第2章 控制系统的数学模型讲解
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
第二章_控制系统的数学模型
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
自动控制原理：第二章 控制系统数学模型
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
y = Kx
式中， K f 'x0 是比例系数，它是函数f(x)在A点
的切线斜率。
18
对于有两个自变量x1,x2的非线性函数f(x1,x2)，同样 可以工作在某工作点(x10,x20)附近进行线性化。
这种小偏差线性化对控制系统大多数工作状态是可 行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于 一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与 期望值保持一直，控制系统也不进行控制动作。一 旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始 控制动作，以便减小这个偏差。因此控制系统中被 控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。
RC传网0 递络函的数阶G跃(响s)确应立曲了线t 电路输入
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
第二版自动控制原理第2章
可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便 地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往 往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影 响较小的因素来简化， 但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简 化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确 性，使系统的数学模型过于复杂。
（3）例3.求指数函数 f(t)=e-at 的拉氏变换
F ( s) e e dt e
at st 0 0
( a s ) t
几个重要的拉氏变换
f ( t) F(s)
1 ( s a ) t 1 dt e sa sa 0
F(s) w
s
f ( t)
水 Q1 Q1单位时间进水量
Q2单位时间出水量
Q10 Q20 0
此时水位为H 0
H(t)
阀门 Q2
解：dt时间中水箱内流体增加(或减少) CdH
应与水总量 (Q1Q2)dt相等。即：
CdH =(Q1Q2)dt
dH C Q1 Q2 dt
Q2
1 R
据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比， 则有
自动控制原理
——第二章系统数学模型
第二章 控制系统的数学模型
2-1 引言 2-2 微分方程（时域模型） 2-3 传递函数（复域模型） 2-4 结构图和信号流图（图形描述） 2-5 小结
§2-1 引言
1.数学模型的概念
描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系
统分析与设计的基础。
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏 变换之和。 (2)微分性质
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
控制工程基础 第二章 控制系统的数学模型
R1 ui C1 K
R2 C2 uc
U c ( s) K U i ( s ) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1)
有源网络：
Ur R0
R1
C1 +12V
+
-12V
Uc
U c ( s) R1C1s 1 U r ( s) R0C1s
2-3 典型环节及其传递函数
环节：具有某种确定信息传递关系的元 件、元件组或元件的一部分称为一个环 节。 系统传递函数可写为：
例2 电学系统： 其中：电阻为R，电感为L，电容为C。
＋ ur(t) － i
＋ uc(t) －
解：系统的微分方程如下
d U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
2
拉氏变换后（零初始条件下）
U c ( s) 1 2 U r ( s ) LCs RCs 1
2 2
1 1 1 , 2 2 s Ts 1, T s 2Ts 1
各典型环节名称：
比例环节：K 一阶微分环节：s 1 2 2 s 二阶微分环节： 2 s 1 1 积分环节： s 1 惯性环节： 1 Ts 1 二阶振荡环节：2 s 2 2Ts 1 T
传递函数的性质： （1）传递函数只取决于系统或元件的结构和 参数，与输入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统， 具有复变函数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式， 即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；
传递函数的性质： （5）传递函数与真正的物理系统不存在一 一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多 项式的系数均为实数，故零点和极点可以是 实数，也可以是成对的共轭复数。
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机理分析法建立系统数学模型的步骤
•确定系统的输入量、输出量； •根据物理定律列写原始方程；
•消去中间变量，写出表示系统输入、 输出关系的线性常微分方程。
机理分析法建立系统数学模型举例
(3)
1
U c2 C2 i2dt
(4)
图2-1 RC组成的四端网络
U 2 U c2
(5)
机理分析法建立系统数学模型举例 R1
由(4)、(5)得
U1
C1
R2
C2
U2
由(2)导出
U
将i1、i2代入(1)、(3)，则得
U1 R1i1 R2i2 U c2
图2-1 RC组成的四端网络
dm (t)
dt
(Ra
fm
CmCe )m (t)
⑤
CmU a
(t)
La
dM c (t) dt
Ra M c
(t)
在工程应用中，由于电枢电路电感La较小， 通常忽略不计，故⑤可简化为
T其m d中dmt(t) m (t) K1Ua (t) K2Mc (t)
⑥
Tm
Ra
Ra Jm fm CmCe
• 在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出 响应，包括两部分 系统响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应——在输入为零时，系统对零初始状态的响应； 零状态响应——在零初始条件下，系统对输入的响应。
负 载 J mf m
列写微分方程。图中Ra(Ω)、 La(H)分别是电枢电路的电阻 和电感，Mc(N·M)是折合到电
-
图2 - 6
电枢控制直流电动机原理图
动机轴上的总负载转矩。激
磁磁通为常值。
机理分析法建立系统数学模型举例
解：列写电枢电路平衡方程
Ua (t)
La
dia (t) dt
Raia
(t)机理分析法建立系统源自学模型举例R1[C1
d dt
( R2i2
U2)
C2
dU2 dt
]
R2C2
dU2 dt
U2
R1C1R2C2
d 2U2 dt 2
R1C1
dU2 dt
R1C2
dU2 dt
R2C2
dU2 dt
U2
R1R2C1C2
d 2U2 dt 2
( R1C1
R1C2
R2C2
数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统 输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学 表达式。
数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的 过程。
建立物理系统数学模型的方法
• 机理分析法 对系统各部分的运动机理进 行分析，按 照它们遵循的物理规律、化 学规律列出各物理量之间的数学表达式, 建立起系统的数学模型。
•
第二节线性系统的输入—输出传递函数描述
一、传递函数 １．定义：线性定常系统的传递函数，定义为零
初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比。零初使条件是指当t≤0时,系统 r(t)、c(t)以及它们的各阶导数均为零。 线性系统微分方程的一般形式为
d
nc(t) dt n
a1
d
n 1c(t ) dt n1
第二章 控制系统的数学模型
本章知识点： •线性系统的输入－输出传递函数描述 •建立机电系统数学模型的机理分析法 •传递函数的定义与物理意义 •典型环节的数学模型 •框图及化简方法 •信号流程图与梅逊公式应用 •非线性数学模型的小范围线性化
第一节 线性系统的输入/输出时间函数描述
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的， 难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化 或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系 统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的 性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。
bm1s bm an1s an
传递函数G(S)是复变函数，是S的有理函数。且有
m≤n。
极点——传递函数分母s多项式
的根，也即线性微分方程特征方程的特征值。 零点——传递函数分子s多项式
N (s) b0sm b1sm1 bm1s bm
的根。
• 传函是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的。 • 如果已知系统的传递函数和输入信号,则可求得初始条件为零
......an1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d nr(t) dt n
b1
d n1r(t) dt n1
......a1
dr(t) dt
a1r(t)
当初始条件均为0时,对上式两边求拉氏变换，得
系统的传递函数
C(S) R(S)
b0sm b1sm1 sn a1sn1
)
dU dt
2
U2
U1
这就是RC四端网络的数学模型，为二阶线性 常微分方程。
机理分析法建立系统数学模型举例
＋
例2-2 图2-6 所示为电枢控 制直流电动机的微分方程，
if
-
La Ra
要求取电枢电压Ua(t)（v）为 ＋
输入量，电动机转速
ia
m
ωm（t）（rad/s）为输出量， Ua
Ea S M
例2-1:图2-1为RC四端无源网络。试列写以U1(t)
为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。
解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列
写方程组如下
R1
R2
U1 R1i1 U c1
(1)
U c1
1 C1
(i1 i2 )dt
(2)
U1
C1
C2
U2
U c1 R2i2 U c2
Ea
①
＋ if
-
La Ra
＋ ia
Ua
Ea SM
m
负 载
Jmf m
-
图2-6 电枢控制直流电动机原理图
Ea——电枢反电势，其表达式为 Ea=Ceωm（t） ② Ce——反电势系数（v/rad/s）
由③、④求出ia(t)，代入①，同时②亦代入①，得
La Jm
d
2m (t)
dt
(La
fm
Ra Jm )
时输出量的拉氏变换式C(s),对其求拉氏反变换可得到系统的 响应 c(t)，称为系统的零状态响应。 • 系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无关。传 递函数则由系统的结构与参数决定。 • 传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式，为1+开 环传递函数。
• 同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，但其特征 多项式唯一。
K1
Ra
Cm fm CmCe
电动机机电时间常数（s） Cem(t) Ua(t)
K2
Ra Rafm CmCe
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而 忽略不计时 ⑥还可进一步简化为
Cem (t) Ua (t)
⑦
电动机的转速m (t)与电枢电压ua (t)成正比，
于是电动机可作为测速发电机使用。