可对角化的矩阵
对角化原理
对角化原理
对角化原理是线性代数中的一个重要概念，它涉及到将一个矩阵转换为对角矩阵的过程。
通过对角化，我们能够将一个复杂的矩阵问题简化，从而更容易地解决相关问题。
对角化原理的基本思想是将一个矩阵相似于一个对角矩阵。
对角矩阵是一个除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的特征向量和对应的特征值。
为了将对角化原理应用于实际问题，我们需要找到一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。
这个过程称为矩阵的对角化。
如果存在这样的可逆矩阵P，那么称矩阵A是可对角化的。
矩阵可对角化的条件是其所有特征值都是非零的，且每个特征值对应一个线性无关的特征向量。
如果这些条件满足，则存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是对角矩阵。
对角化原理的应用非常广泛，包括数值分析、信号处理、图像处理、控制系统等领域。
例如，在信号处理中，对角化可以用于将信号分解为一组正交的基函数，从而更好地理解和分析信号的特性。
在控制系统理论中，对角化可以用于分析系统的稳定性和性能。
总之，对角化原理是一种重要的数学工具，它可以简化复杂矩阵问题，并将其分解为一组简单的特征向量和特征值。
通过将对角化原理应用于实际问题，我们可以更好地理解和分析相关问题的特性，从而为实际应用提供更好的解决方案。
可对角化矩阵的应用
可对角化矩阵的应用 矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。
下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。
1.求方阵的高次幂例设V 是数域P 上的一个二维线性空间，12,εε是一组基，线性变换σ在12,εε下的矩阵A =2110⎛⎫⎪-⎝⎭，试计算kA 。
解：首先计算σ在V 的另一组基12,ηη下的矩阵，这里()()121211,,12-⎛⎫ηη=εε ⎪-⎝⎭，且σ在12,ηη下的矩阵为1112111212111111210121110121----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然110101kk⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再利用上面得到的关系11121111112101201---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭我们可以得到121111111111211101201121201111kkk k k k k ----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪------+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.利用特征值求行列式的值。
例：设n 阶实对称矩阵2A =A 满足，且A 的秩为r ，试求行列式2E A -的值。
解：设AX=λX ，X ≠0，是对应特征值λ的特征向量，因为2A A =，则22X X λE =AE =A =λ，从而有()20Xλ-λ=，因为X ≠0，所以()1λλ-=0，即λ=1或0，又因为A 是实对称矩阵，所以A 相似于对角矩阵，A 的秩为r ，故存在可逆矩阵P ，使1000rE P AP -⎛⎫=⎪⎝⎭=B ，其中rE 是r 阶单位矩阵，从而11022202r n r n rE E A PP PBP E B E -----=-=-==23由特征值与特征向量反求矩阵。
若矩阵A 可对角化，即存在可逆矩阵P 使，其中B 为对角矩阵，则例 设3阶实对称矩阵A 的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A 。
矩阵可相似对角化的条件课件
在数值分析中的应用
线性方程组的求解
通过矩阵相似对角化，可以将一个系 数矩阵转化为对角矩阵，从而简化线 性方程组的求解过程。
数值稳定性
在数值分析中，矩阵可相似对角化有 助于提高数值计算的稳定性，因为对 角矩阵的运算相对简单且误差较小。
在控制理论中的应用
系统稳定性分析
在控制理论中，系统的稳定性可以通 过分析系统的特征值来判定。如果系 统的矩阵可相似对角化，则可以通过 对角矩阵的特征值来快速判定系统的 稳定性。
最小多项式
最小多项式是矩阵相似对角化的另一 个重要条件。最小多项式是用于描述 矩阵的最小多项式和特征向量关系的 方程。如果一个矩阵的最小多项式存 在重根，则该矩阵无法通过相似变换 对角化。
VS
最小多项式的计算方法是通过求解特 征值对应的特征方程组，得到特征向 量，然后根据特征向量和特征值的关 系计算最小多项式。如果最小多项式 存在重根，则矩阵无法对角化。
实例
考虑一个4阶矩阵，其特征值为$lambda_1 = -3$、 $lambda_2 = -1$、$lambda_3 = 2$和$lambda_4 = 4$，对应的特征向量分别为α₁、α₂、α₃和α₄。如果这四 个特征向量线性无关，则矩阵可相似对角化。
THANKS
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反证法
总结词
通过假设矩阵不可相似对角化，然后推导出 矛盾，从而证明矩阵可相似对角化。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，通过假设矩 阵不可相似对角化，然后推导出一些矛盾的 情况，如行列式值为零或特征多项式无重根 等，从而证明矩阵可相似对角化。这种方法
逻辑严谨，但需要一定的数学基础。
归纳 法
要点一
状态空间控制设计
在状态空间控制设计中，通过矩阵相 似对角化可以将复杂的系统分解为若 干个简单子系统，有助于简化控制器 的设计过程。
矩阵可以相似对角化的充要条件
矩阵可以相似对角化的充要条件
矩阵可以相似对角化的充要条件【一个矩阵An可相似对角化的充分必要条件有两个：一是An有n个线性无关的特征向量，二是An的k重特征值满足n-r(E-A)=k。
相似对角化的概念
矩阵的相似对角化，是一种基变换，或者说是坐标系变换，本质上是将线性变换在原坐标系（标准坐标系）中的表示变换为在新的坐标系下的表示，而这个新的坐标系刚好是由线性变换的一组线性无关的特征向量作为基建立的。
可相似对角化矩阵的介绍
可相似对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。
如果一个方块矩阵A 相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵P 使得P （-1）AP 是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。
如果V 是有限维度的向量空间，则线性映射T ：V →V 被称为可对角化的，如果存在V 的一个基，T 关于它可被表示为对角矩阵。
对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。
可相似对角化的充分条件
除了充要条件外，一个矩阵An可相似对角化的充分条件是：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。
充分必要条件的概念
充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。
如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件(简称：充要条件)，反之亦然。
精选】。
二阶矩阵可对角化的充分条件
二阶矩阵可对角化的充分条件
二阶矩阵可对角化的充分条件有：
1. 矩阵的行列式非零
矩阵的行列式是一个实数，它代表了线性无关的行向量/列向量的乘积，也代表了矩阵的维数。
只有当行列式非0时，矩阵可对角化。
2. 矩阵的特征向量间正交
特征向量(eigenvectors)是山度量的方向，矩阵A的特征向量是矩阵A的本征值(eigenvalues)的一组非零解。
当特征向量间正交时，矩阵可以对角化。
3. 矩阵可逆
当一个矩阵具有逆矩阵时，可以让矩阵变换成对角矩阵。
只有当一个矩阵可逆时，其能够对角化。
4. 矩阵元素都大于0
只有当一个矩阵的元素都大于0时，它才能够对角化。
一般来说，当元素为非负数时，矩阵可以对角化；如果有元素为负值，矩阵就不能够对角化。
5. 矩阵的本征值都不相等
矩阵的本征值是它的一组标量，它们可以用来判断矩阵是否可对角化。
当一个矩阵有相等的本征值时，它就不能对角化。
矩阵对角化的方法
矩阵对角化的方法
矩阵对角化是将一个方阵通过相似变换，转化为对角矩阵的过程。
常用的矩阵对角化方法有以下几种：
1. 特征值分解：对于一个可对角化的矩阵，可以通过求解其特征值和特征向量来进行对角化。
首先求解矩阵的特征值，然后求解每个特征值对应的特征向量，并将这些特征向量排列成一个矩阵，将原矩阵相似变换到对角矩阵。
2. 正交对角化：对于实对称矩阵，可以通过正交对角化的方法进行对角化。
首先通过特征值分解求解出特征值和对应的特征向量，然后将特征向量单位化得到正交矩阵，再进行相似变换得到对角矩阵。
3. Jordan标准形：对于不可对角化的矩阵，可以通过Jordan标准形对其进行对角化。
首先求解矩阵的特征值和对应的特征向量，然后通过Jordan标准形的分块结构将矩阵进行相似变换得到对角矩阵。
需要注意的是，并不是所有矩阵都可以对角化。
只有满足一定条件的矩阵才可以进行对角化。
矩阵对角化公式
矩阵对角化公式矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，它可以将一个矩阵转化为对角矩阵的形式。
对角化的过程在许多数学和工程领域中都有广泛的应用，例如解线性方程组、求特征值和特征向量、矩阵的幂运算等。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1 * A * P = D，其中D为对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
这个等式可以进一步展开为 A = P * D * P^-1。
在这个等式中，D的对角线上的元素为矩阵A的特征值，而P的列向量为相应的特征向量。
矩阵对角化的一个重要性质是，可对角化的矩阵必然是可对角化的，并且它们的特征值是相同的。
换句话说，如果A和B是可对角化的，并且它们的特征值相同，则存在可逆矩阵P和Q，使得P^-1 * A * P = Q^-1 * B * Q。
要判断一个矩阵是否可对角化，可以通过计算矩阵的特征值和特征向量来进行。
首先，计算矩阵的特征多项式，并求解特征多项式的根，这些根即为特征值。
接下来，对于每个特征值，求解齐次线性方程组 (A - λI)x = 0，得到对应的特征向量。
如果矩阵A具有n 个线性无关的特征向量，即其特征向量的个数等于矩阵的秩，那么矩阵A是可对角化的。
值得注意的是，并非所有的矩阵都可以对角化。
一些不可对角化的矩阵称为不可对角阵，其中最常见的例子是具有重复特征值的矩阵。
对于不可对角化的矩阵，我们可以使用类似于对角化的方法来将其转化为更简化的形式，例如Jordan标准形或者Schur标准形。
总结起来，矩阵对角化是一种重要的线性代数操作，它可以将矩阵转化为对角矩阵的形式，便于研究矩阵的性质和求解相关问题。
对角化的过程需要计算矩阵的特征值和特征向量，而可对角化的条件是矩阵具有n个线性无关的特征向量。
对于不可对角化的矩阵，我们可以采用其他方法进行简化。
矩阵论之Jordan标准型
例6：设A() diag{( 1), 2, ( 1)2, ( 1)}, 求A()的初等因子，不变因子及标准形.
解：A()的初等因子有, 1， 2,( 1)2, , 1.
将初等因子降幂排列
2, , 1, 1, 1, 1,
， 1
1， 1 1， 1
不变因子为d4 () 2 ( 1)( 1), d3() ( 1), d2 () , d1() 1.
定义：若A(λ)经过有限次初等变换化成B(λ) ，则称 A(λ) 与B(λ)等价，记为A(λ) ≌ B(λ) .
注： λ-矩阵等价则秩相同，反之不然，这与数字矩 阵有区别. 如：
A(
)
0
0
,
B()
1 1
何时等价？
定理3：设 -矩阵A( )的秩为r，则
d1()
0
A()
dr ()
1
0
A(1,2 ,
,n )=(1,2,
,n
)
.
0
n
也即Ai ii (i 1,
,
n),
这说明i是属于
的
i
特征向量,而P可逆，故1,2, ,n线性无关.
反之亦然.
1) 3), 设f () | I A | ( 1)d1 ( 2 )d2 ( m )dm ,
d1 dm n,即i的代数重数为di ,不妨设
P
0
0 4100
P1.
定理2：A可对角化 最小多项式m A()无重根.
证明：只证必要性：设有可逆阵P，使得P-1AP=diag{1, , n}. 不妨设1, , （s s n）为A的全部互异特征值， 令g()=( 1)( 2 ) ( s ), 由P-1g(A)P=g(P-1AP)=g(diag{1, , n})=diag{g(1), , g(n )}=0 可知g(A)=0.即g()使A零化，从而m A()|g(), 但A的特征值均是 m A ()的根，故m A ()=g().
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V0 的基．
将它扩充成V的基:{α1,α2 ,…,αs,αs+1, …,αn}． 由于 V 是σ的特征子空间，可设 0 σ(α1)=λ0α1,σ(α2)= λ0α2 , σ(αs)=λ0αs , σ(αs+1)=a1,s+1α1 + a2,s+1α 2+…+ an,s+1 αn …… …… σ(αn)=a1nα1+ a2nα2+…+ annαn .
定理6.5.1 设σ是数域F上n维线性空间V的线性 变换．σ可对角化的充分必要条件是：σ有n个 线性无关的特征向量．
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2. 线性变换可对角化的两个充分条件 定理6.5.2 设数域F上线性空间V有一个线性变 换σ,ξ1,ξ2 ,…,ξm分别是σ的属于互不相同的 特征根λ1,λ2, …,λm的特征向量, 那么, 向量ξ1, ξ2, …,ξm线性无关． 证 对m使用数学归纳法． 当m＝1, ξ1≠0,ξ1线性无关. 假设定理对于m-1(m＞1)个向量结论成立． 现设λ1,λ2,…,λm是σ的两两不同的特征根,
上面讨论了当A可对角化时, 如何求可逆矩阵T的 问题. 下面把判断A是否可对角化及可对角化时如 何计算T(T-1AT为对角形)的方法及步骤归纳如下: 1)求矩阵A的全部特征根. 如果这些根不全在F内, 那么A在F上不能对角化. 2)如果A的特征根都在F内, 那么对A的每个特征根 λ,求出齐次线性方程组
无关的. 把这n个特征向量Tij作为列, 按照λ1,λ2,
…,λn的相应顺序拼成一个可逆矩阵T, 于是
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1 AT T
2
n n
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即
1 T 1 AT
2
变换σ，由于fσ(x)的根1，1，-2均在R内，且 dimV1=2=1的重数，dimV-2=1=-2的重数，所以 σ可以对角化． 特征子空间V1的基是{-2α1+α2,α3 }，而特征子
空间V-2的基是{-α1+α2+α3 }．令
η1= -2α1+α2, η2=α3, η3=-α1+α2+α3,
{ η1, η2, η3}构成V的一个基，σ在这个基下的
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ξi是属于λi的特征向量，即 σ(ξi)=λiξi, i=1, 2, …, m． 若 a1ξ1+a2ξ2+…+am-1ξm-1+amξm , ai∈F 用λm乘(2)式两端，得 a1λmξ1+a2λmξ2+…+am-1λmξm-1+amλmξm (1) (2)
=0
(3)
对（2）式两端的向量用线性变换σ去作用，得
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a1λ1ξ1+a2λ2ξ2+…+am-1λm-1ξm-1+amλmξm =0 用（4）式减去（3）式得 (4)
a1(λ1-λm)ξ1+ a2(λ2-λm)ξ2+…
+ am-1(λm-1-λm)ξm-1 = 0
但ξ1,ξ2 ,…,ξm-1由归纳假设是线性无关的，
所以Ai(λi-λm)= 0，i=1, 2, …, m-1.
因此,αi= 0或者αi是σ的属于λi的特征向量．
如果α1,α2 ,…,αs不全为0, 不妨设α1,α2,…,αt
(t≤s)均不是零向量, 而其余的αj全是零向量.
由（5）式有α1+α2+…+αt＝0,
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即α1+α2+…+αt 线性相关. 这与定理6.5.2的结 论矛盾． 所以每个αi＝0, i＝1, 2, …, s. 即 ki1αi1+…+ k iri airi =0. i=1, 2, …, s.
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1 矩阵是 , 1 2
又因为
2 0 1 1 0 1 0 1 1
(η1,η2,η3)= (α1,α2,α3)
即
2 0 1 T 1 0 1 0 1 1
是由基｛α1，α2，α3｝到基｛η1，η2，η3｝
1 n
2
所以，σ可对角化．□
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这个推论的矩阵说法是：设A是数域F上的一个
n阶矩阵．如果A的特征多项式fA(x)在F内有n 个单根，那么A可以对角化． 如果数域F是复数域C，推论1可改为以下推论．
推论2
设σ是复数域C上n维线性空间V的一个
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…… ……
于是,σ在基{α1,α2,…,αs,αs+1,…,αn}下的 矩阵是
0 0 A 0 0 0 0 a1, s 1 a s , s 1 a s 1, s 1 an , s 1 a1. n a sn a s 1,n an ,n
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4. 线性变换对角化的方法和例子 由定理6.5.4和定理6.5.5可知，要把一个可对角
化的线性变换σ对角化，我们只需对σ的每个
特征根λi，求出Vλi的基，凑成空间V的由σ
的特征向量组成的基，σ在这样的一个基下
的矩阵就具有对角形式．
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例1
对6.4中例4的R上的三维线性空间V的线性
fσ(x)= fA(x)=|xI-A|=(x -λ0)sh(x)
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其中h(x)是A中右下角小块矩阵
a s 1, s 1 a s 1,n a an ,n n , s 1
的特征多项式．这样，λ0在fσ(x)中的重数不小
于s，即dimVλ0≤λ0的重数．□
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基下的矩阵为 1 1 t t
对角线上每个λi有xi个. 于是σ的特征多项式为
f ( x ) = ( x - 1 )r1 ( x - 2 )r2 ( x - t )rt
6.5 授课题目：6.5
可对角化的矩阵 可对角化的矩阵
授课时数：6学时
教学目标：掌握矩阵对角化的定义与方法
教学重点：矩阵对角化的方法
教学难点：矩阵对角化的方法
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一. 矩阵的可对角化与线性变换的可对角化 定义1 设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在
F上的一个可逆矩阵T，使T-1AT是对角矩阵， 就说A可以对角化． 由矩阵与线性变换的对应关系，类似地有： 定义2 设σ是数域F上n(n≥1)维线性空间V的
征根的重数的关系．
定理6.5.4
设σ是数域F上n维线性空间V的一个
线性变换.λ0是σ的一个特征根， V0 是σ的属于 特征根λ0的特征子空间. 那么dim V0≤λ0的重数， 其中λ0的重数指的是它作为fσ(x)的根的重数．
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证
设 dimV0 s ,{α1,α2 ,…,αs}是
线性无关．
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证
设 k11 a11 ... k1r1a1r1+k21a21+…+ k 2r2 a 2r2 +…+ k s1a s1+…+ k srsa srs =0. 即 α1+α2+…+αs＝0， (5)
其中αi = ki1αi1+…+
k iri airi ∈ Vi i=1, 2, …, s.
现在，我们可以来证明下面的定理了
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定理6.5.5
设σ是数域F上n维线性空间V的一个
线性变换,σ可对角化的充分必要条件是： 1）σ的特征多项式的根都在F内； 2）σ的每个特征根λ,dimVλ≤λ0的重数． 证 充分性．设σ的所以不同的特征根λ1,λ2, …,λt ,在特征多项式fσ(x)的重数分别是r1, r2 ,…,rt .由条件1)有 r1+r2+…+rt=n．
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的过渡矩阵．由定理6.3.4有
6 0 2 0 1 2 0 1 4 T 1 AT 1 0 1 3 5 0 1 0 1 0 1 1 3 6 1 0 1 1
线性变换．如果σ的特征多项式没有重根，那
么σ可对角化． 推论1给出了线性变换可对角化的一个充分非必
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要条件．对没有n个不同特征根的线性变换，要 判断它能否对角化，还需作进一步的讨论． 3. 线性变换可对角化的充要条件之二 定理6.5.3 如果λ1,λ2,…,λs 是线性变换σ的 s
个不同的特征根，而 ai 1 , …, airi 是σ的属于特征 根λi 的线性无关的特征向量, i = 1, 2, …, s. 那么, 向量组 a11 , …, a1r1 , a21 , …, a 2r2 , …, a , …, a srs s1
性变换．如果σ的特征多项式fσ(x)在F内有n个
不同的根，那么σ可对角化．
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证
若fσ(x)在F中有互不相同的n个特征根λ1,
λ2 ,…,λn , 对每个λi , 选取一个特征向量ξi ,
i =1, 2, …, n .ξ1,ξ2, …,ξn 线性无关, 构成V的
一个基. σ在这个基下的矩阵是对角矩阵
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因此λ1,λ2 ,…,λt是它的全部互异的特征根，
均属于数域F，且λi的重数是ri, i=1,2, …,t
又由于αi1,…, airi 线性无关，均是 V 的向量， i
从而有 dimV ri . i
另一方面，由定理6.5.4，又有 dimV ri . i 所以 dimV ri . i □