正定矩阵
正定矩阵与性质
27
X Rn , X T AAT X ( AT X )T AT X
AT X
2
0,
故AT X
Q r( AT ) m n,
AT 的列向量组线性相关，存在n维列向量 X o,
使得AT X o ,于是
X T AAT X X T Ao 0,
故 AAT 不是正定矩阵。
28
3.若A为 n m矩阵,且r( A) r min(n,m),则 AT A 和 AAT 分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定矩阵.
17
例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.
6 2 2
A
2
5
0
.
2 0 7
解| A1 | 6 0,
6 2
| A2 | 2
30 4 26 0, 5
6 2 2
| A3 | 2 5 0 210 20 28 162 0. 2 07
故A正定.
18
实对称矩阵A正定的充分必要条件是
阵G,使得
GT An1G En1 .
令 则
G O
C1
O
1
,|
C1
||
G
|
0.
C1T
AC1
GT
O
O An1
1
T
G
ann
O
O
1
G
A T n1
T
GT G
ann
O
O 1
G
T An1G
TG
G T
ann
En1
TG
GT
ann
.
再令
15
C2
En1 O
GT
24 3 71
99 6
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
一、正定矩阵的定义
正定矩阵是一类特殊的线性代数对象，它是二维以上方阵中所有元素都有正值的一种矩阵。
二、正定矩阵的性质
1、正定矩阵的特性
由于所有元素都是正值，所以正定矩阵是一种对称矩阵，其特征值都是大于0，即特征值>0；特征向量都是有向量，即特征向量≠0；这种矩阵也称为正数矩阵或半正定矩阵。
2、正定矩阵的恒等式
如果一个矩阵M是一个正定矩阵，则它满足：mTm>0，其中mT表示M 的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量。
3、正定矩阵的特殊性质
正定矩阵是线性代数中最重要的矩阵之一，它的特殊性质：（1）正定矩阵是正交矩阵的一类；（2）正定矩阵的逆矩阵是它的转置；（3）正定矩阵的主对角线元素全为正；（4）正定矩阵的最小特征值是它的最大特征值的平方根；（5）正定矩阵的行列式是正值；（6）正定矩阵也是正秩矩阵。
三、正定矩阵的判定方法
1、特征值判定法
如果一个矩阵M的所有特征值都是正值，则它是一个正定矩阵。
2、恒等式判定法
如果矩阵M满足mTm>0，其中mT表示M的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量，则它是一个正定矩阵。
3、行列式判定法。
正定矩阵的积
正定矩阵的积正定矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍正定矩阵的定义、性质和应用，并探讨正定矩阵的乘积。
一、正定矩阵的定义和性质正定矩阵是指所有特征值都大于零的实对称矩阵。
具体来说，对于n阶实对称矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，那么矩阵A就是正定矩阵。
正定矩阵具有以下几个重要的性质：1. 正定矩阵的特征值全部大于零；2. 正定矩阵的所有主子矩阵都是正定矩阵；3. 两个正定矩阵的乘积仍然是正定矩阵；4. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
二、正定矩阵的应用正定矩阵在实际应用中有着广泛的应用，例如在优化问题、最小二乘法、信号处理等领域中都有重要的作用。
1. 优化问题在优化问题中，正定矩阵可以用来判断一个函数的局部极小值是否为全局极小值。
具体来说，如果一个函数的二阶导数矩阵为正定矩阵，那么该函数的极小值是全局极小值。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它通过最小化残差的平方和来拟合数据。
在最小二乘法中，正定矩阵可以用来求解线性方程组，进而得到最优拟合结果。
3. 信号处理在信号处理中，正定矩阵可以用来描述信号的功率谱密度。
功率谱密度是一个信号在频域上的能量分布情况，正定矩阵可以通过特征值分解来计算信号的功率谱密度。
三、正定矩阵的乘积正定矩阵的乘积也是一个正定矩阵。
假设A和B是两个正定矩阵，我们需要证明它们的乘积AB也是正定矩阵。
由于A和B都是正定矩阵，所以它们的特征值都大于零。
设A的特征值为λ1, λ2, ..., λn，B的特征值为μ1, μ2, ..., μn。
那么AB的特征值为λ1μ1, λ2μ2, ..., λnμn。
由于A和B的特征值都大于零，所以AB的特征值也都大于零。
因此，AB是一个正定矩阵。
四、结论正定矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。
其中，正定矩阵的乘积也是一个正定矩阵。
正定矩阵 和实对称矩阵
正定矩阵和实对称矩阵正定矩阵是线性代数中一个很重要的概念，与之相关的概念还有实对称矩阵。
本文将详细介绍正定矩阵和实对称矩阵的定义、性质以及它们之间的关系。
1.正定矩阵的定义在矩阵理论中，正定矩阵是一种特殊的方阵，具有一些重要的性质。
对于一个n阶矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有x^T*A* x>0，那么矩阵A就被称为正定矩阵。
其中，x^T表示向量x的转置，"*"表示矩阵的乘法。
2.正定矩阵的性质正定矩阵具有以下重要性质：-正定矩阵的特征值都是正数。
这是正定矩阵的一个重要性质，可以通过特征值分解来证明。
-正定矩阵的行列式大于0。
正定矩阵的行列式可以看作是矩阵的所有特征值的乘积，由于特征值都是正数，所以行列式也必然大于0。
-正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
逆矩阵的定义与正定矩阵的性质相呼应，两者之间存在密切的关联。
3.实对称矩阵的定义实对称矩阵是指对于一个矩阵A，它的转置矩阵等于它本身，即A^T=A。
实对称矩阵在应用中具有很多重要的特性和性质。
4.实对称矩阵与正定矩阵的关系实对称矩阵和正定矩阵之间存在着紧密的关系。
事实上，一个实对称矩阵是正定矩阵的充分条件是它的所有特征值都是正数。
这可以通过特征值分解和正定矩阵的定义进行证明。
5.应用领域正定矩阵和实对称矩阵在数学和工程领域中都有广泛的应用。
在最优化问题中，正定矩阵是一类重要的关键性质，它们被广泛应用于凸优化、线性规划等领域。
实对称矩阵在物理学、力学、信号处理等领域中也有重要的应用。
本文介绍了正定矩阵和实对称矩阵的定义、性质以及它们之间的关系。
正定矩阵具有特征值全为正数、逆矩阵也是正定矩阵等重要性质；实对称矩阵是指转置矩阵等于本身的矩阵。
实对称矩阵的所有特征值为正则可以称之为正定矩阵。
正定矩阵和实对称矩阵在数学和工程领域中有广泛的应用，对于最优化问题、物理学、力学等领域具有重要意义。
正定矩阵的判定方法
正定矩阵的判定方法概述正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
在解决优化问题、最小二乘法、概率统计和信号处理等领域中，正定矩阵的判定方法是关键的操作。
本文将介绍什么是正定矩阵，并详细讨论几种判定正定矩阵的方法。
正定矩阵的定义在开始讨论正定矩阵的判定方法之前，我们首先来了解正定矩阵的定义。
一个n × n 的实对称矩阵 A 称为正定矩阵，如果对于任意的非零向量 x，都有 x^TAx > 0。
其中，x^T 表示 x 的转置，x^TAx 表示向量 x 与矩阵 A 的乘积。
根据这个定义，我们可以得出正定矩阵的一些基本特征：1. 正定矩阵的特征值均为正数。
2. 正定矩阵的所有主子式（即从左上角到右下角的任意一组连续的对角线元素）均为正数。
3. 正定矩阵的所有奇异值均为正数。
接下来，我们将详细讨论几种常见的判定正定矩阵的方法。
1. 全主子式判定法全主子式判定法是最常用的判定正定矩阵的方法之一。
根据正定矩阵的定义，我们知道所有的主子式都应该是正数。
因此，我们可以通过计算矩阵的所有主子式，并检查它们是否都大于零来判断矩阵是否为正定矩阵。
具体的步骤如下：1) 对于一个n × n 的矩阵 A，计算所有的k × k 的主子式 D1,D2, ..., Dn，其中 k = 1, 2, ..., n。
2) 检查所有的主子式是否都大于零。
如果是，则矩阵 A 是正定矩阵；否则，矩阵 A 不是正定矩阵。
这种方法的时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是矩阵的维度。
2. 特征值判定法特征值判定法是另一种常用的判定正定矩阵的方法。
根据正定矩阵的定义，我们知道矩阵的特征值都应该是正数。
因此，我们可以通过计算矩阵的特征值，并检查它们是否都大于零来判断矩阵是否为正定矩阵。
具体的步骤如下：1) 对于一个n × n 的矩阵 A，求解其特征值λ1, λ2, ..., λn。
矩阵正定性
矩阵正定性矩阵正定性是线性代数理论中的一个重要概念。
它是指矩阵的特性：如果一个矩阵A，对任意向量x，都有xTAx> 0，那么A就是正定的。
很多线性代数的概念依赖于正定矩阵。
这篇文章将讨论正定性矩阵的基本定义、性质以及重要的一些应用。
首先定义正定矩阵。
正定矩阵是一种特殊的矩阵，它满足下面这个充分必要条件：对任意实数向量x,都有xTAx>0，其中A是正定矩阵。
也就是说，任何实数对应的向量处投影均为正值，那么这个矩阵就是正定的。
有时，也会将正定矩阵定义为实矩阵，其中所有的特征值为正。
另外，正定矩阵也可以被定义为实对称矩阵，其中所有的特征值为正。
正定矩阵的性质是它的行列式都大于零，它的对角阵的特征值大于等于零，正定性矩阵的逆矩阵也是正定的。
这些性质也与它的概念很契合，因为它的行列式都大于零，说明矩阵的每一个分块元素都非负，而特征值大于等于零，说明矩阵本身是稳定的，不会产生振荡。
由于正定性矩阵的逆矩阵也是正定的，因此它也是一个非常重要的性质。
正定性矩阵是线性代数理论中非常重要的概念，它在机器学习、信号处理、最优化以及复杂数学计算中都有着重要的应用。
在机器学习中，正定性矩阵可以用来优化多元函数，可以用于确定最优解。
在信号处理中，它可以用来改善分类精度，并且可以用来检测图像中的模式和特征。
最后，正定性矩阵在复杂数学计算中也有着重要的应用，比如求解非线性方程组，矩阵解析法和投影算法等。
综上所述，正定性矩阵是一种特殊的矩阵，它满足xTAx>0的特性，其定义包括实矩阵、实对称矩阵和行列式都大于零的性质。
正定性矩阵在线性代数理论中具有重要的地位，它的性质也决定了它在机器学习、信号处理、最优化和复杂数学计算中的重要应用。
正定矩阵条件
正定矩阵条件正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将从几个不同的角度来解释正定矩阵的概念和条件。
我们来看正定矩阵的定义。
一个n阶实对称矩阵A称为正定矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，其中x^T表示x 的转置。
这个定义可以用来判断一个矩阵是否为正定矩阵。
为了更好地理解正定矩阵的条件，我们可以从它的几何意义入手。
正定矩阵定义了一个二次型，即x^T * A * x，它表示了一个向量x 经过矩阵A的变换后的平方和。
当这个平方和大于零时，我们可以说矩阵A是正定的。
换句话说，正定矩阵定义了一个椭球体，所有的非零向量都位于这个椭球体内部。
正定矩阵的条件有很多种形式。
其中一种常见的条件是所有的特征值都大于零。
特征值是矩阵A的一个重要性质，它可以看作是矩阵A对应的线性变换在某个方向上的缩放比例。
如果矩阵A的所有特征值都大于零，那么它就是正定矩阵。
另一个条件是矩阵的所有主子式都大于零。
主子式是矩阵A的一个重要概念，它是通过去掉矩阵的某些行和列后得到的子矩阵的行列式。
如果矩阵A的所有主子式都大于零，那么它也是正定矩阵。
除了以上两个条件，正定矩阵还有其他等价的条件。
例如，矩阵A 可以被分解为A = LL^T的形式，其中L是一个下三角矩阵。
这个分解被称为Cholesky分解，它可以将正定矩阵表示为一个下三角矩阵的平方。
通过Cholesky分解，我们可以很容易地判断一个矩阵是否为正定矩阵。
正定矩阵在许多领域中都有广泛的应用。
在优化问题中，正定矩阵是一个非常重要的概念。
许多优化算法都依赖于正定矩阵的性质，例如共轭梯度法和牛顿法。
在机器学习中，正定矩阵用于定义二次型的正则化项，以及计算协方差矩阵和相关矩阵。
总结起来，正定矩阵是一个重要的概念，它定义了一个二次型，描述了一个向量经过矩阵变换后的平方和。
正定矩阵的条件有很多种形式，包括所有的特征值都大于零，所有的主子式都大于零等等。
证明正定矩阵
证明正定矩阵正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有着许多重要的性质和应用。
在实际应用中，我们常常需要证明一个矩阵是否为正定矩阵，因此掌握正定矩阵的证明方法对于深入了解线性代数理论和应用非常重要。
下面将介绍正定矩阵的定义和性质，以及如何证明一个矩阵是正定矩阵。
一、正定矩阵的定义和性质定义：若矩阵$A$满足对于任意非零向量$\bold{x}$，都有$\bold{x}^T\bold{Ax}>0$，则称$A$为正定矩阵。
性质：1. 正定矩阵的特征值全是正实数。
2. 正定矩阵的行列式大于0。
3. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
4. 正定矩阵的各阶子矩阵也是正定矩阵。
二、证明矩阵为正定矩阵的方法1. 利用特征值根据正定矩阵的定义，对于任意非零向量$\bold{x}$，都有$\bold{x}^T\bold{Ax}>0$，即$\bold{x}^T\lambda\bold{x}>0$，其中$\lambda$为矩阵$A$的特征值。
因为$\bold{x}\neq\bold{0}$，所以$\lambda>0$。
因此，我们可以通过计算矩阵$A$的特征值来证明矩阵$A$是正定矩阵。
如果矩阵$A$的所有特征值都是正实数，则矩阵$A$是正定矩阵。
举个例子，假设有一个矩阵$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&4\end{bmatrix}$，我们可以通过计算它的特征值来证明它是正定矩阵。
矩阵$A$的特征方程为$(2-\lambda)(4-\lambda)-1=0$，解得$\lambda_1=1$和$\lambda_2=5$，由于$\lambda_1>0$且$\lambda_2>0$，因此矩阵$A$是正定矩阵。
2. 利用正交矩阵正交矩阵是指满足$Q^TQ=I$的方阵$Q$，其中$I$为单位矩阵。
因为正交矩阵保持向量的长度不变，所以它可以用来证明矩阵$A$是正定矩阵。
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5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵[1] 二次型的分类n 个变数的二次型∑===nj i Tji ij n x A x x x a x x q 1,1),,( ，其实就是定义在n R 的一个二次齐次函数，对n R 的每个特定向量q x ,0对应一个函数值)(0x q ，依据)(x q 值的符号，在教材184页上给出了二次型的分类定义：1．正定二次型。
若对一切nR x ∈，当0)(0>=⇒≠Ax x x q x T称二次型)(x q 正定。
显然，正定二次型也就是函数值定正的二次型（当然有唯一的例外，0=x 时，0=q ）。
2．正半定（或半正定）二次型。
若对一切nR x ∈，皆有0)(≥=Ax x x q T，且至少有一 00≠x 能使0)(0=x q .3．负定。
对二次型Ax x x q T=)(，当(-q )为正定时，称q 为负定二次型。
4．负半定（或半负定）。
对二次型Ax x x q T=)(，当(-q )为正半定时，称q 为负半定二次型。
5．不定二次型。
若二次型Ax x q T=既能取正值，又能取负值，称为不定二次型。
容易明白，对标准形的二次型（以下给出的均为充要条件）。
若系数全正为正定二次型；若系数全为非负，且至少有一为0，则为正半定二次型； 若系数全负为负定二次型；若系数全为非正，且至少有一为0，则为负半定二次型； 若系数有正、有负，则为不定二次型。
对于不是标准形的二次型，为确定其类型，可通过化成标准形，并依据惯性律而作出判断。
例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数，问它们满足什么条件时，二次型212322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++=是正定二次型。
解 乍一看，这是n 个带正系数1的平方项之和，应明显是正定的。
但与定义一对照，发现这并非是二次型的标准形，每一项都是线性型而非单独变换的平方。
在这样考虑下，可对其作线性变换nn n x x a y x a x y x a x y +=+=+=132222111而将q 化成标准形，22221n y y y q +++=这样不就可断定q 必是正定二次型了吗？但又发现这样的问题：这个线性变换是否是满秩线性变换呢？若是，则可肯定q 为正定，若否，则还是无法肯定q 为正定二次型。
现从定义出发考察此二次型，显然0),,(1≥n x x q , 只要有字距？0021====⇒=n x x x q ，就能说明q 是正定二次型了。
若q =0, 则必有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+00 0 132211n n x x a a x x a x将其看作一 n n ⨯齐次方程组，只有系数行列式不为0时，才只有平凡解，即021====n x x x即可知),,(1n x x q 为正定二次型，于是，可写出条件为：01000100121≠na a a即0101001,01001001212121≠-≠-a a a a a a a n依次类推，最后得此),,,(21n x x x q 为正定二次型的条件是1)1(21≠-n na a a[2] 二次型分类问题的提出怎样想到要根据函数值的正负来对二次型分类的？这里以函数方及值问题为例作一讨论，供有兴趣的学生阅读教材190页5.4.2前作参考。
为简单计这里讨论二元函数。
在微积分中已知，函数),(y x f 在定义域某内点),(00y x 处取得极值的必要条件是,0),(00=∇y x f 即 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂00),(),(0000y y x f xy x f 但若真在),(00y x 处取得极值，其充要条件是对),(00y x 某邻域内点),(y x ，能使),(),(00y x f y x f -保持定号，若总取正值则),(00y x f 是极小值，若总取负值则),(00y x f 是极大值。
利用函数的泰勒公式，使这一比较成为可能。
粗来造地说起来，泰勒公式使任意足够光滑的函数，在一点邻近，总可用一个多项式来近似，而且可以给出这样近似所产生的误差，即泰勒定理中的余项公式。
现设),(y x f 在点),(00y x 处具有2阶连续偏导数，则有展开到2阶项为止的泰勒公式：)(),()(),(),(),(00000000y y yy x f x x x y x f y x f y x f -∂∂+-∂∂+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂+--∂∂∂+-∂∂+20200200002202002)(),())((),(2)(),(!21y y y y x f y y x x y x y x f x x x y x f()22y y x x o -+-+由 0),(00=∇y x f ，若记 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=200200200220020),(),(),(),(y y x f x y y x f x y y x f x y x f H ，则上式可改写为 )|||(|)](),[(),(),(20200000000y y x x o y y x x H y y x x y x f y x f -+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=- 若略去高阶无穷小，从上可见，若[关于变数(0x x -)及)(0y y -的]二次型 000],[H y y x x --⎥⎦⎤⎢⎣⎡--00y y x x 正定，则f (00,y x )为极小值；若这个二次型负定，则f (00,y x )为极大值。
由于这个二次型涉及函数f 在点(00,y x )处的二阶偏导数，故常称此（加上∇f (00,y x )=0）为函数极值的二阶充分条件。
[3] 正定矩阵教材185页给出了实对称矩阵为正定或负定的定义，要注意这里是以矩阵为实对称作前提的，否则就不谈是否正定的问题，并且是以对应二次型为依据的。
另外，对记号也要注意，如0>A ，这里仅是实对称阵A 是正定矩阵，即AX X T为正定二次型的同义语，除此，就再无其他含意了。
例20 设A 是n 阶满秩阵，试证A A T是正定矩阵。
解 首先易证A A T是对称的，因有A A A A A A TTTTTT==)()(，其次对任一n 维向量0≠x ，二次型0)(22≥=Ax x A A x TT，由于上式中仅当0=Ax 时才能成立等号，而0=Ax 时必有0=x ，故证得A A T 是正定矩阵。
[4] 正定的充分必要条件对不是标准形的二次型（或不是对角阵的实对称阵）要判断其正定性，除按照定义外，可利用化二次型成标准形（实对称阵必可合同于对角阵）及惯性律，这样，就有一些可用的充要条件。
1．n 个变数的二次型为正定的充要条件是正惯性指数等于变数个数，即n =π。
教材185页定理81′n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是存在满秩阵P ，使AP P T 成对角线元素皆正 的对角阵D 。
1″n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是n 个特征值全正。
教材186页定理8推论2．n 个变数二次型为正定的充要条件是其规范形的系数全为+1。
存在满秩2′n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是存在满秩阵B ，使成立B B A T =(即A 与单 位阵I 合同）。
2″n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是存在对称正定阵B ，使A =B 2。
这可对教材186页定理9的证明，作如下演算而得：2B Q Q Q Q Q Q Q Q A T T T T =ΛΛ=ΛΛ=Λ=，其中记 TQ Q B Λ=以及),,,(diag 21n λλλ =Λ。
3．n 个变数的二次型AX X T或n 阶实对称阵A 为正定的充要条件是A 的多阶前主公式皆正，即),,2,1(0det ][n k Ak =>其中 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=kk k k k nn nnn n a a a a A a a a a a a a a a A 1111][212221211211, 教材187页定理10例21 已知A 、B 同是n 阶正定矩阵，试证A +B 及kA (k 是正整数)也是正定矩阵。
解 1. 对抽象给出的矩阵，常考虑从定义出发来证明，对任一n 维向量0≠x ，有 BX X AX X XB A X TTT+=+)(后一不等号是因为AX X T 及BX X T都大于0才成立的。
故知A +B 正定。
2．kA 与A 的特征值有熟知的关系，故从特征值角度入手考虑。
根据A 正定，即知其特征值n λλ,,1 全正，由于k A 的全部特征值就是k n k λλ,,1 ，也都为正。
这就知kA 是正定矩阵。
例22 已知A 是n 阶实对称阵，试证(1) 若A 正定，则必 0,,0,02211>>>nn a a a ； (2) 若对一切n 维向量0=X A X T则必0=A ； (3) 若 r A r =)(则A 可分成r 个秩1矩阵之和。
解(1) 根据定义，对一切0≠x ，皆有0>x A x T，故依次令ne e x ,,1 =, 就有0)(11>Ae e T, 即 011>a0)(>nTn Ae e , 即 0>nn a(2) 分别令ne e x ,,1=, 由0=x A x T，可得011===nn a a .若再令 j ix ←←⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01010 ，则 02==ij T a Ax x ，得n j i a ij ≤<≤=1,0于是O A =.也可这样入手证明，将x T Ax 通过正交变换x=Qy 化成标准形，有 ∑==ni ii Tgd Ax x 12分别令n Qe Qe x ,,1 =,由0=x A x T得值01===n λλ ,即0=Λ，于是T Q Q A Λ=.(3) 利用实对称矩阵的特性：必可对角化；有)(A r 个非零特征值。
于是，因r A r =)(， 故知A 有r 个非零特征值r λλ,,1 ，并有TQ Q A Λ= 将Λ写成r 个秩1矩阵之和r rΛ++Λ+Λ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ 21100λλ 其中i Λ是第i 个主对角线元为)1(r i i ≤≤λ，其他元全为0的秩1矩阵。
于是，有 r Tr TA A Q Q Q Q A ++=Λ++Λ= 11. 因i A 与i Λ同秩，故i A 均为秩1矩阵),,1(r i =，证毕。