矩阵正定
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正定矩阵
定义：设f是一个实对称双线性函数，而且对任意向量α∈V有f（α，α）>0，就称f是正定的（positive definite）。具有同样性质的时对称矩阵A，也就是说对于任意的实非零列矩阵X有XTAX>0的矩阵也被称为正定的。
1.1． 若A，B∈Mn（K）都是正定矩阵，则A+B，kA也是正定的（k>0）。
证明：若A，B都是n阶正定矩阵，则任取X，有XTAX >0，XTBX >0
则XT（A+B）X = XTAX + XTBX >0
XTkAX = kXTAX >0
即：A+B ，kA都是正定矩阵。□
1.2． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的正惯性指数等于A的维数n。
证明：（ ）若A是正定矩阵，则存在V中的一个基η1η2……ηn，使对V中的任意向量α= ，β= ,双线形函数f有:
f（α，β）= x1y1+ x2y2+……+ xpyp- xp+1yp+1-……- xryr
若p
∴ 推出：p=n
（ ）若p=n，则任取α(≠0)∈V，f（α，α）=x12 +x22 +……+xn2>0
∴ f（α，β）是正定的
∴ A是正定的。□
1.3． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A相合于单位矩阵E。
证明：（ ）任取正定矩阵A，它对应唯一的正定双线形函数f，且存在V上的一组基：η1η2……ηn，使任取向量α= ，β= ,双线形函数f有:
f（α，β）= x1y1+ x2y2+……+ xnyn
即：diag(1,1……1)（把E用矩阵形式画出）
则A与E是双线形函数f在不同基下的度量矩阵，所以A相合于E。
（ ）若A相合于E，则存在实可逆矩阵T，使A=TTET= TTT
∴ XTAX = XT TT ATX = (TX)TA(TX) = a12x12 + a22x22 +……+ an2xn2>0
∴ A是正定的。□
1.4． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵C，使A=CTC。
证明：（ ）若A是正定矩阵，则由1.3可知，A相合于E
∴存在实可逆矩阵C，使A = CTEC = CTC
（ ）若A=CTC，C是实可逆矩阵
则XTAX = XT CT ACX = (CX)TA(CX) = a12x12 + a22x22 +……+ an2xn2>0
∴A是正定的。□
1.5． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于零。
证明：（ ）
1.6． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的所有特征值大于零。
证明：（ ）
1.7． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A-1是正定矩阵。
证明：（ ）若A是正定的，则由1.4可知：存在实可逆矩阵C使A=CTC
∴A-1 = (CTC) -1 = C-1 (C-1) T
∵C可逆 ∴C-1也是实可逆矩阵
∴有A-1也是正定矩阵。
（ ）若A-1是正定矩阵，则A-1 = C-1 (C-1) T = (CTC) –1
∵A =( A-1) –1 = ((CTC) –1) –1= CTC
∴由1.4可知，A是正定的。□
1.8． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：Am
是正定矩阵。
证明：（ ）
1.9． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：存在非退化的上（下）三角矩阵Q，使A=QTQ。
证明：不妨以下三角为例来证明，上三角的情况同理
（ ）若A=(aij)是n阶正定矩阵，则A的任意k阶主子式大于零。
特别的，有ann>0。
将A的第n列乘适当的倍数，分别加到第1，2……n-1列上，再施同样的行变化，可使A变成为 的形式。
即：存在非退化的下三角矩阵T1
使：T1TAT1 =
再令T2 = diag（1 1……1 ）
∴T2TT1TAT1T2 =
∵A正定 ∴A1作为A的n-1阶顺序主子式，也是正定的。□
对A1做同样处理，最终可得到R2TR1T ……T2TT1TAT1T2……R1R2 = En
令Q = T1T2……R1R2 ∴Q是非退化的下三角矩阵，且使A = QTQ
1.10． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：存在正交向量组α1 ，α2……αn，使A=α1α1T+α2α2T+……αnαnT
1.11． 若A∈Mn（K）是正定矩阵，则A*也是正定矩阵。
1.12． A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的所有i阶主子式之和大于零。
半正定矩阵
定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX≥0，就称A为半正定矩阵。
2.1． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：A的正惯性指数等于A的秩。
2.2． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵T，使TTAT=（）。
2.3. A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实矩阵S，使A=STS。
2.4. A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于或等于零。
2.5. 若A∈Mn（K）是半正定矩阵，则A*也是半正定矩阵。
负定矩阵
定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<0，就称A为半正定矩阵。
3.1. A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：-A是正定矩阵。
3.2. A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A-1是负定矩阵。
3.3. A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A的所有奇数阶顺序主子式小于零，所有偶数阶顺序主子式大于零。
不定矩阵
定义：设A是实对称矩阵。如果A既不是半正定的，也不是半负定的，就称A为不定矩阵。
4.1. 若A∈Mn（K）是不定矩阵的充要条件是：存在列向量组X，Y，使得XTAX>0，YTAY<0。
4.2. 若实对称矩阵A的主对角线上元素有正有负，则A一定是不定矩阵。