x+3)；②(x -１)(x+２）;③(x+２)(x －2);④(x－5)(x-6);⑤(x＋5）(x ＋5)；⑥（x-5)(x-５)；并观察结果和原式的关系【1】这个问题激起学生的求知欲望,引起学生对多项式乘法学习的兴趣. 【２】借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到.让学生对这个结论有直观感受． 【３】让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则. 【4】强调多项式与多项式相乘的基本法则,提醒注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号．在计算时一定要注意确定积中各项的符号．3． 结合课本练习第2题图,直观认识规律,并完成此题. 附加题:1.⎩⎨⎧++〉+-〈+-++)2)(5()6)(1(22)1()3)(2(x x x x x x x x2. 求证:对于任意自然数n ,)2)(3()5(+--+n n n n 的值都能被6整除3. 计算:（x ＋2y-１）24. 已知ｘ２-2x ＝2，将下式化简,再求值. (x-1）2+(x+3)(x-3）+(x-3）(x-1)5. 小明找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a 厘米,宽ｂ厘米，厚c 厘米,小明想将课本封面与封底的每一边都包进去ｍ厘米．问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形?（六）小结 作业板书设计教学反思预习要点分式的乘除分式的乘除(一) 教学目标ﻩ理解分式乘除法的法则,会进行分式乘除运算 重点、难点ﻩ重点是掌握分式的乘除运算难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算情感态度与价值观 通过教学使学生掌握类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.只要做到这一点就可充分发挥学生的主体性,使学生主动获取知识第一步：创景引入问题１ 一个长方体容器的容积为V,底面的长为a 宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少?长方体容器的高为 ,水高为．问题２ 大拖拉机m 天耕地a 公顷，小拖拉机n 天耕地 b 公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?大拖拉机的工作效率是 公顷/天,小拖拉机的工作效率是 公顷／天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的（ )倍.观察下列运算:,43524532543297259275,53425432⨯⨯=⨯=÷⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯， .279529759275⨯⨯=⨯=÷ 猜一猜??=÷=⨯cda b c d b a 与同伴交流。
人教版八年级数学上册14.1.4 整式的乘法(四)
14.1.4 整式的乘法(四) 课后练案
11．计算下列各题：
(1)(－32a4b5c)÷16ab2÷
；
解：原式=（32 × 116×2）a4-1-3b5-2-2c =4bc
(2)(2x2y)3·(－4x2y)÷(－2x2y2)． 解：原式=8x6y3 ·(-4x2y) ÷(-2x2y2) =-32x8y4 ÷(-2x2y2) =16x6y2
14.1.4 整式的乘法(四) 课后练案
(2)求a＝
1 2
，b＝－3时，代数式
的值．
解：∵a＝
1 2
，b＝－3，Leabharlann (－13a2b3)2÷(－78
ab)÷(
16 21
ab3)
＝19
a4b6÷(－78
ab)÷(
16 21
ab3)
＝－683
a3b5÷(
16 21
ab3)
＝－
1 6
a2b2＝－16
×
1 4
×9＝－38
14.1.4 整式的乘法(四) 课堂导案
1．计算：8a4b2÷4a3b2＝____2_a_____． 2．计算：6x6y÷(－3x3y)＝__－__2__x_3___．
3．计算：3x4yz÷
＝__－__9_x_z____．
4．计算：(2a2b3c)3÷(－4a3c3)＝_－__2_a_3_b__9__． 5．计算：(－4x2y3)2÷(2xy)3＝____2_x_y_3___．
6．计算：(10x－25xy)÷5x＝___2_－___5_y__． 7．计算：(12a2－6ab)÷(－3a)＝_－__4__a_＋__2__b__．
8．计算：(5x2y－3xy2)÷
＝_1__0_x_－__6__y_．
人教版数学八年级上册 14.1.4 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法第1课时单项式与单项式、多项式相乘1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行计算.2.设置实际情境，引导学生参与探索公式.3.让学生主动参与探究，形成独立思考、勇于探究的习惯.【教学重点】单项式与单项式、单项式与多项式乘法法则的应用.【教学难点】两个法则的探究.一、情境导入，初步认识引导学生复习幂的运算性质，并解答下列问题.【教学说明】主要由学生口述幂的乘法运算性质、公式及上述问题的答案，对学生暴露出的问题予以纠正，为后续学习打下基础.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题1光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，试求地球与太阳的距离约是多少千米？【分析】由题意可列式为（3×105）×（5×102），这个算式可引导学生运用乘法交换律和结合律求出，即（3×5）×（105×102）=15×107=1.5×108，即地球与太阳的距离约为1.5×108km.【教学说明】要求学生认真分析体会上述计算过程，感受其中的思路与依据，再将上式中的数换成字母，如（a×105）×（b×103），ab2×3ab等，依据同样的方式经小组为单位探求结果，并发掘一般性规律，同伴间交流并互相完善.【归纳总结】单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.问题2解答下列问题.（3）何叶的步长为a米，她量得家里的卧室长15步，宽14步，问这间卧室的面积有多少平方米？（4）下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？问题3三家连锁店以相同的价格m（单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a，b，c.求这个月内销售这种商品的总收入.【分析】这个问题的思路有两个：方法一先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即总收入为m（a+b+c）元.方法二先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为（ma+mb+mc）元.由于两种方法只是思考的角度不同，求的是同一个量，故必有m（a+b+c）=ma+mb+mc.引导学生联想乘法分配律及上述等式总结归纳，得出自己的结论.【归纳总结】单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例1计算：【教学说明】1.凡是在单项式里出现过的字母，结果里应全都有，不能漏掉；2.单项式中含有的多项式因式把它看作一个整体参加计算.例2计算下列各题.【教学说明】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式各项前的“+”或“-”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“+”连接，最后写成省略加号的代数和.三、运用新知，深化理解计算下列各题.【教学说明】1.本题是混合运算题，计算顺序仍是先乘除、后加减，先去括号等.混合运算的结果有同类项的需合并，从而得到最简结果.2.单项式与多项式的每一项都要相乘，不能漏乘、多乘.3.在确定积的每一项的符号时一定要小心.四、师生互动，课堂小结1.梳理本节所学内容，巩固单项式乘以单项式，单项式乘以多项式的法则.2.互相交流运用法则计算时要注意的事项.1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学宜由学生根据已有知识（如乘法分配律法则等）自主推导出单项式乘法，单项式与多项式相乘的法则，充分体现学生课堂上的主体作用，再结合具体问题的解答，由学生间互相交流，体会法则计算的本质，以便灵活应用于解题之中.第2课时多项式与多项式相乘1.理解并掌握多项式乘以多项式的法则.2.类比前面的方法，自主探索多项式与多项式乘法法则.3.在探究过程中，形成独立思考，主动求知的习惯.【教学重点】多项式乘法法则的应用.【教学难点】多项式与多项式相乘法则的推导.一、情境导入，初步认识1.回忆单项式乘以多项式法则，并计算：（1）3a（5a-2b）；（2）（x-3y）·（-6x）.【思考】有一算式（a+b）（x+y），假设把（x+y）看作一个整体m，则上式变为（a+b）m，此时与上述习题类型相同么？你有何想法？第3课时同底数幂的除法1.掌握同底数幂的除法法则并用于计算.2.经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，理解运算算理.3.经历探索过程，获得成功感和积累数学经验.【教学重点】同底数幂的除法法则的运用.【教学难点】根据乘、除互为逆运算推出同底数幂的除法法则.一、情境导入，初步认识1.回忆同底数幂乘法法则，并填空：（2）依题（1）的结果，并结合乘除法互为逆运算，填空：（3）观察题（2）中的每一个等式，以小组为单位讨论，找出这些等式的共同特点，并互相交流归纳.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.2.师生共同归纳结论：同底数幂相除，底数不变，指数相减.即a m÷a n=a m-n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）.提醒：底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式；当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这个性质.二、思考探究，获取新知例1计算下列各题：【分析】（2）的解答可根据乘方的性质先确定商的性质符号，即（-a）8÷（-a）5=-a8÷a5；（3）与（2）有区别.其中（-a）5与-a5的意义不同，隐含了（-m）2=m2，（-m）3=-m3的关系式；（4）的底数是多项式，也适用同底数幂的除法法则.例2计算下列各题：【分析】同底数幂的除法法则也适用于底数是单项式的情形，当底数不相同时，应先设法转化为同底数幂，再应用法则.【教学说明】在学生理解例题后，教师提出零指数幂的定义与意义.即任何不等于0的数的0次幂都等于1.即a0=1（a≠0）.例3已知2×5m=5×2m，求m的值.【分析】将等式化为方程的形式，利用a0=1的性质解答.例4计算下列各题：【分析】解答本题的关键是遵循运算顺序，避免错算.【教学说明】不要出现-a21÷a6÷a6=-a21÷1=-a21这样的错误.【分析】本题可逆用幂的有关性质，将结论中的代数式转化为含有已知条件的代数式进行求解，即要求32m-4n+1的值，则应把已知条件转化为以3为底的幂的形式，如9n=（32）n=32n.三、运用新知，深化理解1.下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？2.计算下列各题.3.计算下列各题.【教学说明】安排上述三题是为了帮助学生深化理解同底数幂的除法运算，题可师生共同评析.题2，3教师可指派学生到黑板上演算，然后全班订正，让学生加深印象，达成共识.四、师生互动，课堂小结谈谈本节课获得了哪些知识和解决问题的方法.【教学说明】这节课利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数幂的除法的运算规律.并能运用运算法则解决简单的计算问题，积累了一定的数学经验.1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学重点在指导学生由同底数幂乘法法则推导出同底数幂除法法则，并类比已有知识由学生自主归纳总结出运用法则计算时应注意的问题，在学生充分认识法则的本质后，指导学生解决一定基础的具体问题，学生间互相查漏补缺，教师适时指点评价，帮助学生把知识转化为解决问题的能力，实际教学中，教师尽量多营造学生自主探究，自已解决问题的氛围.问题为了扩大街心花园的绿地面积，把一块长a米，宽p米的长方形绿地加长b米，加宽q米（如图）.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？方法一这块花园现在长（a+b）米，宽（p+q）米，故面积为（p+q）（a+b）米2.方法二这块花园现在是由四小块组成，面积分别为ap米2，aq米2，bp米2，bq米2，故面积为（ap+aq+bp+bq）米2.由此可推知：（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq.即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.要求学生讨论这个公式的特点，并探讨如何应用于计算中.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知例1计算下列各题.（1）（3a+2b）（4a-5b）；（2）（x-1）（x+1）（x2+1）；（3）（a+b）（a-2b）-（a+2b）（a-b）；（4）5x（x2+2x+1）-（2x+3）（x-5）.【教学说明】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一多项式中的每一项，刚开始时要严格按照法则写出全部过程，要注意：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项.例2计算下列各题.（1）（x+2）（x+3）；（2）（x-4）（x+1）；（3）（y+4）（y-2）；（4）（y-5）（y-3）.求得结果后，与同伴一起观察，探寻其中的特征和规律，并交流.【教学说明】根据上述结果，可得（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，这个公式可作为特别结论应用.回答下列问题：（1）（x+4）（x+3）=_________；（2）（x-1）（x+2）=_________；（3）（x-5）（x-6）=_________；（4）（x-5）（x-5）=_________.例3解方程：（x-2）（x2-6x-9）=x（x-5）（x-3）.【分析】先应用多项式乘法法则进行化简，再解方程.例4先化简，再求值：（x+2y）（2x+y）-（3x-y）（x+2y），其中x=9，y=1 2 .【教学说明】本例的实质是多项式乘以多项式法则的应用.例5已知（x2+px+8）（x2-3x+q）的展开式中不含x2，x3项，试求p，q的值.【分析】先按多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项，欲使展开式中不含x2，x3项，就是x2项和x3项的系数为0，通过解方程组可求出p，q的值.因为展开式中不含x2，x3项，解之得p=3，q=1.【教学说明】一个多项式中可能含有很多字母，在解答问题时，一般把要求的字母当作已知数看待，合并同类项时，这些字母应看成单项式的系数.三、运用新知，深化理解甲、乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）·（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果为2x2-9x+10.（1）你能知道式子中a、b的值各是多少？（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果.【分析】甲抄错了a的符号，即甲的计算式为：（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab，对比得到的结果可得：-（3a-2b）=11；①乙漏抄了第二个多项式x的系数，即乙的计算式为：（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab，对比得到的结果可得：a+2b=-9.②由①、②两式即可得出a、b的值.【教学说明】此题综合性较强，教师可先让学生自行思考，寻求解题思路，然后教师引领学生去理解题意，师生共同完成解答.【答案】（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab=6x2+11x-10；（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab=2x2-9x+10；所以-（3a-2b）=11，且a+2b=-9，解得a=-5，b=-2.所以（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10.四、师生互动，课堂小结师生共同交流本节所学知识及收获.1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时可先利用几何图形的方式验证多项式乘法法则的正确性，形成直观感受；再把公式中的（m+n）整体看作一个单项式，利用单项式与多项式相乘法则，进一步推证多项式乘法法则，从中让学生体验转化的数学思想，课堂上引导学生解决一些具体的数学问题，帮助学生巩固对法则的理解认识.第4课时整式的除法1.经历探索单项式除以单项式，多项式与单项式相除的运算法则的过程，会进行单项式，多项式与单项式的除法运算.2.探究单项式与单项式、多项式与单项式相除的算理，发展有条理的表达与思考能力.3.从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中，获取成功的体验，积累研究数学问题的经验.【教学重点】整式除法法则的应用.【教学难点】整式除法法则的探究.一、情境导入，初步认识1.（1）计算：2xy·（-3x2y2）=____，ab2·a=________.（2）根据（1）的结果，并由乘、除法互为逆运算填空：-6x3y3÷2xy=______.a2b2÷ab2=________.（3）仿照（1）（2）的形式，要求学生再举几个例子，并从中总结规律.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.2.师生共同表述这些式子所共有的特征：（1）都是单项式除以单项式.（2）运算结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.（3）单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的.3.提出单项式除以单项式的法则.例1计算：【分析】本题直接利用单项式除以单项式法则计算.计算时，要弄清两个单项式的系数各是什么，哪些是同底数幂，哪些是只在一个单项式里出现的字母，此外还要特别注意系数的符号.二、思考探究，获取新知由学生列举几个单项式乘以多项式的计算题，并求出结果，并根据乘、除法互逆，把整式乘法转化为多项式除以单项式的计算题，并写出结果.再观察特征，总结规律.【归纳总结】多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m=a+b.例2计算：【分析】本题利用多项式除以单项式法则计算；（2）题中，把（a+b）看成一个整体，那么此式也可以看作是多项式除以单项式.例3计算：【分析】此题是整式加减乘除混合运算，解题时要注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的.三、运用新知，深化理解1.计算：2.计算：3.化简求值.【教学说明】题1是有关单项式除以单项式的训练，题2是有关多项式除以单项式的训练，此两题可让学生自由训练，加强新知理解；题3是整式的乘法，除法的综合计算，教师着重指导学生如何正确地运用公式快速、准确地计算.四、师生互动，课堂小结集体交流本节知识点和解题方法，教师点评.1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时的主要任务是完成单项式除以单项式法则的推导，进而将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，根据学生已有的认知水平，教师可鼓励学生自主探究整式的除法法则，并在小组间交流各自体会后由教师总结，最后学生在教师的指点下完成一定的训练，以确保能真正理解并应用法则.。
人教版数学八年级上册14.1.4整式的乘法(第1课时)优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版数学八年级上册第14章第1节第4课时，内容为整式的乘法。在此之前，学生已经学习了有理数的乘法、乘方的概念和性质，以及整式的加减法。本节课的学习为后续多项式乘多项式、多项式乘单项式、单项式乘单项式等知识的学习奠定基础。
（二）问题导向
1.自主探究：鼓励学生自主探究整式乘法的运算法则，培养学生的问题解决能力。例如，让学生尝试计算两个多项式的乘积，总结规律。
2.引导发现：教师引导学生发现整式乘法的运算法则，帮助学生建立知识体系。例如，通过分析两个多项式的乘积，引导学生发现整式乘法的分配律。
（三）小组合作
1.分组讨论：将学生分成小组，让学生在小组内讨论整式乘法的运算法则，培养学生的合作交流能力。例如，让学生分组讨论如何计算两个多项式的乘积，并总结出运算法则。
（二）讲授新知
1.自主探究：鼓励学生自主探究整式乘法的运算法则，培养学生的问题解决能力。例如，让学生尝试计算两个多项式的乘积，总结规律。
2.引导发现：教师引导学生发现整式乘法的运算法则，帮助学生建立知识体系。例如，通过分析两个多项式的乘积，引导学生发现整式乘法的分配律。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成小组，让学生在小组内讨论整式乘法的运算法则，培养学生的合作交流能力。例如，让学生分组讨论如何计算两个多项式的乘积，并总结出运算法则。
2.问题导向与自主探究的结合：教师引导学生发现整式乘法的运算法则，帮助学生建立知识体系。同时，鼓励学生自主探究、尝试计算，培养学生的自主学习能力。
3.小组合作与互动交流：将学生分成小组，鼓励小组间的互动交流，让学生在分享经验中共同成长。通过小组讨论，培养学生的合作交流能力和团队协作精神。