二次函数与实际问题(面积最值问题)教学设计解读
初中数学教学课例《实际问题与二次函数》课程思政核心素养教学设计及总结反思
最小值。
本节课是学生学习了二次函数的图像与性质后，把
实际问题转化为数学问题，二次函数化为顶点式后（或
学生学习能 者用公式法），很容易求出最大或者最小值，从而把数
力分析 学知识运用于实践，即是否把实际问题表示为二次函
数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结
果进行解释
教学策略选
情境法，引导法，问题法，练习法
高效的学习有着重要的意义。
本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题 转化为数学问题，二次函数化为顶点式后，很容易求出 最大（或最小）值，从而把数学知识运用于实践，即是 否把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的 知识解决实际问题，并对结果进行解释 课例研究综
就是要“把课堂还给学生，让课堂充满活力”；“把 述
创造还给教师，使教育充满智慧”；“把世界引进教室， 使课堂成为现实社会的组成部分”，这是华东师大叶澜 教授几年前说过的话。这让我想起亚里士多德的一句名 言：“告诉我的我会忘记，给我看的我会记住，让我参 与的我会理解。”这句话启示我们，学生参与对于真正
初中数学教学课例《实际问题与二次函数》教学设计及总结 反思
学科
初中数学
教学课例名
《实际问题与二次函数》
称
内容运用二次函数求实际问题中的最大值或最小
教材分析 值。重难点：探究利用二次函数的最大值(或最小值)
解决实际问题的方法.
1.学生能够分析和表示实际问题中变量之间的二
次函数关系 教学目标
2.学生会运用二次函数求实际问题中的最大值或
择与设计
学生独立思考，并抽学生回答。让学生先独立思考， 教学过程
若有困难，教师给予帮助分析理解
学生说出解题思路，学生先写出证明过程 最后教师板书解题过程。分析：先写出 S 与 L 的函 数关系式，再求出使 S 最大的 L 值。 矩形场地的周长是 60m，一边长为 L，则另一边长 为,场地面积 S= .化简得 s= 画出这个函数的图像. 教师与学生共同分析,寻找解决问题的方法,培养 学生的探索精神,让学生初步感受数学的使用价值. 学生练习，教师点评 学生回顾、讨论回答并谈自己对本堂课的收获
2022年初中数学《二次函数在面积最值问题中的应用2》精品教案
21．4 二次函数的应用第1课时 二次函数在面积最值问题中的应用1．经历数学建模的根本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；(重点) 2．会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值．(难点)一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如以下图的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：利用二次函数求最大面积 【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，那么另一边长为60－2x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30；(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，因为a ＝－1＜0，所以S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值是225(平方米)．方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，表达了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，配方，得(x－8)2＝－6，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】利用二次函数确定最大面积的条件现有一块矩形场地，如以下图，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值．解：(1)由题意知，B场地宽为(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自变量x的取值范围为0＜x＜30；(2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，当x＝15m时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m2.【类型四】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如以下图)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队方案在隧道门口搭建一个矩形“脚手架〞ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架〞三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)；(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x ；(3)设OB ＝m ，那么点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ， 所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ， 所以l ＝AB ＋AD ＋DC＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计图形面积最大值⎩⎪⎨⎪⎧1.利用二次函数求最大面积2.利用二次函数确定最大面积的条件3.利用函数判断面积取值成立的条件4.最大面积方案设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题．本章复习【知识与技能】对本章的内容进行回忆和总结，熟练掌握数轴、相反数、绝对值、有理数等有关概念.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算.【过程与方法】釆用讨论法、练习法、尝试指导法，反思有理数的概念和有理数的运算，培养学生应用数学知识的意识，训练和增强学生运用新知识解决实际问题的能力.【情感态度】通过本章知识的学习，渗透数形结合的思想、辩证唯物主义思想，使学生学会如何归纳知识，反思自己的学习过程.【教学重点】回忆本章知识，构建知识体系.【教学难点】有理数的运算.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回忆本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回忆边建立知识框图.二、释疑解惑，加深理解1.理解根本概念要注意的一些问题：〔1〕对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+〞号的数是正数，带“-〞号的数是负数.例如-a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，-a是0，当a是负数时，-a是正数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数.〔2〕数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数.右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.故而可以用数轴来比拟数的大小.〔3〕求相反数的方法：直接在数字前加负号；如果是式子，先把整个式子括起来，再在括号前加负号；在数轴上表示互为相反数的两个数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.0的相反数是0.〔4〕正数的绝对值是它本身；如果a＞0，那么｜a｜=a；一个负数的绝对值是它的相反数；如果a＜0，那么｜a｜=-a；0的绝对值是0，如果a=0，那么｜a｜=0.2.有理数的运算的说明：〔1〕进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法那么、运算律及运算顺序.比拟复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算.〔2〕进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力.3.关于本章的数学方法：数形结合的思想是数学中一种常用思想方法，在有理数的混合运算中常常与数轴、绝对值的知识融合于一体，画出数轴、观察数轴，从中进行体验，有助于解决问题.三、典例精析，复习新知例1一只蜗牛从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，这时蜗牛与数轴上的田螺相距1.5个单位，求田螺表示的数.【分析】先画出数轴，如以下图：蜗牛从原点O出发第一次向右移动2个单位，此时蜗牛表示的数为2，第二次向左移动5个单位，这时蜗牛表示的数为-3，又由于田螺与蜗牛相距1.5个单位，根据距离的概念和绝对值的知识，田螺在数轴上位置在点P或P1，即表示的数是-4.5或-1.5.例2假设数a在数轴上的对应点如以下图，请化简｜a+1｜和｜a-1｜.【分析】对于绝对值的化简，分析出a+1，a-1的正负是解题的关键.结合数轴很容易得出结论.观察数轴可知a的对应点在原点右侧，所以a为正数.所以a+1为正数，即｜a+1｜=a+1.因为a的对应点在0和1之间，所以a为小于1的正数.所以a-1＜0.解：因为a＞0，所以a+1＞0.所以｜a+1｜=a+1.因为0＜a＜1，所以a-1＜0.所以｜a-1｜=-〔a-1〕=1-a.例3计算：【分析】进行有理数的混合运算时，一定要准确地把握有理数的运算顺序和运算中的符号问题，恰当地运用运算律简化计算.例4下表是七年级〔1〕班第一组学生的体重.以体重50kg为标准〔超出局部为正，缺乏局部为负〕：求：〔1〕这组同学中，哪个同学的身体最重？哪个同学的身体最轻？〔2〕这组同学的平均体重是多少？【分析】〔1〕求哪个同学的身体最重，即求哪个同学的体重超出50kg的最多；〔2〕超出50kg局部的平均值与50kg的和即为这组同学的平均体重.解：〔1〕因为-6＜-4＜1＜3＜5＜7所以小天同学的身体最重，小丽同学的身体最轻.〔2〕这组同学的平均体重为：50+［〔-6〕+(-4)+1+3+5+7］÷6=50+6÷6=51(kg)【分析】一般情况下，分数计算是先通分.此题通分计算将很繁琐，但我们观察到各个分数分母的后一个因数比前一个大1，且后一个分数的分母含有前一个分数分母的因数，每一个分母中因数之差等于分子，故可利用如下一个关系式：再把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做裂项法.【教学说明】这一环节是本节课重点所在，这5个例题层次递进，对本章重要知识点进行有效复习和稳固，强化学生对本章重点知识的理解与运用.四、复习训练，稳固提高1.在数轴上的点A、B位置如以下图，那么线段AB的长度为〔〕3.〔1〕12的绝对值是_______，绝对值是12的是_______，绝对值等于它本身的数是_______.〔2〕绝对值小于3的整数有_______个；绝对值不大于3的整数有_______个，分别是______________________.4.粮库3天内进出库的吨数如下:〔“+〞表示进库,“-〞表示出库〕+26、-32、-15、+34、-38、-20.〔1〕经过这3天，库里的粮食是增多还是减少了.〔2〕经过这3天，仓库管理员结算发现库里还存480吨粮，那么3天前库里存粮多少吨？〔3〕如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付多少装卸费？5.一个正方体木块粘合成如以下图形式，它们的棱长分别为1cm、2cm、4cm，要在模型外表涂油漆，如果除去局部不涂外，该油漆的本钱为5元/cm2，求模型涂漆共花费多少元钱？【教学说明】师生共同回忆本章主要知识点，教师适时予以评讲，说明应用各知识点要注意的问题.对于所选例题，可根据需要适当增减.3.〔2〕57-3、-2、-1、0、1、2、34.解：(1)26+〔-32〕+〔-15〕+34+〔-38〕+〔-20〕=-45答：经过这3天，库里的粮食是减少了45吨.〔2〕480-〔-45〕=525答：3天前库里存粮525吨.〔3〕〔26+32+15+34+38+20〕×5=825答：这3天要付装卸费825元.5.解：大正方体的涂漆面积是:42×4＋〔42-22〕＝64＋12＝76〔cm2〕棱长为2cm的正方体的涂漆面积是:22×4＋〔22-12〕＝16＋3＝19〔cm2〕棱长为1cm的正方体涂漆面积是:12×5＝5〔cm2〕所以，总涂漆的面积为:76＋19＋5＝100〔cm2〕总费用为5×100＝500〔元〕答：模型的涂漆的总费用为500元.五、师生互动，课堂小结本堂课你能系统地回忆本章所学有关有理数的知识吗？你会用数轴来比拟数的大小吗？你能熟练地进行有理数的混合运算吗？【教学说明】教师引导学生回忆本章知识，尽可能让学生自主交流与反思，对于学生的困惑与疑问，教师应予以补充和点评.1.布置作业:从教材第52页“复习题〞中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节复习是首先通过知识框图整体把握,引导学生对本章知识点进行梳理，构建本章知识体系，通过典型例题探究加深学生对主要思想方法的理解，掌握常用解题方法.在教学中，关注学生是否认真思考，相互交流与合作，以及学生对问题的理解情况，使学生在反思和交流的根底上构建合理的知识体系.通过典型例题强化有理数的运算，训练学生的计算能力和分析解决问题的能力,从而提高他们应用数学的意识.。
二次函数的应用-——最大面积问题教学设计
二次函数的应用-——最大面积问题教学设计《二次函数的应用——面积最大问题》教学设计二次函数的应用——面积最大问题。
所用教材是山东教育出版社材九年级上册第三章第六节二次函数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。
下面我将从教材内容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。
一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
2、课时安排教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。
3.学情及学法分析学生由简单的二次函数y＝x2学习开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和图像的性质。
对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
人教版九年级数学上册 22.3.1 实际问题与二次函数--最大面积教案
1 / 223.3.1实际问题与二次函数——图形面积的最值问题一、教学目标：能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系，会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）。
二、教学重点：探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法。
三、教学过程：课前准备：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.（1） (配方法) (2) （公式法） 问题1 二次函数的最值由什么决定？ 归纳：实数范围内二次函数的最值在 顶点 取得， 即当时，求下列函数的最大值和最小值求函数最值的方法归纳（1）当自变量的范围没有限制时，二次函数的最值在顶点取得 （2）当自变量的范围有限制时，二次函数的最值可以根据以下步骤来确定1. 转化为顶点式求出顶点坐标及对称轴2. 判断x 的取值范围与对称轴的位置关系.3. 根据二次函数的性质，确定当x 取何值时函数有最大或最小值.4. 然后根据x 的值，求出函数的最值.例1：用总长为20m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长x 的变化而变化。
当x 是多少时，场地的面积S 最大？A BD2 / 2 变式：1、如图，用总长20米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园，墙长14米，设菜园垂直于墙的一边为x 米，面积为y 平方米。
(1)求y 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？2、如图，用总长20米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园，墙长8米，设菜园垂直于墙的一边为x 米，面积为y 平方米。
(1)求y 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？课堂小结（1） 如何求二次函数的最小（大）值，并利用其解决实际问题？（2） 在解决问题的过程中应注意哪些问题？你学到了哪些思考问题的方法？ 拓展练习1：如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从A 始向B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 开始向C 以2cm/s 的速度移动。
二次函数的应用——最大面积问题教学设计
二次函数的应用——最大面积问题的教学设计一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。
新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。
将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。
通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。
二、教学目标1、借助反比例函数中三角形面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。
2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。
三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。
的图象都引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。
补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。
二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿
二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿22.过程与方法：培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，掌握建模思想，熟练掌握最值问题的解法。
23.情感态度与价值观：通过实际问题的应用，让学生感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱。
本节课的重点是最值问题的解法和建模思想的培养，难点是对实际问题的分析和建模思想的掌握。
三、教学方法的选择本节课采用“引导发现、归纳总结、启发式教学”等多种教学方法，其中引导发现法是本节课的核心教学方法，通过引导学生发现实际问题中的规律和模式，培养学生独立思考和解决问题的能力；归纳总结法是巩固知识的有效方法，通过对学生已有的知识进行梳理和总结，加深对知识的理解和记忆；启发式教学法则是在教学中采用启发式问题，激发学生的思考和求知欲，提高学生的研究兴趣和积极性。
四、教学过程的设计本节课的教学过程分为四个环节：导入、讲授、练、归纳总结。
导入环节通过引入实际问题，激发学生的兴趣和求知欲，让学生认识到最值问题的实际应用价值；讲授环节通过具体例子和图像分析，讲解最值问题的解法和建模思想；练环节则通过多种形式的练，巩固学生的知识和技能；归纳总结环节则对本节课的知识点进行总结和梳理，加深对知识的理解和记忆。
五、教学效果预测通过本节课的教学，学生将能够掌握最值问题的解法和建模思想，能够熟练应用所学知识解决实际问题，同时也能够感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱，为学生今后的研究打下坚实的理论和思想方法基础。
2、___要在一块长为20米、宽为15米的空地上建一个长方形花园，他想让花园的面积最大，你能帮他算一下最大面积是多少吗？3、某公司生产一种产品，销售价格为每个10元，生产成本为每个5元，每天能生产1000个，你能帮助他们算一下每天的最大利润是多少吗？设计思路]通过这三个问题，引导学生发现实际问题中的最值问题，从而引出二次函数的最值问题。
实际问题与二次函数教案
§26.3.1实际问题与二次函数（面积问题）教学任务分析教学流程安排教学过程设计例21．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12。
用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC，AB，BC上，要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？2．计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道。
如图，现有一张半径为45mm的磁盘（1）磁盘最内的磁道半径为rmm，其上每0.015的弧长为1个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？1小题融入了运动的观点，培养学生用运动的观点看待事物与实际相联系增强学生解决实际问题的能力[活动3] 总结反思检测反馈1．抓住图形的特点进行建模2．注意实际问题的自变量的取值范围检测：用一段长30m的篱笆，围城一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m。
这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积为多少？通过小结和检测回顾本节内容，反馈课堂学习效果[活动4] 布置作业拓展升华作业：目标P96 1、2、P97 4思考题：1．如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB上一点，F是AD的延长线上一点，BE＝DF。
四边形ADGF是矩形，则矩形ADGF的面积随BE的长x的变化而变化，y与x之间的关系可以用怎样的函数关系来表示？2．已知矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？3．如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四边上。
四边形EFGH也是正方形。
当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从A开始沿边AB向B以2的速度移动，动点Q从B开始沿边BC以4的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积随S出发时间如何变化？写出函数关系式及t的取值范围通过作业在一次内化知识，构建知识系统。
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题教学目标在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。
求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．教学重点与难点 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数知识求出实际问题中的最值，发展解决问题的能力。
教学过程设计一 复习引入前几节课我们结合实际问题讨论了二次函数，看到了二次函数在解决实际问题中的一些应用，下面我们进一步用二次函数讨论一些实际问题。
二 探究新知[例1]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -= x x 3442+-= 4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大． 巩固练习在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？三 小结拓展本节课我们学习了二次函数的应用，在初中阶段的应用题中如果遇到求最大值问题，极有可能运用二次函数的最大值知识，而列函数式是解题的关键。
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【重点】:如何利用二次函数的性质解决实际问题——图形面积的最值问题
【难点】:如何探究在自变量取值范围内求出实际问题的解
【教学过程】
【活动1】:导入引言:
二次函数在实际问题中的应用常见类型有抛物线形问题和最值问题。而最值问题考试类型有两类
(1利润最大问题;
(2几何图形中的最值问题:面积的最值,用料的最佳方案等,本节课,我们学习如何用二次函数解决实际问题中图形面积的最值问题。
【活动2】:师生互动,合作学习
我们来看一道简单的例题
小结:求解完答案后,我们要善于检查,分析,反思数学问题的解是否是实际问题的解。
活动3:变式训练,巩固应用。
师:如果我们在图形中再加一个“竖道” ,请问刚才的问题中,什么量在变化,什么量不变化?是否影响面积的变化?
师生共同总结得出:AB不变而BC在变, BC表示时要考虑竖道的个数。
师:请大家看下面的中考题,这个问题中涉及的是方程的思想还是函数的思想?
师:在演示中你们看到了什么?想到了什么?你能列出函数解析式吗?
学生解决:若设矩形一边长为X ,当X在变长时,另一边变短,当X变短时,另一边变长,则面积S也随之发生了变化;设宽AB为X米,则长为24-2X (m
所以面积S=X(24-2X=-2X2+24X=-2(X-122 +288
师:分析归纳解函数问题的一般步骤是什么?
(2本节课你的收获是什么?你的疑问是什么?
活动6】作业布置。
(1求y与x的函数关系式; (2 y是否有最大值?若有,求出y的最大值。
学生互学,师生共同总结:师:利用函数的思想解决实际问题时,要考虑自变量的取值范围,要在自变量范围内求出最大值,要学会检验数学问题的解是否是实际问题的解。利用函数解决实际问题,我们在后面的学习中还要继续探究。
【活动4】归纳小结:
(1利用函数思想解决实际问题的一般步骤是什么?
生:不可以, x受墙长的影响,围栏长度的影响,面积不能超过一个最大值。
师:引导利用函数的思想解决下面的问题。
活动4:深入探究,设疑激趣
一题多变2:
师:请大家仔细阅读下面的例题,分析问题中的已知条件又作了哪些变化?
如图所示,有长为30m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为10m ,围成中间隔有一道篱笆(平行于AB的矩形花圃,设花圃的一边AB =xm ,面积为ym 2.
[教学设计]二次数学的实际运用
——图形面积的最值问题
【知识与技能】:通过复习让学生系统性地掌握并认识如何用函数的思想解决几何问题中面积最值问题,培养其整体性思想。
【过程与方法】:能通过设置的三个问题,概括出二次函数解决这类问题的基本思路和基本方法,并学会用数学问题的结论,分析是否是实际问题的解,掌握类比的数学思想方法。
一题多变1:
要利用一面墙(墙长为25米建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
学生自主探究问题并解答(引导学生分析讨论如何舍去方程的根,获得实际问题的解
师:问题中面积是否由“ 400”可以改为“ 500” “ 600” “ 700”呢?面积是否可以取一个任意大的数值呢?
例1:李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD ,用篱笆围成的另外三边总长为24米,则矩形的长宽分别为多少时,围成的矩形面积最大?
师(让学生思考:题目中已知量是什么?未知量是什么?如何理解“矩形面积最大”问题?是什么影响了矩形面积的变化呢?我们一起来看下面的动画演示(通过动画演示,让学生感受量的变化
(板书:第一步,正确理解题意,分析问题中的常量和重量;
第二步,巧设未知数,用未知数表示已知量和未知量,列二次函数解析式表示它们的关系;
第步,计算,将一般式转化为顶点式,求出数学问题的最值。
师:请问这时解出的数学问题的解是不是实际问题的解,如何检验呢?(在师生共同研讨的过程中找出计算中学生容易犯的错误,分析解答是否符合实际问题